Friday, September 5, 2014

matrix01 么是特征函数 一般集合的外测度、内测度

什么是特征函数
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什么是特征函数?
在奥本海姆的离散数字信号处理第二版(中文版)中的第2.6.1节,讲解了线性时不变系统的特征函数。这里的特征函数是什么意思呢?不是很理解,望大虾解释,谢谢!
 2#
 发表于 2011-8-28 04:02
特征函数是从纯数学的角度来描述线性时不变系统。在实际的操作中应用并不广泛。
 
 3#
 发表于 2011-9-5 07:24
版主能否详细道来?
因为,我只知道在概率论里有特征函数这种说法,其他地方还没有看到过这种说法。
 
 4#
 发表于 2011-9-7 02:48
简单说, 对于随机变量x,其特征函数为φ(w)=E{exp(jxw)}
 
4楼同学能否说明一下,这一定义的出处,小弟基础薄弱,谢谢了。
另外,为什么随机变量x的特征函数是复指数序列?这个我非常不解,难道要追溯到傅里叶发明傅里叶变换的时候?
 
 8#
 发表于 2011-10-6 08:56
可以从线性代数知识中找感觉:如果满足Ax=λx,其中A为矩阵,x为向量,λ为常数,此时称x为特征向量,而λ为对应的特征值。
 
quietquiet  发表于 2011-11-18 13:15
线性代数里,一个线性映射A定义在向量空间上,具体形式为矩阵相乘,A的特征向量x,意味是对于xA映射,Ax=特征值x,也就是特征向量xA映射下只有数乘改变。
 
信号系统里,一个线性系统h当然也是一个线性映射,但这里的线性映射定义在信号空间上,具体形式是卷积,所以特征向量在这里叫作特征信号,意思其实还是一样,也就是特征信号xh映射下只有数乘变换,也就是h(t)*x(t)=数乘x(t),满足这个性质的信号显然是exp(jwt),因为h(t)*exp(jwt)=H(w)exp(jwt),信号也是个函数,所以特征信号叫特征函数也可以了。
 
至于意义,线性代数里,特征向量组可以构成一个特征空间,线性映射在特征空间上被解耦了,问题分析会变得简单,而线性系统的特征向量组{exp(jwt)}构成了一个特征空间,系统投影到特征空间上是否变得简单呢?
连续信号空间下投影的定义是信号对特征信号的共轭做积分,系统h(t)exp(jwt)的共轭做积分是什么?就是傅里叶变换,这些特征信号构成的特征空间是傅里叶空间,系统在傅里叶空间上被解耦了,所以在傅里叶空间上算系统卷积只要算对应分量的数乘就行了,问题变得简单了。引入特征函数主要是为了这些理论上的问题简化。这样角度来理解,傅里叶变换其实就是一个很合情合理很自然的做法了。
 
个人理解,可能由不严密的地方,但大概就是这么个意思。。
 



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