wikiphysica.org. 互动知识数据库
RSS 归档 站长
站长在关注
上一页 下一页
项就是电子从第j个原子处消失，创生在第j+1个原子处。它的厄米共轭就表征一个相反的过程：电子从第j+1个原子处消失，创生在第j个原子处。这样只要我们把j从1到N求和，就能表示所有可能的电子跳跃。\sigma 记号是电子的自旋。
固体物理讲义及解读之2（共20）
by Donghai Lee, Professor of Physics at University of California, Berkeley
interpreted and re-arranged by Bo Zeng.
Legal Notice:
(c) 2012 Donghai Lee, author rights reserved. The material can only be distributed by non-commercial individuals/groups and used for non-profitable activities.
(c) 2012 Donghai Lee, author rights reserved. The material can only be distributed by non-commercial individuals/groups and used for non-profitable activities.
注：李东海老师固体物理课件全套共有20件。精装版请洽询北京市海淀区寰宇傻逼教育科技有限公司，咨询电话：010-78098888， 010-7808998。国际学生凭I20可获得半价。
本课件纯属盗版，如有侵权，请找我妈。
本课件以DONGHAI LEE本学期的研究生固体物理A（据他所说，是他第一次上，可能也是最后一次）课件整理，翻译，外加自己的废话点评杂糅而成。鉴于DONGHAI LEE老师思维和物理洞见的科学价值，以及其课件随处可见的新意，深意，我特此发行保存，希望能对广大不幸选择物理系找不到工作一心拯救世界却不知道这个世界上死了自己也不少的同学们，有所帮助。
本讲义不能取代现行的任何一本物理教材，仅以画龙点睛，出类拔萃为目的，基础还请各位自行打好，否则找不到工作或者退学概不负责。
第二节，一维固体模型，能带和元电导：
考虑一个最简单的一维上的原子阵列：
那么我们如何描述这个单电子系统能量呢？
为了体现电子的非定域性，我们有必要允许电子在不同原子之间跳跃；否则如果电子永远呆在同一个原子上，那么这个单电子问题就退化成一个单电子，单原子问题了。
因此，在这个单电子，多原子体系中，借助场论，我们不难写出哈密顿量如下：
这里我们只考虑电子在相邻原子间的跳跃。多个原子的跳跃可以被分解相邻原子跳跃的积，一次跳跃几个原子的高阶情形我们这里暂不考虑，可以想见，这种高阶跳跃的概率一定是很低的。
t是描述所谓跳跃概率的hopping integral。此值越大，跳跃概率越小。出于对称性，电子从左往右和从右往左跳跃的概率必须是一样。
我们不妨把原子编号，从1到N。j就代表原子的编号。在场论模型中，c是电子波的湮灭算子，c+是创生算子。这样：
项就是电子从第j个原子处消失，创生在第j+1个原子处。它的厄米共轭就表征一个相反的过程：电子从第j+1个原子处消失，创生在第j个原子处。这样只要我们把j从1到N求和，就能表示所有可能的电子跳跃。\sigma 记号是电子的自旋。
显然电子跳跃前后，自旋不会变化。因而，我们可以只考虑一种自旋，另外一种自旋的方程是完全一样的且互不干扰：
其中上自旋和下自旋的能谱是完全一样的，不妨只考虑上自旋：
（注意课件中此式的第二项有错误，第二项的dagger符号写反了。以上下文为准）
省去自旋符号，并注意到后一项是前一项的厄米共轭，H就能写成：
现在我们就来求解用这个哈密顿量描述的能量体系下，单电子的能谱。
记某一单电子的波函数为：
这表明我们从真空中创造出电子态，电子态波函数在每一个原子核位置上的幅度为\phi j.
将其带入能谱方程：
注意到H的表达式，由湮灭、创生算子的反对易关系，我们有如下等式：
因此能谱方程变成：
容易看出，这是一个差分线性方程。这取决于我们系统的离散性。
为了求解这个差分方程，我们可以利用体系的对称性，也就是离散平移不变性。
记平移算子为T，抽象地说，它将j下标变成j+1下标，我们不难发现，对于一个无穷长的一维原子链，这个哈密顿算子是平移不变的，这就是体系的平移不变性：
平移后，
等于，
这是因为这个求和上下标是无界的，因而偏移个有限的数字不影响求和。
对于一个有限长的原子链，我们可以设定一个巧妙的边界条件，使其仍然保持上述平移不变性：
这就是所谓的环式边界。这个边界条件仅仅对出于材料边界的原子失效；对于处在材料内部的原子来说，它几乎无法感觉到边界的存在，因此这个循环的边界条件是合理的。这也是为什么SURFACT STATES 和 BULK STATES存在一定差别的缘故。
因为H 在T操作下不变，因而有H与T互易。因此T与H具有共同的本征态，我们就此找到了一个好的量子数。与其直接分析H的对角化，我们可以先将T对角化。
假定T的本征态是，（其一般形式显然为：）
我们可以有：
这里k是T算子本征值的量子数。
带入本征态的算子表达，我们容易有关于每一个原子核处振幅的以下2个等式：
其中第二个等式来自于T的定义。
因此（省去k下标）：
从而递推得到：
利用边界条件，实际上我们可以得到本征值必须满足的关系。由环形边界条件，我们知道L+1=1，因此必须要：
其中L是原子链中原子的个数，n是一个整数。这也就是说，本征值\lambda 必须是一个幅值为1的相位量。
从递推结果，我们自然有（还原k下标）：
注意到k只需要取[-pi,pi]即可，因为相位指数同时也是2pi的周期函数。
因为k是算子T的本征态的量子数，所以k也是H本征态的一个好量子数。实际上在一个1维单原链中，T就是H问题的CSCO（complete set of commuting operators）。k就是H的唯一量子数，带入上面的差分方程，我们有：
如下就是1维单原子链的能带函数：
那么，产生一个量子数为k的电子态的算符则是：
多个电子的电子态可能是这个样子：
他们的能量是：
那么这个体系的基态能量将会是多少？
注意到费米子生成与湮灭算子的反对易性，不难证明：
所以我们不可能在同一个态上生成2个电子（泡利不相容），每一个态只能被一个电子占据。考虑自旋，那么每个态可以被2个电子占据。如果每一个原子带一个valence电子，我们计算k在[-pi,pi]中可以取值的个数，不难看出，只需要一半的k态就能容纳L个电子，根据从低能向高能填充的基态原则，我们有：
此时电子的密度显然是最大密度（满态时）的一半。体系的基态存在无带隙的空穴，那么它就是一个导体！我们现在就来计算一下这个一维原子链的电导。
当施加外电压V时，体系将进入电导态（具体的微扰计算略），如下图：
其中蓝色为空态，红色为满态。显然，此刻，能带右边多出来的电子态将向右边运动（partial E/ partial k >0, 为量子理论中波的速度）
我们不难计算多出来的电子态的个数：
其中系数2表示自旋简并，第二项是求出微分下，多出电子态所占的k的范围；第三项是上面求出的k的态密度（红点之间距的倒数）。由此，这部分未被平衡电子产生的电流就是：
同时注意到，外加电压和能量变化的关系：
最后我们有：
这就是universal conductance，普适电导。
下面的quantum wire conductivity 试验证明了这个理论结果。注意quantum wire可以被近似为一个1维的原子链（实际情况下，我们的相邻电子跃迁近似可能要被高阶修正一下，但得出的电导值却惊人的不变）。
No comments:
Post a Comment