从动能定理到第二类拉格朗日方程
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从动能定理到第二类拉格朗日方程
1．引言
第二类拉格朗日方程是一种基于能量函数的标量型微分方程，它能直接导出每个独立广义坐标一一对应的全部运动微分方程；它已经找到两类首次积分，分别具有“广义动量守恒”和“广义能量守恒”的明确物理意义；它的解题过程规范化而不易出错。基于这些优点，第二类拉格朗日方程是处理非自由质系动力学问题的重要理论基础，并能有效地应用于柔体或刚-柔耦合系统。
第二类拉格朗日方程的导出过程涉及较多的高等数学变换和演绎过程。本文将借鉴动能定理来论述第二类拉格朗日方程的导出过程，第二类拉格朗日方程实际上是在广义坐标中动能定理的一种更为广泛、更为完善的理论表达形式，它吸收了动能定理的全部优点，而克服了动能定理只能建立一个方程、只能独立处理单自由度问题的严重缺点
2． 动能定理
由牛顿第二定律导出动能定理的步骤是：首先将牛顿第二定律转化为动量定理，即将
转化为动量变化率 
转化为动量变化率 
（1）
然后等式两边点乘
，将力转化为功
，将力转化为功
（2）
再将等式左边通过如下变换转化为动能的微分
（3）
代入（2）式就得到质点动能定理的微分形式
（4）
即在无限小位移中质点动能的变化等于作用在该质点上的力所作的元功。
将质点动能定理对质系中的所有质点求和可以直接导出质点系动能定理
（5）
动能定理的最大优点是引进了动能这个能量函数。动能是个恒正的标量函数，不涉及矢量运算，不需要分解成多个分量方程，因而在应用动能定理时只要动能、势能和功的表达式写对了，后继的运算就相当简单，但是动能定理也存在一个严重缺点：它只能列出一个方程，只能独立处理单自由度问题，对于多自由度系统必须适当补充若干由动量定理或动量矩定理导出的方程才能联立求解；而且由于质点系总动能中包含了所有自由度的动能，对多自由度系统由动能定理导出的方程往往比较复杂需要利用补充的动量定理或动量矩定理消去其中的若干项后才能进一步化简。引入第二类拉格朗日方程就是为了发扬动能定理的显著优点，克服其严重缺点，将动能定理用能量描述的基本思想引伸到多自由度系统。
3． 达朗贝尔-拉格朗日原理
第二类拉格朗日方程可以由达朗贝尔-拉格朗日原理导出。对于由质量为
，矢径为
的质点
所组成的、受主动力
作用的质系，达朗贝尔-拉格朗日原理表示为
，矢径为 的质点 所组成的、受主动力作用的质系，达朗贝尔-拉格朗日原理表示为
（6）
即对具有理想、双面约束的非自由质系，在任一瞬时，作用于该质系的主动力及惯性力在质系任意虚位移上所作的元功之和等于零。
对于非自由质点系，各质点的直角坐标不是独立变量，它们之间必须满足给定的约束条件。设
为所研究质系的广义坐标，将矢径表示为广义坐标和时间的函数 
，则
为所研究质系的广义坐标，将矢径表示为广义坐标和时间的函数 ，则
（7）
代入式（6），交换对i和k的叠加顺序，得
（8）
上式方括号中的物理量与
之乘积为功，因而其物理意义为对应于广义坐标
的广义力。将其中含主动力和惯性力
的第一和第二项分别定义为
之乘积为功，因而其物理意义为对应于广义坐标的广义力。将其中含主动力和惯性力的第一和第二项分别定义为
广义主动力 
（9）
（9）
广义惯性力 
（10）
（10）
把
和
表示为广义坐标的函数，式（8）变成
和表示为广义坐标的函数，式（8）变成
（11）
这就是广义坐标中的达朗贝尔-拉格朗日原理。
对于完整系统广义坐标相互独立，虚位移可以任意选择，例如在1——N间选择任意的k，取
，则由式（11）得到
可以任意选择，例如在1——N间选择任意的k，取，则由式（11）得到
（ k =1,2,….N ） (12)
这是在广义坐标中受理想、完整、双面约束的的非自由质系的动力学微分方程组。它共有N个方程，每个自由度对应一个方程，而且相互都是独立的，因而是描述非自由质系动力学过程的最少量的方程。
4． 第二类拉格朗日方程
比较质点系的达朗贝尔-拉格朗日原理（11）和动能定理（5）可以看到：式（11）中第一项
的物理意义是主动力所作的功
，相当于（5）式的右端项：因而式（11）中第二项
应对应于（5）的左端项，即于动能有关。在广义坐标中如何用动能来表示广义惯性力
是导出第二类拉格朗日方程的关键步骤，由导出动能定理过程中的式（3）左端可以看到。若要引入动能必须寻找动量与速度的点积，并且其中之一应该是微分或导数。
的物理意义是主动力所作的功，相当于（5）式的右端项：因而式（11）中第二项应对应于（5）的左端项，即于动能有关。在广义坐标中如何用动能来表示广义惯性力是导出第二类拉格朗日方程的关键步骤，由导出动能定理过程中的式（3）左端可以看到。若要引入动能必须寻找动量与速度的点积，并且其中之一应该是微分或导数。
参照由牛顿定理导出动能定理的过程，将中的
转化为动量对时间的导数
，则：
中的转化为动量对时间的导数，则：
（13）
这里因
也是时间的函数，上式右端必须补上第二项。
也是时间的函数，上式右端必须补上第二项。
上式右端第一项中的第一因子已经含有动量
，要将该项用动能表示的关键要寻找一种等效变换将其第二因子中的分子变为
。为了找到答案首先应该写出的表达式。将对时间求导得
，要将该项用动能表示的关键要寻找一种等效变换将其第二因子中的分子变为。为了找到答案首先应该写出的表达式。将对时间求导得
（14）
拉格朗日敏锐地注意到：矢径是广义坐标和时间t的函数，与广义速度
无关。而
之间又是相互独立的，所以只要将上式对求导马上就能找到等效变换
是广义坐标和时间t的函数，与广义速度无关。而之间又是相互独立的，所以只要将上式对求导马上就能找到等效变换
（15）
代入后（13）式右端第一项就能用动能表示为
（16）
对（13）式右端第二项可以猜想，若能交换其第二因子中对时间和对广义坐标的求导顺序，即
（17）
该项马上就能出现动量与速度的点积，因而可以用功能表示为
（18）
问题是（17）式所含中的诸广义坐标本身都是随时间而变化的，和t相互并不独立能否交换对时间求全导数和对广义坐标求偏导数的顺序需要证明。拉格朗日给出了严格证明。将速度（14）式对广义坐标求偏导
中的诸广义坐标本身都是随时间而变化的，和t相互并不独立能否交换对时间求全导数和对广义坐标求偏导数的顺序需要证明。拉格朗日给出了严格证明。将速度（14）式对广义坐标求偏导
将上式左右两端中广义坐标的下标j换成k就证明了式（17）的猜想。
将式（16）和式（18）代回式（13）
（19）
再代入广义坐标的质系动力学微分方程（12）就得到第二类拉格朗日方程
（ k = 1,2,…..N） (20)
由上述推理可知，第二类拉格朗日方程就是在广义坐标中用动能和广义力表示的质系动力学微分方程。它即吸收了动能定理引进能量函数的优点。又继承了广义坐标中质点系动力学微分方程组的全部优点，成为动力学分析中被广泛应用的重要理论依据。
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