第二章 波函数和薛定谔方程
[教学要求]
通过本章的学习，应使学生掌握波函数的物理意义，薛定谔方程建立的过程及简单的应用。
§2.1波函数的统计解释
按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。怎么理解粒子性和波动性之NJ的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。
能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果矛盾。实际上，单个粒子也有波动性。
那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。以自由粒子为例。对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E和动量P均为常矢量。按德布罗意关系(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相联系的波的频率。，波矢k均为常数及常矢量。因此和自由粒子相联系的波是平面波。即
（2.1.1）
其振幅A与坐标无关。因此它充满全空间。若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k的函数，按§1.4，必然存在色散。如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。这当然与实际情况不符。
在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。即使到现代，也仍然有不同观点。而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn)提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。感光底片在r处的强度，与打在该点的粒子数成正比，也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。波函数所刻划的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。事实上，通常波动性总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相干叠加，而出现干涉和衍射等现象。而在玻恩的统计解释中，他保留了波的最重要的特性一一相干叠加，不过，他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。玻恩提出的波函数统计解释是:波函数在某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是概率波。
按照波函数的统计解释，有：
(1)由于
给出在t时刻，粒子出现在r处的概率密度，因此原则上我们可由统计平均值公式
（2.1.2）
求出描述体系状态的力学量f(r)的平均值
。在这种意义下，一般认为，φ(r,t)描述了微观粒子的运动状态，即量子态。然而应该指出，在量子力学中对量子态的描述和经典力学中对状态的描述有根本不同。在经典力学中描述状态靠给定一些力学量，如广义动量，广义坐标等等，在热力学中描述体系的宏观状态靠给出一些宏观量，如压强、温度、体积以及状态方程。但在量子力学中，描述粒子的量子态靠给定波函数沪，但砂本身不是力学变量，也不具有任何经典物理学中物理量的意义。由幼所给定的只是在它所描述的量子态中，测量某力学量的平均值或者这个力学量的各种可能值和出现这些可能值的相应的几率。至于这种描述是否完备以及在这种描述的背后是否还隐藏着某些更深刻的东西，或者某些“隐变数”，这是争论极多的问题。有兴趣的读者可参阅本书的第十二章。
(2)由于粒子在某一时刻在空间中某点出现的几率应该单值，因此，除个别孤立奇点外，波函数P(r,t)应该是;的单值、有界和连续函数。
{3}在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性:
(i)常数因子的不确定性。若C为常数，则扒r,t)和C},(r,t)描述同一个物理状态。因为它们的相对几率相同:
φ和Cφ表示同一个概率波。通常，C由总的概率为1的归一条件决定。
(ii)相角的不确定性。由于φ(r,t)与φ(r,t)eiα(α为实常数)的模相同，因此α不定。这说明，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念。
(4)对于许多物理态，由于粒子总要在全空间中出现，是必然事件。粒子在全空间中出现的几率为la因此一般应要求，波函数φ(r,t)应该是平方可积函数，是可归一化的，即
(2.1.3)
但应该指出，并非所有波函数均可用(2.1.3)式的方式归一化。例如平面波(2.1.1)式，就不是平方可积函数。对于这一类在无穷远处φ不趋于零的波函数，其归一化问题我们将另行讨论。
(5)容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。设体系由N个粒子组成。φ(r1,r2，…,rN,t)是描述这个体系状态的波函数，则
表示在t时刻第一个粒子出现在
,第二个粒子出现在
，第N个粒子出现在
的几率。相应的归一化条件是:
(2.1.4)
(6)显然，描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标r、时间t为自变量，也可以用其他变量，比如用动量p为自变量。以p、t为独立变量的波函数C(p,t)，它的物理意义是
表示在，t时刻，粒子的动量在
的几率，相应的归一化条件是
(2.1.5)
C(p,t)为动量几率分布函数。对于描述粒子的微观状态,C(p,t)起着和φ(r,t)相同的作用。于是自然会问,C(p,t)和φ(r }t)之间的关系是什么?我们将在下一节中回答这个问题。
§2. 2态叠加原理
量子力学对粒子运动状态的描述与经典力学完全不同。在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，则不但在该时刻粒子的状态完全确定，而且原则上还可以通过求解牛顿方程确定以后任何时刻的坐标和动量，从而确定以后任何时刻粒子的状态。但在量子力学里，粒子的运动状态用波函数描述。在某一量子态中测量坐标和动量，一般地，坐标和动量不同时具有确定值。以平面波为例，平面波的动量p有完全确一定的数值，但它的振幅与空间坐标无关，粒子在空间各点出现的几率密度相等。换句话说，粒子的位置坐标是完全不确定的。一般说来，在量子力学中，除非必ψ(r,t)是平面波，否则在以ψ(r, t)描述的粒子的量子态中测量动量p，将无确定值。因此，在任一量子态ψ(r,t)中测量动量，由于每一个确定的动量都对应一个确定的单色平面波，故而实际上等于是将ψ(r,t)按对应于各种动量的平面波展开，将ψ(r,t)视为由各种单色平面波叠加而成的波。从数学上看，相当于对φ（r,t）作傅里叶展开
(2.2.1)
在傅里叶展式中，每个分波都是单色平面波，都有确定动量。在物理上，傅里叶展开相当于作频谱分析。(2.2.1)式中的展开系C(p,t)，表示用各种相应的平面波叠加出ψ(r,t)时，各种平面彼的几率幅，或者说，在ψ(r,t)中，出现动量为p,能量为E的单色平面波的几率是
。
在量子力学中，既可以用ψ(r,t)描述粒子的量子态，也可以用C(p,t)描述粒子的量子态。因为按量子力学，
给出在t时刻，在r处粒子出现的几率密度。由这个几率密度，原则上可以算出在以ψ(r,t)描述的态中的各种可观#11量的平均值。同样，
给出在t时刻，动量为p的几率密度。利用C(p,t)，原则上也可算出在同一量子态中的各种可观测量的平均值。所不同的只是ψ(r,t)是量子态在以r为自变量，在坐标空间中的表示，而C(p,t)是量子态在以p为自变量，在动量空间中的表示。它们是同一个量子态在两个不同表象中的不同表示。这两种表示是完全等价的。关于表象理论，以及关于上述的坐标空间及动量空间的严格意义，我们将在第四章中作深入的探讨。
利用复变函数论中的巴塞瓦等式，不难证明
(2.2.2)
亦即如果(P(r,t)是已经归一化的波函数，则C(p,t)也是归一化波函数。
傅里叶展开是将波展开为无限多个单色平面波后带权重C(p,t)的线性叠加。在量子力学中，在波函数统计解释的意义下，我们将权重c(p,t)解释为在O(r,t)中出现动量为p的平面波
的几率幅。这里应该特别强调，这种叠加是线性的。而且这种叠加的“统计解释”直接与测量联系起来:在波f数州;，，)中测量动量，测得动量的数值为P的几率是{c(p,t)}2
自然，几率波的蚕加不一定非要由无穷多个波叠加而成。盈加的波的数目可以是有限的，也可以不满足傅里叶积分展开或傅里叶级数展开所必须满足的各种数学条件。在量子力学中，作为基本假定，引入一个非常根本的关于描述量子态的几率波叠加的态叠加原理:
如果
，
，…，是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数
( 2-2. 3)
也是体系的一个可能状态；当体系处在该态时，出现
的几率是|C1|2，出现
的几率是|C2|2，…余类推。
在（2-2. 3）式中，n可以是有限的，也可以是无限的。这个原理称为态叠加原理。
现在对态叠加原理进行一些讨论：
(1)态叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。
(2)在(2.2.3)式中出现的叠加，是波函数，或者说，是概率幅的叠加，而不是概率的叠加。因而它必然出现干涉、衍射等现象。仍以双缝衍射为例。设通过第一个缝的波函数为必、，第二个缝的波函数为沪:，同时开启两个缝后的波函数
是
和
的线性叠加
(2.2.4)
在(2-2-4)式中出现干涉项
。
(3)这里还要指出，在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之间的干涉。为说明这个问题，讨论一个一束偏振光通过检偏片的例子。设光的偏振方向与晶袖的夹角为a。根据光学中的马吕斯定律，若入射光的强度为I。，则通过检偏片后的光强I是
(2.2.5)
这表明，若光的偏振方向与晶轴平行，
=0时，光全部通过检偏片；若相互垂直
=900时，光被全部吸收。当两者之间的夹角为
时，原入射光强的
通过检偏片，它的
被吸收。
现在减弱入射光束的强度，如果我们能使装置中的光强减到只让一个光子入射，则当
=0时，光子通过，并且光子的能量和偏振方向在通过检偏片前后不变。当
=900时，光子被吸收。当夹角为
时，在通过检偏片后，既有可能观测到光子，也有可能观测不到光子。观测到光子的几率是
，观测不到光子的几率是
。当然，观测到的光子总是一整个光子，而不是半个或者
个光子。
将描述
=0时光子的波函数记为
，
=900时光子的波函数为
。则当夹角为
时，描述光子状态的波函数是
(2.2.6)
单个光子的波函数满足态叠加原理(2.2.6 )式，说明单个光子的波函数本身就有相干的现象。相干现象并非多个光子的集合才具有的性质。这正是几率波和通常的水波，声波等物质波之间的重要区别。
(4)由于一般说来，态依赖于时间，是t的函数，因此态叠加原理不仅对某一个时刻成立，而且随着时间的变化，态叠加原理仍然成立。这就暗含着
随时间演化的方程必然是线性方程，因为只有这样，态蚕加原理才能在任何时刻都成立。
2. 3薛定愕方程
在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量t的二阶全微分方程，方程的系数只含有粒子的内禀物理量—质量。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。
在量子力学中，体系的运动状态由波函数到
（r,t）描述。和经典力学类似，也可以建立一个决定
(r,t)随t变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足下述条件：
(1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程。
(2)方程的系数必须仅含有诸如质量m，电荷e等内禀物理量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量P等。另外，方程的系数应含有普朗克常数，以表征这一方程确是描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。
(3)因为波函数
的变数是r, t，因此它必然是个关于r和t的偏微分方程。我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。因为根据数学物理方法中的史斗姆一刘维定理，二阶正规的偏微分方程的解，存在唯尸一性定理成立。
(4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理:当A~。时，它能过渡到牛顿方程。
(5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。
当然，只有这些条件，不足以惟一地决定所需要的描述随时间变化的方程。上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必要的条件，给建立方程以启迪。
根据条件（5），将平面波（2.1.1）式对t求偏微商后得
（2.3.1）
但它还不是我们所要求的方程，因为它的系数中还含有能量E。再把（2.1.1）式对坐标求偏微商后得
（2.3.2）
在非相对论条件下，对于自由粒子，能量只有动能，能量和动量的关系式为
比较（2.3.1）和（2.3.2），我们得到自由粒子波函数所满足的微分方程
（2.3.3）
它满足前面所述的条件。由（2.3.1）及（2.3.2）式有可看出，能量和动量作用在波函数上的结果与用算符作用在波函数上的结果相同。即存在着对应关系
（2.3.4）
1926年，薛定谔推广上述规则至一般情况，建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程。设单粒子体系的哈密顿量为
（2.3.5）
利用对应规则（2.3.4）式将能量，动量均用算符表示，并作用在波函数上得
（2.3.6）
（2.3.6）式称为薛定谔方程。对多粒子体系，其哈密顿量是薛定谔方程是
显然，薛定谔方程是满足必要条件（1）（2）（3）（5）。关于必要条件（4），以后将证明，当时，准确到的零次幂，薛定谔方程将过渡到经典分析力学的哈密顿-雅可比方程。至于力学量和算符间的对应关系（2.3.4）式，在第三章中将进一步阐述。
由于我们所选用的哈密顿量H是非相对论，因此薛定谔方程只适用于非相对论情况。
关于薛定谔方程，注意：
（1） 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动力学的基础，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。必须指出，在本节中我们并未建立薛定谔方程，即使对自由粒子的情况也同样。因为严格说来，只知道微分方程的解不足以建立微分方程。
（2） 应该指出，利用算符对应关系（2.3.4）式以构造薛定谔方程容易引起一些混淆。这表现在：对应关系（2.3.4）式是个带微分商算符。通常，一般的微商算符不具有坐标变换下的不变性，即微商算符不是协变的。
2. 4 一维无限深势阱
1. 一维无限深势阱
求解势场U（x）为
U（x）= 0 
∞ 
（2.4.8）
的薛定谔方程。由于在
a处，势场为无限大，因此粒子出现的几率为零。薛定谔方程和边界条件为
(2.4.2)
在
区域内的通解是：
(2.4.3)
利用边界条件
及
，得
-Asin
(2.4.4)
解是：
(ị) A=0,cos
,
(n是奇数)
(ịị)B=0,sin
,
, （n是偶数）
代入(2.4.3)后得出体系的能级是
（n=1，2，3，…） (2.4.5)
归一化后的波函数是：
0 
(2.4.6)
对于基态，n=1，从(2.4.5)式得基态能量是E1=
，对于激发态，能级En与n2成正比。能级的分布是不均匀的。由于波函数
只局限在
的势阱内，无穷远处的波函数为零，粒子不可能出现在无穷远处。我们把粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态称为束缚态。一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
由(2.4.6)式可见，n=1时，基态波函数在整个
区间中无零点。这种零点亦称为节点。基态波函数无节点。当n=2时，
，第一激发态在
的区间中有一个节点，余类推。可以证明，
有（n-1）个节点。
另外，从(2.4.6)式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足：
（n为奇数）
（n为偶数） (2.4.7)
即，n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。可以证明，在一维情况下，只有在势场满足U(x)=U（-x），是x的偶函数时，波函数才具有确定的宇称。
从(2.4.6 )式还可看出，在
的区间内，波函数实际上可看成是一个由左向右传播的行波e
和另一个由右向左传播的行波e
叠加而成的驻波。这个结果是很自然的。因为边界条件是
在x=
处为零。它的解就像一根两端固定的弦，满足波动方程的解是一系列驻波。
2.一维方势阱
求解势场U（x）为
U（x）= 0 
U0 
（2.4.8）
的薛定谔方程。讨论E<U0的情况。在
区，相应的薛定谔方程是
（
（2.4.9）
（2.4.10）
Be
（x〈-a/2〉 （2.4.11）
在
区，薛定谔方程是
（2.4.12）
（2.4.13）
其解为
（2.4.14）
根据2.3关于边界条件的讨论，可知虽则势能在x=士a/2处有间断点，但波函数
和波函数
对x的一级微商
在x=士a/2处仍然连续。利用
和
的连续条件可给出解的系数所满足的关系式。为方便起见，分两种情况讨论：
(i)在
区，取
，解具有偶宇称的情况
由于
和
在x=
/2处连续，因此
即对数微商在x=
处也连续。采用对数微商的连续条件有时比直接用
和
的连续条件更优越。因为对于
，
函数的归一系数已被消去。也就是说，它已经将由
和
的连续条件分别给出的两个方程式通过相除而变成一个方程式，从而将两式中一些相同的系数消去。利用x=a/2处波函数对数微商的连续条件可得
（2.4.15）
同理，由
在x=-a/2处的连续条件又可得
，与（2.4.15）式相同。引入
（2.4.16）
可将（2.4.15）式改写为
（2.4.17）
另外，由（2.4.10）和（2.4.13）式又可得
（2.4.18）
联立（2.4.17）及（2.4.18）式，解出
，再由（2.4.16）式可给出能谱。
(ii)在
区，取
，解具有奇宇称的情况
同样，利用波函数对数微商在x=
处的连续条件可得
即
-
(2.4.19)
同样，联立(2.4.18)—（2.4.19）式可求出相应的能谱。
(2.4.17)—（2.4.19）都是超越方程，可以用图解法求出能谱。在
平面中分别就(2.4.17)—（2.4.18）作出相应的曲线，曲线的交点表示波函数有偶宇称时相应的能谱。同样，作出(2.4.19)式相应的曲线，它与(2.4.18)式作出的曲线的交点表示波函数有奇宇称时相应的能谱。所得结果如图2.4.1所示。
由图2.4.1可见，对于偶宇称态(图2. 4.l a)，由于
曲线经过原点，因此无论U0a2多么小，曲线
与
总有交点，这意味着至少有一个束缚态，且这个束缚态相应的宇称为偶。对于奇宇称态，由图2.4. 1b可见，当且仅当
时，即当U0a2
时，曲线才有交点，才出现奇宇称态解。
显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方势阱的特例得出。的确，当
时，k’
，
方程(2.4.17)化为
,
(n=0,1,2,….)
方程（2.4.19）化为-
,
(n=1,2,…)
合并上两式，可得
(n=1,2,…)
能级是
(n=1,2,…)
这正是势阱宽度为a的一维无限深势阱的能谱公式。
问题1 假定U0a2=
，画出一维方势阱的基态及第一激发态，第二激发态波函数，并讨论这些态的节点数。
问题2 求一维半壁无限高势垒
条件下薛定谔方程的解。在这种情况下，是否U。取任何值总有至少一个束缚态存在?
2.5一维谐振子
一般说来，间断型的势场并非严格意义下的物理势场。U(r)在物理上应该是r的连续函数。本节将讨论一维谐振子势场下薛定谔方程的解。在物理上，任何连续振动的体系，都可等价地看成是无穷多个谐振子的集合。辐射场可以看成是无穷多个谐振子振动发出的简谐波的叠加。固体中的晶格振动，原子核的表面振动，分子与分子之间的相互作用势，核子与核子之间的核力势，这些势场在平衡点附近的展开等等，都涉及谐振子。一维谐振子的讨论在
量子力学中是非常重要的，它有许多实际应用。
一维谐振子的哈密顿量是
(2.5.1)
是振动频率。按对应规则(2.3.4)式量子化后，其相应的薛定谔方程是
(2.5.2)
引入无量纲变数
(2.5.3)
可将方程（2.5.2）改写成
(2.5.4)
其中
(2.5.5)
通常，在求解常微分方程时，常采用“抓两头，带中间”的“策略”。所谓“抓两头”，是指先看方程在“两头”的渐近行为。在三维情况下是看在零点和无穷远点的渐近行为；在一维情况下是看在正、负无穷远点的渐近行为。然后再“带中间”，作一个变换，使函数在两头有渐近行为规定的形式。先“抓两头”。方程(2.5.4)在
时的渐近行为是
为使
时，
不发散，只能取
形式的解。再“带中间”作变换
(2.5.6)
以保证
在无穷远处的行为必然有渐近行为规定的形式。将(2.5.6)式代入(2.5.4)式后可得H
满足的方程式为
(2.5.7)
除无穷远点外，方程(2.5.7)在全平面解析。对H
作泰勒展开
(2.5.8)
(2. 5.8)式代入(2.5.7)式，由
项的系数为零，得递推关系式。即由
得
(2.5.9)
当
时，级数（2.5.8）式的行为是
(2.5.10)
由于级数
(2.5.11)
相邻两项系数之比当
时也有
的形式。因此当
很大时，H
与e
的行为相同。于是在(2.5.6)式中，若H
为无穷级数时趋于无限大。为求出
时，仍为有限的波函数
，H
必须中断为多项式。因为如果H
是多项式，当
时，它趋于无穷的行为永远比
趋于零慢，从而保证了
当
时有限。
由递推关系(2.5. 9 )式可见，当取
(n=0,1,2,…) (2.5.12)
时，an+2，an+4均为零。这样给出的。。。称为厄米多项式。它有两组独立的线性无关的解，分别由。。。及。。。给出，。。。的形式为
（2.5.13）
式中 n/2 （n为偶数）
(n-1)/2 （n为奇数） （2.5.14）
这里已按通常习惯选取最高次幂的系数a=2n来定级数的系数。将(2. 5.12)代入(2.5.5)，得
（n=0，1，2，…） （2.5.15）
En表示一维谐振子的能级。一维谐振子两个能级之差为
（2.5.16）
这正是普朗克为解释黑体辐射实验规律时所引入的假定。于是，我们就从薛定谔方程比较自然地导出了普朗克假设。不仅如此，量子力学还给出，一维谐振子具有零点能
（2.5.17）
这是经典谐振子所没有的，也是普朗克假设所没有的结果。谐振子的零点能是量子效应。以后将证明，它也是不确定性原理所要求的最小能量。
一维谐振子的波函数是
（2.5.18）
Nn是归一化系数，满足
（2.5.19）
厄米多项式
具有如下性质：
（1）
可写成
=
(2.5.20)
（2）H
的生成函数是
e
(2.5.21)
（3）正交性
(2.5.22)
（4）递推关系
H
(2.5.23)
H
(2.5.24)
（5）最低级的几个厄米多项式是
相应的最低几个谐振子波函数是
,
(2.5.26)
（6）由于
因此谐振子的波函数
满足
(2.5.27)
n的奇偶性决定了
的奇偶性。一维谐振子波函数的字称是（-1）n。
（7）由于因子
无节点，因此
的节点数和
的节点数相同
有n个节点。最后对经典谐振子和量子谐振子作一对比。对于处在基态的量子谐振子，其波函数的振幅
在x=0处有极大值，表示谐振子在x=0处出现的几率最大。但对于经典谐振子，在x=0处，势能
，是极小值。因此动能Ek在x=0处极大。相应地粒子通过x=0的率也极大，粒子在x=0处逗留的时间极短，出现的几率最小。经典情况和量子情况正相反。再看基态能量
如果用经典的方式考察，若基态能量等于势能，即若
(2.5.28)
得
时，动能为零。粒子只能局限在
的区域内运动。单摆就是个很好的例子，它的摆幅只能局限在一定范围内。但对量子力学，情况就完全不同了。粒子出现在空间某一范围的概率由波函数振幅的平方对该范围积分的值给出。对于基态波函数，粒子出现在ax>1区域中的几率是
(2.5.29)
这些结果说明，对于基态，经典结果和量子结果有很大的区别。
图2.5.1画出了谐振子n=0，1，2，3，4的最低几个波函数
及
,图中，势用长虚线画出，它是一条抛物线。束缚态的能谱用右边的水平线指出。这些水平线在左边画成短虚线，用这些短虚线分别作为图（a）中
的零线和图（b）中
的零线。
但是，当n很大时，可以证明，量子情况和经典情况的区别不大。在经典力学中，在。
中找到质点的概率与在dx区间中粒子逗留的时间dt成正比，即有
对于谐振子，x=asin
，在x点的速率υ为
即
与
成正比。图2.5.2画出了n=10时的
及其经典的对比。虚线表示经典的几率密度。由图可见，量子情况和经典情况的区别仅在于
绕平均值迅速振荡。在n越大时，经典的几率密度与量子的几率密度越相似。
2.6一维薛定愕方程的普遍性质
一维定态薛定谔方程具有许多非常重要的普遍性质。利用这些性质，有助于求薛定谔方程的解；或找出解后，验证解的正确性。或者直接画出波函数，掌握波函数给出的物理图象。
这些普遍性质，总结如下：
(1)一维非奇性势的薛定谔方程的束缚态无简并。
在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并。而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束
缚态，无简并。由薛定谔方程
（2.6.1）
可见，若。。。和。。。对应同一个能量E，且U(x)无奇性，则
（2.6.2）
即
（2.6.3）
（2.6.4）
若φ1和φ2君为束缚态，必满足
，
的边界条件。利用这个条件，可定出（2.6.3）式中的积分常数为零：
即
（2.6.5）
φ1和φ2只能差一个常数因子C，因此它们表示同一个束缚态。
(2)一维束缚态波函数可取为实函数
由于势场U(x)是实函数，故
和
满足同样的一维定态薛定谔方程，且具有相同的能量E。按性质(1)，
与
只能差一个常数因子
=C
（2.6.6）
或
故常数C=
e，
为实数。在非相对论量子力学中，由于波函数的相角不确定性，无妨选择δ=0,而使
=
，波函数取为实数。
(3)一维束缚态本征函数的一般图象如下:
由(2.6.1)式可知：当U(x)<E时，
与
反号。当
>0时，
<0，波函数是个凸函数；当
<0时，
>0，波函数是个凹函数。这时将出现振荡解(图2.6.1)。
当U(x)>E时，
和
同号。当
>0时，
>0，波函数是个凹函数；当
<0时，
<0波函数是个凸函数。这时将出现指数型的衰减解(图2.6.2)。
利用波函数这些图象，可以画出在各个不同势能区内的波函数，然后通过边界上的连接条件得出波函数的草图。反之，若已知波函数的图象，也可定性地给出势场U(x)的大致形式。
问题1 利用一维束缚态本征函数在各个不同势能区的图像，画出一维方势阱的基态及第一激发态的草图。
问题2 一个粒子在一维势场U（x）中运动。它的两个实数的定态本征函数
A,
B，如图2.6.3所示。画出势场U(x)的草图，并标出相应于这两个定态的能量。若还存在一个定态，它所相应的能量比上两个能量低，画出它的本征函数。
,
,H
(2.5.25)
=C*
= C*C
=
2
（2.6.7）
No comments:
Post a Comment