确实的，正如光明显出了它自身，也显出了黑暗一样，于是，真理是它自身的标准，也是谬误的标准。
——斯宾诺莎《伦理学》第二部分，命题43
40. 遗传物质的一般图景
根据这些事实，可以很简单地回答我们的问题，就是说：由少量原子组成的这些结构，能否长时间地经受住象遗传物质不断受到的那种热运动的干扰影响？我们将假定一个基因的结构是一个巨大的分子，只能发生不连续的变化，这种变化是在于原子的重新排列并导致一种同分异构的分子。这种重新排列也许只影响到基因中的一小部分区域，大量的各种不同的重新排列也许是可能的。从任何可能的同分异构体中，把实际的构型分离出来的阈能一定是很高的（这是同一个原子的平均热能相比），以致使这种变化成为一种罕有事件。这种罕有事件我们认为就是自发突变。
本章的以后几部分将致力于检验基因和突变的一般描述（主要应归功于德国物理学家M.德尔勃留克），把它同遗传学事实作详细的比较。在此之前，我们可以对这一理论的基础和一般性质适当地作些评论。
41. 图景的独特性
为生物学问题去穷根究底，并把图景建立在量子力学的基础之上，这是绝对必要的吗？基因是一个分子，这样的猜测，我敢说，在今天已是老生常谈了。不管他是不是熟悉量子论，不同意这种猜测的生物学家是很少的了。在第32节中，我们大胆地适用了量子论问世以前的物理学家的语言，作为观察到的不变性的唯一合理的解释。随后是关于同分异构性，阈能，W:kT在决定同分异构体变化几率中的重要作用等因素的理由——所有这一切理由，都可以在纯粹经验的基础上很好地加以说明；不管怎样，反正都不是来源于量子论的。既然在这本小册子里，我不能真正地把它讲清楚，而且还可能使许多读者感到厌烦，那我为什么还要如此强烈地坚持量子力学的观点呢？
量子力学是根据一些最好的原理来说明自然界中实际碰到的、原子的各种集合体的第一个理论方法。海特勒－伦敦键是这个理论的一个独特的特点，但是这个理论并不是为了解释化学键而发明的。它是以一种十分有趣而且费解的方式出现的，是根据完全不同的理由强加给我们的。现已证明，这个理论同观察到的化学事实是十分吻合的，而且，正如我所说的，这是一个独特的特点，由于对这个特点有足够的了解，所以可以相当肯定地说，在量子论的进一步发展中，“不可能再发生这样的事情了”。
因此，我们可以满有把握地断言，除了遗传物质的分子解释外，不再有别的解释了。在物理学方面不再有别的可能性可以解释遗传物质的不变性。如果德尔勃留克的描述是不管用的，那么，我们将不得不放弃作进一步的尝试。这是我想说明的第一点。
42. 一些传统的错误概念
但是，也许可以问：除了分子以外，难道真的就没有由原子构成的、其他的可以持久的结构了吗？比如，埋在坟墓里一、二千年的一枚金币，难道不是保留着印在它上面的人像的模样吗？这枚金币确实是由大量原子构成的，但在这个例子中，我们肯定不会把这种形象的保存归因于巨大数字的统计。这种说法同样也适用于我们发现蕴藏在岩石里的、经过几个地质时代而没有发生变化的一批明莹的晶体。
这就引出了我要说明的第二点。一个分子，一个固体，一块晶体的情况并没有真正的差别。从现代的知识来看，它们实质上是相同的。不幸的是，学校的教学中还保持着好多年前就已过时了的传统观念，从而模糊了对实际事态的了解。
其实，我们在学校里学到的有关分子的知识，并没有讲到分子对固态的相似程度比对液体或气态更为接近的观点。相反，教给我们的是要仔细地区分物理变化和化学变化；物理变化如熔化或蒸发，在这种变化中，分子是保持着的（比如酒精，不管它是固体、液体还是气体，总是由相同的分子C2H6O组成的）。化学变化如酒精的燃烧，在那里，一个酒精分子同三个氧分子经过重新排列生成了二个二氧化碳分子和三个水分子。
关于晶体，我们学到的是它们形成了周期性的三向堆叠的晶格，晶格里的单个分子的结构有时是可以识别的，酒精和许多有机化合物就是如此；在其他的晶体中，比如岩盐（氯化钠，NaCl），氯化钠分子是无法明确地区分界限的，因为每个钠原子被六个氯原子对称地包围着，反过来也是如此；所以说，如果有钠氯原子对的话，那么，不管哪一对都可以看作是氯化钠分子的组成。
最后，我们还学到，一个固体可以是晶体，也可以不是晶体，后一种情况，我们称之为无定形的固体。
43. 物质的不同的“态”
目前，我还没有走得那么远，想把所有这些说法和区别都说成是错误的。它们在实际应用中往往是有用的。但在物质结构的真实性方面，必须用完全不同的方法划清一些界限。基本的区别在下面的“等式”的等号之间：
分子＝固体＝晶体
气体＝液体＝无定形的固体
对这些说法，我们必须作简要的说明。所谓无定形的固体，要么不是真正的无定形，要么不是真正的固体。在“无定形的”木炭纤维里，X射线已经揭示出石墨晶体的基本结构。所以，木炭是固体，但也是晶体。在我们还没有发现晶体结构的地方，我们必须把它看作是“粘性”（内摩擦）极大的一种液体。这样一种没有确定熔化温度和熔化潜热的物质，表明它不是一种真正的固体。将它加热时，它逐渐地软化，最后液化而不存在不连续性（我记得在第一次世界大战末期，在维也纳曾经有人给我们象沥青那样的东西作为咖啡的代用品。它是这么硬，必须在它出现光滑的贝壳似的裂口时，用凿子或斧头把它砸成碎片。可是，过一段时间后，它会变成液体，如果你很蠢地把它搁上几天，它就会牢牢地粘在容器的底部）。
气态和液体的连续性是非常熟悉的事情。可以用“围绕”所谓临界点的方法，使任何一种气体液化，也就没有什么不连续性。但这个问题我们在这里不准备多谈了。
44. 真正重要的区别
这样，上述图式中除了主要之点外，我们都已证明是有道理的；这个主要之点就是我们想把一个分子看成是一种固体＝晶体。
这一点的理由是，把一些原子，不管它有多少，结合起来组成分子的力的性质，同把大量原子结合起来组成真正的固体——晶体的力的性质是一样的。分子表现出同晶体一样的结构稳固性。要记住，我们正是从这种稳固性来说明基因的不变性的！
物质结构中真正重要的区别在于原子是不是被那种“起稳固作用的”海特勒－伦敦力结合在一起。在固体中和在分子中，原子是这样结合的。在单原子的气体中（比如水银蒸气），它们就不是那样了。在分子组成的气体中，只是在每个分子中，原子才是以这种方式结合在一起的。
45. 非周期性的固体
一个很小的分子也许可以称为“固体的胚”。从这样一个小的固体胚开始，看来可以有两种不同的方式来建造愈来愈大的集合体。一种是在三个方向上一再重复同一种结构的、比较乏味的方式。这是一个正在生长中的晶体所遵循的方式。周期性一旦建立后，集合体的大小就没有一定的限度了。另一种方式不用那种乏味的重复的图样，而是建造愈来愈扩大的集合体。那就是愈来愈复杂的有机分子，这种分子里的每一个原子，以及每一群原子都起着各自的作用，跟其他的原子起的作用（比如在周期性结构里的原子）是不完全相同的。我们可以恰当地称之为一种非周期性的晶体或固体，并且可以用这样的说法来表达我们的假说：我们认为，一个基因——也许是整个染色体纤丝——是一种非周期性的固体。
46. 压缩在微型密码里的内容的多样性
经常会碰到这样的问题：象受精卵细胞核这样小的物质微粒，这么能包含了涉及有机体未来的全部发育的精细的密码正本呢？一种赋予足够的抗力来永久地维持其秩序的、秩序井然的原子结合体，看来是一种唯一可以想象的物质结构，这种物质结构提供了各种可能的（“异构的”）排列，在它的一个很小的空间范围内足以体现出一个复杂的“决定”系统。真的，在这种结构里，不必有大量的原子就可产生出几乎是无限的可能的排列。为了把问题讲清楚，就想到了莫尔斯密码。这个密码用点（“?”）、划（“－”）两种符号，如果如果每一个组合用的符号不超过四个，就可以编成三十种不同的代号。现在如果你在点划之外再加上第三种符号，每一个组合用的符号不超过十个，你就可以编出88572个不同的“字母”；如果用五种符号，每一个组合用的符号增加到25个，那编出的字母可以有37529846191405个。
可能有人会不同意，他们认为这个比喻是有缺点的，因为莫尔斯符号可以有各种不同的组合（比如，?－－和??－）因此与同分异构体作类比是不恰当的。为了弥补这个缺点，让我们从第三种情况中，只挑出25个符号的组合，而且只挑出由五种不同的符号、每种符号都是五个所组成的那种组合（就是由五个点，五个短划……等组成的组合）。粗粗地算一下，组合数是62330000000000个，右边的几个零代表什么数字，我不想化气力去算它了。
当然，实际情况决不是原子团的“每一种”排列都代表一种可能的分子；而且，这也不是任意采用什么样的密码的问题，因为密码正本本身必定是引起发育的操纵因子。可是，另一方面，上述例子中选用的数目（25个）还是很少的，而且我们也只不过设想了在一条直线上的简单排列。我们希望说明的只不过是，就基因分子的图式来说，微型密码是丝毫不错地对应于一个高度复杂的特定的发育计划，并且包含了使密码发生作用的手段，这一点已经不再是难以想象的了。
47. 与事实作比较：稳定性的程度；突变的不连续性
最后，让我们用生物学的事实同理论的描述作比较。第一个问题显然是理论描述能否真正说明我们观察到的高度不变性。所需要的阈值数量－－平均热能kT的好多倍－－是合理的吗？是在普通化学所了解的范围之内吗？这些问题是很寻常的，不用查表据可肯定地回答。化学家能在某一温度下分离出来的任何一种物质的分子，在那个温度下至少有几分钟的寿命（这是说得少一点，一般说来，它们的寿命要长得多）。这样，化学家碰到的阈值，必定正好就是解释生物学家可能碰到的那种不变性所需要的数量级；因为根据第36节的描述，我们会记得在大约1:2的范围内变动的阈值，可以说明从几分之一秒到几万年范围内的寿命。
为了今后的参考，我提一些数字。第36节的例子里提到的W/kT之比，是：W/kT=30,50,60，分别产生的寿命是1/10秒，16个月，30000年。在室温下，对应的阈值是0.9，1.5，1.8电子伏。必须解释一下“电子伏”这个单位，这对物理学家来说是很方便的，因为它是可以具体化的。比如，第三个数字（1.8）就是值被2伏左右的电压所加速的一个电子，将获得正好是足够的能量去通过碰撞而引起转变（为了便于作比较，一个普通的袖珍手电筒的电池有3伏）。
根据这些理由可以想象到，由振动能的偶然涨落所产生的、分子某个部分中的构型的一种异构变化，实际上是十足的罕有事件，这可以解释为一次自发突变。因此，我们根据量子力学的这些原理，解释了关于突变的最惊人的事实，正是由于这个事实，突变才第一次引起了德弗里斯的注意，就是说，突变是不出现中间形式的，而是“跃迁式”的变异。
48. 自然选择的基因的稳定性
在发现了任何一种电离射线都会增加自然突变率以后，人们也许会认为自然率起因于土壤和空气中的放射性，以及宇宙射线。可是，与X射线的结果作定量的比较，却表明“天然辐射”太弱了，只能说明自然率的一小部分。
倘若我们用热运动的偶然的涨落来解释罕有的自然突变，那么，我们就不会感到太惊奇了，因为自然界已成功地对阈值作出了巧妙的选择，这种选择必然使突变成为罕见的。因为频繁的突变对进化是有害的，这是在前几节中已经得出的结论。一些通过突变得到不很稳定的基因构型的个体，它们那些“过分频繁的”、迅速地在发生突变的后代能长期生存下去的机会是很小的。物种将会抛弃这些个体，并将通过自然选择把稳定的基因集中起来。
49. 突变体的稳定性有时是较低的
至于在我们的繁育试验中出现的、被我们选来作为突变体以研究其后代的那些突变体，当然不能指望它们都表现出很高的稳定性。因为它们还没有经受过“考验”－－或者，如果说是已经受过“考验”了，它们却在野外繁殖时被“抛弃”了－－可能是由于突变可能性太高的缘故。总而言之，当我们知道有些突变体的突变可能性比正常的“野生”基因要高得多的时候，我们是一点也不感到奇怪的。
50. 温度对不稳定基因的影响小于对稳定基因的影响
这一点使我们能够检验我们的突变可能性的公式：t=cEXP(W/kT)（我们还记得，t是对于具有阈能W的突变的期待时间。）我们问：t是如何随温度而变化的？从上面的公式中，我们很容易找到温度为T+10时的t值同温度为T时的t值之比的近似值＝EXP(-10W/kT)。
指数是负数，比率当然小于1。温度上升则期待时间减少，突变可能性就增加。现在可以检验了，而且已经在果蝇受得了的温度范围内，用果蝇作了检验。乍看起来，这个结果是出乎意料的。野生基因的低的突变可能性明显地提高了，可是一些已经突变了的基因的较高的突变可能性却并未增加，或者说，增加很少。这种情况恰恰是我们在比较两个公式时预期到的。根据第一个公式，要想使t增大（稳定的基因）就要求W/kT的值增大；而根据第二个公式，W/kT的值增大了，就会使算出来的比值减小，就是说，突变可能性将随着温度而有相当的提高。（实际的比值大约在1/2到1/5之间。其倒数2－5是普通化学反应中所说的范霍夫因子。）
51. X射线是如何产生突变的
现在转到X射线引起的突变率，根据繁育试验我们已经推论出，第一（根据突变率和剂量的比例），一些单一事件引起了突变；第二（根据定量的结果，以及突变率取决于累积的电离密度而同波长无关的事实），为了产生一个特定的突变，这种单一事件必定是一个电离作用，或类似的过程，它又必须发生在只有大约边长10个厘米距离的立方体之内。根据我们的描述，克服阈值的能量一定是由爆炸似的过程，如电离或激发过程所供给的。我所以称它为爆炸似的过程，是因为一个电离作用花费的能量（顺便说一下，并不是X射线本身花费的，而是它产生的次级电子所耗用掉的），有30个电子伏，大家很清楚，这是相当大的。这样，在放电点周围的热运动必定是大大地增加了，并且以原子强烈振动的“热波”形式从那里散发出来。这种热波仍能供给大约10个原子距离的平均“作用范围”内所需的一、二个电子伏的阈能，这也不是不可想象的。话虽这么说，一个没有偏见的物理学家也许会预料到，存在着一个更小的作用范围。在许多情况下，爆炸的效应将不是一种正常的异构转变，而是染色体的一种损伤，通过巧妙的杂交，使得没有受到损伤的那条染色体（即第二套染色体中与受损伤的染色体对应配对的那一条），被相应位点上的基因是病态的一条染色体所替换时，这种损伤就是致死的。所有这一切，全是可以预期的，而且观察到的也确是如此。
52. X射线的效率并不取决于自发的突变可能性
其他一些特性，如果并没有象图式所预言的那样出现，那么，供给上面讲的致死损伤也就容易理解了。例如，一个不稳定的突变体的X射线突变率，平均起来并不高于稳定的突变体。现在，就拿供给30个电子伏那里的爆炸来说，所需的阈能不管是大还是小，比如说，1伏或1.3伏，你肯定不能指望30个电子伏会造成许多差别。
53. 回复突变
有些情况下，转变是从两个方向上来研究的，比如说，从一个确定的“野生”基因变到一个特定的突变体，再从那个突变体变回到野生基因。这种情况下，自然突变率有时几乎是相等的，有时却又很不相同。乍看起来，这是难以理解的，因为这两种情况下要克服的阈似乎是相等的。可是，它当然不是这种情况，因为它必须根据开始时的构型的能级来计算，而且野生基因和突变基因的能级可能是不同的。
总之，我认为德尔勃留克的“模型”是经得起检验的，我们有理由在进一步的研究中应用它。
肉体不能决定灵魂去思维，灵魂也不能决定肉体去运动、静止或从事其他活动。
——斯宾诺莎《伦理学》第三部分，命题2
54. 从模型得出的一个值得注意的一般结论
让我引用第46节最后的一句话，在那句话里，我试图说明的是，根据基因的分子图来看，“微型密码同一个高度复杂而特定的发育计划有着一对一的对应关系，并包含着使密码发生作用的手段”，这至少是可以想象的。这很好，那么它又是如何做到这一点的呢？我们又如何从“可以想象的”变为真正的了解呢？
德尔勃留克的分子模型，在它整个概论中似乎并未暗示遗传物质是如何起作用的。说实话，我并不指望在不久的将来，物理学会对这个问题提供任何详细的信息。不过，我确信，在生理学和遗传学指导下的生物化学，正在推进这个问题的研究，并将继续进行下去。
根据上述对遗传物质结构的一般描述，还不能显示出关于遗传机制的功能的详细信息。这是显而易见的。但是，十分奇怪的是，恰恰是从它那里得出了一个一般性的结论，而且我承认，这是我写这本书的唯一动机。
从德尔勃留克的遗传物质的概述中可以看到，生命物质在服从迄今为止已确定的“物理学定律”的同时，可能还涉及到至今还不了解的“物理学的其他定律”，这些定律一旦被揭示出来，将跟以前的定律一样，成为这门科学的一个组成部分。
55. 秩序基础上的有序
这是一条相当微妙的思路，不止在一个方面引起了误解。本书剩下的篇幅就是要澄清这些误解。在以下的考虑中，可以看到一种粗糙的但不完全是错误的初步意见：
我们所知道的物理学定律全是统计学定律，这在第一章里已作了说明。这些定律同事物走向无序状态的自然倾向是大有关系的。
但是，要使遗传物质的高度持久性同它的微小体积协调一致，我们必须通过一种“虚构的分子”来避免无序的倾向。事实上，这是一种很大的分子，是高度分化的秩序的杰作，是受到了量子论的魔法保护的。机遇的法则并没有因这种“虚构”而失效，不过，它们的结果是修改了。物理学家很熟悉这样的事实，即物理学的经典定律已经被量子论修改了，特别是低温情况下。这样的例子是很多的。看来生命就是其中一例，而且是一个特别惊人的例子。生命似乎是物质的有序和有规律的行为，它不是完全以它的从有序转向无序的倾向为基础的，而是部分地基于那种被保持着的现存秩序。
对于物理学家－－仅仅是对他来说－－我希望，这样说了以后，能更清楚地讲明我的观点，即生命有机体似乎是一个宏观系统，它的一部分行为接近于纯粹机械的（与热力学作比较），当温度接近绝对零度，分子的无序状态消除的时候，所有的系统都将趋向于这种行为。
非物理学家发现，被他们作为高度精确的典范的那些物理学定律，竟以物质走向无序状态的统计学趋势作为基础，感到这是难以相信的。在第一章里，我已举过一个例子。涉及到的一般原理就是有名的热力学第二定律（熵的原理），以及它的同样有名的统计学基础。在第56到60节里，我想扼要地说明熵的原理对一个生命有机体宏观行为的意义－－这时完全可以忘掉关于染色体、遗传等已经了解的东西。
56. 生命物质避免了趋向平衡的衰退
生命的特征是什么？一块物质什么时候可以说是活的呢？那就是当它继续在“做某些事情”，运动，新陈代谢，等等，而且可以指望它比一块无生命物质在相似情况下“维持生活”的时间要长得多。当一个不是活的系统被分离出来，或是放在一个均匀的环境里的时候，由于各种摩擦阻力的结果，所有的运动往往立即陷于停顿；电势或化学势的差别消失了，倾向于形成化学化合物的物质也是这种情况，温度由于热的传导而变得均一了。在此以后，整个系统衰退成死寂的、无生气的一团物质。这就达到了一种永恒不变的状态，不再出现可以观察到的事件。物理学家把这种状态称为热力学平衡，或“最大值的熵”。
实际上，这种状态经常是很快就达到的。从理论上来说，它往往还不是一种绝对的平衡，还不是熵的真正的最大值。最后达到平衡是十分缓慢的。它可能是几小时、几年、几个世纪……。举一个例子，这是接近平衡还算比较快的一个例子：倘若一只玻璃杯盛满了清水，第二只玻璃杯盛满了糖水，一起放进一只密封的、恒温的箱子里。最初好象什么也没有发生，产生了完全平衡的印象。可是，隔了一天左右以后，可注意到清水由于蒸汽压较高，慢慢地蒸发出来并凝聚在糖溶液上。糖溶液溢出来了。只有当清水全部蒸发后，糖才达到了均匀地分布在所有水中的目的。
这些最后是缓慢地向平衡的趋近，决不能误认为是生命。在这里我们可以不去理会它。只是为了免得别人指责我不够准确，所以我才提到它。
57. 以“负熵”为生
一个有机体能够避免很快地衰退为惰性的“平衡”态，似乎成了如此难解之谜，以致在人类思想的最早时期，曾经认为有某种特殊的非物质的力，或超自然的力（活力，“隐得来希”）在有机体里起作用，现在还有人是这样主张的。
生命有机体是怎样避免衰退的呢？明白的回答是：靠吃、喝、呼吸以及（植物是）同化。专门的术语叫“新陈代谢”。这词来源于希腊字，意思是变化或交换。交换什么呢？最初的基本观点无疑是指物质的交换（例如，新陈代谢这个词在德文里就是指物质的交换）。认为物质的交换应该是本质的东西的说法是荒谬的。氮、氧、硫等的任何一个原子和它同类的任何另一个原子都是一样的，把它们进行交换又有什么好处呢？过去有一个时候，曾经有人告诉我们说，我们是以能量为生的。这样，使我们的好奇心暂时地沉寂了。在一些很先进的国家（我记不清是德国还是美国，或者两个国家都是）的饭馆里，你会发现菜单上除了价目而外，还标明了每道菜所含的能量。不用说，这简直是很荒唐的。因为一个成年有机体所含的能量跟所含的物质一样，都是固定不变的。既然任何一个卡路里跟任何另一个卡路里的价值是一样的，那么，确实不能理解纯粹的交换会有什么用处。
在我们的食物里，究竟含有什么样的宝贵东西能够使我们免于死亡呢？那是很容易回答的。每一个过程、事件、事变－－你叫它们什么都可以，一句话，自然界中正在进行着的每一件事，都是意味着它在其中进行的那部分世界的熵的增加。因此，一个生命有机体在不断地增加它的熵－－你或者可以说是在增加正熵－－并趋于接近最大值的熵的危险状态，那就是死亡。要摆脱死亡，就是说要活着，唯一的办法就是从环境里不断地汲取负熵，我们马上就会明白负熵是十分积极的东西。有机体就是赖负熵为生的。或者，更确切地说，新陈代谢中的本质的东西，乃是使有机体成功地消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部的熵。
58. 熵是什么？
熵是什么？我首先要强调指出，这不是一个模糊的概念或思想，而是一个可以计算的物理学的量，就象是一根棍棒的长度，物体的任何一点上的温度，某种晶体的熔化热，以及熔化一种物体的比热等。在温度处于绝对零度时（大约在-273℃），任何一种物体的熵等于零。当你以缓慢的、可逆的、微小的变化使物体进入另一种状态时（甚至因此而使物体改变了物理学或化学的性质，或者分裂为两个或两个以上物理学或化学性质不同的部分），熵增加的总数是这样计算的：在那个步骤中你必须供给的每一小部分热量，除以供给热量时的绝对温度，然后把所有这些求得的商数加起来。举一个例子，当你熔解一种固体时，它的熵的增加数就是：熔化热除以熔点温度。由此，你可看到计算熵的单位是卡/度（摄氏）（就象卡是热量的单位或厘米是长度的单位一样）。
59. 熵的统计学意义
为了消除经常笼罩在熵上的神秘气氛，我已简单地谈到了这个术语的定义。这里对我们更为重要的是有序和无序的统计学概念的意义，它们之间的关系已经由玻尔兹曼和吉布斯在统计物理学方面的研究所揭示。这也是一种精确的定量关系，它的表达式是：熵＝klogD，k是所谓的玻尔兹曼常数（＝3.2983E-24卡/℃），D是有关物质的原子无序状态的数量量度。要用简短的非专业性的术语对D这个量作出精确的解释几乎是不可能的。它所表示的无序，一部分是那种热运动的无序，另一部分是存在于随机混合的、不是清楚地分开的各种原子或分子中间的无序。例如，上面例子中的糖和水的分子。这个例子可以很好地说明玻尔兹曼的公式。糖在所有水面上逐渐地“溢出”就增加了无序D，从而增加了熵（因为D的对数是随D而增加的）。同样十分清楚的是，热的任何补充都是增加热运动的混乱，就是说增加了D，从而增加了熵。为什么应该是这样情况呢？只要看下面的例子就更加清楚了，那就是，当你熔化一种晶体时，因为你由此而破坏了原子或分子的整齐而不变的排列，并把晶格变成了连续变化的随机分布了。
一个孤立的系统，或一个在均匀环境里的系统（为了目前的考虑，我们尽量把它们作为我们所设想的系统的一部分），它的熵在增加，并且或快或慢地接近于最大值的熵的惰性状态。现在我们认识到，这个物理学的基本定律正是事物接近混乱状态的自然倾向（这种倾向，跟写字台上放着一大堆图书、纸张和手稿等东西表现出的杂乱情况是同样的），除非是我们在事先预防它。（在这种情况下，同不规则的热运动相类似的情况是，我们不时地去拿那些图书杂志等，但又不肯化点力气去把它们放回原处。）
60. 从环境中引出“有序”以维持组织
一个生命有机体通过不可思议的能力来推迟趋向热力学平衡（死亡）的衰退，我们如何根据统计学理论来表达呢？我们在前面说过：“以负熵为生”，就象是有机体本身吸引了一串负熵去抵消它在生活中产生的熵的增加，从而使它自身维持在一个稳定的而又很低的熵的水平上。
假如D是无序的度量，它的倒数1/D可以作为有序的一个直接度量。因为1/D的对数正好是D的负对数，玻尔兹曼的方程式可以写成这样：负熵＝klog(1/D)。
因此，“负熵”的笨拙的表达可以换成一种更好一些的说法：取负号的熵，它本身是有序的一个量度。这样，一个有机体使它本身稳定在一个相当高的有序水平上（等于熵的相当低的水平上）的办法，确实是在于从它的环境中不断地吸取秩序。这个结论比它初看起来要合理些。不过，可能由于相当繁琐而遭到责难。其实，就高等动物而言，我们是知道这种秩序的，它们是完全以此为生的，就是说，被它们作为食物的、复杂程度不同的有机物中，物质的状态是极有序的。动物在利用这些食物以后，排泄出来的是大大降解了的东西，然而不是彻底的分解，因为植物还能利用它。（当然，植物在日光中取得“负熵”的最有力的供应）
如果一个人从不自相矛盾的话，一定是因为他从来什么也不说。——乌那木诺
61. 在有机体中可以指望有新的定律
总之，在这最后一章中我希望阐明的是，根据我们已知的关于生命物质的结构，我们一定会发现，它的活动方式是无法归结为物理学的普遍定律的。这不是由于有没有什么“新的力量”在支配着生命有机体内单一原子的行为，只是因为它的构造同迄今在物理实验室中试验过的任何东西都是不一样的。浅显地说，一位只熟悉热引擎的工程师，在检查了一台电动机的构造以后，会发现它是按照他还没有懂得的原理在工作的。他会发现，他很熟悉的制锅用的铜，在这里却成了很长的铜丝绕成了线圈；他还会发现，他很熟悉的制杠杆和汽缸的铁，在这里却是嵌填在那些铜线圈的里面。他深信这是同样的铜和同样的铁，服从于自然界的同样的规律，这一点他是对的。可是，不同的构造却给他准备了一种全然不同的作功方式。他是不会认为电动机是由幽灵驱动的，尽管它不用蒸汽只要按一下开关就运转起来了。
62. 生物学状况的评述
在有机体的生命周期里展开的事件，显示出一种美妙的规律性和秩序性，我们碰到过的任何一种无生命物质都是无法与之匹敌的。我们发现，它是受一群秩序性最高的原子所控制的，在每个细胞的原子总数里，这种原子团只占了很小的一部分。而且，根据我们已经形成的关于突变机制的观点，我们断定，在生殖细胞的“占统治地位的原子”团里，只要很少一些原子的位置发生移动，就能使有机体的宏观的遗传性状中出现一个明显的改变。
这些事实无疑是当代科学所揭示的最感兴趣的事实。我们也许会发现它们终究还不是不能接受的。一个有机体在它自身集中了“秩序之流”，从而避免了衰退到原子混乱－－从合适的环境中“吸取秩序”－－这种惊人的天赋似乎同“非周期性固体”，即染色体分子的存在有关。这种固体无疑代表了我们所知道的最高级的有序的原子集合体－－比普通的周期性晶体的有序高得多－－它是靠每个原子和每个自由基在固体里发挥各自的作用。
简单地说，我们亲眼看到了现存的秩序显示了维持自身和产生有序事件的能力。这种说法听上去似乎是很有道理的。然而它之所以似乎有道理，无疑地是由于我们汲取了有关社会组织的经验和涉及到有机体活动的其他事件的经验。所以，它有点象一种恶性循环的论证。
63. 物理学状况的综述
不管怎样，必须反复强调的一点是，对于物理学家来说，这种事态非但不是似乎有道理的，而且是最令人鼓舞的，因为它是新奇的。同一般的看法相反，受物理学定律支配的事件的有规律的进程，决不是原子的一种高度有序的构型的结果－－除非原子构型本身不象在周期性晶体里，也不象在由大量相同分子组成的液体或气体里那样地多次重复。
甚至在化学家离体处理一种很复杂的分子时，还总是面临着大量的同样的分子。他把化学定律应用于这些分子。比如，他会告诉你，在某个开始了一分钟以后，有一半的分子起了反应，二分钟后四分之三的分子起了反应。可是，你如果能盯住某一个分子的进程，化学家也就无法预言这个分子究竟是在起了反应的分子中间，还是在还没有起反应的分子中间。这纯粹是个机遇的问题。
这并不是一种纯理论性的推测。也不是说我们永远无法观察到一小群原子，或者甚至是单个原子的命运。有时我们是能观察到的，只有平均统扯一下才能产生规则性。第一章里我们举过一个例子。悬浮在液体中的一颗微粒的布朗运动，是完全不规则的。可是，如果有许多同样的微粒，它们将通过不规则的运动引起有规则的扩散现象。
单个放射性原子的蜕变是观察得到的（它发射出一粒“子弹”，在荧光屏上会引起一次可见的闪烁现象）。可是，如果把单个放射性原子给你，它可能的寿命比一只健康的麻雀要短得多。真的，关于单个放射性原子只能这样说：只要它活着（而且可能活几千年），它在下一秒钟里毁灭的机会，不管机会是大还是小，总是相同的。这种明显地不存在单个的决定，结果还是产生了大量的、同一种放射性原子衰变的精确的指数定律。
64. 明显的对比
在生物学中，我们面临着一种完全不同的状况。只存在于一个副本中的单个原子团有秩序地产生了一些事件，并根据最微妙的法则，在相互之间以及同环境之间作难以置信的的调整。我说只存在于一个副本中，是因为我们毕竟还有卵和单细胞有机体的例子。在高等生物发育的以后阶段里，副本增多了，那是确实的。可是，增加到什么程度呢？我知道，在长成的哺乳动物中有的可达10的14次方。那是多少呢？只有一立方吋空气中的分子数目的百万分之一。数量虽然相当大，可是聚结起来时它们只不过形成了一小滴液体。你再看看它们实际分布的方式吧。每一个细胞正好容纳了这些副本中的一个（或二个，如果我们还记得二倍体），既然我们知道这个小小的中央机关的权力是在孤立的细胞里，那么，每个细胞难道不象是用共同的密码十分方便地互通消息的、遍布全身的地方政府的分支机构吗？
这真是个异想天开的描述，有点象出自诗人的而不是科学家的手笔。然而，这并不需要诗人的想象，而只需要有明确而严肃的科学反映去认识我们现在面对着的事件，就是说，指挥这些事件有秩序地、有规则地展开的“机制”同物理学的“概率机制”完全是两码事。这些还只不过是观察到的事实而已，即每个细胞中的单个原子集合体之中，现在一份（有时是两份）副本中的单个原子集合体之中，而且它产生的事件却是有序的典范。对此，我们感到惊异也罢，认为它好象很有道理也罢，反正一个很小的可是高度组织化的原子团是能够以这种方式起作用的，这是新奇的情况，是生命物质以外任何地方都还不知道有的情况。研究无生命物质的物理学家和化学家们，从来没有看到过他们必须按这种方式来进行解释的现象。正因为以前没有提出过这种事例，所以我们的漂亮的统计学理论没有包括它，我们的统计学理论是很值得骄傲的，因为它使我们看到了幕后的东西，使我们注意到从原子和分子的无序中提出精确的物理学定律的庄严的有序；还因为它揭示了最重要的、最普遍的、无所不包的熵增加的定律是无需特殊的假设就可以理解的，因为熵并非别的东西，只不过是分子本身的无序而已。
65. 产生有序的两种方式
在生命的发展中遇到的秩序性有不同的来源。有序事件的产生，看来有两种不同的“机制”：“有序来自无序”的“统计学机制”，和“有序来自有序”的一种新机制。对于没有偏见的人来说，第二个原理似乎简单得多，合理得多。这是无疑的。正因为如此，所以物理学家是如此自豪地赞成另一种方式，即赞成“有序来自无序”的原理。在自然界中，不仅实际上是遵循这个原理，而且只有这个原理才使我们理解自然界事件的长期发展，首先是理解这种发展的不可逆性。可是，我们不能指望由此得出的“物理学定律”能直截了当地解释生命物质的行为，因为这些行为的最惊人的特点，是明显地主要以“有序来自有序”的原理为基础的。你不能指望两种全然不同的机制会提出同一种定律，正象你不能指望用你的弹簧锁钥匙去开你邻居的门。
因此，我们不必因为物理学的普遍定律难以解释生命而感到沮丧。因为根据我们对生命物质结构的了解，这正是预料中的情况。我们必须准备去发现在生命物质中、占支配地位的新的物理学定律。这种定律，我们姑且不称它是一种超物理学定律，可是难道能称之为非物理学定律吗？
66. 新原理并不违背物理学
不，我不那么想。因为这个涉及到的新原理是真正的物理学原理：在我看来，这不是别的原理，只不过是量子论原理的再次重复。要说明这一点，我们就要说得详细些，包括对前面作出的所有物理学定律全以统计学为基础的论断作一番推敲，但不是作修正。
这个一再重复的论断，是不可能不引起矛盾的。因为确实有很多现象，它们许多突出的特点是明显地直接以“有序来自有序”的原理为基础的，并且同统计学和分子的无序看来是毫无关系的。
太阳系的秩序，行星的运动，几乎是无限期地维持着。此时此刻的星座是同金字塔时代的任何一个具体时刻的星座一脉相承的；从现在的星座可以追溯到那时的星座，反过来也是如此。曾经预测过历史上的日食和月食，并且发现这种预测同历史上的记载几乎是完全符号的，在某些情况下，甚至用来校正公认的年表。这些预测不包括任何一种统计学，它们是以牛顿的万有引力定律作为唯一的依据的。
一台好的时钟，或者任何类似的机械装置的有规则运动，似乎跟统计学是无关的。总之，所有纯粹机械的事件，看来是明确而直接地遵循着“有序来自有序”的原理。如果我们说“机械的”，必须在广义上来使用这个名词。你们知道，有一种很有用的时钟，是以电站有规则地输送电脉冲来运转的。
我记得马克斯•普朗克写过一篇很有意思的小文章，题目是《动力学型和统计学型的定律》（德文是《动力学和统计学的合法性》）。这两者的区别，正好就是我们在这里称之为“有序来自有序”和“有序来自无序”的区别。那篇文章旨在表明控制宏观事件的统计学型的定律，是如何由被认为是控制微观事件、即控制单原子和单分子的相互作用的“动力学”定律所组成的。宏观的机械现象，如行星或时钟的运动等，说明了后一种类型的定律。
这样看来，被我们一本正经地当作了解生命的真正线索的“新原理”，即“有序来自有序”的原理，对物理学来说，完全不是新东西。普朗克甚至还摆出了论证它的优先权的架势。我们似乎得出了可笑的结论，即了解生命的线索是建立在纯粹机械论的基础之上的，是普朗克那篇文章所说的“钟表装置”的基础之上的。我看，这个结论既不是可笑的，也不是全错的，但是对它是“不可全信”的。
67. 钟的运动
让我们来精确地分析一台真的钟的运动。它决计不是一种纯粹机械的现象。一台纯粹机械的钟不必有发条，也不必上发条。它一旦开始运动，就将永远进行下去。一台真正的钟，如果不用发条，在摆动了几下以后就停摆了，它的机械能已转化为热能。这是一种无限复杂的原子过程。物理学家提出的这种运动的一般图景，迫使其承认相反的过程并不是完全不可能的：一台没有发条的钟，依靠消耗它自己的齿轮的热能和环境的热能，可能突然地开始走动了。物理学家一定会说：时钟体验了布朗运动的一次非常灵敏的扭力天平（静电计或电流计），就能一直发生这种事情。时钟当然是绝对不可能的。
一台时钟的运动能否归因于动力学型或统计学型的合法事件（用普朗克的说明），这取决于我们的态度。称它为一种动力学现象时，我们是集中注意于有规则的运行，一根比较松的发条就可以产生这种运行，而这根发条克服的热运动的干扰是很微小的，所以我们可以忽略不计。可是，如果我们还记得，没有发条，时钟就会因摩擦阻力而渐渐地停摆，我们认为，这种过程只能理解为一种统计学的现象。
然而，认为时钟中的摩擦效应和热效应是无足轻重的观点，也许是一种来自实用的观点；而没有忽视这些效应的第二种看法，无疑是更基本的一种看法，即使在我们面对着用发条开动的时钟有规则地运动时，这也是基本的看法。因为它决不认为开动的机制真是离开了过程的统计学性质。真实的物理学图景包括了这样的可能性：即使是一架正常运行的时钟，通过消耗环境中的热能，会立刻使它的运动全部逆转过去，以及向后倒退地工作，重新上紧自己的发条。这种事件的可能性，同没有发动装置的时钟的“布朗运动大发作”相比，正好是“半斤八两”。
68. 钟表装置毕竟是统计学的
现在我们来作一番回顾。我们已经分析过的“简单”例子是代表了许多其他的例子－－事实上，是代表了所有这些逃脱了分子统计学的无所不包的原理的例子。由真正的物理学的物质（不是想象中的东西）构成的钟表装置，并不是真正的“钟表装置”。机遇的因素可能是或多或少地减少了，时钟突然之间全然走错了的可能性也许是极小的，不过，它们总还是保留在背地下。即使在天体运行中，摩擦和热力的不可逆影响也不是没有的。于是，由于潮汐的摩擦，地球的旋转逐渐地减慢，随之而来的是月球逐渐地远离地球，如果地球是一个坚硬无比的旋转着的球体，就不会发生这种情况。
事实上，“物理学的钟表装置”仍是清楚地显示了十分突出的“有序来自有序”的特点——物理学家正是在有机体遇到这种特点时，使他们深受鼓舞的。这两者看来毕竟还有某些共同之处。可是，共同点是什么，以及究竟是什么样的差别才使得有机体成为新奇的和前所未有的例子，这些还有待于了解。
69. 能斯脱定理
一个物理学系统－－原子的如何一种结合体－－什么时候才显示出“动力学的定律”（在普朗克的意义上说）或“钟表装置的特点”呢？量子论对这个问题有一个简短的回答，就是说，在绝对零度时。当接近零度时，分子的无序对物理学事件不再有什么意义了。顺便说一下，这个事实不是通过理论而发现的，而是在广泛的温度范围内仔细地研究了化学反应，再把结果外推到零度－－绝对零度实际上是达不到的－－而发现的。这是沃尔塞•能斯脱的著名的“热定理”，毫不夸张地说，这个定理有时授予“热力学第三定律”的光荣称号（第一定律是能量原理，第二定律是熵的原理）。
量子论为能斯脱的经验定律提供了理性的“基础”，也使我们能够估计出，一个系统为了表现出一种近似于“动力学”的行为必须密切地接近绝对零度到什么程度。在任何一种具体的情况下，多少温度是实际上等于绝对零度呢？
你千万别认为这个温度一定是极低的低温。其实，就是在室温下，熵在许多化学反应中都是起着极其微不足道的作用，能斯脱的发现就是由这种事实引起的（让我再说一遍，熵是分子无序的直接量度，即它的对数）。
70. 摆钟实际上是在零度
对于一台摆钟又能说些什么呢？对于一台摆钟来说，室温实际上就等于零度。这就是它为什么是“动力学地”工作的理由。你如果把它冷却，它还是一样地继续进行工作（假如你已经洗清了所有的油渍）！可是，你如果把它加热，加热到室温之上，它就不再继续工作了，因为它最后将要熔化了。
71. 钟表装置与有机体之间的关系
看上去这似乎是无关紧要的，不过，我认为它确实是击中了要害。钟表装置是能够“动力学地”工作的，因为它是固体构成的，这些固体靠伦敦－海特勒力而保持着一定的形状，在常温下这种力足以避免热运动的无序趋向。
我认为现在有必要再讲几句话，来揭示钟表装置同有机体之间的相似点，简单而又唯一的相似点就是后者也是依靠一种固体－－构成遗传物质的非周期性具体－－而大大地摆脱了热运动的无序。可是，请不要指责我把染色体纤维称为“有机的机器的齿轮”－－这个比喻，至少不是没有深奥的物理学理论作为依据的。
最明显的特点是：第一，齿轮在一个多细胞有机体里奇妙的分布，这点我在第64节中曾作了诗一般的描述；其次，这种单个的齿轮不是粗糙的人工制品，而是沿着上帝的量子力学的路线完成的最精美的杰作
福克-普朗克方程_百度百科
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大量具有相互作用的带电粒子构成的等离子体Fokker-Planck ...
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phymath999: 点电荷产生的静电场和交变场，哪个的场强更大？
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时间、动力学和混沌：Poincare的“不可积系统的积分” - 豆瓣
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沈惠川等译普利高津文章：时间 - 量子力学 - 凤凰网
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沈惠川：//我的纠缠态：量子力学(之四下) - 凤凰博报 - 凤凰网
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科学网—沈惠川:为赵国求《运动与场》所写的跋- 沈惠川的博文
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第一章伊壁鸠鲁的二难推理
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传统的动力学方程Fokker-Planck方程含有二阶导数；这恰恰是由于碰撞被描述为一种二体关联所致.）
时间、动力学和混沌：Poincare的“不可积系统的积分”
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来自: [已注销] 2007-11-13 21:44:54
Ilya Prigonine 著
（1990年10月2－3日在美国Minnesota州Saint Peter市Gustavus Adolphus学院第26届Nobel会议上的演讲）
一．时间质疑
时间总是与我们形影不离. 时间确为我们生存的1维. 它既使哲学家又使科学家神魂颠倒. 常听人说，科学已经解决了时间问题. 此话当真？确实，物理学的基本方程，无论是经典物理的还是量子物理的，它们的一个十分重要的性质就是时间的可逆性. 在这些方程中，我们可以用（－t）取代（＋t）而不使这些方程的形式有所改变. 与此相反，在宏观世界中，我们处理的是不可逆过程：（＋t）和（－t）并不起同样的作用. 这便存在着一个“时间箭头”. 因此，我们就得到一条奇怪的结论：在微观动力学世界中，没有正常的时间顺序，而宏观世界中所发生的则完全相反. 例如，若我们考虑图1中所表示的一个摆的两种位置，我们不可能说出哪一种位置出现得更早. 对于经典动力学来说，时间已经失去方向. 类似地，在量子力学中，我们不可能说出哪一种波函数是“衰老的”或是“年轻的”. 但这难道就是时间的全部故事吗？时间是如何能从一个时间可逆的世界中显露出来的呢？自从Clausius于1865年提出著名的热力学第二定律以来，这一矛盾已经变得十分尖锐. Clausius断言：“宇宙之熵在增加.”这便诞生了进化宇宙学. 对于每一个孤立系统，熵只能增加. 如Eddington经常所说的：熵表示“时间箭头”. 热力学的形式体系是工程师和物理化学家的工作成果. 当时的大数学家和大物理学家将其视为至多是一件有效的实用工具然而却没有任何功能上的意义. 对熵和微观运动方程之间关系提出质疑的第一个人是Boltzmann. Boltzmann是分子运动论的主要奠基人之一. 他试图将熵增解释为导致分子无序的分子碰撞的结果（Maxwell速度分布律）. Boltzmann的处理结果在今天仍然是极为重要的，因为这种处理对稀薄气体来说可以得到与实验非常吻合的结果. 但是，Boltzmann依然被厄运击倒，因为人们太块地向他指出，他的结果是与动力学的时间可逆性相抵触的[1]. Boltzmann很像一位同时爱着两个女子的男人. 他无法在其两种深信不疑的观点之间进行选择. 他确信时间不可逆的演化是自然界的一条基本特征，但他对于看起来不允许存在一个优越时间方向的经典运动方程也是深信不疑的. 我不能深谈这一问题的细节，但我想强调一下，这一讲座的目的之一是要说明Boltzmann是正确的. 然而这涉及到真正近代的结果，其中现代混沌理论担任着主要角色. 对于Boltzmann那一代人，以及随后的几代人，这一争辩的结论是：时间箭头并不存在于自然之中，而是存在于我们的记忆之中. Einstein的时间（作为不可逆性）是一种“幻觉”的说法，是众所周知的[2].
我曾觉得奇怪的是，这一结论并未引发科学中的危机！我们如何才能否定一个优越的时间方向的存在呢？如Popper所写：“这将使单方向的演变打上一种‘幻觉’的烙印，这将使我们的世界成为一种幻觉，而所有我们的企图只不过是在寻找有关我们世界的越来越多的幻觉.”经典科学的目的是用普适的时间可逆规律来描述自然界的行为. 反省一下该目标与17世纪中流行的神学概念之间的关系是有趣的. 对于上帝，在过去、现在和将来之间当然是没有区别的. 是科学没有将我们带到更接近于上帝的宇宙观[2]吗？ 经典科学的这一目标从来就没有实现过. 常常是，当科学看起来更接近于这一目标时，每一次都会有某些东西出了毛病而失灵. 这对西方科学的历史有奇迹般的影响. 如你所知，量子力学是基于时间可逆的Schrodinger方程的，但它不得不引入测量过程，不得不将基本作用归之于观测者以得到一种自恰的诠释. 广义相对论以几何学的“超时间”的理论为起始，发现为了得到我们宇宙的宇宙学演化的自恰描述需要某种初始奇异性或不稳定性. 为了描述自然，我们既需要定律，又需要事件，这反过来又意味着时间因素的存在. 这种时间因素在包括量子论和相对论在内的动力学系统的传统表述中本来是弃之不顾的. 去年在Minnesota召开的Nobel会议上有一个争议颇多的题目：“科学的终端？”我并不相信我们能够谈论科学的终端，但确实我们面临着某种与科学的经典思想体系有关的推理形式的终结. 我在这里想要说明，对于新的科学推理系统的建立，非平衡态物理学和“混沌”肯定将起到关键的作用.
二．时间佯谬的形成
20 世纪是以时间箭头为本质的各种完全出乎意料的发现为特点的. 例子是不稳定基本粒子的发现和进化宇宙学的发现. 然而，在本讲座中我首先想要强调的是涉及宏观尺度的过程，如在非平衡态物理学中所研究的那些过程. 第一个论点是：与Boltzmann所确信的恰恰相反，不可逆性起着建设性的作用. 不可逆性不仅包含在导致无序的过程中，而且也可以导致有序. 这已经表示在如图3所示的极简单的例子中. 考虑两个装有两种组分例如氢气和氮气的箱子. 若箱子是等温的，则这两种组分在两个箱子中的比例是相同的. 反之，若我们建立一种温度差，则我们就观测到组分之一如氢气的浓度在温度较高的那一个箱子中变得较大. 在本实验中与热流有关的无序被用来产生“有序”. 这是十分具有代表性的. 不可逆性既导致有序又导致无序. 一个惊人的例子是化学振荡的情况. 若我们有一种化学反应可将“红”分子变成“兰”分子，反之亦然. 已经从理论上和实验上证明，在远离平衡的情形下，该反应可以呈现时间周期性的行为. 反应容器呈现时红时兰，且不断地持续下去. 我要强调化学相干性的出现是何等地出乎意料. 我们通常将化学反应设想为分子间随机碰撞的结果. 显然，在远离平衡的情形下不可能是这么一种情况. 为了产生化学振荡我们需要长程关联. 当我们将这类系统驱动到更远离平衡时，这种振荡可以在时间上变得十分不规则. 于是我们便谈论到“耗散混沌”；不过，我将不深入这一课题的更多细节，在许多教科书中对此所进行的讨论都相当好[3,4]. 重要的是，不可逆性导致了新的空间时间结构（我称之为“耗散结构”），这对于理解我们周围的世界是至关重要的. 因此，不可逆性是“真实”的，它不可能仅存在于我们的记忆之中. 我们不得不使用这种或那种方式将不可逆性纳入微观动力学的框架. 最近已经出现了许多处理该问题的专著，但我在这里要提一下由Peter Coveney和Roger Highfield的著作《时间之箭》[5]（译注：有中译本，江涛等译，湖南科学技术出版社，1994）所作的卓越介绍. 在该书中，他们将此问题称为“时间的最大奥秘”.
但是如何解决这一佯谬呢？
在我的同事和我所做的工作中，我们遵循时间箭头必然与动力学不稳定性有关的思想. 我首先来叙述不稳定动力学系统的一个最简单例子：所谓面包师变换. 见图4. 我们考虑一个正方形. 我们压缩它并将右半部置于左半部之上如图4所示. 这就引起了正方形表面的逐步细化. 这显然是一个不稳定的动力学系统，因为无论多么近的两点最终将出现在相距很远的条纹中. 该系统可用Lyapunov指数来表征：
（2.1）
两邻近轨道之间的距离 随时间指数地增长. 系数 被称为Lyapunov指数；在面包师变换情形中它等于 . 正Lyapunov指数的存在是“混沌”系统的特征. 于是，存在一条时间的标准线；超出这条标准线，则轨道的概念失效，必须使用概率的描述. 这是大家都很清楚的. 然而，我想要强调的是，除了运动学时间t之外，对于该系统我们还能引入“第二种－内部”时间T；这种时间度量产生一种给定的配分所需要的移动次数. 例如，从图4的状态[a]出发要得到状态[c]，我们需要移动两次. 正如我们的小组所证明的，特别是在Misra教授的工作[6]中将这一内部时间用一算符表示后，该算符形成了一种非常类似于我们在量子力学中所用到的那种非对易代数. 一旦你有了内部时间，构造一个熵从而将面包师变换与时间箭头联系起来则是很容易的事.
重要的是要注意，内部时间是指一种全局的如正方形配分所表示的那种性质；这是一种“拓扑”性质. 仅仅当将正方形作为一个整体考虑时，你才能将其与一定的内部时间或一种“年龄”相联系. 就如你在看某人时那样. 你将赋予他的年龄并不依赖于其身体的一个特殊部位，而是从一种全局性的判断得到的. 面包师变换及其与时间箭头的关系的详细叙述可以在我与Nicolis教授合著的书[4]中找到. 然而，面包师变换对应于高度理想化的情形. 在此基础上还并不清楚为何时间箭头如被热力学第二定律普适的正确性所验证的那样，在自然界是如此之普遍. 这就是现在我想转而讨论的问题.
三．Poincare定理和混沌科学：巨Poincare系统
1889 年，Poincare提出一个基本问题[7,8]. 我必须指出，他的问题并非是用现在这些我用于讨论的名词来阐述的. Poincare问，物理世界是否同构于一个由非相互作用单元所构成的系统？众所周知，能量（“Hamiltonian”H）一般由两项之和构成：所包含的各单元的动能和对应于这些单元之间相互作用的势能. 因此，Poincare的问题是：“我们能消除相互作用吗？”
这的确是一个非常重要的问题. 如果Poincare的回答是肯定的，那么世界上就可能没有相干性，就没有生命，也没有Nobel会议. 他证明了你一般不能消去相互作用；进而，他给出了此结果的理由. 所以，这是非常幸运的. 理由是各单元之间存在共振. 人人都熟悉共振的思想. 这是孩子们学习荡秋千的方式. 让我们来更精确地描述Poincare的问题. 我们从如下形式的Hamiltonian出发：
（3.1）
式中 是动量和坐标. 于是我们问这样的问题:我们是否能将其化为形式
（3.2）
式中 为新的动量（所谓作用变量）. 在这种形式中，Hamiltonian只依赖于动量. 为了实行从（3.1）到（3.2）的变换，Poincare考虑了一类保持Hamilton理论结构的变换（所谓正则变换或么正变换）. 更确切地说，Poincare考虑了形为
（3.3）
的Hamiltonian，其中 为耦合常数， 为既依赖于动量 又依赖于坐标 （被称为角变量）的势能. 对于2个自由度，势能可展成Fourier级数
（3.4）
式中 为整数. 微扰技术的应用便导致形为
（3.5）
的表达式. 其中频率 被定义为 . 在这里我们看到了共振（或“小除数”）的危险作用
（3.6）
显而易见，可以预料当（3.6）为零而（3.5）中的被除数不为零时将出现困难. 这已被Poincare称为“动力学的根本困难”[7]. 于是我们就得到了动力学系统的Poincare分类[7,8,10]. 如果存在“充分”的共振，系统即为“不可积”的. 对于共振作用的理解的关键进展是50年代由Kolmogorov、Arnold和Moser所取得的（所谓KAM理论[3]）. 他们已经证明了，若（3.3）中的耦合常数足够小（还有一些其他我不准备在此时讨论的条件被满足的话），则“大多数”轨道如可积系统中那样仍然是周期性的. 这并不令人惊奇. 公式（3.6）可以被写成
有理数与无理数相比是“稀罕的”. 然而，无论耦合常数取何值，现在已经知道另外还将出现由正Lyapunov指数所代表从而以“混沌”为特征的随机轨道. 这确实是一个根本性的结果，因为在人们一直以为是决定论性描述的堡垒的动力学的核心处出现了无规性是十分出人意料的. 不过，应当强调，KAM理论并未解决Poincare不可积系统的积分问题. 人们广泛引用Arnold的如下论断：即使是只有2个自由度的动力学，系统也远远超越我们当今的数学.
但是存在一类我们称之为巨Poincare 系统（LPS）的动力学系统. 对于这一类系统，我们确实可以完全地消去Poincare的发散性从而对一类Poincare“不可积系统”真正地“积分”. 该结果是我与我的Brussels和Austin的同事们数年研究工作的成果[9]，然而只是在最近才解决了积分巨Poincare系统这一问题. 我想一开始就应对Tomio Petrosky、长谷川（Hiroshi Hasegawa）和高木（Shuichi Tasaki）的根本性贡献[10-14]表示感谢.
首先，什么是巨Poincare系统？这是一个具有“连续”谱的系统. 例如，公式（3.4）中的Fourier级数已由Fourier积分代替. 共振条件取一新的形式. 具有任意自由度的小系统的共振条件为（见（3.4））
（3.7）
式中 为整数. 前已提及，共振条件即表示频率之间存在有理关系. 对于巨Poincare系统，条件（3.4）必须代之以
（3.8）
式中 为实数. 现在共振条件是“处处存在”的. 该情况类似于面包师变换，其中也是几乎所有的运动都是无规运动. 而且，巨Poincare系统是以涉及共振积分的相互作用为特征的（例子见下）. 在我将讨论例子之前，我要强调的是，巨Poincare系统的思想在量子力学中仍然是有意义的. 频率 变成能级. 对于小系统，共振条件（3.7）将对应于偶然“简并”. 但对于巨Poincare系统，我们有连续谱，情况变得与经典力学十分类似. 巨Poincare系统具有惊人的普遍性. 我们在经典物理和量子物理中处处可以遇到它们. 让我给出两个例子. 物质与电磁场之间的相互作用导致辐射的激发（见图6）. 激发态的寿命由物理学家所称的Fermi黄金律给出1级近似，此定律涉及到对共振的积分
（3.9）
式中 为关于辐射的频率， 为关于不稳定态的能级. 这是共振积分的一个例子. 所有含有“碰撞”的多体系统都是LPS（见图7），因为碰撞也涉及共振（见第五节）. 巨Poincare系统在通常的意义中是不可积的，因为有Poincare共振，但我们在这一讲座中想要指出的是，我们可以通过消去所有Poincare 发散性的新方法来对它们进行积分. 这便得到了动力学（经典的或量子的）一种新的“整体”形式. 当我们在这里处理混沌系统时，我们便可期望得到动力学在此形式中的新特征. 确实，我们将发现，与可积系统的动力学相比较，无规性的作用增大了；首先是时间对称性的破缺，因而不可逆性显现于该新动力学的心脏. 从某种意义上来说，我们转换了时间佯谬的通常形式. 通常的方法是试图从基于时间可逆方程的动力学来导出时间箭头. 相反,我们现在是推广动力学以包括不可逆性.
我们可将这种情况归纳为下图：
图的顶部是可积系统类（经典的或量子的）. 这是动力学所探索的主要领域. 动力学可积系统的基本结构可表达为著名的定律（或原理），如断言轨道是使得某些泛函（作用量）为极小的作用量原理. 这种结构已经成为量子力学和广义相对论的出发点.
然而Poincare定理为可积系统设置了界限. 因此基本问题将是：其后将发生什么？现在是如何解决小除数这一问题的？计算机的计算并不会导致无穷大！
我们曾经提及，第一级台阶是KAM理论. 共振的物理效应是无规运动的出现. 对于LPS，几乎所有运动都是无规的. 于是值得注意的事实是，我们又能“积分”运动方程了. 但现在动力学的结构变得与可积系统根本不同. 我们现在不得不偏离动力学方案中与经典传统相联系的固有结构，这是极为诱人的.
四．Poincare定理与量子力学的本征值问题
我想要讨论的第一个例子是量子力学. 众所周知，量子力学已经引起我们思想中的一场革命. 在经典力学中，“可观测量”由数表示. 量子力学所采取的新观点是用算符表示可观测量. 例如Hamiltonian 现在变为Hamiltonian算符 . 我们可用本征函数 和本征值与此算符相联系：
（4.1）
算符 作用在本征函数 上，重新产生该函数与本征值 的积. 本征值对应于关于算符 的物理量的数值. 一旦我们有了完备的本征函数集和本征值，我们就有了关于 的“谱”表示（顶标 已略去）.
（4.2）
求谱表示（或解本征值问题）是量子力学的中心问题；然而，这种问题仅在很少的几种简单情形下被求解，而在大多数时候我们必须求助于微扰技巧. 如在Poincare定理中那样，我们可从形为
（4.3）
的Hamiltonian 开始；这里我们假定对“未扰动”Hamiltonian ，本征值问题是可以求解的. 于是我们来找 的可展成耦合常数 的幂次的本征态和本征值. 就是在这里，可以作出与Poincare分类的联系. 对于不可积Poincare系统，本征函数和本征值展为耦合常数的幂次将由于小除数的发散性而引起Poincare突变. 在Petrosky与作者最近的论文[10]中已经研究了Poincare定理与量子力学本征值问题之间的关系.
让我们再来考虑量子跃迁问题（见图6）（实际上我们考虑的是省略了虚过程的、被称之为Friedrichs模型的简单形式[15]）. 当我们试图用通常的微扰论来求解该问题时，我们面临着Poincare的发散性；在这一例子中，该发散性与形为
（4.4）
的除数有关，其中 为激发态的能量， 为对应于波矢 的模的辐射能量. 为了避免发散性，我们必须给出（4.4）中除数的意义.
在这里引入了Poincare不可积系统在新的推广意义中“可积”的基本要素. 我们引进动力学状态的“自然时间编序”. 为使我们所要说的更清楚，考虑一个平凡的例子. 一块石头可以掉入一水池并产生向外发射的波. 我们也许可以有逆反的情况：入射波将使一石头跃出（见图8）. 实际上，只有一种情形是可能实现的：自然的时间编序是先落下石头，然后波发射. 类似地，为了给出Poincare除数的意义，我们必须对动力学状态进行时间编序——首先有不稳定原子状态，然后有辐射的激发. 这相当于Bohr的原子受激辐射图像，辐射相当于推迟波. 更确切地，我们将除数
（4.5）
与跃迁 相联系，而将除数
（4.6）
与跃迁 相联系. 如我们所证明的[11,12]，这一简单规则导致当我们对辐射的波长积分时所有Poincare发散性的消除. 这就是理论物理中通过“解析开拓”表示过去和未来的差别的标准做法．一般读者对我们按照它们所联系的过程类型不同而修改Poincare除数这一点，是可以接受的. 我们用这种方式便可得到Schrodinger方程的复数解. 本征值现在包含了相当于阻尼的虚部，而本征态有一种破缺的时间对称性. 我们选择这一简单例子是由于在这种情况下存在一个标准解，然而，该标准解对于耦合常数不是解析的（粒子从谱中消失了[15]）.
因而，我们能够将我们的结果与标准处理进行比较，看看我们的方法是否有意义. 我们的确恢复了全部已知的结果，然而除此之外，当我们具有破缺时间对称性的态时，我们可以引进一个起到Boltzmann H函数作用的泛函. 当粒子受激辐射并向基态衰变时，这一泛函单调下降（见图9）. 我们也可以至少作为一种思想实验而在衰变开始之后的时间 作时间反演. 此结果示意性地表示在图10中. 在反演时刻 ，H量有一跳变 ，其中 是不稳定状态的寿命. 然后H开始下降，在 处我们有H =H ；H的下降一直持续到粒子衰减完为止. 因为我们将H函数与粒子衰变相联系，故衰变成为一种不可逆过程.
我们可以将我们已经做的总结如下：为了避免Poincare的灾变，我们扩充了变换类型从未扰动的Hamiltonian （见（4.3））的本征函数得到完整Hamiltonian的本征值. 用比较技术性的术语说，情况如下：Poincare只考虑了在其他性质中保持本征值为实数的正则（或么正）变换. 我们引进了产生复本征值的更为一般的变换. 这些变换的特殊选择来自我们对于动力学状态的时间编序的推导.
从困扰量子力学的认识论方面的问题来看，此结果已具有重大的意义. 我们首先记得量子力学的基本方程是波函数 的Schrodinger方程
（4.7）
所有的量子力学教科书都指出该方程是时间可逆的和决定论的（我们将一些与弱相互作用有关的“病态”情况剔除在外）. 的物理诠释是，它表示一种几率“幅”. 可是,几率性质却由
（4.8）
给出. 我们将在下一节回到从几率幅 到几率性质 这种转变上来.
量子力学可能是最成功的物理学理论，但对其概念性基础的讨论一直没有停止过. 我推荐一本由J. S. Bell所著的新书《量子力学中可以说的和不可以说的》[16]. 它们是量子跳变吗？这是一个极会引起争议的话题. Schrodinger方程（4.7）描述一种光滑演变. 那么为何会有量子跳变？此外，（4.7）是时间对称的：若存在自发发射，则亦必定有自发吸收. 流行的Copenhagen诠释是，量子跳变是我们的测量造成的. 这将是十分奇怪的，因为所有的化学和生命都是量子跳变的结果，那么生命是如何成为我们的测量的结果的呢？我们的方法解决了这一问题，因为该方法将量子跳变与只能出现在（我们的）未来的一种不可逆事件联系了起来.
在我们回到构造量子力学的概念性基础与动力学不稳定性之间密切联系的这些吸引人的问题之前，让我们作出如下评论：
我们已经处理的例子是一个非常简单的例子，因为我们可以在通常量子描述的框架内（所谓“Hilbert空间”中）引入一种自然的时间编序. 但一般来说，这是不可能的（想一想所有态都作对称作用的散射）. 于是我们将在下一节看到，我们必须在统计描述的层次上引入一种自然的时间编序. 这就会得到LPS在十分普遍的情况下的积分，从而导致动力学有与过去根本不同的新形式.
五．Poincare定理与动力学的统计阐述
从第四节中所研究的例子来看，对于我们如何才能避免Poincare灾变现在应当很清楚了：只有通过在理论中引入动力学状态的一种时间编序，它对于小除数将采用非常明确的“规则化”步骤（见（4.5）和（4.6））. 然而怎样引入这种时间编序呢？如我们现在将要看到的，这里我们必须转入统计描述. 使人意外的是，我们的处理方法确证了Boltzmann于一个多世纪前处理气体动力学的方法. 但是Boltzmann不可能猜到混沌理论的出现，也不会知道他正在研究“不可积Poincare系统”.（他，以及Maxwell之所以将希望寄托在遍历性理论上，是因为遍历性理论对于平衡的理解确实有用，但对动力学目的并非如此.）
在统计联系早期，Gibbs引入了一个相当基本的概念：“Gibbs系综”. 他不去考虑单个动力学系统而是考虑与构成每一个动力学系统的粒子的坐标 和动量 相联系的在相空间中演化的大量动力学系统（见图11）. 于是在描述中使用了相空间中的几率分布：
（5.1）
这种描述对于量子系统也是有意义的. 而几率分布 就被称作“密度矩阵”. 一旦我们知道了 ，我们便能计算出粒子的速度分布以及存在于粒子间的关联.
那么此时时间如何进入这种描述？
我们来考虑一种经典气体. 粒子会碰撞而且这些碰撞产生关联（见图12）. 首先我们有二体关联，然后是三体关联；随着时间的持续，关联涉及到越来越多的粒子.
关联的形成有点使人联想起进行会谈的两个人（会谈相当于一次碰撞）. 即使当会谈双方离开，他们的会谈印象仍然保留着. 关于这一会谈的信息将随着时间的推移散布给越来越多的参与者.
假定我们观测一杯水. 在这杯水中有一时间箭头；实际上，该时间箭头将永远保持着，相当于新关联的产生，这种关联涉及到总是增长的粒子数. 按照存在于分子间的关联，我们可以区分“年轻的”水和“年老的”水！最近所做的计算机实验证明了二体关联出现得非常快，而三体关联涉及到较长的时间尺度，如此等等. 关联的这种定向流破坏了经典描述中的对称性. 让我们从（一个多体系统的） 时刻的无关联态A转变到时间为的涉及多重关联的态B（见图13）. 显然，从A到B的转变涉及到与从B到A的逆转变十分不同的物理过程.
我们将不得不引入关联的时间编序于动力学以避免Poincare灾变：二体关联先于三体关联出现，如此等等. 因而我们必须使用关联的时间演变来描述动力学.
这相当于是与经典动力学不同的观点：问题不再是研究每一粒子随时间变化的位置和动量，而是追踪粒子间关系的发展[17]. 在此概念框架内，我们可以通过将向较高关联的转变处理为“未来定向”，将向较低关联的转变处理为“过去定向”，恰如在（4.5）和（4.6）中我们所做的那样，来避免Poincare灾变.
由Gibbs系综理论可以得到密度矩阵 的时间发展方程
（5.2）
它在形式上类似于Schrodinger方程（4.7）. 即所谓的Liouville算符，可以利用经典力学和量子力学中的Hamiltonian表示. 我们提到过Poincare处理了形为
（5.3）
的Hamiltonian. 这相当于Liouville算符的分解
（5.4）
为求解Liouville方程（5.2），我们必须如在Schrodinger方程情形中那样求解本征值问题（见（4.1））
（5.5）
对于可积系统，这没有问题. 而Liouville方程（5.2）则将索然无味，因为问题将化为通常的动力学问题（求轨道或波函数）. 然而，对于不可积系统，问题从根本上改观了. 换言之Liouville方程描述了由于与未扰动系统有关的运动不变量的破坏而引起的混沌的出现.
又是Poincare定理妨碍我们通过展为耦合常数 的幂次的么正变换（保持 的实数性）求出（5.5）的解. 业已提到，我们是通过在理论中引入如下补充性因素来解决这一困难的：关联的时间编序. 于是我们得到可以求解的复本征值问题，它将导致阻尼，并通过H函数的出现导致不可逆性（见第四节）. 该新动力学具有一些突出的特征，它呈现出对于经典或量子理论中所描述的可积系统的动力学特征的基本偏离.
为了定性地理解发生了什么，我们来更为贴切地分析“碰撞”的思想中所包含的内容. 实际上，一次碰撞已经相当于一个复杂的过程，在此过程中粒子接近、通过共振交换能量、然后分开. 我们可以将一次碰撞视为一个接一个的共振所束缚的态[8]. 在一Hamilton系统中（硬球情况作为一种极限情况不在考虑之列），一次碰撞并非一个自发的类点事件，而是在空间和时间上都具有广延性的.
最近，Petrosky与作者已经证明，Liouville算符 的谱基本上由碰撞的动力学确定. 这即意味着对适用于可积系统的通常动力学方法的根本性偏离；在可积系统中，发展演化可分解为一个接一个的自发时空事件（使人联想起Feynman图）. （对于熟悉动力学的读者，我提一下：传统的动力学方程Fokker-Planck方程含有二阶导数；这恰恰是由于碰撞被描述为一种二体关联所致.）为此， LPS的动力学仅能在统计的层次上被阐述，因为我们既不可能在经典情况中将动力学化为轨道，也不可能在量子情况中将动力学化为波函数. 我们在这里所处理的是可积系统中完全不会出现的动力学状态，这对于动力学的伟大传统并不那么令人吃惊. 然而，这种偏离已经出现在KAM理论中，但在那里行为是如此地复杂以至于任何定量描述都不可能（我们不得不使用由于共振叠加而坍缩的共振环定性判据）. 对由于共振而引起并导致Poincare不可积性的物理过程给出一种简单描述，正是通过对LPS的研究所实现的主要进展.
我们的处理已经被对LPS的简单例子作出的数值计算所证实. 我们可以从一种（尽可能接近于相空间中的一点的）统计分布出发. 于是我们看到系统经历了相当于Lyapunov不稳定性（见（2.1））的出现、相空间中的折叠和由于“碰撞”而引起的扩散的各个阶段.
我想再次强调的主要论点是，不稳定性破坏了轨道（或在量子力学中是波函数）概念本身，因为现在基本描述是使用了统计系综.
现在让我们给出一些结论性的意见.
六．结论性的观点
Poincare不可积动力学系统的积分对于LPS导致了一种新形式的动力学，它包含了不可逆性（破缺的时间对称性），并在经典和量子力学中呈现出几率的越来越大的作用. 我们在第二节中描述过的时间佯谬已用这种方式消除掉了（见图14）.
在“旧”情况中，我们不得不在微观的时间可逆的层次与备有时间箭头的宏观层次之间架桥连线（图14）. 然而，时间怎么可能产生于无时间？
现在（图15）我们有了一个新的具有时间对称破缺的微观层次；通过平均的步骤，从该微观层次中出现宏观耗散层次. “旧”的微观层次已变成不稳定的.
这可以得到对混沌作用的一种较好的理解. 实际上，混沌存在两种十分不同的表现. 当我们研究包括耗散的宏观方程，例如反应扩散方程或流体的Navier-Stokes方程时，我们已面对属于LPS的基本微观描述的情形. 换言之，正是这种方程的存在预先设定了“动力学混沌”. 这并不令人奇怪. 确实，例如摩擦或扩散的性质涉及到能量通过碰撞的交换. 这些宏观方程可以导致混沌（化学混沌和湍流）. 这种耗散混沌处在动力学混沌的“顶部”. 我们曾提及，耗散混沌是自组织的一部分，因为它出现在非平衡和非线性系统中. 化学相干性例子是振荡化学反应. 因此，简言之，出现于非平衡态中的宏观有序是动力学混沌的产物. 甚至趋于平衡时也成为动力学混沌的结果. 所以，在所有这些情况中，我们有“有序来自混沌”[1]. 我们也曾提及LPS是演化的系统. 一旦初始条件给定，它们便将经历诸如由Lyapunov指数所描述的各种阶段，扩散过程 . 然而，不可逆性并不与Newton时间（或其Einstein推广）有关，而是与表示构成系统的各单元之间的“内部”时间有关（诸如粒子之间的关联）. 我们不可能使关联的流停止，因为我们无法阻止不稳定原子态的衰变.
Nobokov曾写道：是真实的东西就不能被控制，能控制的就不是真实的. 这句话在这里也是成立的. 除了求解时间佯谬外，通过LPS的积分所得到的动力学定律取得了许多远远超出我们原始动机的结果. 我们已在第四节提及与量子力学认识论方面的问题的一些关系. 我们现在更进一步. 众所周知，量子力学的基本量是几率幅 ，满足Schrodinger方程（4.7），但我们只能作几率的测量！所以，我们需要从波函数所描述的“潜在可能”变成几率所描述的“真实情况”的另一种机制. 在Paul Davies所写的《新物理学》[19]的引论中，他写道：“在岩层底部，量子力学提供了一种高度成功的对微观系统的观测结果进行预测的办法，但当我们问一下观测进行时实际上发生了什么时，我们什么也得不到！”从例如Hugh Everett III的大千世界诠释，到John von Neumann和Eugene Wigner的求助于观测者灵感的神秘思想，都是为解开这一佯谬所作的企图. 在半个世纪的争论之后，量子观测的辩论一如以往仍旧那么活跃. 极小和极大的物理学问题都是难以对付的，然而这一新领域——思维和物质的接合部也许将被证明是新物理学中最有前途的传统. 有趣的是，当我们在新动力学描述中直接处理几率时，可以从动力学不稳定性和混沌中得到该基本问题的解答. 在这种情况中，LPS中的量子力学叠加原理失效是由于动力学不稳定性，而不必求助于任何深奥的考虑如大千世界诠释或引起宏观系统波函数编缩的新宇宙常数的存在. 我们得到了消除掉任何位于物理学之外的观测者主观愿望的真实的量子力学诠释形式.
本世纪已经被量子力学和相对论这两种新的概念性结构所统治. 人们经常强调（见M. Sachs[20]），主观因素通过测量过程的侵入将在我们想要将量子论和相对论结合在一起时引起困难. 然而，不可积动力学系统也可能使相对论变样，因为基本的动力学事件（碰撞）不再对应于瞬时和局域的时空事件.
我相信我们因而确实处在“新物理学”的开端. 迄今为止，我们的自然观都是受可积系统的理论支配的，无论是经典力学还是量子力学. 这相当于一种过分的简化. 我们周围的世界含有不稳定性和混沌，因而需要对一些基本的物理概念进行根本的修正.
让我表达我所确信的结论：将来，Poincare的不可积性定理将被视为一个转捩点，它有点类似于经典力学时期当应用于黑体辐射而导致发散时的发现. 这些发散性必须由量子论来治愈. 类似地，Poincare发散性也必须在我试图以本文中定性方式描述的意义上用动力学新形式来治愈.
鸣谢
本工作是多年来Brussels-Austin小组的工作结果. 我不可能引用所有这些成果，但我还是要特别感谢Cl. George，F. Mayne和T. Petrosky.
我们还要感谢Austin的Texas大学，Solvay研究所能源系，Welch基金会和欧共体委员会的资助.
参考文献
1． Prigogine I. and I. Stengers. Order out Chaos, Bantam Books,Inc.,（矮脚鸡图书公司），1984；（有中译本《从混沌到有序》，上海译文出版社，1987）
2． Prigogine I. and I. Stengers. Entre le Temps et Eternite, Fayard, 1988
3． Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, J. Wiley, 1989
4． Nicolis G. and I. Prigogine. Exploring Complexity，W. H. Freeman, 1989 ;（有中译本《探索复杂性》,四川教育出版社，1986）
5． Coveney P. and R. Highfield. The Arrow of Time, Allen, 1990
6． 总结见[4]
7． Poincare H. Methodes de la Mecanique Celeste, Gauthier-Villars, 1892; 重印本，Dover, 1957
8． 简单说明见I. Prigogine. Non-EquilibriumStatistical Mechanics，Wiley InterScience, 1962; （有中译本《非平衡态统计力学》， 上海科学技术出版社，1984）
9． Prigogine I. From Being to Becoming :Time and Complexity in Phusical Sciences，W. H. Freeman, 1980；（有中译本《从存在到演化》，上海科学技术出版社，1986）
Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Wiley, 1985
George Cl.,Mayne F. and I. Prigogine. Adv in Chemical Physics, 1985, 61:223
10. Petrosky T. and I. Prigogine. Physica, 1988, 147A:439
11. Hasegawa T., Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Foundations of Physics, 1991, 21:263
12. Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Physica, 1991,170A:306
13. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. （待发表）
14. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. Physica, A（待发表）
15. Balton G. Advanced Field Theory, Wiley TnterScience, 1963
16. Bell J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 1987
17. “关联动力学”的思想在文献[8]中引入.
18. Hasegawa H. and B. Saphir. （待发表）
19. Davis P. (ed) The New Physics, Cambridge University Press, 1989
20. Sachs M. Einstein versus Bohr , Open Court, Illinois, 1988
（1990年10月2－3日在美国Minnesota州Saint Peter市Gustavus Adolphus学院第26届Nobel会议上的演讲）
一．时间质疑
时间总是与我们形影不离. 时间确为我们生存的1维. 它既使哲学家又使科学家神魂颠倒. 常听人说，科学已经解决了时间问题. 此话当真？确实，物理学的基本方程，无论是经典物理的还是量子物理的，它们的一个十分重要的性质就是时间的可逆性. 在这些方程中，我们可以用（－t）取代（＋t）而不使这些方程的形式有所改变. 与此相反，在宏观世界中，我们处理的是不可逆过程：（＋t）和（－t）并不起同样的作用. 这便存在着一个“时间箭头”. 因此，我们就得到一条奇怪的结论：在微观动力学世界中，没有正常的时间顺序，而宏观世界中所发生的则完全相反. 例如，若我们考虑图1中所表示的一个摆的两种位置，我们不可能说出哪一种位置出现得更早. 对于经典动力学来说，时间已经失去方向. 类似地，在量子力学中，我们不可能说出哪一种波函数是“衰老的”或是“年轻的”. 但这难道就是时间的全部故事吗？时间是如何能从一个时间可逆的世界中显露出来的呢？自从Clausius于1865年提出著名的热力学第二定律以来，这一矛盾已经变得十分尖锐. Clausius断言：“宇宙之熵在增加.”这便诞生了进化宇宙学. 对于每一个孤立系统，熵只能增加. 如Eddington经常所说的：熵表示“时间箭头”. 热力学的形式体系是工程师和物理化学家的工作成果. 当时的大数学家和大物理学家将其视为至多是一件有效的实用工具然而却没有任何功能上的意义. 对熵和微观运动方程之间关系提出质疑的第一个人是Boltzmann. Boltzmann是分子运动论的主要奠基人之一. 他试图将熵增解释为导致分子无序的分子碰撞的结果（Maxwell速度分布律）. Boltzmann的处理结果在今天仍然是极为重要的，因为这种处理对稀薄气体来说可以得到与实验非常吻合的结果. 但是，Boltzmann依然被厄运击倒，因为人们太块地向他指出，他的结果是与动力学的时间可逆性相抵触的[1]. Boltzmann很像一位同时爱着两个女子的男人. 他无法在其两种深信不疑的观点之间进行选择. 他确信时间不可逆的演化是自然界的一条基本特征，但他对于看起来不允许存在一个优越时间方向的经典运动方程也是深信不疑的. 我不能深谈这一问题的细节，但我想强调一下，这一讲座的目的之一是要说明Boltzmann是正确的. 然而这涉及到真正近代的结果，其中现代混沌理论担任着主要角色. 对于Boltzmann那一代人，以及随后的几代人，这一争辩的结论是：时间箭头并不存在于自然之中，而是存在于我们的记忆之中. Einstein的时间（作为不可逆性）是一种“幻觉”的说法，是众所周知的[2].
我曾觉得奇怪的是，这一结论并未引发科学中的危机！我们如何才能否定一个优越的时间方向的存在呢？如Popper所写：“这将使单方向的演变打上一种‘幻觉’的烙印，这将使我们的世界成为一种幻觉，而所有我们的企图只不过是在寻找有关我们世界的越来越多的幻觉.”经典科学的目的是用普适的时间可逆规律来描述自然界的行为. 反省一下该目标与17世纪中流行的神学概念之间的关系是有趣的. 对于上帝，在过去、现在和将来之间当然是没有区别的. 是科学没有将我们带到更接近于上帝的宇宙观[2]吗？ 经典科学的这一目标从来就没有实现过. 常常是，当科学看起来更接近于这一目标时，每一次都会有某些东西出了毛病而失灵. 这对西方科学的历史有奇迹般的影响. 如你所知，量子力学是基于时间可逆的Schrodinger方程的，但它不得不引入测量过程，不得不将基本作用归之于观测者以得到一种自恰的诠释. 广义相对论以几何学的“超时间”的理论为起始，发现为了得到我们宇宙的宇宙学演化的自恰描述需要某种初始奇异性或不稳定性. 为了描述自然，我们既需要定律，又需要事件，这反过来又意味着时间因素的存在. 这种时间因素在包括量子论和相对论在内的动力学系统的传统表述中本来是弃之不顾的. 去年在Minnesota召开的Nobel会议上有一个争议颇多的题目：“科学的终端？”我并不相信我们能够谈论科学的终端，但确实我们面临着某种与科学的经典思想体系有关的推理形式的终结. 我在这里想要说明，对于新的科学推理系统的建立，非平衡态物理学和“混沌”肯定将起到关键的作用.
二．时间佯谬的形成
20 世纪是以时间箭头为本质的各种完全出乎意料的发现为特点的. 例子是不稳定基本粒子的发现和进化宇宙学的发现. 然而，在本讲座中我首先想要强调的是涉及宏观尺度的过程，如在非平衡态物理学中所研究的那些过程. 第一个论点是：与Boltzmann所确信的恰恰相反，不可逆性起着建设性的作用. 不可逆性不仅包含在导致无序的过程中，而且也可以导致有序. 这已经表示在如图3所示的极简单的例子中. 考虑两个装有两种组分例如氢气和氮气的箱子. 若箱子是等温的，则这两种组分在两个箱子中的比例是相同的. 反之，若我们建立一种温度差，则我们就观测到组分之一如氢气的浓度在温度较高的那一个箱子中变得较大. 在本实验中与热流有关的无序被用来产生“有序”. 这是十分具有代表性的. 不可逆性既导致有序又导致无序. 一个惊人的例子是化学振荡的情况. 若我们有一种化学反应可将“红”分子变成“兰”分子，反之亦然. 已经从理论上和实验上证明，在远离平衡的情形下，该反应可以呈现时间周期性的行为. 反应容器呈现时红时兰，且不断地持续下去. 我要强调化学相干性的出现是何等地出乎意料. 我们通常将化学反应设想为分子间随机碰撞的结果. 显然，在远离平衡的情形下不可能是这么一种情况. 为了产生化学振荡我们需要长程关联. 当我们将这类系统驱动到更远离平衡时，这种振荡可以在时间上变得十分不规则. 于是我们便谈论到“耗散混沌”；不过，我将不深入这一课题的更多细节，在许多教科书中对此所进行的讨论都相当好[3,4]. 重要的是，不可逆性导致了新的空间时间结构（我称之为“耗散结构”），这对于理解我们周围的世界是至关重要的. 因此，不可逆性是“真实”的，它不可能仅存在于我们的记忆之中. 我们不得不使用这种或那种方式将不可逆性纳入微观动力学的框架. 最近已经出现了许多处理该问题的专著，但我在这里要提一下由Peter Coveney和Roger Highfield的著作《时间之箭》[5]（译注：有中译本，江涛等译，湖南科学技术出版社，1994）所作的卓越介绍. 在该书中，他们将此问题称为“时间的最大奥秘”.
但是如何解决这一佯谬呢？
在我的同事和我所做的工作中，我们遵循时间箭头必然与动力学不稳定性有关的思想. 我首先来叙述不稳定动力学系统的一个最简单例子：所谓面包师变换. 见图4. 我们考虑一个正方形. 我们压缩它并将右半部置于左半部之上如图4所示. 这就引起了正方形表面的逐步细化. 这显然是一个不稳定的动力学系统，因为无论多么近的两点最终将出现在相距很远的条纹中. 该系统可用Lyapunov指数来表征：
（2.1）
两邻近轨道之间的距离 随时间指数地增长. 系数 被称为Lyapunov指数；在面包师变换情形中它等于 . 正Lyapunov指数的存在是“混沌”系统的特征. 于是，存在一条时间的标准线；超出这条标准线，则轨道的概念失效，必须使用概率的描述. 这是大家都很清楚的. 然而，我想要强调的是，除了运动学时间t之外，对于该系统我们还能引入“第二种－内部”时间T；这种时间度量产生一种给定的配分所需要的移动次数. 例如，从图4的状态[a]出发要得到状态[c]，我们需要移动两次. 正如我们的小组所证明的，特别是在Misra教授的工作[6]中将这一内部时间用一算符表示后，该算符形成了一种非常类似于我们在量子力学中所用到的那种非对易代数. 一旦你有了内部时间，构造一个熵从而将面包师变换与时间箭头联系起来则是很容易的事.
重要的是要注意，内部时间是指一种全局的如正方形配分所表示的那种性质；这是一种“拓扑”性质. 仅仅当将正方形作为一个整体考虑时，你才能将其与一定的内部时间或一种“年龄”相联系. 就如你在看某人时那样. 你将赋予他的年龄并不依赖于其身体的一个特殊部位，而是从一种全局性的判断得到的. 面包师变换及其与时间箭头的关系的详细叙述可以在我与Nicolis教授合著的书[4]中找到. 然而，面包师变换对应于高度理想化的情形. 在此基础上还并不清楚为何时间箭头如被热力学第二定律普适的正确性所验证的那样，在自然界是如此之普遍. 这就是现在我想转而讨论的问题.
三．Poincare定理和混沌科学：巨Poincare系统
1889 年，Poincare提出一个基本问题[7,8]. 我必须指出，他的问题并非是用现在这些我用于讨论的名词来阐述的. Poincare问，物理世界是否同构于一个由非相互作用单元所构成的系统？众所周知，能量（“Hamiltonian”H）一般由两项之和构成：所包含的各单元的动能和对应于这些单元之间相互作用的势能. 因此，Poincare的问题是：“我们能消除相互作用吗？”
这的确是一个非常重要的问题. 如果Poincare的回答是肯定的，那么世界上就可能没有相干性，就没有生命，也没有Nobel会议. 他证明了你一般不能消去相互作用；进而，他给出了此结果的理由. 所以，这是非常幸运的. 理由是各单元之间存在共振. 人人都熟悉共振的思想. 这是孩子们学习荡秋千的方式. 让我们来更精确地描述Poincare的问题. 我们从如下形式的Hamiltonian出发：
（3.1）
式中 是动量和坐标. 于是我们问这样的问题:我们是否能将其化为形式
（3.2）
式中 为新的动量（所谓作用变量）. 在这种形式中，Hamiltonian只依赖于动量. 为了实行从（3.1）到（3.2）的变换，Poincare考虑了一类保持Hamilton理论结构的变换（所谓正则变换或么正变换）. 更确切地说，Poincare考虑了形为
（3.3）
的Hamiltonian，其中 为耦合常数， 为既依赖于动量 又依赖于坐标 （被称为角变量）的势能. 对于2个自由度，势能可展成Fourier级数
（3.4）
式中 为整数. 微扰技术的应用便导致形为
（3.5）
的表达式. 其中频率 被定义为 . 在这里我们看到了共振（或“小除数”）的危险作用
（3.6）
显而易见，可以预料当（3.6）为零而（3.5）中的被除数不为零时将出现困难. 这已被Poincare称为“动力学的根本困难”[7]. 于是我们就得到了动力学系统的Poincare分类[7,8,10]. 如果存在“充分”的共振，系统即为“不可积”的. 对于共振作用的理解的关键进展是50年代由Kolmogorov、Arnold和Moser所取得的（所谓KAM理论[3]）. 他们已经证明了，若（3.3）中的耦合常数足够小（还有一些其他我不准备在此时讨论的条件被满足的话），则“大多数”轨道如可积系统中那样仍然是周期性的. 这并不令人惊奇. 公式（3.6）可以被写成
有理数与无理数相比是“稀罕的”. 然而，无论耦合常数取何值，现在已经知道另外还将出现由正Lyapunov指数所代表从而以“混沌”为特征的随机轨道. 这确实是一个根本性的结果，因为在人们一直以为是决定论性描述的堡垒的动力学的核心处出现了无规性是十分出人意料的. 不过，应当强调，KAM理论并未解决Poincare不可积系统的积分问题. 人们广泛引用Arnold的如下论断：即使是只有2个自由度的动力学，系统也远远超越我们当今的数学.
但是存在一类我们称之为巨Poincare 系统（LPS）的动力学系统. 对于这一类系统，我们确实可以完全地消去Poincare的发散性从而对一类Poincare“不可积系统”真正地“积分”. 该结果是我与我的Brussels和Austin的同事们数年研究工作的成果[9]，然而只是在最近才解决了积分巨Poincare系统这一问题. 我想一开始就应对Tomio Petrosky、长谷川（Hiroshi Hasegawa）和高木（Shuichi Tasaki）的根本性贡献[10-14]表示感谢.
首先，什么是巨Poincare系统？这是一个具有“连续”谱的系统. 例如，公式（3.4）中的Fourier级数已由Fourier积分代替. 共振条件取一新的形式. 具有任意自由度的小系统的共振条件为（见（3.4））
（3.7）
式中 为整数. 前已提及，共振条件即表示频率之间存在有理关系. 对于巨Poincare系统，条件（3.4）必须代之以
（3.8）
式中 为实数. 现在共振条件是“处处存在”的. 该情况类似于面包师变换，其中也是几乎所有的运动都是无规运动. 而且，巨Poincare系统是以涉及共振积分的相互作用为特征的（例子见下）. 在我将讨论例子之前，我要强调的是，巨Poincare系统的思想在量子力学中仍然是有意义的. 频率 变成能级. 对于小系统，共振条件（3.7）将对应于偶然“简并”. 但对于巨Poincare系统，我们有连续谱，情况变得与经典力学十分类似. 巨Poincare系统具有惊人的普遍性. 我们在经典物理和量子物理中处处可以遇到它们. 让我给出两个例子. 物质与电磁场之间的相互作用导致辐射的激发（见图6）. 激发态的寿命由物理学家所称的Fermi黄金律给出1级近似，此定律涉及到对共振的积分
（3.9）
式中 为关于辐射的频率， 为关于不稳定态的能级. 这是共振积分的一个例子. 所有含有“碰撞”的多体系统都是LPS（见图7），因为碰撞也涉及共振（见第五节）. 巨Poincare系统在通常的意义中是不可积的，因为有Poincare共振，但我们在这一讲座中想要指出的是，我们可以通过消去所有Poincare 发散性的新方法来对它们进行积分. 这便得到了动力学（经典的或量子的）一种新的“整体”形式. 当我们在这里处理混沌系统时，我们便可期望得到动力学在此形式中的新特征. 确实，我们将发现，与可积系统的动力学相比较，无规性的作用增大了；首先是时间对称性的破缺，因而不可逆性显现于该新动力学的心脏. 从某种意义上来说，我们转换了时间佯谬的通常形式. 通常的方法是试图从基于时间可逆方程的动力学来导出时间箭头. 相反,我们现在是推广动力学以包括不可逆性.
我们可将这种情况归纳为下图：
图的顶部是可积系统类（经典的或量子的）. 这是动力学所探索的主要领域. 动力学可积系统的基本结构可表达为著名的定律（或原理），如断言轨道是使得某些泛函（作用量）为极小的作用量原理. 这种结构已经成为量子力学和广义相对论的出发点.
然而Poincare定理为可积系统设置了界限. 因此基本问题将是：其后将发生什么？现在是如何解决小除数这一问题的？计算机的计算并不会导致无穷大！
我们曾经提及，第一级台阶是KAM理论. 共振的物理效应是无规运动的出现. 对于LPS，几乎所有运动都是无规的. 于是值得注意的事实是，我们又能“积分”运动方程了. 但现在动力学的结构变得与可积系统根本不同. 我们现在不得不偏离动力学方案中与经典传统相联系的固有结构，这是极为诱人的.
四．Poincare定理与量子力学的本征值问题
我想要讨论的第一个例子是量子力学. 众所周知，量子力学已经引起我们思想中的一场革命. 在经典力学中，“可观测量”由数表示. 量子力学所采取的新观点是用算符表示可观测量. 例如Hamiltonian 现在变为Hamiltonian算符 . 我们可用本征函数 和本征值与此算符相联系：
（4.1）
算符 作用在本征函数 上，重新产生该函数与本征值 的积. 本征值对应于关于算符 的物理量的数值. 一旦我们有了完备的本征函数集和本征值，我们就有了关于 的“谱”表示（顶标 已略去）.
（4.2）
求谱表示（或解本征值问题）是量子力学的中心问题；然而，这种问题仅在很少的几种简单情形下被求解，而在大多数时候我们必须求助于微扰技巧. 如在Poincare定理中那样，我们可从形为
（4.3）
的Hamiltonian 开始；这里我们假定对“未扰动”Hamiltonian ，本征值问题是可以求解的. 于是我们来找 的可展成耦合常数 的幂次的本征态和本征值. 就是在这里，可以作出与Poincare分类的联系. 对于不可积Poincare系统，本征函数和本征值展为耦合常数的幂次将由于小除数的发散性而引起Poincare突变. 在Petrosky与作者最近的论文[10]中已经研究了Poincare定理与量子力学本征值问题之间的关系.
让我们再来考虑量子跃迁问题（见图6）（实际上我们考虑的是省略了虚过程的、被称之为Friedrichs模型的简单形式[15]）. 当我们试图用通常的微扰论来求解该问题时，我们面临着Poincare的发散性；在这一例子中，该发散性与形为
（4.4）
的除数有关，其中 为激发态的能量， 为对应于波矢 的模的辐射能量. 为了避免发散性，我们必须给出（4.4）中除数的意义.
在这里引入了Poincare不可积系统在新的推广意义中“可积”的基本要素. 我们引进动力学状态的“自然时间编序”. 为使我们所要说的更清楚，考虑一个平凡的例子. 一块石头可以掉入一水池并产生向外发射的波. 我们也许可以有逆反的情况：入射波将使一石头跃出（见图8）. 实际上，只有一种情形是可能实现的：自然的时间编序是先落下石头，然后波发射. 类似地，为了给出Poincare除数的意义，我们必须对动力学状态进行时间编序——首先有不稳定原子状态，然后有辐射的激发. 这相当于Bohr的原子受激辐射图像，辐射相当于推迟波. 更确切地，我们将除数
（4.5）
与跃迁 相联系，而将除数
（4.6）
与跃迁 相联系. 如我们所证明的[11,12]，这一简单规则导致当我们对辐射的波长积分时所有Poincare发散性的消除. 这就是理论物理中通过“解析开拓”表示过去和未来的差别的标准做法．一般读者对我们按照它们所联系的过程类型不同而修改Poincare除数这一点，是可以接受的. 我们用这种方式便可得到Schrodinger方程的复数解. 本征值现在包含了相当于阻尼的虚部，而本征态有一种破缺的时间对称性. 我们选择这一简单例子是由于在这种情况下存在一个标准解，然而，该标准解对于耦合常数不是解析的（粒子从谱中消失了[15]）.
因而，我们能够将我们的结果与标准处理进行比较，看看我们的方法是否有意义. 我们的确恢复了全部已知的结果，然而除此之外，当我们具有破缺时间对称性的态时，我们可以引进一个起到Boltzmann H函数作用的泛函. 当粒子受激辐射并向基态衰变时，这一泛函单调下降（见图9）. 我们也可以至少作为一种思想实验而在衰变开始之后的时间 作时间反演. 此结果示意性地表示在图10中. 在反演时刻 ，H量有一跳变 ，其中 是不稳定状态的寿命. 然后H开始下降，在 处我们有H =H ；H的下降一直持续到粒子衰减完为止. 因为我们将H函数与粒子衰变相联系，故衰变成为一种不可逆过程.
我们可以将我们已经做的总结如下：为了避免Poincare的灾变，我们扩充了变换类型从未扰动的Hamiltonian （见（4.3））的本征函数得到完整Hamiltonian的本征值. 用比较技术性的术语说，情况如下：Poincare只考虑了在其他性质中保持本征值为实数的正则（或么正）变换. 我们引进了产生复本征值的更为一般的变换. 这些变换的特殊选择来自我们对于动力学状态的时间编序的推导.
从困扰量子力学的认识论方面的问题来看，此结果已具有重大的意义. 我们首先记得量子力学的基本方程是波函数 的Schrodinger方程
（4.7）
所有的量子力学教科书都指出该方程是时间可逆的和决定论的（我们将一些与弱相互作用有关的“病态”情况剔除在外）. 的物理诠释是，它表示一种几率“幅”. 可是,几率性质却由
（4.8）
给出. 我们将在下一节回到从几率幅 到几率性质 这种转变上来.
量子力学可能是最成功的物理学理论，但对其概念性基础的讨论一直没有停止过. 我推荐一本由J. S. Bell所著的新书《量子力学中可以说的和不可以说的》[16]. 它们是量子跳变吗？这是一个极会引起争议的话题. Schrodinger方程（4.7）描述一种光滑演变. 那么为何会有量子跳变？此外，（4.7）是时间对称的：若存在自发发射，则亦必定有自发吸收. 流行的Copenhagen诠释是，量子跳变是我们的测量造成的. 这将是十分奇怪的，因为所有的化学和生命都是量子跳变的结果，那么生命是如何成为我们的测量的结果的呢？我们的方法解决了这一问题，因为该方法将量子跳变与只能出现在（我们的）未来的一种不可逆事件联系了起来.
在我们回到构造量子力学的概念性基础与动力学不稳定性之间密切联系的这些吸引人的问题之前，让我们作出如下评论：
我们已经处理的例子是一个非常简单的例子，因为我们可以在通常量子描述的框架内（所谓“Hilbert空间”中）引入一种自然的时间编序. 但一般来说，这是不可能的（想一想所有态都作对称作用的散射）. 于是我们将在下一节看到，我们必须在统计描述的层次上引入一种自然的时间编序. 这就会得到LPS在十分普遍的情况下的积分，从而导致动力学有与过去根本不同的新形式.
五．Poincare定理与动力学的统计阐述
从第四节中所研究的例子来看，对于我们如何才能避免Poincare灾变现在应当很清楚了：只有通过在理论中引入动力学状态的一种时间编序，它对于小除数将采用非常明确的“规则化”步骤（见（4.5）和（4.6））. 然而怎样引入这种时间编序呢？如我们现在将要看到的，这里我们必须转入统计描述. 使人意外的是，我们的处理方法确证了Boltzmann于一个多世纪前处理气体动力学的方法. 但是Boltzmann不可能猜到混沌理论的出现，也不会知道他正在研究“不可积Poincare系统”.（他，以及Maxwell之所以将希望寄托在遍历性理论上，是因为遍历性理论对于平衡的理解确实有用，但对动力学目的并非如此.）
在统计联系早期，Gibbs引入了一个相当基本的概念：“Gibbs系综”. 他不去考虑单个动力学系统而是考虑与构成每一个动力学系统的粒子的坐标 和动量 相联系的在相空间中演化的大量动力学系统（见图11）. 于是在描述中使用了相空间中的几率分布：
（5.1）
这种描述对于量子系统也是有意义的. 而几率分布 就被称作“密度矩阵”. 一旦我们知道了 ，我们便能计算出粒子的速度分布以及存在于粒子间的关联.
那么此时时间如何进入这种描述？
我们来考虑一种经典气体. 粒子会碰撞而且这些碰撞产生关联（见图12）. 首先我们有二体关联，然后是三体关联；随着时间的持续，关联涉及到越来越多的粒子.
关联的形成有点使人联想起进行会谈的两个人（会谈相当于一次碰撞）. 即使当会谈双方离开，他们的会谈印象仍然保留着. 关于这一会谈的信息将随着时间的推移散布给越来越多的参与者.
假定我们观测一杯水. 在这杯水中有一时间箭头；实际上，该时间箭头将永远保持着，相当于新关联的产生，这种关联涉及到总是增长的粒子数. 按照存在于分子间的关联，我们可以区分“年轻的”水和“年老的”水！最近所做的计算机实验证明了二体关联出现得非常快，而三体关联涉及到较长的时间尺度，如此等等. 关联的这种定向流破坏了经典描述中的对称性. 让我们从（一个多体系统的） 时刻的无关联态A转变到时间为的涉及多重关联的态B（见图13）. 显然，从A到B的转变涉及到与从B到A的逆转变十分不同的物理过程.
我们将不得不引入关联的时间编序于动力学以避免Poincare灾变：二体关联先于三体关联出现，如此等等. 因而我们必须使用关联的时间演变来描述动力学.
这相当于是与经典动力学不同的观点：问题不再是研究每一粒子随时间变化的位置和动量，而是追踪粒子间关系的发展[17]. 在此概念框架内，我们可以通过将向较高关联的转变处理为“未来定向”，将向较低关联的转变处理为“过去定向”，恰如在（4.5）和（4.6）中我们所做的那样，来避免Poincare灾变.
由Gibbs系综理论可以得到密度矩阵 的时间发展方程
（5.2）
它在形式上类似于Schrodinger方程（4.7）. 即所谓的Liouville算符，可以利用经典力学和量子力学中的Hamiltonian表示. 我们提到过Poincare处理了形为
（5.3）
的Hamiltonian. 这相当于Liouville算符的分解
（5.4）
为求解Liouville方程（5.2），我们必须如在Schrodinger方程情形中那样求解本征值问题（见（4.1））
（5.5）
对于可积系统，这没有问题. 而Liouville方程（5.2）则将索然无味，因为问题将化为通常的动力学问题（求轨道或波函数）. 然而，对于不可积系统，问题从根本上改观了. 换言之Liouville方程描述了由于与未扰动系统有关的运动不变量的破坏而引起的混沌的出现.
又是Poincare定理妨碍我们通过展为耦合常数 的幂次的么正变换（保持 的实数性）求出（5.5）的解. 业已提到，我们是通过在理论中引入如下补充性因素来解决这一困难的：关联的时间编序. 于是我们得到可以求解的复本征值问题，它将导致阻尼，并通过H函数的出现导致不可逆性（见第四节）. 该新动力学具有一些突出的特征，它呈现出对于经典或量子理论中所描述的可积系统的动力学特征的基本偏离.
为了定性地理解发生了什么，我们来更为贴切地分析“碰撞”的思想中所包含的内容. 实际上，一次碰撞已经相当于一个复杂的过程，在此过程中粒子接近、通过共振交换能量、然后分开. 我们可以将一次碰撞视为一个接一个的共振所束缚的态[8]. 在一Hamilton系统中（硬球情况作为一种极限情况不在考虑之列），一次碰撞并非一个自发的类点事件，而是在空间和时间上都具有广延性的.
最近，Petrosky与作者已经证明，Liouville算符 的谱基本上由碰撞的动力学确定. 这即意味着对适用于可积系统的通常动力学方法的根本性偏离；在可积系统中，发展演化可分解为一个接一个的自发时空事件（使人联想起Feynman图）. （对于熟悉动力学的读者，我提一下：传统的动力学方程Fokker-Planck方程含有二阶导数；这恰恰是由于碰撞被描述为一种二体关联所致.）为此， LPS的动力学仅能在统计的层次上被阐述，因为我们既不可能在经典情况中将动力学化为轨道，也不可能在量子情况中将动力学化为波函数. 我们在这里所处理的是可积系统中完全不会出现的动力学状态，这对于动力学的伟大传统并不那么令人吃惊. 然而，这种偏离已经出现在KAM理论中，但在那里行为是如此地复杂以至于任何定量描述都不可能（我们不得不使用由于共振叠加而坍缩的共振环定性判据）. 对由于共振而引起并导致Poincare不可积性的物理过程给出一种简单描述，正是通过对LPS的研究所实现的主要进展.
我们的处理已经被对LPS的简单例子作出的数值计算所证实. 我们可以从一种（尽可能接近于相空间中的一点的）统计分布出发. 于是我们看到系统经历了相当于Lyapunov不稳定性（见（2.1））的出现、相空间中的折叠和由于“碰撞”而引起的扩散的各个阶段.
我想再次强调的主要论点是，不稳定性破坏了轨道（或在量子力学中是波函数）概念本身，因为现在基本描述是使用了统计系综.
现在让我们给出一些结论性的意见.
六．结论性的观点
Poincare不可积动力学系统的积分对于LPS导致了一种新形式的动力学，它包含了不可逆性（破缺的时间对称性），并在经典和量子力学中呈现出几率的越来越大的作用. 我们在第二节中描述过的时间佯谬已用这种方式消除掉了（见图14）.
在“旧”情况中，我们不得不在微观的时间可逆的层次与备有时间箭头的宏观层次之间架桥连线（图14）. 然而，时间怎么可能产生于无时间？
现在（图15）我们有了一个新的具有时间对称破缺的微观层次；通过平均的步骤，从该微观层次中出现宏观耗散层次. “旧”的微观层次已变成不稳定的.
这可以得到对混沌作用的一种较好的理解. 实际上，混沌存在两种十分不同的表现. 当我们研究包括耗散的宏观方程，例如反应扩散方程或流体的Navier-Stokes方程时，我们已面对属于LPS的基本微观描述的情形. 换言之，正是这种方程的存在预先设定了“动力学混沌”. 这并不令人奇怪. 确实，例如摩擦或扩散的性质涉及到能量通过碰撞的交换. 这些宏观方程可以导致混沌（化学混沌和湍流）. 这种耗散混沌处在动力学混沌的“顶部”. 我们曾提及，耗散混沌是自组织的一部分，因为它出现在非平衡和非线性系统中. 化学相干性例子是振荡化学反应. 因此，简言之，出现于非平衡态中的宏观有序是动力学混沌的产物. 甚至趋于平衡时也成为动力学混沌的结果. 所以，在所有这些情况中，我们有“有序来自混沌”[1]. 我们也曾提及LPS是演化的系统. 一旦初始条件给定，它们便将经历诸如由Lyapunov指数所描述的各种阶段，扩散过程 . 然而，不可逆性并不与Newton时间（或其Einstein推广）有关，而是与表示构成系统的各单元之间的“内部”时间有关（诸如粒子之间的关联）. 我们不可能使关联的流停止，因为我们无法阻止不稳定原子态的衰变.
Nobokov曾写道：是真实的东西就不能被控制，能控制的就不是真实的. 这句话在这里也是成立的. 除了求解时间佯谬外，通过LPS的积分所得到的动力学定律取得了许多远远超出我们原始动机的结果. 我们已在第四节提及与量子力学认识论方面的问题的一些关系. 我们现在更进一步. 众所周知，量子力学的基本量是几率幅 ，满足Schrodinger方程（4.7），但我们只能作几率的测量！所以，我们需要从波函数所描述的“潜在可能”变成几率所描述的“真实情况”的另一种机制. 在Paul Davies所写的《新物理学》[19]的引论中，他写道：“在岩层底部，量子力学提供了一种高度成功的对微观系统的观测结果进行预测的办法，但当我们问一下观测进行时实际上发生了什么时，我们什么也得不到！”从例如Hugh Everett III的大千世界诠释，到John von Neumann和Eugene Wigner的求助于观测者灵感的神秘思想，都是为解开这一佯谬所作的企图. 在半个世纪的争论之后，量子观测的辩论一如以往仍旧那么活跃. 极小和极大的物理学问题都是难以对付的，然而这一新领域——思维和物质的接合部也许将被证明是新物理学中最有前途的传统. 有趣的是，当我们在新动力学描述中直接处理几率时，可以从动力学不稳定性和混沌中得到该基本问题的解答. 在这种情况中，LPS中的量子力学叠加原理失效是由于动力学不稳定性，而不必求助于任何深奥的考虑如大千世界诠释或引起宏观系统波函数编缩的新宇宙常数的存在. 我们得到了消除掉任何位于物理学之外的观测者主观愿望的真实的量子力学诠释形式.
本世纪已经被量子力学和相对论这两种新的概念性结构所统治. 人们经常强调（见M. Sachs[20]），主观因素通过测量过程的侵入将在我们想要将量子论和相对论结合在一起时引起困难. 然而，不可积动力学系统也可能使相对论变样，因为基本的动力学事件（碰撞）不再对应于瞬时和局域的时空事件.
我相信我们因而确实处在“新物理学”的开端. 迄今为止，我们的自然观都是受可积系统的理论支配的，无论是经典力学还是量子力学. 这相当于一种过分的简化. 我们周围的世界含有不稳定性和混沌，因而需要对一些基本的物理概念进行根本的修正.
让我表达我所确信的结论：将来，Poincare的不可积性定理将被视为一个转捩点，它有点类似于经典力学时期当应用于黑体辐射而导致发散时的发现. 这些发散性必须由量子论来治愈. 类似地，Poincare发散性也必须在我试图以本文中定性方式描述的意义上用动力学新形式来治愈.
鸣谢
本工作是多年来Brussels-Austin小组的工作结果. 我不可能引用所有这些成果，但我还是要特别感谢Cl. George，F. Mayne和T. Petrosky.
我们还要感谢Austin的Texas大学，Solvay研究所能源系，Welch基金会和欧共体委员会的资助.
参考文献
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5． Coveney P. and R. Highfield. The Arrow of Time, Allen, 1990
6． 总结见[4]
7． Poincare H. Methodes de la Mecanique Celeste, Gauthier-Villars, 1892; 重印本，Dover, 1957
8． 简单说明见I. Prigogine. Non-EquilibriumStatistical Mechanics，Wiley InterScience, 1962; （有中译本《非平衡态统计力学》， 上海科学技术出版社，1984）
9． Prigogine I. From Being to Becoming :Time and Complexity in Phusical Sciences，W. H. Freeman, 1980；（有中译本《从存在到演化》，上海科学技术出版社，1986）
Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Wiley, 1985
George Cl.,Mayne F. and I. Prigogine. Adv in Chemical Physics, 1985, 61:223
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11. Hasegawa T., Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Foundations of Physics, 1991, 21:263
12. Petrosky T., Prigogine I. and S. Takaki. Physica, 1991,170A:306
13. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. （待发表）
14. Prigogine I., Petrosky T. and S. Takski. Physica, A（待发表）
15. Balton G. Advanced Field Theory, Wiley TnterScience, 1963
16. Bell J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 1987
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18. Hasegawa H. and B. Saphir. （待发表）
19. Davis P. (ed) The New Physics, Cambridge University Press, 1989
20. Sachs M. Einstein versus Bohr , Open Court, Illinois, 1988
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