phymath999: 李球相对论的最大贡献，在于指出了时空是密不可分的，截面, 不能有"质量" 以前我们常做的那种MRI，只是因为那台机器有问题，能拍出片子的似乎都是一个角度，于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台，才发觉你完全可以用其它角度取截面。这意味着“现在”这个词不再有明确意义

Saturday, February 14, 2015

李球相对论的最大贡献，在于指出了时空是密不可分的，截面, 不能有"质量" 以前我们常做的那种MRI，只是因为那台机器有问题，能拍出片子的似乎都是一个角度，于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台，才发觉你完全可以用其它角度取截面。这意味着“现在”这个词不再有明确意义

相对论的最大贡献，在于指出了时空是密不可分的，以前我们常做的那种MRI，只是因为那台机器有问题，能拍出片子的似乎都是一个角度，于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台，才发觉你完全可以用其它角度取截面。这意味着“现在”这个词不再有明确意义

相对论中的“刚体”

要能以光速传递应力，然后是不能有质量，肯定还是会有一点点弹性，不可能完全刚性

质

用一个平面去截一个球，截面是圆面

从狄拉克谈起- 数学科学中心- 清华大学- 豆丁网

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2014年3月11日 - 从狄拉克谈起王世坤中国科学院数学与系统科学研究院清华大学，2010 年12 月13 日谢谢季教授邀请我来给大家作这个报告。这个报告主要是开阔 ...

狄拉克δ函数- 道客巴巴

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2011年1月1日 - 第八章狄拉克函数 · 基于狄拉克δ函数的梁静力挠度分析 · 狄拉克函数的定义和性质的研究 · 45狄拉克符号 · 狄拉克符号(Dirac) · 从狄拉克谈起.

	学科：数学
	教学内容：球

【基础知识精讲】

1.球的概念

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径.连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.

如图的球中，O是球心，线段OC是半径，线段AB是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.

球面可以看作空间内到定点(球心)的距离等于定长的点的集合，球则可以看作空间内到定点(球心)的距离小于或等于定长(半径)的点的集合.

2.球的性质

用一个平面去截一个球，截面是圆面，其截面有如下性质：

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.

(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r,有下面的关系：

r＝

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.

(3)经过球面上不是同一条直径的两端点的两个点，可以且只可以作一个大圆.

(4)同一个球的大圆相等.

(5)球的大圆平分这个球.

(6)球的任意两个大圆相互平分.

画球时，一般画一个大圆，与一个辅助椭圆就足够了.

3.经度、纬度和球面距

北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O°经线，也称为本初子午线.

经线指的是某点与地轴形成半圆、圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.

某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角.

注意：东经180°与0°经线重合，如图1.

球面距指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离.

如图2所示：NS为地轴，P所在经线为，设P点所在经线为0°经线，B所在经线为东径n度(n＝∠AOB)，P在北纬m度(m＝40A)，要确定P在地球上的位置，必须知道P的经度与纬度.

4.球的面积和体积公式.

定理：球面面积等于它的大圆面积的4倍，S_球面＝4πR²

定理：如果球的半径为R，那么它的体积是V_球＝πR³.

【重点难点解析】

多面体：旋转体与球的相切和相接问题，常成为高考的重点和热点，难点是球半径与多面体、旋转体的几何量的关系.

例1 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4 B.3 C.2 D.5

解：如图，设球的半径是r，则πBD²＝5π，πAC²＝8π，

∴BD²＝5，AC²＝8.又AB＝1，设OA＝x.

∴x²+8＝r²,(x+1)²+5＝r².

解之，得r＝3

故选B.

例2 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.

解：如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O₁O₂O₃平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO₁O₂O₃的中心，连接O₁H，O₁O，在RtΔO₁OH中，O₁H＝，OH＝1-r,OO₁＝1+r,∴OO₁²＝O₁H²+OH²，即(1+r)²＝()²+(1-r)²，解得r＝.

例3 地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.

分析本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O₁O，O₁A，O₁B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题.

解：如图2，∵∠O₁OA＝＝∠O₁OB，OA＝OB＝R，∴OO₁＝O₁A＝O₁B＝R ∴AB²＝O₁A²+O₁B²＝R， ∴ΔAOB为等边Δ， ∴∠AOB＝，A、B间的球面距离为R.

例4 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.

解：轴截面如图，设O₂C＝x，则CO₁＝21-x,∵AB⊥O₁O₂ ∴AO₂²-O₂C²＝AO₁²-CO₁²，即10²-x²＝17²-(21-x)²，解得x＝6,CO₁＝15,又设左边球缺的高为h₁,右边的球缺高为h₂，则h₁＝17-15＝2,h₂＝10-6＝4,∴S_表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)²,V＝π［2²(3·10-2)+4²(3·17-4)］＝288π(cm³).

例5 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.

解：如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA²＝PD·PE＝＝，R＝，∴S_球＝π(cm)².

例6 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.

证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有V_A—BCD＝V_O—ABC+V_O—ABD+V_O—BCD，如图，即Sh＝4×SR,∴h＝4R.

【难题巧解点拨】

例1 地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.

分析：如图，O为球心，O₁为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO₁B中，∠AO₁B的大小就是A、B两地的经度差.

解：设O₁是北纬45°圆的中心，

∵A、B都在此圆上，

∴O₁A＝O₁B＝R.

∵A、B的球面距离为，

∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB为等边三角形.

AB＝R，在ΔAO₁B中，

∵O₁A²+O₁B²＝R²+R²＝R²＝AB²，

∴∠AO₁B＝90°.

∴A、B两地的经度差是90°.

评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.

例2 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.

解设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为x，则3x²＝EG²＝4R²,x＝R.∴V_正方体＝(lcosθtan)³.

例3 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA²+PB²+PC²为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.

分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²+PB²，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.

解： (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

∴AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，则PADB是矩形，PD²＝PA²+PB².

设O为球心，则OO₁⊥平面⊙O₁，

∵PC⊥⊙O₁平面，

∴OO₁∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.

∴CD是球的直径.

故 PA²+PB²+PC²＝PD²+PC²＝CD²＝4R²定值.

(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝xyz，

V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶.

∴V≤R³.

即 V_最大＝R³.

评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R²可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.

例4 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.

解如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)².

解得R＝a.

【课本难题解答】

1.求证：球的任意两个大圆互相平分.

证明：因为任意两个大圆都过球心O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.

2.在球心的同一侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积各为49πcm²和400πcm².求球的表面积.

解：如图，设球的半径为R，

∵πO₂B²＝49π， ∴O₂B＝7

同理 O₁A＝20

设OO₁＝xcm，则OO₂＝(x+9)cm.

在RtΔOO₁A中，可得R²＝x²+20²

在RtΔOO₂B中，可得R²＝7²+(x+9)²

∴x²+20²＝7²+(x+9)²

解方程得 x＝15cm

R²＝x²+20²＝25²

∴S_球＝4π·OA²＝2500π(cm²)

【命题趋势分析】

纵观近几年高考题，关于球的应用题基本上出现在选择题、填空题的位置上，且难度不大，同时实际背景材料并不复杂，主要考查三个方面：①算表面积和体积；②求半径；③求球面距.

【典型热点考题】

例1 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )

A.4 B.2 C.2 D.

解：设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB

∴ΔAOB是等边三角形

同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.

边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.

r＝AB＝R

R＝r＝2

∴应选B.

例2 已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( )

A.π B.π C.4π D.π

解：如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.

∴AO′＝×2＝

设球半径为R，则OA＝R，OO′＝

在RtΔOAO′中，OA²＝O′O²+O′A²，即R²＝+()²

∴R＝

∴球面面积为4πR²＝π

∴应选A.

说明因为R＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面积S＝4πR²＞4π.从而选A.

例3 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )

A.20π B.25π C.50π D.200π

解：正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.

得：l²＝4R²＝3²+4²+5²＝50

从而 S_球＝4πR²＝50π

∴应选C.

例4 在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .

解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝a.

∴S_球表面积＝4π·(a)²＝3πa².

例5 圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.

分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.

解：设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V_球＝2×π×5²×h,V₁＝ V_球

即 25πh＝π ∴h＝cm.

∴应填

普吕克

www.hssyxx.com/zhsj/kexue-2/zutiweb/zu30/.../067.htm
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在每一卷中他讨论了以直线、圆和圆锥曲线为研究内容的平面解析几何． ... 这一著作反映出普吕克解析几何的特点，这就是，对于出现在圆锥曲线和它们的束的 .... 普吕克依靠他的学生J．W．希托夫(Hittorf)的化学经验来研究气态物质的光谱，通过对 ...

高考数学复习点拨：圆锥曲线问题的三类交汇题型分析_免费 ...

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圆锥曲线问题的三类交汇题型分析山东胡彬与其他知识进行综合，在知识网络的交汇点处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数及不等式综合等）,历来都是高考 ...

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研究報告範本

163.27.127.130/machine/paper/研究報告範本.doc

（2）在C－轉換下一條直線轉換為圓錐曲線，並由這直線和外接橢圓相交的情形判定是何種 ... 在這種轉換下，可以找出通過五個點的圓錐曲線的新作圖法及方程式。 ..... 可對全光譜中某些固定的波段的光加以過濾篩選，以改變光線的顏色、強度與品質。

几何Hermite插值曲线的优化方法研究—硕士毕业论文下载

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【摘要】：在计算机辅助几何设计中,构造一条满足给定端点条件的光顺曲线是一个基本问题。 ... 主要讨论了两类该类型的曲线,类是圆锥曲线/圆弧线型C型插值曲线,另一类是圆弧线/圆锥曲线型C型插值曲线。但是并 ... 新型铱金属配合物电子结构及光谱性.

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英文版（English Version）

漫话圆锥曲线（1）

——谢国芳（Roy Xie） Email: roixie@163.com

圆锥曲线是用一个平面去截圆锥所得到的曲线，因此它也被称为圆锥截线（conic section）。早在二千多年前，古希腊的几何学家就发现了这类曲线并进行了系统的研究，其中最杰出的是佩尔格的阿波罗尼斯（Apollonius of Perga, 约公元前262年～190年），他的七卷本巨著《圆锥曲线论》独步千年，横绝古今，和欧几里德的《几何原本》并称为古希腊数学的两大高峰。遗憾的是，在中国古代的数学家中好像没有人注意到这类曲线，虽然它们的身影在我们的日常生活中随处可见（见下文），不一定非要用一个平面去截圆锥才能发现。

然而，我们还是从古希腊人发现它们的途径谈起吧。如图1.1所示，用一个平面截一个圆锥^[1]，如果平面和锥底平行，截线就是一个圆。如果我们把平面慢慢地倾斜过来，随着倾角的不断增大，截线会依次呈现出三种不同的形状，今天我们把它们分别称为椭圆（ellipse）、抛物线（parabola）和双曲线（hyperbola），它们分别对应于平面的倾角小于、等于、大于圆锥的底角这三种情形（注意双曲线有两个分离的分支^[2]，因为倾角大于圆锥底角的平面会同时截到圆锥的上下两半，最早认识到这一点的是阿波罗尼斯，之前的古希腊几何学家都没有看到双曲线的“另一半”）。图1.2 则展示了在平面上看到的这三种曲线的大致形状，相信即便是一个没有学过数学的人，对它们的“长相”也不会感到陌生，特别是椭圆（简单地说，它就是一个被压扁了的圆）。

图 1.1 一个平面截圆锥的三种情形和由此产生的三种圆锥曲线

图 1.2 在平面上看到的三种圆锥曲线的形状

椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线从外表看上去截然不同（见上图，你能“看出”它们有什么共同之处吗？），可令人惊奇的是，骨子里它们却相通相融，亲密无间，你能变我，我能变你，可以说看似三相，实为一体。打个比方，就像孙悟空有七十二种变化，它们实际上可以看成是圆的三种不同的“化身”。

（请读者思考，怎么样能把一个圆“变成”椭圆或者反过来把一个椭圆“变成”圆？——这是比较容易想到的，用一个初等的变换就能实现^[3]。而把抛物线和双曲线“变成”或者说“还原成”圆的变换则较难想到，需要更高的“法术”）。

除了圆之外（圆实际上是圆锥曲线的特例——即长轴和短轴相等的椭圆），圆锥曲线可以说是最简单最贴近我们生活的曲线。上至浩瀚的苍穹，下至我们的周遭身边，只要你稍加留心，都能观察到它们曼妙的身姿。

在天上，行星运动的轨道是椭圆，太阳位于它的一个焦点上。这是德国天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571～1630）的伟大发现，也是引导牛顿（Isaac Newton,1642～1727) 发现万有引力定律的一个关键因素。在1687年出版的他的巨著《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，牛顿证明了，如果行星运动的轨道是以太阳为焦点的椭圆，那么它所受到的引力必定和到太阳的距离的平方成反比。反之，在平方反比力的作用下，一个运动物体的轨迹必然是一条圆锥曲线，即要么是椭圆，要么是双曲线或抛物线，视物体的初始位置、运动速度（包括方向）和力的强度之间的关系而定。在古希腊人发现和研究圆锥曲线将近二千年后，这些美丽的曲线终于走出了象牙塔，在天体的运动中找到了最辉煌的应用。

图 1.3 太阳系各大行星的椭圆轨道

（图中狭长的白圈是哈雷彗星的轨道，它是一个极扁的椭圆）

把目光返回到人间，圆锥曲线的身影也是随处可见。随便举几个例子吧，苗条女人的腰身近似于一条双曲线，广州新建的电视塔被广州人俗称为“小蛮腰”（见下图），因为它的外形是双曲线一一严格地说是双曲面（更严格地说是单叶双曲面）^[4]，它是双曲线绕它的一根轴线旋转产生的曲面。

图 1.4 广州珠江边上的新电视塔（俗称“小蛮腰”，高达610米）

喷泉和水枪里射出的水柱的形状是抛物线（见下图）。禽鸟的蛋(比如鸡蛋、鸭蛋）和很多种瓜（比如哈密瓜）的形状都近似于一个椭球体，那是一个椭圆绕其轴线旋转而成的，当你用刀把它切成两半的时候，截口就是一个椭圆了^[5]。斜着切黄瓜、胡萝卜、香肠等圆柱或圆锥状的蔬果食品，切下来每片的形状也都近乎是一个椭圆。

图 1.5 喷泉的水柱

当你喝水或饮料、牛奶的时候（这时候你会把杯子侧斜过来），你可曾留意过杯子（我们假定是最常见的那种圆柱或圆锥形的杯子）中水面或饮料、牛奶表面的形状，它是一个十分完美的椭圆^[6]，说实话，这是作者一天早上起来喝牛奶的时候偶然“发现”的，当时突然看到杯子里牛奶的表面是一个洁白精致的椭圆，不由得生出无限的美感和惊叹，惊叹于大自然这一小小的杰作和戏法。

还有，你可曾留意过，太阳底下或夜晚街灯下一个圆形物体（比如自行车轮子）的影子通常是一个椭圆（请读者想一下，它有没有可能是双曲线或抛物线^[7]）。另一个与之相关的司空见惯却很少有人深思的事实是，所有圆形的物体（比如圆桌，圆凳，圆碗、圆口杯子）从一般的视角看上去其实并不是个圆，而是一个椭圆。请读者务必用自己的眼睛细心观察和感受这两件事情，因为它们的背后隐藏着非常深刻的原理（它就是射影几何的基本原理）。

未完待续（To be continued）

注解和知识拓展

[1] 为简单起见，我们假定它是直圆锥，即顶点和底圆圆心的连线垂直于底圆所在平面的圆锥。

[2] 但从射影平面上看，双曲线的两个分支是连通的，因为它们在两个无穷远点（对应于双曲线的两条渐近线）连接了起来。我们也可以说在射影平面的拓扑中双曲线同胚于一个圆，它的两个分支对应于以两个无穷远点为端点的两段圆弧，如下图所示：

[3] 只要沿着一个方向压缩或拉伸整个平面就可以把圆变成椭圆，或者反过来把椭圆变成圆，这样的变换称为伸缩变换或压缩变换，它是仿射变换的特例。如果采用直角坐标系，沿 y 轴方向的伸缩变换可以表示为

其中的 K 是一个常数，可以称为伸缩系数。

上述变换的几何意义是把整个平面沿着 y 轴方向拉伸（当 |K| > 1 时）或压缩（当 |K| < 1 时）K 倍，即把平面上任意一点变到横坐标和原来相等、纵坐标为原来 K 倍的点。

请读者自己验证，沿 y 轴方向、伸缩系数 K = a/b 的伸缩变换把椭圆

变为半径等于a 的圆。

利用伸缩变换，可以把很多关于椭圆的问题转化为相对容易得多的圆的问题解决，反过来，也可以把很多圆的性质推广为椭圆的性质。具体实例参见_____

顺便说一下，在电脑附件的画图软件中就可以实现伸缩变换，只要点击“重新调整大小”，选择水平伸缩的百分比不等于垂直伸缩的百分比即可。

还有，通过调整电脑显示屏的分辨率，也可以实现伸缩变换。前几天帮侄儿装了一个几何画板，画出来的圆全部是压扁了的椭圆，改了一下显示屏的分辨率设置，问题就解决了。

[4] 单叶双曲面是双曲线绕虚轴旋转生成的曲面。若双曲线绕实轴旋转，则会生成双叶双曲面，它有两个分离的连通分支。

[5] 实际上，一个一般的二次曲面（椭球面和双曲面为其两个类型，而圆锥则为退化的二次曲面）和一个平面的交线总是一条圆锥曲线。

[6] 严格地说是椭圆盘，即由椭圆和其内部所构成的有界区域。

[7] 太阳底下一个圆形物体的影子永远是一个椭圆，因为太阳光是平行光束，物体在太阳下的影子是平行投影（相当于一个仿射变换）。平行投影保持圆锥曲线的类型不变，即它永远把椭圆（圆为其特例）变成椭圆，双曲线变成双曲线，抛物线变成抛物线。

而在街灯下一个圆形物体的影子从理论上讲也可能是双曲线或抛物线（虽然实际上很少能看到，请读者想一下在什么情况下能看到双曲线或抛物线的影子），因为它是一个中心透视投影，如果圆上有且只有一点投射为无穷远点，圆就变成了抛物线，如下图所示：

图中的点 V 是透视中心（你可以把它想像成一盏街灯），它把圆投射到平面pi上，。

如果圆上有两点投射为无穷远点，圆就变成了双曲线（请读者自己发挥空间想象力，参见注[2]中的图），

[PDF]

dirac01 wang01 qinghua01 brain01 五维射影空间里面的李球用三个平面P (μ = 1, 2, 3) 去截它得到三个实的空间, 狄拉克研究这三个空间上电子的波动方程; 水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球