热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。
大学物理导论: 物理学的理论与方法、历史与前沿
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博文
物理学中的几率与曲率
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（发表于《哲学评论》第8辑，武汉大学出版社，2010年6月第1版，转载于《量子新论》第1辑，中国新闻联合出版社，2011年12月）
物理学中的几率与曲率
吴新忠
上海交通大学科学史与科学哲学系（200240）
E-mail: sju@sina.com
摘要：物理学中的几率概念，主要是通过分子运动论进入统计力学与量子力学中的；而物理学中的曲率概念，作为微分几何在物理学中的应用，老早就进入分析力学中，随着广义相对论中引入时空曲率描述引力现象，曲率的概念变得日益重要，在规范场论中场强被赋予曲率的理解。量子力学中的曲率思想，萌发于薛定谔方程的早期推导过程，突变论创始人勒内·托姆从微分拓扑学的角度主张熵与量子波函数可以作曲率解释。赵国求提出的量子力学曲率解释，进一步协调了相对论与量子论，对波函数作出曲率解释，形成了目前为止最接近薛定谔科学思想与爱因斯坦的物理学理想的一个新解释。
关键词：几率 曲率 量子曲率
一． 物理学中的几率概念
几率理论具有很长的历史，从亚里斯多德关于生物遗传性的著作开始，17世纪以来被许多数学家和逻辑学家所发展。“几率理论”在数学上的发展始于赌博游戏中出现的问题，描述几率的概念是“信念度”，数学工具是组合代数。把几率的概念应用于测量和观察（起先用于天文学，现在涉及到其他所有领域）的系统化时，便形成了“误差理论”。当把几率概念应用于社会、经济和生物问题时，统计理论便是样本理论。对于几率概念，存在多种解释，大致分为两类：1.几率是一种对证据确认程度的量度；2.几率是一类特殊元素中某种属性出现的相对频率的量度（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p34-36, 社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
几率，作为一个物理概念，萌发于亚里斯多德采用“潜能”概念来理解物体运动与生物发育等变化过程。牛顿力学通过斯宾诺莎的古典唯理论，导致了对牛顿力学的拉普拉斯决定论解释。古典唯理论认为：知识或科学应当建立在某一精密的命题（或定律）之上，不应当建立在经验之上（通过观察和实验）。这些精密的定律是“必然的”，“自明的真理”和“可由理智直接得到的”。爱因斯坦在晚年相信这些自然规律的可能性和合意性。因此，当我们处于对“自然的伟大定律”缺乏知识的境地时，“先验几率”的概念被保持下来，这个概念不是建立在经验发现的基础上，而是一个“合理信念的程度”，这种“信念”基于“无差别原理”（ 吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p35, 社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
物理学的中的几率概念，首先是通过分子运动论进入热力学与统计物理学的，伯努利对波义耳定律的解释就涉及到几率。早在1850年，克劳修斯明确引进了统计思想，更严格地推导了理想气体状态方程。1859年，麦克斯韦在《气体动力理论的说明》中，引入了分子运动速度的统计平均概念。1871年，玻尔茨曼只假设一定的能量分布在有限数目的分子之中，能量的各种组合机会均等（即在动量空间内的能量曲面上作均匀分布），能量一份份地分成极小的但却有限的份额，经过组合分析后发现，份额趋于无穷大，每份能量趋向无穷小时，就获得了麦克斯韦分布。
在分析力学中，我们引入相空间来重新表述牛顿力学：设想有一6维空间，我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。玻尔兹曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p74, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。如果组成一个系统有Ω种方式，那么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概率是Px =Wx /Ω，式中Wx 是对应于宏观态X的微观排列数。玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的应变量，建立了一个表达式：S=klnW。宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大。
1900年10月19日，普朗克推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。在研究过程中，普朗克引入了两条假设：一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小为E=hν的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。于是，P个能量子在N个振子中进行分配时，配容数不同于玻尔茨曼分布。
根据给定所有粒子的位置和速度的知识能够计算整个宇宙的历史，现在和未来的拉普拉斯精灵，随着量子理论的诞生以及原子物理的发展而陷入困境。第一次暗示出“几率”起到比拉普拉斯和玻尔兹曼所认识到的更为基础的作用的是由卢瑟福和索迪发现的放射性衰变定律-dn/dt=n/τ。1905年，爱因斯坦在他的光子理论中引入统计的概念，1917年，在推导普朗克的辐射公式中又引入跃迁几率的概念。跃迁几率与每单位时间放射性衰变的几率1/τ是相似的，并且意味着，象放射性衰变一样，物质发射和吸收辐射服从几率定律。这与古典物理学形成了一个鲜明的对照，古典物理学认为所有的过程都受决定论的定律所支配（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p52,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
在1925-1926年，量子力学的现有体系首先是形式体系，其次是哥本哈根学派的物理与哲学解释被创立，发展和完善。按照尼尔斯·玻尔，海森伯与玻恩的思想构建的量子力学公理体系包含着“互补原理”与“几率公设”。互补原理起始于接受了由爱因斯坦和德布罗意波粒二象性所表达的我们的基本概念和知识本质的限制。作为爱因斯坦和德布罗意波粒二象性关系E=hν，p=h/λ的推论，量子力学中的线性厄米算符所代表的正则共轭可观察量并不服从乘法的交换定律，比如动量算符与位置算符满足pq-qp=h/2πi ，这就意味着对共轭可观察量的测量是互斥又互补的（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p52,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
1926年，玻恩在《论碰撞过程的量子力学》中，认为波函数服从统计规则，波函数模量的平方|y|2，给出粒子出现的几率。因此，在量子信息转化为经典信息的时候，玻恩的几率解释破坏了复变波函数ψ的全纯性。在1926年玻恩致爱因斯坦的信中指出：“我把薛定谔波场理解为你用字意义上的‘幽灵场’，在当时是有用的，……当然，几率场不是在通常空间中而是在相空间（或组态空间）中传播的。”（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p544, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）
量子力学几率解释的萌芽思想，也出现在薛定谔的《作为本征值问题的量子化》（第四篇）（《物理学年鉴》1926年第4期，第81卷）中，他首先给出了波函数的电荷密度解释：“我们选择一个粒子，让在一般力学中描述其位置的三个坐标确定；用ψψ*对系统所有剩余的坐标积分，并对结果乘以一个常数，所选电子的‘电荷’；我们对每个粒子（三元坐标组）做相同的事，在每一情形中给所选电子以相同的位置，即我们想知道电荷密度的空间那点的位置。这一密度等于部分结果的代数和。”而后，薛定谔指出：“ψψ* 是系统的位形空间中的一种权重函数。系统的波动力学位形是许多（严格地说所有运动学上可能的点的力学）位型的叠加。这样，每一个点的力学位型对真正的波动力学贡献某种权重，它正是由ψψ* 给出的。”他把ψ函数看作是非常真实的，电荷空间密度的电动力学上有效的涨落：“ψ函数所起的作用，恰恰在于允许这些涨落的总体，能以单个偏微分方程从数学上把握和考察。我们已经反复强调了这一事实：ψ函数本身不可能，也不可以直接以三维空间的语言来解释，无论单电子问题如何趋向于把我们误导向这一点，因为它一般而言是一个位形空间中，而不是真实空间中的函数。”他还利用电荷守恒来理解波函数归一化的必要性：“关于在上述意义上的这么一种权重函数，我们希望它对整个位形空间的积分保持归一化为同一不变的值，最好是单位值。我们很容易证实：如果系统的总电荷在上述条件下保持不变，这就是必然了。即使对非保守系，显然也假设这个条件。”（薛定谔：《薛定谔讲演录》，p106,范岱年 胡新和 译，北京大学出版社，2007年10月第1版）
尽管量子几率可以通过密度矩阵与熵的几率联系起来，但是量子几率与经典几率有着本质的差别：经典力学信奉因果律，观测结果的几率性是有原因的，这种原因既可能来自人们还未认识到的客体自身的秉性，也可能来自外界复杂的影响。量子力学是不问原因，只从观测结果看几率问题。海森伯认为，量子力学的任务只给出可观察量之间的关系，而不回答为什么是这样的问题。量子力学波函数的几率解释是和定态跃迁假设自洽的，而在经典力学中，客体运动状态的变化必定是连续的。玻尔的定态跃迁假设，海森伯的可观测量思想，玻恩的波函数几率解释，是哥本哈根解释的精华。与牛顿-爱因斯坦的“物质，时空，运动”的自然哲学路线不同，哥本哈根学派的研究路线是“定态，跃迁，几率”（金尚年：《量子力学的物理基础和哲学背景》，p60-61, 复旦大学出版社，2007年7月第一版）。
爱因斯坦在1936年写道：“y函数不能以任何方式描述单个系统所具有的条件，而只能与许多系统，即统计力学意义上的整个系统有关。” 爱因斯坦，波普尔等人的统计系综与哥本哈根学派不同的是，把不确定关系理解为互补观察量之间的统计弥散度，而不是每次测量的精确度。在波普尔看来，希尔伯特空间中的矢量提供的是统计学的断言，它得不出关于单个粒子行为的精确预示。量子论中的概率是相对概率（即条件概率），解释量子力学的问题可以全部归结为解释概率运算的问题。在1953年波普尔独立提出的量子力学系综解释中，波普尔将“几率”解释为一种“倾向性”，一种附属于进行重复测量的整个实验装置，可以同对称性或其他广义力相比拟的物理属性。几率不仅象实验装置一样客观，而且是一种与力和场同等意义上的物理实在（M.雅默：《量子力学的哲学》，秦克诚 译，p518-527,商务印书馆）。
爱因斯坦决不指望对现有的量子力学进行反几率的改造，针对戴维·玻姆引入量子势对量子力学进行决定论解释的尝试，他给玻恩写信说：“你看到玻姆（其实还有徳布罗意在二十五年前）是怎样相信能够以另一种方式从决定论的角度来解释量子力学的吗？我认为，这是廉价的推论，但你当然可以更好的判断。”“在力学过程领域中，……量子统计理论迄今还是一个自洽的体系，它正确地描述观察到的量之间的经验关系并能从理论上预言它们的意义”。爱因斯坦在统一场论的探索中，企图把量子力学作为未来统一场论的超决定论的约束条件处理（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p570-572, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
二．物理学中的曲率
天文学与数学的早期发展就已经涉及圆与圆锥曲线等问题，而涉及曲线与曲面问题的球面几何远在古希腊天文学家托勒密（约公元前170-100年）的时代就已经发展起来，并且人们已经注意到平面几何与球面几何的差别。但是，描述曲线、曲面等空间形态的弯曲程度的曲率与挠率等概念直到解析几何与非欧几何创立以后才建立起来。
1673年，Christian Huygens在《钟表的振动》中，采用纯几何方法研究了平面曲线的性质。设在曲线上P点处给了一条固定的法线，当一条相邻的法线移向这固定的法线时，这两条法线的交点在固定法线上达到极限位置，它就叫做曲线在P点的曲率中心。Huygens证明了，曲线上的点沿固定法线到这极限位置的距离（用现代的记号）是[1+(dy/dx)2] 3/2/(d2 y/dx2 ) 。这个长度是曲线在P点的曲率半径。
Newton在他的《解析几何》（Geometria Analytica）中（虽然该书的大部分大约写于1671年，但出版于1736年）也引进了曲率中心，作为P点的法线及其邻点法线的交点的极限点。然后Newton说，圆心在曲率中心、半径等于曲率半径的圆是在P点与曲线最密接的圆。这个最密接的圆叫做密切圆，密切圆的曲率是其半径的倒数而且是曲线在P点的曲率。Newton也给出了曲率的公式，并计算了一些曲线，包括摆线在内的曲率（M.克莱因：《古今数学思想》（第二册），p301-302,北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979年8月第1版）。
1775年，Euler(1707-1783)用参数方程x=x(s),y=y(s),z=z(s)表示空间曲线，其中s是弧长，他和十八世纪的其他作者一样用球面三角来进行分析。从参数方程他得到dx=pds, dy=qds, dz=rds，其中p,q和r都是逐点变化的方向余弦，当然要p2 +q2 +r2 =1。量ds，即自变量的微分，他是作为一个常量看待的。设ds’是曲线上相距ds的两点的两个相邻切线间的弧或角。Euler关于该曲线的曲率半径的定义便是ds’/ds 。
Clairaut曾经引进了空间曲线有两个曲率的想法。其中的一个曲率由Euler以刚才叙述过的方式加以标准化。另一个曲率，现在叫“挠率”，几何上表示一条曲线从（x,y,z）点处的一个平面离开的速率，是由工程师和数学家Michel-Ange Lancret(1774-1807)用分析方法求出它的显式显示的。他在曲线的任一点处选出了三个主方向。第一个主方向是切线方向。“逐次的”切线位于密切平面内。位于密切平面内的法线是主法线，第二个主方线是主法线方向。垂直于密切平面的法线是次法线，次法线方向是第三个主方向。挠率是次法线方向关于弧长的变化率。Lancret用x=ф(z), y=ψ(z)表示一条曲线，并把dμ叫做逐次法平面之间的夹角，而把dn叫做逐次密切平面之间的夹角。于是用近代的记号来写便有dμ/ds=1/r, dn/ds=1/t，其中r是曲率半径，而t是挠率半径（M.克莱因：《古今数学思想》（第二册），p303-307,北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979年8月第1版）。
1795年，Playfair(1748-1819)把欧几里德几何学中长期得不到证明的平行公理重新表述为：“过已知直线外一点有且只有一条直线平行于该直线”。1826年2月23日，俄罗斯数学家N.I.Lobachevsky(1792-1856)在喀山大学物理数学系宣读了他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》，这标志着非欧几何的诞生。他设想如果过一点不止有一条直线与已知直线平行，那么就可以建立一种与Euclid几何不同的“虚几何学”，在这种几何中：（1）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；（2）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数，就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；（3）过已知直线外的一点，可以有无数多条直线与已知直线平行，但是它们和已知直线都不能保持同一距离；（4）三角形的内角和不再是180o，而是一个小于180o的变量；（5）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得快。1832年以后，John Bolyai(1802-1860), Carl Friedrich Gauss（1777-1855）等人也提出了类似的新几何学（江晓原 主编：《科学史十五讲》，p258-259,北京大学出版社，2006年11月第1版）。
Gauss对曲率的定义，是Euler用于空间曲线和Olinde Rodrigues用于曲面的标形对曲面的推广。Euler早就提出了曲面上任一点的坐标（x,y,z）可以用两个参数“拟经度”u和“拟纬度”v表示的思想，即曲面的方程可以这样写出：x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)。Gauss的出发点是运用这个参数表示来作曲面的系统研究。从这些参数方程中我们有dx=adu+a’dv, dy=bdu+b’dv, dz=cdu+c’dv 。
把弧长ds2 =dx2 +dy2 +dz2表示为（u,v）的函数，就是
ds2 =E(u,v)du2 +2F(u,v)dudv+G(u,v)dv2 , 其中
E=a2 +b2 +c2 , F=aa’+bb’+cc’, G=a’2+b’2+c’2 .
Gauss在微分几何方面的里程碑式的工作表明，E,F,G就可以确定这个曲面的所有Euclid性质。这就提出了两个极其重要的思想。第一个是，曲面本身可以看成是一个空间，因为它的全部性质被ds2确定。人们可以忘掉曲面是位于一个三维空间中的这个事实。Gauss的工作意味着，至少在曲面上有非Euclid几何，如果把曲面本身看成一个空间的话。然而，如果把曲面（比如，球面）看成三维空间中的一张曲面，那么它的几何仍然是Euclid的。第二，可以从曲面出发引进两族参数曲线，然后几乎任意地选取u和v的函数E,F和G。于是曲面有这些E,F和G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间没有关系。结果是，随着E,F和G的不同的选取，同一张曲面可以有不同的几何（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p308-309,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
在曲面上的每一点（x,y,z）有一个带方向的法线。Gauss考虑一个单位球面，并选定一条半径，它具有曲面上的有向法线的方向。选取的半径确定了球面上的一个点（X,Y,Z）。然后，如果我们考虑曲面上围绕（x,y,z）的任一小区域，则在球面上有一个围绕（X,Y,Z）的对应区域。当这两块区域分别收缩到它们的对应点时，把球面上区域的面积与曲面上对应区域的面积之比的极限，定义为曲面在点（x,y,z）的曲率。Gauss进行了惊人数量的微分，并得到了曲面的总曲率K，并证明了K就是Euler早就提出过的在（x,y,z）处的两个主曲率之乘积。作为两个主曲率的平均的平均曲率的概念，是由Sophie German在1831年提出的（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p301-303,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
比如，一个蛋有弯曲的表面，它看上去好像其大的一端的表面属于一个球面，曲率为1/R12 ；而小的一端的表面属于另一个球面，曲率为1/R22 ;中间部分蛋壳的曲率为1/R1 R2 。一个马鞍面沿长的方向的铅直断面形成凹向上方的曲线，曲率半径为R 1 , 同时沿跨的方向铅直断面形成凹向下方的曲线具有较短的曲率半径R2 ,一个马鞍面具有负的曲率1/R1 R2 。而一个炸面圈的表面在其外半侧呈现正曲率，同时内半侧为负曲率（Morris Kline主编：《现代世界中的数学》，齐民友 等译，p212-217,上海教育出版社，2004年12月第1版）。
1854年6月10日，德国数学家Georg Bernhard Riemann（1826-1866）在他的就职演说中，谈论了有关n维空间的曲率问题。n维流形中的一个点，可以用n个可变参数x1 ,x2 ,…,xn 的一组指定的特定值来表示，而所有可能的点的总体就构成n维流形本身，这n个可变参数就叫做流形的坐标。当这些xi连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
Gauss的曲面内蕴几何修改了3维空间的勾股定理的距离公式，Riemann把它推广到n维流形中，假定两个一般点的距离的平方是ds2 =Σ gμνdxμ dxν ，其中gμν 是坐标dx1 , dx2 ,…,dxn的函数，gμν=gνμ 。由于允许gμν是坐标的函数，所以Riemann提供了空间的性质可以逐点而异的可能性。如果Riemann流形上的一条曲线由n个函数x1=x1(t), x2 =x2(t),…, xn =xn(t)给定。在两个给定点t=α和t=β之间的最短曲线——测地线，随之可以用变分法确定，即适合条件δ∫βα ds=0的曲线。Euclid的几何学暗中假定向量在平行移动下是不变的，Riemann放弃了这个暗中的假定，那么比较流形上不同点的切空间内的向量，需要一个“联络”Г，代表向量在平行移动后方向的偏离程度，而流形的曲率可以从联络Г中构造出来。Riemann关于任意n维流形的曲率的概念，是Gauss关于曲面的总曲率概念的推广。（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p309-313,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
Riemann在演说的最后指出，因为物理空间是一种特殊的流形，所以那种空间的几何不能只是从流形的一般概念推出来。把物理空间同其它三维流形区分开来的那些性质，只能从经验得到。因此，为了确定什么是物理空间的真理，需要把物质和空间结合起来。这个思路自然就引导到相对论（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p314-315,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
尽管爱因斯坦在广义相对论中引入的时空曲率最引人注目，但是微分几何在物理学中的广泛应用，使得曲率的概念贯穿于牛顿力学，麦克斯韦电磁场论，相对论，热力学与量子力学，量子场论中。
用三维空间中的欧氏坐标给出的任意曲线x=x(t), y=y(t), z=z(t),即r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k ,有 ds=│dr/dt│dt=│vt│dt 。令t=s，于是相对于参数s的加速度的绝对值就是空间曲线的曲率：K=│d2r/dt2│，其中速度和加速度向量相互正交。因此，甚至在Newton力学的某种微分几何表述中，力与加速度已经与运动轨线的曲率发生关联（杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，p34，许明 译，高等教育出版社，2006年9月第1版）。
在电磁学理论中，我们用向量值函数E和B来分别表示电场和磁场：E=(E1 , E2 , E3 ) , B=(B1 , B2 , B3)。把两个场合起来得到一个很有用的微分2-形式：
F=(E1dx1 +E2 dx2 +E3 dx3 )∧dt + B1 dx2∧dx3 +B2 dx3∧dx1 +B3 dx1 ∧dx2
把Hodge符号*作用于F, 使得其中的电场与磁场互换，就得到F的对偶形式：
﹡F= -(B1dx1 +B2 dx2+B3dx3) ∧dt + E1 dx2∧dx3 +E2 dx3∧dx1 +E3 dx1 ∧dx2
著名的Gauss, Ampere, Faraday, Maxwell方程为
divE=4πσ, curlB=4πj+∂E/∂t, divB=0, curlE=-∂B/∂t
其中σ是电荷密度，j是电流。
为了简单起见，我们假定σ=0，j=0。
用微分方程的术语来说，Maxwell方程组的四个方程可以写成
dF=0, d(*F)=0 （刘克峰 季理真：《丘成桐的数学人生》，p118-119，浙江大学出版社，2006年6月第1版）。
第二个方程其实就是U(1)纤维丛上的Bianchi恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2-形式场ΣFijdxi∧dxj。这个方程对应原始的Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场散度为0。包括Cartan和Hodge在内的数学家们注意到，Maxwell方程应该解释为某些被称为向量丛的几何对象的曲率方程。
Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，它明确地召唤着Lorentz变换。迈克尔逊-莫雷实验导致了光速不变原理的确立，H.Poincare提出了相对性原理。Einstein对Lorentz变换的重新解释，迫使人们接受同时的相对性，并引向H.Minkowski的四维时空观。
在Lorentz变换下，能量-动量向量（E,cp）如同4向量那样变化。质点的4动量位于质量的曲面上，4动量由关系式p0=E,pα=cpα（α=1，2，3）与能量和三维动量相关联，曲面上具有Lobachevsky几何结构： E2-c2p2=m2c4 （杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，p254，许明 译，高等教育出版社，2006年9月第1版）。
广义相对论就是使相对性原理从惯性系推广到任意运动的参照系。这意味着在任意的时空坐标变换下物理规律保持不变，张量微分成为表达这种广义协变性的最合适工具。在物理学中，用张量方程的形式表达的定律是按定义张量的坐标变换从一个参考系变换到另一个参考系的，这些变换把相同空间中的不同参考系联系起来。
伽利略对教堂里的单摆和比萨斜塔上的自由落体的观察已经表明物体的惯性质量和引力质量是等效的。1907年，爱因斯坦提出了“等效原理”，即对在一个被加速的参考系中的物理现象的描述与对在引力场中的一个惯性系内的物理现象的描述是等价的。从这一点出发，就产生了这样的思想，即按照牛顿理论在一个引力场中的运动可以看作是在适当的加速系中的“自由运动”（即无引力场）。第二步就是用一个四维弯曲空间来描述这个加速系，四维弯曲空间的度规 ds2=Σgijdxidxj 代表任意空-时变换（即洛伦兹变换不再限制在平直空间）（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p123-127,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
爱因斯坦通过对牛顿引力理论的泊松方程进行推广而得到引力场方程。他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν–gμνR/2=8πGTμν/c4 。
其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为曲率标量（经曲率张量Rμν 的各要素的加权后计算得到，gμν的权重理解暗示着时空度规不仅有曲率特征，也有几率特征）。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。John Wheeler指出，爱因斯坦的广义相对论意味着“时空告诉物质怎样运动，而物质告诉时空如何弯曲。”
爱因斯坦后来构造了把电磁场也表示为弯曲时空结构的统一场论模型：早期是追随克莱因-卡鲁扎理论，把电磁场处理为卷曲为圆柱管的第5个额外维（圆柱曲率与电荷有关）；最后是用非对称张量代表电磁场，并加入到对称的引力场张量中。但是，微观物理学的巨大进步以及引发的新问题，使得爱因斯坦构造统一场论的梦想变得遥遥无期。
1918年，德国的韦尔（E.Weyl）提出了规范变换概念。他试图通过物理规律不因时空中每一时空点量度尺度的变化而改变来推导出电磁理论。在时空中每一点上，量度时空尺度的改变称为定域规范变换。 1927年，福克和伦敦发现，只要在韦尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则韦尔的理论就不再是“规范变换（尺度变换）”理论，而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场。在量子力学中，波函数整体的相位选择是任意的。当波函数的相因子改变时，力学量的观测值不受任何影响，与这种不变性相关联的守恒量就是电荷。
规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理。韦尔证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数：∂μ→Dμ=∂μ-ieAμ ，那么相对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的。现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们将规范变换与规范场的思想又作了进一步的扩展，首次建立了普遍化的规范对称的数学理论。他们把物理学中的对称性分为整体对称（空间各点做相同变换下的对称性）与定域对称（空间各点独立变换下的对称性）。
根据杨-米尔斯理论，如果一组物理规律原来满足整体对称变换下不变，若将它推广到定域变换下不变，就必须引入新的场。规范场量子就是一种新粒子，该粒子的交换就会引起新力。就这样，杨-米尔斯理论就给出了描述各种力的起源。任何一种新的场，新的粒子与所相应的新力的作用，都可以从一个统一的规范场理论中推导出来。
在规范理论中，规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势。引力势是与切丛中的线性联络相关，体现的是时空底流形的曲率；规范势是与主纤维丛的联络相关，规范场强相当于纤维丛的曲率。
因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了（桂起权 高策 等：《规范场的哲学探究》，p6-8,科学出版社，2008年5月第1版）。
当规范场论间接地显示曲率与量子力学的关系的时候，我们发现量子力学中的曲率概念早在薛定谔的经典文献《作为本征值问题的量子化》中就已经萌芽。在《关于波动力学的第三次演讲》中，薛定谔认为，作为波动力学的经典出发点的哈密顿-莫培督原理，在定义广义坐标q空间的线元的时候，引入了Heinrich Hertz所应用的广义非欧几何，即ds2=2T(qk ,dqk /dt)dt2 (薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版)。而最后得到的波动方程（或者比较恰当地说，是振幅方程）是▽2ψ +8π2 (E-V)ψ/h2=0, 其中▽2既不能理解为三维空间中的初等拉普拉斯算符，也不能理解为多维欧几里得空间中的初等拉普拉斯算符（就是关于坐标的二阶导数之和），而应该把它理解为拉普拉斯算符在广义非欧几何的q空间的线元下的推广（薛定谔：《薛定谔讲演录》，p21-22，胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版）。
在此约定之后，诸如两个线元之间的角度，正交性，矢量的散度和旋度，标量的梯度，标量的拉普拉斯运算及其他概念都可以如在三维空间的欧氏空间中一样简单地运用：所有q空间中的几何表述，都取广义非欧几何线元的意义(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版)。
几何光学仅仅是光的粗略近似，而要沿着波动理论的路线，在q空间中光学的进一步发展中保持这种类似，我们就必须小心不明显地偏离几何光学的界限，即选择波长足够的小，与所有路径的尺度相比很小。或许我们的经典力学完全类似于几何光学，因而是错误的，与实在不符；一旦曲率半径和路径的尺度比之于某个被赋予q空间的实在意义的波长不再很大时，它就失效了。这样，问题就成为寻求一种波动力学，而最明显的方式，就是从哈密顿相似出发，沿着波动光学的路线去求解(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p45-46,北京大学出版社，2007年10月第1版)。
正如薛定谔关于ψψ*代表权重函数的萌芽思想被玻恩发展成为量子力学几率解释一样，法国数学家Rene Thom在《结构稳定性与形态发生学》，《突变论：思想与应用》等论著中发挥了薛定谔关于波函数的曲率解释萌芽，并提出了热力学熵的曲率解释；以中国学者赵国求为代表的等学者更是在《运动与场》，《物理学的新神曲》，《物理学与哲学之间》，《从相互作用实在到量子力学曲率解释》等论著中，全面系统地阐述了量子力学曲率解释，通过与其他解释的对比，我们发现这是目前为止最与相对论相协调的量子力学解释，最接近薛定谔的科学思想与爱因斯坦的物理学理想。如果能够得到进一步的发展，将对物理学的未来发展产生划时代的深远影响。
托姆考虑了二个保守的Hamilton系统量H1与H2，并假定系统是热力学耦合的，使得它们在几乎全部时刻里演进，仿佛系统S1与S2之间没有相互作用，除非在很短的持续时间内随机的突变过程交换能量，由于形成随机作用，系统在能量超曲面D域上正比于D的Liouville测度（遍历假设）。导数a(x)=dm/dx表示能量超曲面的H=x的(2m-1)体积，对于两个保守系统分别为
和。系统的微正则熵是函数，系统的温度是；几何上该温度是在超曲面的平均曲率的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中分子的平均平动动能。对于两个保守系统，温度分别为T1和T2，微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中，统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均曲率有关的几何意义：能量超曲面的曲率实质上表征了统计系综相空间各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P60-61，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
和。系统的微正则熵是函数，系统的温度是；几何上该温度是在超曲面的平均曲率的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中分子的平均平动动能。对于两个保守系统，温度分别为T1和T2，微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中，统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均曲率有关的几何意义：能量超曲面的曲率实质上表征了统计系综相空间各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P60-61，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
托姆认为,由归一化条件 可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率;薛定谔方程的定态形式 存在一个递增函数，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即相当于图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部曲率的变化率（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P157-158，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率;薛定谔方程的定态形式 存在一个递增函数，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即相当于图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部曲率的变化率（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P157-158，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发，赵国求从波函数的振幅中分离出代表粒子自身时空特征的曲率因子——基准曲率（或特征曲率）： Rn=∆pn/ћ 。
而基准曲率与不确定原理的关系是： ∆Pn• ∆xn=ћ , ∆xn=1/Rn
氢原子每个能级n由徳布罗意波波长定义了一个与电子对应的曲率Rn ，我们称其为基准曲率。rn =na0 为基准曲率半径，它给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象，意味着n能级上正好有n节驻波。量子曲率与电子轨道半径(n2a0)的1/n成反比，代表电子波的曲率，它相当于以电子轨道半径为均轮的一个驻波本轮的曲率，代表着弥漫于空间中的电子云的量子自组织力，体现广义坐标q空间的非欧特征，量子力学的表象变换类似于q空间曲面上的曲线坐标变换。在静电场的近似条件下，原子核的电磁规范场的电场分量的场强与轨道半径的平方成反比，与原子核电荷成正比，电场强度的曲率正比于空间中的电荷密度(核电荷与电子轨道能级曲面的高斯曲率的乘积)，代表着原子核对于电子云的经典约束力。因此，量子曲率与规范场强的曲率尽管有联系，却具有不同的数学物理意义。
我们发现，通过不确定关系得到的氢原子中不同轨道电子的基准曲率正好是径向波函数的振幅中可以分离出所定义的曲率因子，而且波函数|ψ|2与这种曲率成比例，因此对量子力学波函数可作出新解释，这就是量子力学曲率解释（赵国求：《从相互作用实在到量子力学曲率解释》，p16-19,武汉出版社，2008年11月第1版）。
范弗拉森也发现，如果态矢量由两个正交矢量（X，Y）表征，则在态W中作一个X测量产生值x，x在集合（x,y）中的概率即为P，那么P=x2 /（x2 +y2）=x2 /R2 。因此，态矢量的几何概率正比于它的黎曼球的高斯曲率，正比于能量超曲面上的对应轨线的量子曲率（万小龙：《范弗拉森的量子力学哲学研究》，p162,中山大学出版社，2006年1月第1版）。
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