一個五次方程，它有五個變數，這是中學生都看得懂的方程。我們要解這個方程，我們問一個很簡單的問題，假如要求尋找這個方程的函數解，它是可以寫成一個參數t的有理函數，問這個方程有多少個這樣的函數解。
数学物理_百度百科
[DOC]幾何學的未來發展
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這是一個很古典的問題，跟Fermat問題很相似。我們的解可以分為不同的類別，我們可以用t的階數來將解分類，一般來說解有無窮個。可是我們可以問階數等於一的時候有多少個解，等於二時有多少個解。古典的幾何學家算出來階數等於一的時候有2875個，等於二的時候也可以算出來，等於三是近幾年才找出來的，我們猜想它有無窮多個解，階數越大時解可能越多。數學家沒有辦法解答這個問題，連猜測都沒有辦法做。這個問題在十年前，用弦理論的鏡對稱猜測到一個公式，來表達所有解的個數。這個鏡對稱理論是十年前我的一個博士後研究員和在德州的一個教授跟他們的同事們建立的。鏡對稱沒有辦法嚴格地去證明這個公式，當時用古典方法一個一個地去檢查，發覺階數小時公式基本上是對的。可是這種檢驗不是公式的證明，從量子場論得來的結果一般來說不能當作定理。今年年初這個公式終於由劉克峰、連幫豪和我、以及俄國數學家Givental用數學的方法給出嚴格的證明。雖然最後的證明跟路徑積分的想法無關，但是得到這個公式的過程有很大的意義，因為在量子場論找到這個公式以前，數學家連怎樣找這個公式都不知道。等到這個公式找出來以後，我們才有辦法從公式本身去著想，得到它的證明。我為什麼要講這個問題呢？因為無窮維空間在物理上有許多直觀的想法，從數學的觀點來看，幾乎是不可能接受的。這種公式往往是從路徑積分加上正規化的觀念導出來的，在嚴格上和直觀上數學家都不能夠接受，但卻得出正確的答案。因此，我們要追究物理學家在量子場論的直觀是怎樣訓練出來的
量子信息论的百家争鸣：公理化结构要点
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接前几篇博文。
公理1：量子系统就是任何物理探究或物理操作。
最大知识状态就是一个双射算子（由满足模为1的希尔伯特空间矢的张量积生成）II，该算子就被定义为“该量子状态”（II = “the quantum state”）.公理2：最精确的、不产生新知识的量子系统操作（恒等操作）对应于映射：
II = U II U*
U为单位算子。
公理3：对一个系统的任何问讯对应于一个K维的概率矢量算子，各分量算子正交，各算子分量的和为1。
由公理2，任一算子的输出概率分量（也就是观测结果）等于由该算子得到的映射。
公理4：对于一个加性复合系统S1+S2其知识的最大状态对应的概率矢量算子为S1、S2对应算子（H1、H2）的积H= H1#H2。由这个算子积得到的概率矢量算子就被定义为“纠缠”。（博者注：量子纠缠概念是扩充算子的概念，几乎无法“科普”。如果勉强的去“科普”量子纠缠概念，其进入科幻境界的概率太大了。）
公理5：对于两个没有相互作用的子系统S1、S2组成的系统S1@S2（在空间上被隔离的系统），如果总系统的算子可以被展开为两个子系统算子的混合积（博主注：指子系统为同质的），则由对S1的观测结果可以得到S2的观测结果。
（博主注：抽象的看，两个变量的积已知，则如果一个变量被测量确定，也就由方程得到了另一个变量。）这就是“感应传输”（teleportation）的基本定义。
对这个公理系统有各类批判是正常的。这个公理系统也是非封闭的。“感应传输”（teleportation）的基本定义事实上是源于一个主观想象：总系统的算子可以被展开为两个子系统算子的混合积。这才是“感应传输”（teleportation）的非客观性的根本来源。也是界定量子信息论命运的那根吊绳。
推论2：物理规律是N个自在自为的物理量间的关系，把这个关系函数看成是一个流形，则该流形上的切矢量（N个）就决定了一个矢量空间（群），如果引入一个普遍参数（泛称为时间），则这N个矢量随时间参数的变化就是最为普遍的运动。特别的，在绝对时空中（不可约化群的空间表象），它们就是运动的轨线。从而，运动是几何变形化的。
最基本的几何变形是高维空间中的线（也就是弦）的变形。而对普遍参数（泛称为时间）的选取：温度？熵？能量？质量？还是其它？就只能是由物理现实来决定了。
现代物理的公理化结构（5）
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在基本物理量的选择和优化的过程中，所选择的那组物理基本量在特定的物理规律（主要是以守恒律为代表）下构成一个物理系统，也就是数学上的群。从而，群论当然不让的进入物理学基础理论而成为最基础性的表述工具。
公理4：总是可以把物理量进行分组，每一组有自身的几何结构；而不同的组的组合又构成一个更大的组群，形成新的几何结构。这个层次性的分解结构和组装结构的内在关系把物理定律间的关系，或者说是个分枝学科间的关系，揭示出来，从而成为物理理论的最为通用的逻辑结构。
这样，增加张量的阶数等价于进入下一个层次的基本物理量（相对而言的表象化），通过算子减小张量的阶数等价于走向更为综合化层次的基本物理量（相对而言的理性化）。
理论上，如果统一场论真的存在，就可以找出这样的一个大群，他的一系列的子群对应于一系列的物理学科子类，而子类的进一步细分为子群的分解将最终的发现某几类无法进一步分解的基本群。这就是最基本的物理基本量群。
反过来说，如果是按照这个思路来进行物理理论的描述，则物理理论的基础量是引入一个所谓的“生成元”群元素，然后论述如何用它们按特定的代数算子法则生成物理量群，也就是本学科论题的物理目标量，最后论述在这种代数下，用这个生成机制产生的群的总体性质（物理学规律）。
无论是归纳方向的推理路线，还是演绎方向的推理路线，如果读者对前面的三条公理没有较为全面的领会，对这类理论表述是无法接纳的。这是物理学界中反对物理理论群论化的核心原因。
推论1：对给定群（学科宏观的基本规律）的子群分解（和分解，积分解）所得到的最终的、不可约化子群就是该学科最为基本的物理运动表征。
到了这个阶段，直观性已经基本上消失了，逻辑抽象性成为主导。
在这个理论进化过程中，二阶物理张量的地位被突出了出来。一方面，由其生成的高阶张量取决于时空精细结构，而由其生成的标量由物理规律决定。由于物理标量可以用其在绝对时空中的偏导数（变化）构造出一个物理矢量，而这个物理矢量是“可测量”的客观量，从而，是物理宏观规律+可测量的物理客观量一起决定了二阶物理张量的性质，这样，就只能通过研究二阶物理张量生成的高阶张量所满足的客观规律来定义时空精细结构。规范场论是最为有代表性的学科。之一。
如果假定时空精细结构是已知的就等同于把一个学科封闭了，成为纯粹的数学了。不幸的是，很多物理理论专著就是用这样一条路线来论述的，无形中把物理理论的本质封闭了下来，成为教条式的理论。
推论2：物理规律是N个自在自为的物理量间的关系，把这个关系函数看成是一个流形，则该流形上的切矢量（N个）就决定了一个矢量空间（群），如果引入一个普遍参数（泛称为时间），则这N个矢量随时间参数的变化就是最为普遍的运动。特别的，在绝对时空中（不可约化群的空间表象），它们就是运动的轨线。从而，运动是几何变形化的。
最基本的几何变形是高维空间中的线（也就是弦）的变形。而对普遍参数（泛称为时间）的选取：温度？熵？能量？质量？还是其它？就只能是由物理现实来决定了。
归根到底，数学只是一种整理用的逻辑工具，而整理的规则是、也只能是、由物理世界的客观规律来决定。
显然，用数学取代物理是错误的，但是，如果不使用现代数学的结构，物理学规律就是一大堆的散沙，无法支撑物理学自身进步的需求。
思想上的落后是可怕的。
现代物理的公理化结构（6）
现代物理的公理化结构（6）
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现代物理的公理化结构也给物理学自身制造了非常深刻的危机。在牛顿为代表的经典力学公理化以后，马赫等从哲学上就给予了批判。
以爱因斯坦为代表的规范场论的抽象化公理结构（可以说还不算完整）也理所当然的受到现代物理学者非常含蓄的批判，而量子力学则是远离大众的神秘学问。
概括性的说来就是：现代物理的公理化结构无论是在形式上、还是在内容上都远离了广大的科技工作者。这是无法否认的事实。
当物理学家发现，复杂的社会现象、经济现象、及生物现象等能够在现代物理的公理化结构上加以研究以后，他们毫不犹豫的进入了这个传统的非物理学领地。例如，取N个市场运动表征量（可测量量，如银行利率，生产成本，销售价格，投机指数等），那么作为市场运动的结果的抽象的价格过程就是在表征量所构成的空间上的凸曲面。而在该曲面上的偏导数集合，如价格对利率的偏导，等就是科可实际测定的“物理矢量”的分量，这样，以广义时间为参数，价格过程也就完全是等价于哈密尔顿运动过程。
理性结构的等价性拓宽了物理学的视野。导致物理学向外的快速延伸。在少量成功案例的背后，大量的例子是可笑的失败。如果我们仔细的考查失败的案例，无一例外的是：不是以抽象结构的类似性来进入，而是以简单的概念移殖来进入。
从环境上来说，无论是国内还是国外，赶时髦性的学术研究总是有市场的。对现代物理理论的赶时髦式的研究是很普遍的，其后果就是曲解和歪曲现代理论的公理及其公理化结构。
从客观上来说，现代物理理论的公理化结构在数理逻辑上的最大风险来源于：正向推理和反向推理是容许为逻辑上非封闭的。这是何意呢？例如，满足必要条件的推理被认为是容许的，充分条件是否满足被认为是不可知的。换句话说，映射可能是不可逆的，也可能逆映射是非唯一的。再换句话说，奇点总是象鬼魅一样无法被消去。
这种逻辑上的非唯一性在教科书中是要排除的，因而，在介绍理论本身时，为了论证它与经典理论的结论的共同点，抛弃了逻辑上的非封闭性，这是通过加上很多的条件来实现的。因而，读这类教科书，人们很容易的得到一个印象：纯属多余，是把简单问题复杂化！
但是，正是这种客观上的非封闭的逻辑结构提供了修订的空间。修订一个空间的客观基础是某个物理规律被违反，除非引入一个新的物理量来增加空间的维数。按此路数，空间的维数将是一直的增加下去。这类理论的特点是：正向推理，以必要性为最主要的依据。
但是，在哲学上，如果增加的物理自变量与其它物理自变量在本质上是非独立的，则由此而生成的理论就是乏味的，或者说是错误的。
由于这个问题是在整个几何结构化理论中最为关键的基础性研究，因而，有关这个方向的研究就表现为对最基本的物理规律或物理客体本身的研究。基本粒子的研究，引力起源的研究，物质质量起源的研究等等，都是指向这个方向的。
由于这类研究与“世界的本原”密切相关，从而得到社会的高度关注。其哲学上的意义远大于其真实的实用（技术）科学意义。
当经济危机的风险出现时，社会的呼声之一就是叫停这类研究。事实上，这等价于叫停了大多数的物理理论研究。物理理论学家为自身的“冒进”付出代价的时代大门被打开了！
事实上，这种把猜想（假设）作为科学理论的一个必要的组成部分，并认为这是推动科学进步的重要动力的哲学观点是长期存在的，而且也将继续存在下去。
反向的推理，对经典物理量群内各元素的内在独立性的研究则非常的困难。首先，数学上对此无能为力。其次，经典物理中的物理量本身的定义就是非常的重叠化的，尤其是在不同的学科分枝间。而各分枝的规律只能是其相应的概念函义下是正确的。这样，对物理基础性概念的改造或重新构建就势在必行，而正交性就成为判决原则之一。
这种被嘲笑为理性重构或是被批判为伪科学的研究是以经典理论的有关概念和规律为原始素材的，基本上不会导出新的发现，而是导出一大堆的、可能满足正交性的基础概念及其上的理论结构。也因为这个特点，无论是在那个国家，学界对此都是排斥的。
但是，这是基础性研究工作，只有在产生多个这样的伪科学理论以后，实验（或者说是实践）检验才有了对象，从而才能启动理论的实质性进展。可以预期，那是在很远的以后。
反向推理研究工作的滞后直接的表现为实验研究的冷淡。这种普遍的冷淡性使得部分研究者相信，理论研究已经是不必要的了。
否定现代物理的公理化结构非封闭性的合理性和客观性的直接后果就是把它们“改造为“封闭的。显然的，这种人为的封闭性是违反物理学客观性原则的，从而对现代物理理论的各种批判是：理直气壮的，深刻而有力的。
一旦把一个理论封闭起来，它就无所不能，只要是在其论域的范围内，结论是绝对的，不可挑战的。这种现象被部分人戏称为科学理论的宗教化。
现代科学在历经一个大发展阶段后，其封闭性成为障碍。而一旦开放，引入一部分可疑的空间维（新物理基本量），至少在哲学上和逻辑上，这是抽象的伪科学。
我们面临这样的一个时代：科学理论必须前进，从而开放其逻辑体系，把伪科学放进来；为了找出科学的理论，需要大量的实证研究资料和成果，从而再次的把理论封闭，建立新的更新后的科学理论。
哲学上，这是对立统一规律在起作用。
与正向推理导致科学神秘化不同，反向推理的启动将导致科学理论的普及化，一旦这个时代在本质上开启，工业，或者说是工程应用，将成为判决依据。人们有理由预测：新的工业革命将出现。
在互联网的时代，任何力量也无法阻止反向推理的启动和其有关研究的传播，也无法阻断其在工业工程上的“应用”也就是说，伪科学横行的时代被互联网启动了，如果换句正面的话来说，科学理论被“大众化”或是被“娱乐化”的时代被开启了。
这种社会化的浪潮最终会导向几何化的、公理化的物理理论的完善。而其中间必将经历的是一个痛苦的、公理化理论的破坏过程。分化，合并将周期性的出现。在这样一个大变革时代，科学中心一定是技术中心、工业中心（几乎是同意词）。但是，反过来断言：技术中心、工业中心一定是科学中心则只能是自说自话了。
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