2013-02-04 16:43
坐标本征态下，动量平均值不存在（那个计算平均值的积分不收敛），所以，“动量平均值”不是总能够测量到的。
进一步，考虑到“力学量平均值算符”这种东西好像找不到，所以实际上“力学量平均值”不是可观测量？
进一步，考虑到“力学量平均值算符”这种东西好像找不到，所以实际上“力学量平均值”不是可观测量？
堇庐：钱先生，请问量子力学中的算符是不是只对波函数作用？我看曾谨言写的书里讲算符共轭时，他把算符作用到波函数的共轭复数上？
钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面光讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。
堇庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，现讲算符的转置，再进行复共轭。
钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。
钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面光讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。
堇庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，现讲算符的转置，再进行复共轭。
钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。
3量子力学中的力学量_百度文库
wenku.baidu.com/view/b55926cac8d376eeaeaa31a1.html
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评论 (6) 只看楼主
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1楼 2013-02-05 11:24 飘蓬如寄 只看Ta
由于坐标和动量算符是不对易的（当然，要求是同一个维度，比如x与Px），所以才会有在以坐标为本征值的本征态下，无法得到动量的平均值。这个不确定性关系式可以由厄米算符的定义得到的，而不是所谓的位置与动量测量时的相互干扰。一般来说，只要是两个不对易的力学量，在一个量的本征态下，就必然得不到另一个力学量准确的本征值。但我觉得由此就此下定论，是不准确的，在量子力学中，离开了具体的态来谈平均值，本来就是不可取的，这是由平均值的定义来决定的，<L>=<ψ|L|ψ>中的ket是原来的波函数，而bra是波函数的厄米共轭。而我们又知道，对于一个给定的态，对其某一个力学量作出测量，只要这个态是这个算符的本征态，总是能得到测量结果，即是可测量的，不过由多个本征线性组合成的态有个概率分布罢了。总而言之，我觉得楼主是在抛开了具体的态的情况下，来求一个所谓的“力学量平均值算符“，所以是不全面的。[0] |
以上纯属个人意见，没有参考文献，如有错误，请多多包涵，并帮忙指出，谢谢。 - 2楼 2013-02-05 16:47 oldbigfeng 只看Ta
[0] |引用@飘蓬如寄 的话：由于坐标和动量算符是不对易的（当然，要求是同一个维度，比如x与Px），所以才会有在以坐标为本征值的本征态下，无法得到动量的平均值。这个不确定性关系式可以由厄米算符的定义得到的，而不是所谓的位置与动量测量时的相互干扰。一般来说，只要是两个不对易的力学量，在一个量的本征态下，就必然得不到另一个力学量准确的本征值。但我觉得由此就此下定论，是不准确的，在量子力学中，离开了具体的态来谈平均值，本来就是不可取的，这是由平均值的定义来决定的，=<ψ|l|ψ>中的ket是原来的波函数，而bra是波函数的厄米共轭。而我们又知道，对于一个给定的态，对其某一个力学量作出测量，只要这个态是这个算符的本征态，总是能得到测量结果，即是可测量的，不过由多个本征线性组合成的态有个概率分布罢了。总而言之，我觉得楼主是在抛开了具体的态的情况下，来求一个所谓的“力学量平均值算符“，所以是不全面的。以上纯属个人意见，没有参考文献，如有错误，请多多包涵，并帮忙指出，谢谢。
我觉得力学量平均值这个概念是可以抛开具体的态的，但不能抛开具体的力学量。虽然能抛开具体的态，但它的性质和力学量本身确实很不一样 - 3楼 2013-02-05 17:10 飘蓬如寄 只看Ta
[0] |引用@oldbigfeng 的话：我觉得力学量平均值这个概念是可以抛开具体的态的，但不能抛开具体的力学量。虽然能抛开具体的态，但它的性质和力学量本身确实很不一样
嗯...力学量平均值显然是不能抛开具体的力学量的，否则根本没有办法去积分。
但我们也知道，力学量的均值的定义是这个力学量算符在某个态下的全空间积分，既<L>=<ψ|L|ψ>，ψ和L都是可以写成数学表达式的，那抛开了具体的态，ψ的表达式都不知道，如何积分呢？也就是说，要求一个力学量的均值，力学量和态二者应该是缺一不可的。不知楼主能否再举几个实际一点的例子？ - 4楼 2013-02-05 23:37 oldbigfeng 只看Ta
[0] |引用@飘蓬如寄 的话：嗯...力学量平均值显然是不能抛开具体的力学量的，否则根本没有办法去积分。但我们也知道，力学量的均值的定义是这个力学量算符在某个态下的全空间积分，既=<ψ|l|ψ>，ψ和L都是可以写成数学表达式的，那抛开了具体的态，ψ的表达式都不知道，如何积分呢？也就是说，要求一个力学量的均值，力学量和态二者应该是缺一不可的。不知楼主能否再举几个实际一点的例子？
我觉得可以设想有那样一个态空间上的函数（泛函），它的定义域就是动量平均值存在的所有态矢量，比如坐标本征态就不在这个函数的定义域中。这个函数作用到一个定义域中的态矢量上会得到该态下的动量的平均值。
这个东西应该就可以定义“动量平均值函数”，他可以在一定程度上脱离态矢量， - 5楼 2013-02-05 23:39 oldbigfeng 只看Ta
[0] |引用@oldbigfeng 的话：我觉得可以设想有那样一个态空间上的函数（泛函），它的定义域就是动量平均值存在的所有态矢量，比如坐标本征态就不在这个函数的定义域中。这个函数作用到一个定义域中的态矢量上会得到该态下的动量的平均值。这个东西应该就可以定义“动量平均值函数”，他可以在一定程度上脱离态矢量，
这东西肯定不是算符，因为算符的值域还是态空间，而不是实数集 - 6楼 2013-02-06 11:27 飘蓬如寄 只看Ta
引用@oldbigfeng 的话：我觉得可以设想有那样一个态空间上的函数（泛函），它的定义域就是动量平均值存在的所有态矢量，比如坐标本征态就不在这个函数的定义域中。这个函数作用到一个定义域中的态矢量上会得到该态下的动量的平均值。这个东西应该就可以定义“动量平均值函数”，他可以在一定程度上脱离态矢量，
很好，我们将这个问题进一步复杂化了......首先声明，我不是学物理的，我是学化学的。
然后，我理解你的意思了，也许我们的侧重点不一样，关键就在于算符和函数的问题上，是一个表达问题。你定义了这个“动量平均值函数”，而你说的脱离态矢量就是将其视为自变量。而我说的不能脱离态矢量实际是指求解具体力学量时的计算而已，在这个上面没有矛盾（易证明，这并没有本质的差异）。
好的，回到力学量的观测问题上，这也需要涉及到量子力学的几个基本假设，其中有一条：
任何可观测的物理量，对应一个线性的厄米算符，其本征函数可构成一个完备的函数集（如此算符可以
有经典力学量做x->x,Px->i*h-bar*对x偏导（懒得去输公式了，凑合看吧）） 。
PS.波函数并不是不变的，在不同的表象下（比如多电子的情形下耦合与非耦合表象）分别对应不同的波函数（线性组合），但是在积分之时，得到算符的矩阵以后，总还是要通过矩阵对角化得到本征值，最后发现某一具体的态的某一个力学量跟表象无关。
PPS.实际上我懒得写了......
狄拉克的《量子力学原理》貌似根本就没提复共轭算符和转置算符，只有厄米共轭算符。
有的书上这样定义复共轭算符，
“已知算符A，对任意的态P，有AP=Q，Q为另一个态。
如果存在算符B满足BP'=Q'，其中P'和Q'分别是P和Q的复共轭，则B就叫做A的复共轭算符”
用狄拉克符号考虑上述定义的话，
记P=|p>,Q=|q>，则P'=<p|,Q'=<q|
于是A|p>=|q>,按照狄拉克的书上取厄米共轭则<p|C=<q|，这里C是A的厄米共轭
这个式子的意义就是算符C作用到P'上得到态Q'，对比复共轭算符的定义可以知道，C的作用和B是完全一样的
所以复共轭算符和厄米共轭算符有区别么？
是不是因为狄拉克比较抽象，所以复共轭算符就被抽象掉了？也说明复共轭算符的概念实际上不是必需的？因为狄拉克符号能处理的问题都不需要复共轭算符？
有的书上这样定义复共轭算符，
“已知算符A，对任意的态P，有AP=Q，Q为另一个态。
如果存在算符B满足BP'=Q'，其中P'和Q'分别是P和Q的复共轭，则B就叫做A的复共轭算符”
用狄拉克符号考虑上述定义的话，
记P=|p>,Q=|q>，则P'=<p|,Q'=<q|
于是A|p>=|q>,按照狄拉克的书上取厄米共轭则<p|C=<q|，这里C是A的厄米共轭
这个式子的意义就是算符C作用到P'上得到态Q'，对比复共轭算符的定义可以知道，C的作用和B是完全一样的
所以复共轭算符和厄米共轭算符有区别么？
是不是因为狄拉克比较抽象，所以复共轭算符就被抽象掉了？也说明复共轭算符的概念实际上不是必需的？因为狄拉克符号能处理的问题都不需要复共轭算符？
复共轭算符当作算符的函数处理了，复共轭算符的本征值是算符本征值的复共轭，如果所有本征值都满足这个条件，就可以定义复共轭算符。厄米共轭算符是另外一回事，按照狄拉克书上比较一般的处理方式，算符作用在ket上，复共轭算符也作用在ket上，厄米共轭算符作用在bra上。
- Giga_Gamma: 回复@feng1734 :那是定义方便用的，如果那个不是可观测量的函数而是随便一个线性算符的函数，那样做是没有物理意义的。所以实际上复共轭算符应该是作用在ket上的，从数学上来看是缺少转置的一步。
2013-1-5 20:13回复
这跟张量面面观有关系咩？一个（1，1）型张量 既可以看成V到V的映射 又可以看成V星到V星的映射 这就没有转置的概念了。如果没有张量的概念 有一个V到V的映射 就有一个V星到V星的伴随映射，对应的矩阵就是转置矩阵。复共轭神码的不懂神肿么回事？
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- 2013-01-06 14:42
搜到的
钱伯初先生交大校园物理漫谈（之一）
【2010年11月8日、星期一、下午】
堇庐注：今年，兰州大学钱伯初先生由西安交通大学特聘给西安交大理学院物理实验班的学生讲授《数学物理方法》课程，笔者有幸得知后，便每次前往交通大学旁听，下课后，笔者有时有幸一路陪同钱先生走回住处，在西安交大校园便有了这段校园物理漫谈，在校园里，钱先生侃侃而谈，从讲课，到教材，到历史。虽然钱先生现在讲授《数学物理方法》课程，笔者也询问了一些有关量子力学的问题。笔者根据录音记录稍加整理，便有了这篇《钱伯初先生交大校园物理漫谈（之一）》，期待以后与钱先生有更多的校园物理漫谈，也希望以后也会有之二，之三等等。
堇庐：钱先生，请问量子力学中的算符是不是只对波函数作用？我看曾谨言写的书里讲算符共轭时，他把算符作用到波函数的共轭复数上？
钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面光讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。
堇庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，现讲算符的转置，再进行复共轭。
钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。
钱伯初先生交大校园物理漫谈（之一）
【2010年11月8日、星期一、下午】
堇庐注：今年，兰州大学钱伯初先生由西安交通大学特聘给西安交大理学院物理实验班的学生讲授《数学物理方法》课程，笔者有幸得知后，便每次前往交通大学旁听，下课后，笔者有时有幸一路陪同钱先生走回住处，在西安交大校园便有了这段校园物理漫谈，在校园里，钱先生侃侃而谈，从讲课，到教材，到历史。虽然钱先生现在讲授《数学物理方法》课程，笔者也询问了一些有关量子力学的问题。笔者根据录音记录稍加整理，便有了这篇《钱伯初先生交大校园物理漫谈（之一）》，期待以后与钱先生有更多的校园物理漫谈，也希望以后也会有之二，之三等等。
堇庐：钱先生，请问量子力学中的算符是不是只对波函数作用？我看曾谨言写的书里讲算符共轭时，他把算符作用到波函数的共轭复数上？
钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面光讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。
堇庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，现讲算符的转置，再进行复共轭。
钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。
http://www.physixfan.com/
宇宙间时空分辨率的极限——普朗克长度和普朗克时间
作者： physixfan /*在《套套神教圣经·创世纪》里，我提到了空间最小单元普朗克长度和时间最小单元普朗克时间的说法，估计很多人不知道这是什么意思，故写此文来科普一下。本文不需要学过量子场论等高端课程就可以阅读 只要不求甚解即可...*/
我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分激进的理论物理学家的确是这么认为的，我也很认同这种观点。分立的时空格子的尺度，被称作普朗克长度和普朗克时间。首先给出它们的表达式和大小吧：
普朗克长度：ℓ P =ℏGc 3 − − − √ ≈1.616199(97)×10 −35 m
普朗克时间：t P =ℏGc 5 − − − √ ≈5.39106(32)×10 −44 s
其中ℏ 是普朗克常数，c是光速，G是万有引力常数。没错，普朗克长度和普朗克时间的表达式，正是由宇宙间最基本的三个常数组合而成的具有长度、时间量纲的物理量。高中时候就见过这个看起来很神奇的表达式，不过一直不知道其物理含义到底是什么，为什么就可以代表时空的最小分辨率。直到今年上的量子场论和物理宇宙学两门课让我略懂了其物理内涵。
首先要知道的是，目前描述我们这个宇宙的最基本最底层的理论之一是量子场论，而我们有很充分的理由相信，量子场论里存在一个物理的能量截断，即量子场论只有在能量低于这个截断能量的时候才有意义。这一段后半部分的内容直接摘抄自刘川的量子场论讲义：对于一个有相互作用的量子场论来说，由于量子涨落的“虚过程”可以在任意能动量发生，因此，如果理论不存在某种能动量截断，那么由于长是互相作用的，一个低能动量的模式就可以通过虚过程与无穷高能动量的模式发生相互作用，这就造成了场论中的“紫外发散”（即计算得到的结果是无穷大）。而如果量子场论中存在一个物理的能动量截断，它就可以保证所有的量都不发散。这个截断的具体形式其实对于远低于截断能标的物理来说并不重要，因为低能区的物理对截断的形式并不敏感。重要的是，这个截断是存在的，而且它是相互作用量子场论不可或缺的组成部分。
然后，根据不确定性关系这一量子力学的基本原理，
ΔxΔp≥ℏ
ΔtΔE∼ℏ
能动量存在着一个上截断，就意味着时空存在着一个下截断。即空间存在最小分辨率。
以上从量子场论的角度，分析了这样一个时空最小分辨率的存在性，但是并没有给出它的具体形式。其具体表达式则是由宇宙学中对量子引力极限的估计给出的。
众所周知，如果一个物体的半径相对于其质量小到了一定程度，它就会形成黑洞。形成黑洞所需要的质量和半径的关系由所谓的Schwarzschild半径给出，它是通过解Einstein方程得到的解：r s =2Gmc 2 ，其中G和c仍是万有引力常数和光速，m是质量。当质量为m的物体的半径小于Schwarzschild半径时它就成了一个黑洞。
另一方面，基本的量子力学知识告诉我们一个物体的de Broglie波长为：λ=2πℏp ，其中p为动量。
量子引力极限的估计是这样的：当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当时，那么对这个物体的研究就必须知道黑洞内部要如何描述，即现有的一切物理理论都失效了，必须使用量子引力论来处理（而自洽的量子引论人类还没有建立起来）。联立Schwarzschild半径与de Broglie波长的表达式让他们相等，再加上质能关系E=mc^2和极端相对论性条件E=pc，就可以解出这个长度究竟是多大了。忽略掉并不改变数量级的常数之后，得到的结果正是：普朗克长度。普朗克时间的计算其实只要由普朗克长度除以c就可以得到。
如此一来，我们就已经清楚普朗克长度和普朗克时间的物理意义了：它确确实实是宇宙时空的最小分辨率，如果想探测比这更小的时空，你所使用的能量会如此之高以至于它自己会形成一个黑洞。
不过其实时空到底是分立的还是连续的，对人类生活一点影响都没有。普朗克长度和普朗克时间实在是太小太小，以至于夸克和电子的尺度都比它要大好几十个数量级呢。
我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分激进的理论物理学家的确是这么认为的，我也很认同这种观点。分立的时空格子的尺度，被称作普朗克长度和普朗克时间。首先给出它们的表达式和大小吧：
普朗克长度：
普朗克时间：
其中
首先要知道的是，目前描述我们这个宇宙的最基本最底层的理论之一是量子场论，而我们有很充分的理由相信，量子场论里存在一个物理的能量截断，即量子场论只有在能量低于这个截断能量的时候才有意义。这一段后半部分的内容直接摘抄自刘川的量子场论讲义：对于一个有相互作用的量子场论来说，由于量子涨落的“虚过程”可以在任意能动量发生，因此，如果理论不存在某种能动量截断，那么由于长是互相作用的，一个低能动量的模式就可以通过虚过程与无穷高能动量的模式发生相互作用，这就造成了场论中的“紫外发散”（即计算得到的结果是无穷大）。而如果量子场论中存在一个物理的能动量截断，它就可以保证所有的量都不发散。这个截断的具体形式其实对于远低于截断能标的物理来说并不重要，因为低能区的物理对截断的形式并不敏感。重要的是，这个截断是存在的，而且它是相互作用量子场论不可或缺的组成部分。
然后，根据不确定性关系这一量子力学的基本原理，
能动量存在着一个上截断，就意味着时空存在着一个下截断。即空间存在最小分辨率。
以上从量子场论的角度，分析了这样一个时空最小分辨率的存在性，但是并没有给出它的具体形式。其具体表达式则是由宇宙学中对量子引力极限的估计给出的。
众所周知，如果一个物体的半径相对于其质量小到了一定程度，它就会形成黑洞。形成黑洞所需要的质量和半径的关系由所谓的Schwarzschild半径给出，它是通过解Einstein方程得到的解：
另一方面，基本的量子力学知识告诉我们一个物体的de Broglie波长为：
量子引力极限的估计是这样的：当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当时，那么对这个物体的研究就必须知道黑洞内部要如何描述，即现有的一切物理理论都失效了，必须使用量子引力论来处理（而自洽的量子引论人类还没有建立起来）。联立Schwarzschild半径与de Broglie波长的表达式让他们相等，再加上质能关系E=mc^2和极端相对论性条件E=pc，就可以解出这个长度究竟是多大了。忽略掉并不改变数量级的常数之后，得到的结果正是：普朗克长度。普朗克时间的计算其实只要由普朗克长度除以c就可以得到。
如此一来，我们就已经清楚普朗克长度和普朗克时间的物理意义了：它确确实实是宇宙时空的最小分辨率，如果想探测比这更小的时空，你所使用的能量会如此之高以至于它自己会形成一个黑洞。
不过其实时空到底是分立的还是连续的，对人类生活一点影响都没有。普朗克长度和普朗克时间实在是太小太小，以至于夸克和电子的尺度都比它要大好几十个数量级呢。
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