将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用

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完整系的拉格朗日方程. 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点 ...

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其余的变量我们称之为状态变量，诸如社会总产出和通胀率等。 .... 求导，这是对U求导得出的r，是t时期f函数的内积，当f函数转变为拉格朗日函数时，其内积不变。

拉格朗日量_百度百科

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拉格朗日量（又称拉格朗日函数）是动能T 与势能V 的差值：L=T-V。 ... 它有一个基本假设是具有n 个自由度的系统，其运动状态完全由n 个广义坐标及广义速度决定。

拉格朗日力学- 维基百科，自由的百科全书

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或者说，力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述：. \mathcal{L}(q_1,\ q_2,\ \dots , \ 。 这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。 引入势能函数 V \!

看不懂朗道力学啊 - 豆瓣

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2012年10月9日 - 首先要弄清楚什么是体系的状态，即某时刻体系中各质点的坐标和速度。 ... 或者知道体系的能量情况（如拉格朗日函数或者哈密顿函数）＋体系中各质点 ..... 完全地表示出來；二是不能夠用質點的這些運動狀態來表示的unknown 力，這 ...

拉格朗日方程和哈密顿原理

一读 (2013-12-19 14:57:44)  浏览:266  评论:0

拉格朗日方程和哈密顿原理

拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

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目 录

1简介

2动力学普遍方程

3拉格朗日方程

1简介

拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

通常可写成：

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

完整系的拉格朗日方程

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

完整系的拉格朗日方程

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

拉格朗日力学

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

2动力学普遍方程

将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受理想约束的质点系

将上式代入系统的动能表达式

在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。

动力学普遍方程尽管被称之为方程，但在实际应用时，我们更应将它视为一个原理：动力学普遍原理，它指导我们列写动力学方程。

如果你能熟练应用虚位移原理，则动力学普遍方程的应用将是一个很熟识的过程：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力，然后对该力系应用虚位移原理。

在实际应用中，当加入系统的惯性力时，常常要补充运动学方程：系统的速度、加速度之间的关系。

广义力为

运用动力学普遍方程建立的独立的动力学方程的个数等于系统的自由度，这一点也是与虚位移原理相同。

一般而言，如果要建立系统在特殊位置的动力学关系，可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意一般位置的动力学关系，则应考虑应用拉格朗日方程。

3拉格朗日方程

拉格朗日方程的一般形式是：

式中T为用各广义坐标qi和广义速度 qi导 表示的系统的动能；Qi为对应qi的广义力。方程式的个数等于系统的自由度N。保守系统中存在势函数V（q1，q2，…，qN；t)，则广义力距Q=?V/?qi，又因V中不含qi，即?V/?qi=0，

故完整保守系统的拉格朗日方程为：

系统以B点为标准的势能V和系统的动能T为

d/dt(?L/?qi)-(?L/?qi)=0（i=1，2，…，N)

在非保守体系中，广义力不能用Q=？V/?qi表示，此时应引入广义势能U的概念，Q=?U/?qi-d/dt x?U/(dqi/dt).带入一般形式可以得到非保守体系的拉格朗日方程。

式中L=T－U为拉格朗日函数，它等于系统的动势T与位势U之差。上式与变分问题中的欧拉方程形式相同，由此可导出哈密顿原理。

可得系统的运动方程

可得系统的运动方程

哈密顿原理

在物理学里，哈密顿原理是爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数，所构成的泛函的变分问题解答，可以表达这物理系统的动力行为。

哈密顿原理（Hamilton principle）

在物理学里，哈密顿原理是爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数，所构成的泛函的变分问题解答，可以表达这物理系统的动力行为。拉格朗日函数又称为拉格朗日量，包含了这物理系统所有的物理内涵。这泛函称为作用量。哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于牛顿运动定律的微分方程方法，这方法以积分方程来设定系统的作用量，在作用量平稳的要求下，使用变分法来计算整个系统的运动方程。

虽然哈密顿原理本来是用来表述经典力学，这原理也可以应用于经典场，像电磁场或引力场，甚至可以延伸至量子场论等等。

2概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变量的变化，一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变量在某一点的数值或导数值，就能求得物理变量在任何点的数值。

哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态，叫做最初状态与最终状态。然后，经过求解系统作用量的平稳值，我们可以得到系统在，两个点之间，其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子，而且也关于经典场像电磁场与万有引力场，这表述都是正确的。更值得一提的是，现今，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来表述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值）,可以得到这系统随时间的演变（就是说，系统怎样从一个状态演变到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演变对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。

适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。威廉·卢云·哈密顿于1834年发表。其数学表达式为：

式中L=T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。哈密顿原理^[1]可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。

3原理讲解

英国数学家W.R.哈密顿1834年发表的动力学中一条适用于完整系统十分重要的变分原理，它可表述为：在N+1维空间(q1,q2,…,qN；t)中,任两点之间连线上动势L(q,妜,t)（见拉格朗日方程）的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。其变分形式为图1：

图1

。因时间t1，t2固定，故有图2：

图2

因q(1)，q(2) 两点固定，所以δ)q(2)=q(1)=0,于是上式成为： 即积分的极值是属于真实路线。由此可见，拉格朗日方程（第二类）可由哈密顿原理导出。

这原理的数学形式不但简洁和紧凑，而且内容广泛，如适当地替换L的内容,就能作为其他力学的基础（如电动力学和相对论力学）。此外，若将此原理写成变分形式，就能利用变分法中的近似计算法来解决某些力学问题。