铡刀铡草时的示意图如图所示．请画出动力F的力臂L

铡刀铡草时的示意图如图所示．请画出动力F的力臂L，并画出草对刀的弹力N的示意图．
解：沿F作出动力的作用线，从O点向力动力F的作用线引垂线，即为动力臂L；铡刀受到的弹力N的作用点在物体与铡刀接触处，方向垂直铡刀斜向上；如下图所示：
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tw01 phymath01 τ稱為力矩是有道理的，因為其大小是力在跟力臂垂直方向的分量與力臂的乘積，可以畫出一矩形來；準此，L稱為「動量矩」也是可以的，只是一般依據它的另一名稱angular momentum譯成角動量

釋說新語之十八：什麼是Moment？

2008/10/07 – 上午 10:13
劉源俊
　　Moment這個字在一般用語的意思是「瞬間」。但在物理裡，不說「瞬間」，因為語意含混；說「瞬時」（英文是instant），指的是某時刻的當兒。所以，速度即「瞬時速度」（英文是instantaneous velocity）。
　　然而物理裡，特別有好些地方出現moment這個字。我們看：moment of force譯為「力矩」，moment of momentum譯為「角動量」，moment of inertia又譯為「轉動慣量」。為什麼？moment到底是什麼意思呢？
進一部檢視，則發現力學裡：moment of force定義為τ ≣ Σ r × F，moment of momentum定義為L ≣ Σ r × p，moment of inertia定義為Iij ≣ Σ m ri rj。τ稱為力矩是有道理的，因為其大小是力在跟力臂垂直方向的分量與力臂的乘積，可以畫出一矩形來；準此，L稱為「動量矩」也是可以的，只是一般依據它的另一名稱angular momentum譯成角動量。
　　然而，Iij就複雜得多，與矩形毫無關係；一般依據它界定角動量與角速度間的關係，可類比於動量與速度間的關係，因而譯成轉動慣量；不直譯為「慣量矩」也是對的，因為它不達意。
　　三者英文裡都有moment這字，這字可是與矩形一點關係都沒有，其中必有道理。原來，這幾個定義都與「分布」有關。為顯示某物理量離開一參考原點分佈的情況，我們可以定義好多階的moments──物理量乘上距離的一次式加總起來稱為the first moment（一般譯為「第一階矩」）；物理量乘上距離的二次式加總起來稱為the second moment；依此類推。因此，前述力矩與角動量屬「第一階矩」，轉動慣量則屬「第二階矩」。
　　電學中定義「電偶極矩」（electric dipole moment）為p ≡ Σ q r ，屬第一階矩；定義「電四極矩」（electric quadrupole moment）為Qij≣ Σ ( 3q ri rj ﹣r2 δij ) ，屬第二階矩；「電八極矩」屬第三階矩；依此類推，電2l 極矩屬第l 階矩。「磁偶極矩」的定義則為 m ≡ ½ Σ q r ×v，與角動量有一定的關係，屬第一級矩；「磁四極矩」要複雜得多，屬第二級矩；依此類推…。
　　統計學裡借用了這一套作法，定義任一個分布的各階矩。有個「唯一定理」說：如果知道所有各階的矩，就能推知整個分布。

如果某个系统具有一个随时间变化的能量-动量张量分布，则该系统将会发射引力波。线性近似下辐射场的计算结果是：
-dE/dt=[G/(45c^5)]{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}
Q(kl)为系统的四极矩张量。
比较典型的是围绕公共质心作圆轨道运动的双星系统，辐射功率近似为：
-dE/dt=[32G/(5c^5)](r^4)(ω^6)[m1m2/(m1+m2)]^2
={32G^4/[5(c^5)(r^5)]}(m1+m2)(m1m2)^2
由于该引力系统因辐射而损失能量，两星之间的距离将渐渐减小，相互环绕运动渐渐加速，引力波辐射也越来越强；最终两星碰撞到一起，碰撞时发出引力辐射的最后一爆，有可能达到系统静止质量的1%，将辐射一个较大的脉冲。
双星碰撞后一般并合成一个较大的中子星或黑洞，当它的位形稳定下来后，也许会发出更多的引力辐射。
物体因辐射引力波而最终全部转化为能量的情形是非常特殊的，一般而言无法全部转化，最多能转化其中的一小部分。
根据目前的计算，即使在物质坠入黑洞的过程中，也只有不到1%的质量转化成引力辐射。
进一步的了解，可以参考相关书刊，如《引力与时空》等。

解释一下：dE是能量微分，dt是时间微分，-dE/dt是能量随时间减小的变化率，G是牛顿引力常数，c是光速；Q(kl)为系统的四极矩张量，共有4*4=16个分量，可以写成矩阵的形式，k和l代表Q的时空分量下标，可以取x,y,z,t，比如分量Q(xx),Q(xy)等。{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}是对系统的四极矩张量取关于时间的三阶导数。r是两星的距离，ω是两星环绕运动的圆频率。还有什么疑问可以给我发消息。

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20201.pdf

機械振動的一些現象和數學問題

陳鞏

一. 簡介: 常微分方程的振動

系統

機械振動是我們日常生活中經常體驗到

的一種運動。譬如說, 我們看到樹葉在和風吹

拂下, 來回地搖曳。我們搭汽車通過崎嶇的路

面時, 可感到自己隨著車身上下擺動。我們沈

醉於優美的小提琴的演奏曲中, 它是由琴弦

振動所發出的音波。像這些林林種種的例子,

實在太多了。我們可以總結一句話: 在巨觀

(macroscopically) 的世界裡, 任何具有彈

性及質量的物體, 都會作機械振動。事實上,

在微觀(microscopically) 的世界裡, 次原

子的質點也具有量子力學的波動性質, 這些

性質基本上算是振動運動。因此自然界裡的

物理系統與工程機械一樣, 都會振動。在本文

裡, 作者想從振動力學數學模型的一些方程

式及它們的解, 來說明一些機械振動的現象,

以增加讀者在學習工程及物理上, 對這一方

面的瞭解。

學習數學的人喜歡嚴格性。因此我們首

先想到的問題, 就是什麼是所謂的「機械振

動」。要給它一個嚴格的定義並不容易。不過

我們可以籠統的說, 機械運動是具有某種週

期性, 類似於波動, 並牽涉到能量傳遞的運

動。自從十六世紀的啟蒙時代開始, 科學家

及數學家就開始對振動運動有了興趣。在這

一方面, 最早有所建樹的是英國大科學家虎

克(R. Hooke, 1635–1703)。他是有名的虎

克定律(發明於1660年) 的發明人, 比牛頓

(1643–1727) 出生略早; 在科學上也貢獻卓

著。虎克在研究彈簧的振動時, 寫下了有名的

簡諧運動方程式

m¨x(t) + kx(t) = u(t), t > 0。(1)

這裡m 表示彈簧所懸的質量, k 為彈簧的彈

性係數, x(t) 為彈簧在t 時的位移, ¨x(t) 為

x(t) 的二階時間導數, 也就是加速度; u(t)

為外力。請見圖一。

Spring constant k

force

 

m

 

u(t)

圖一. 簡諧運動

方程式(1) 是一種基本的常微分方程。當外

無力