编织世界的精灵--浅谈拓扑弦论(1) 神秘的拓扑数
第一章：神秘的拓扑数
第一节: 欧拉数
金庸的《倚天屠龙记》中有一段关于张无忌学太极拳的描述。 说的是张三丰教张无忌太极拳， 张无忌跟着演练了几次就像模像样了。 张三丰问他：无忌， 你还记得多少？ 无忌回答：记得八成。 过一段时间后张三丰又问：无忌，还记得多少？ 张无忌说：还记得五成。 到最后再问的时候， 张无忌回答说：我已经全忘了。 于是练成不世神功太极拳。讲的是一个道理：大道浑然天成，不拘泥于招式。正所谓：无招胜有招。 可是对于见识浅陋的人来讲， 这无招岂不是变成了泼皮打架，全无章法？ 可见天才与凡人之间还是有着数量级的差距的。 其实这个故事有另一个江湖的版本， 就是数学领域中拓扑学的建立过程。诸君可能要问：数学怎么成了江湖？ 那数学家们岂不是都是江湖侠客或者盗匪？ 其实数学领域的确最像江湖， 各种惊才绝艳的人物统领这个江湖。 各种各样的理论分支就和各大小门派一样。 一般是祖师爷创下内功心法， 门徒们苦思招式， 最后成就一个门派。 这里要说的是拓扑学这个超级大派的建立的过程。数学的两个超级宗门是代数和几何，天下门派，无不源流于这两个超级宗门。200多年前， 数学家们孜孜以求的几何学和欧几里德的几何学没有太大的差别。 他们的想法朴素而实用， 就是通过长度，方向，连续这些基本的几何概念去构造抽象的几何世界。 当时的几何学， 还是以精确为主导方向。 譬如剑法， 求的是快和准。 这时候， 莱布尼兹提出， 如果我们抛弃长度和方向， 仅仅考虑连续的话， 对应的几何学是什么样的呢？ 这个问题等于说是， 我们抛弃快和准，怎么去练剑法？ 此论一出，几何学各大门派长老均不以为然。 莱布尼兹见大家毫无兴致， 于是搁置不谈。直到另一位天才横溢的宗师级的人物出场， 才重新捡起了这个被当时嘲笑为“橡皮泥的几何学”的东西。 他名叫欧拉。欧拉最先意识到这样的几何学会有很深远的影响。 虽然欧拉并没有写下拓扑学的内功心法。但他创出了一招， 这一招包含的深刻含义直到100多年后才被嘉当悟透。难以想象，失去了精确性的几何学会有什么样的用途。 这样没有速度和准度的剑法能够应用到实际中么？ 事实证明，这个几何学大巧不工，气势磅礴， 其影响遍及现代几何学的各个分支。而200年前，欧拉就已经洞察到了它的优美和力量，只因为他领悟了忘记长度和方向才能找到这种几何的根源。欧拉创出的第一个伟大的招式是：欧拉示性公式。 后来另一位和他并称一时瑜亮的几何大宗师高斯， 把这个公式推广到了连续一般情形。 但一直没有公开，准备当成内功秘籍传给弟子们。 几年后，另一个数学家博内同样做了这样的推广，得到了和高斯一样的公式。 史称：高斯-博内公式。至此，拓扑学这个几何学下的超级大派走上了舞台， 并且成为数学领域的几大霸主之一。我们现在先回到欧拉的出发点， 去探寻那个“倚天一出，谁与争锋”的波澜壮阔的历史。
欧拉示性公式是非常优美简洁的公式, 这延续了欧拉的工作的特征, 他的公式总是简单到了极致,而又深刻到了极致. 欧拉数是第一个神秘的拓扑数， 它的出现对于整个拓扑学有着无比深远的影响。这个公式非常简单：对于任意的一个凸多面体，它的顶点数为V， 棱数为E， 面的个数为F， 那么其必然有如下等式：V+F-E=2. 也就是说， 顶点数和面数之和比棱数多2。 这需要非常细致的洞察力才能看到这样的关系。 2这个数字, 是第一个拓扑数, 它标记拓扑等价于球面的几何体. 所谓拓扑等价, 就是指的是如果两个几何体可以通过连续的拉伸,扭曲,旋转等等操作变到对方, 这些操作不能是粘合, 撕裂, 那么这两个几何体称作是拓扑等价的. 这样的一个拓扑数, 现在被称作是欧拉数. 对于2维的几何体, 欧拉数是分类其整体性质的最重要的拓扑不变量. 对于这个公式的证明, 有很多种方法. 其中最有趣的证明办法是类似于"挑火柴棒"的游戏, 游戏规则是: 将一堆火柴棒散放在桌面上, 它们会重叠起来. 然后用另一根火柴去挑动, 要求挑出一根火柴, 且不能让除了这根火柴的其他部分有任何移动, 挑出一根后继续挑下一根, 如果失败,则交由对方继续挑, 最后计算谁得到的火柴棒数目多为胜. 我们来玩一下这个游戏的欧拉数版本. 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1. 因此整个多面体的欧拉数是2. 我在这里强调了很多次保持欧拉数不变的操作. 这实际上是很重要的一个条件. 在一百年后, 嘉当发展同调论的时候, 就是用的这个想法. 而这种证明, 正是最简单的下同调方案. 整个代数拓扑领域, 就是通过这样的游戏规则建立起来的. 微分几何中很多特征类, 比如欧拉类, 陈类, 彭齐亚金类, 托德类等等, 都是这种思想推广而来的, 只不过那时候考虑的是更高维的拓扑不变量.
知道了凸多面体的欧拉数, 我们可以雄心勃勃的去考虑更特殊的多面体了. 考虑一个中间穿孔的多面体. 如果不考虑 它的边边角角, 它很像一个面包圈或者是轮胎. 对这样的多面体, 我们当然也可以用同样的办法去找它的欧拉数. 只不过, 我们要想一个办法把它铺平到平面上. 为此，我们先考察轮胎如何展平到平面上. 方法很简单, 只要沿图1所示的两个方向用剪刀剪开, 我们就可以得到一个矩形图.
然后我们就可以继续做三角形剖分了. 将原来不管的那些边角都还原回来, 然后同样将所有的多边形划分为不相交的三角形. 然后开始保持欧拉数的"挑火柴棒"游戏. 这时候要加入一个新的规则, 凡是从上面做一个操作的时候, 在下面对称的地方也作相同的操作, 从左边作一个操作, 则右边同样也要做相同的操作. 这可以看成是一种镜像对称性. 这样做完之后, 我们会发现, 没有任何东西会留下来. 这需要一点对称的思想来说明. 通过这样的操作到最后, 无非会出现, 剩下一个三角形和什么都不剩下这两种情况. 由于上下左右都是对称的, 这样的三角形一定会破坏这样的对称性. 因此只能什么都不剩下. 这说明, 穿孔多面体的欧拉数为0.
这样穷举的办法其实就可以很简单的推广到有多个穿孔的多面体的情形.
比如对于像双环面的多面体, 它的欧拉数是-2. 这可以将它从中间分开变成两个咬了一口的面包圈来看出, 每一个面包圈都带欧拉数为-1, 原因是被咬掉部分是一个多边形, 而多边形的欧拉数为1, 要保证面包圈的欧拉数为0, 剩下部分的欧拉数只能是-1. 数学上对于这种多个穿孔的多面体的拓扑称为多亏格的2维黎曼面.(亏格这种生僻的词用在这里是中国数学家掉书袋的结果, 作者本人强烈鄙视这种翻译, 但无奈也只能应用这些拗口的术语.) 因此, 对于二维的几何, 我们可以用欧拉数来分类. 一般的带g个亏格且上面有h个洞(想象被咬了h口的东西)的黎曼面$M_{g,h}$的欧拉数为: $\chi(M_{g,h}) = 2-2g-h$. 这里说的黎曼面完全就是一个术语称呼, 跟我们上面说的那些轮胎,球形是一回事, 只不过这些轮胎,球形可以扭曲变形. 只要不粘合剪开, 我们认为随便怎么变, 球还是球, 轮胎还是轮胎. 这正所谓万变不离其宗也.
第一节: 欧拉数
金庸的《倚天屠龙记》中有一段关于张无忌学太极拳的描述。 说的是张三丰教张无忌太极拳， 张无忌跟着演练了几次就像模像样了。 张三丰问他：无忌， 你还记得多少？ 无忌回答：记得八成。 过一段时间后张三丰又问：无忌，还记得多少？ 张无忌说：还记得五成。 到最后再问的时候， 张无忌回答说：我已经全忘了。 于是练成不世神功太极拳。讲的是一个道理：大道浑然天成，不拘泥于招式。正所谓：无招胜有招。 可是对于见识浅陋的人来讲， 这无招岂不是变成了泼皮打架，全无章法？ 可见天才与凡人之间还是有着数量级的差距的。 其实这个故事有另一个江湖的版本， 就是数学领域中拓扑学的建立过程。诸君可能要问：数学怎么成了江湖？ 那数学家们岂不是都是江湖侠客或者盗匪？ 其实数学领域的确最像江湖， 各种惊才绝艳的人物统领这个江湖。 各种各样的理论分支就和各大小门派一样。 一般是祖师爷创下内功心法， 门徒们苦思招式， 最后成就一个门派。 这里要说的是拓扑学这个超级大派的建立的过程。数学的两个超级宗门是代数和几何，天下门派，无不源流于这两个超级宗门。200多年前， 数学家们孜孜以求的几何学和欧几里德的几何学没有太大的差别。 他们的想法朴素而实用， 就是通过长度，方向，连续这些基本的几何概念去构造抽象的几何世界。 当时的几何学， 还是以精确为主导方向。 譬如剑法， 求的是快和准。 这时候， 莱布尼兹提出， 如果我们抛弃长度和方向， 仅仅考虑连续的话， 对应的几何学是什么样的呢？ 这个问题等于说是， 我们抛弃快和准，怎么去练剑法？ 此论一出，几何学各大门派长老均不以为然。 莱布尼兹见大家毫无兴致， 于是搁置不谈。直到另一位天才横溢的宗师级的人物出场， 才重新捡起了这个被当时嘲笑为“橡皮泥的几何学”的东西。 他名叫欧拉。欧拉最先意识到这样的几何学会有很深远的影响。 虽然欧拉并没有写下拓扑学的内功心法。但他创出了一招， 这一招包含的深刻含义直到100多年后才被嘉当悟透。难以想象，失去了精确性的几何学会有什么样的用途。 这样没有速度和准度的剑法能够应用到实际中么？ 事实证明，这个几何学大巧不工，气势磅礴， 其影响遍及现代几何学的各个分支。而200年前，欧拉就已经洞察到了它的优美和力量，只因为他领悟了忘记长度和方向才能找到这种几何的根源。欧拉创出的第一个伟大的招式是：欧拉示性公式。 后来另一位和他并称一时瑜亮的几何大宗师高斯， 把这个公式推广到了连续一般情形。 但一直没有公开，准备当成内功秘籍传给弟子们。 几年后，另一个数学家博内同样做了这样的推广，得到了和高斯一样的公式。 史称：高斯-博内公式。至此，拓扑学这个几何学下的超级大派走上了舞台， 并且成为数学领域的几大霸主之一。我们现在先回到欧拉的出发点， 去探寻那个“倚天一出，谁与争锋”的波澜壮阔的历史。
欧拉示性公式是非常优美简洁的公式, 这延续了欧拉的工作的特征, 他的公式总是简单到了极致,而又深刻到了极致. 欧拉数是第一个神秘的拓扑数， 它的出现对于整个拓扑学有着无比深远的影响。这个公式非常简单：对于任意的一个凸多面体，它的顶点数为V， 棱数为E， 面的个数为F， 那么其必然有如下等式：V+F-E=2. 也就是说， 顶点数和面数之和比棱数多2。 这需要非常细致的洞察力才能看到这样的关系。 2这个数字, 是第一个拓扑数, 它标记拓扑等价于球面的几何体. 所谓拓扑等价, 就是指的是如果两个几何体可以通过连续的拉伸,扭曲,旋转等等操作变到对方, 这些操作不能是粘合, 撕裂, 那么这两个几何体称作是拓扑等价的. 这样的一个拓扑数, 现在被称作是欧拉数. 对于2维的几何体, 欧拉数是分类其整体性质的最重要的拓扑不变量. 对于这个公式的证明, 有很多种方法. 其中最有趣的证明办法是类似于"挑火柴棒"的游戏, 游戏规则是: 将一堆火柴棒散放在桌面上, 它们会重叠起来. 然后用另一根火柴去挑动, 要求挑出一根火柴, 且不能让除了这根火柴的其他部分有任何移动, 挑出一根后继续挑下一根, 如果失败,则交由对方继续挑, 最后计算谁得到的火柴棒数目多为胜. 我们来玩一下这个游戏的欧拉数版本. 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1. 因此整个多面体的欧拉数是2. 我在这里强调了很多次保持欧拉数不变的操作. 这实际上是很重要的一个条件. 在一百年后, 嘉当发展同调论的时候, 就是用的这个想法. 而这种证明, 正是最简单的下同调方案. 整个代数拓扑领域, 就是通过这样的游戏规则建立起来的. 微分几何中很多特征类, 比如欧拉类, 陈类, 彭齐亚金类, 托德类等等, 都是这种思想推广而来的, 只不过那时候考虑的是更高维的拓扑不变量.
知道了凸多面体的欧拉数, 我们可以雄心勃勃的去考虑更特殊的多面体了. 考虑一个中间穿孔的多面体. 如果不考虑 它的边边角角, 它很像一个面包圈或者是轮胎. 对这样的多面体, 我们当然也可以用同样的办法去找它的欧拉数. 只不过, 我们要想一个办法把它铺平到平面上. 为此，我们先考察轮胎如何展平到平面上. 方法很简单, 只要沿图1所示的两个方向用剪刀剪开, 我们就可以得到一个矩形图.
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轮胎的展平, 红线方向形成一个圈, 称为A圈. 绿线方向也形成一个圈, 称为B圈.
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这样穷举的办法其实就可以很简单的推广到有多个穿孔的多面体的情形.
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双环面可以看成是两个环面的连接. 将它从中间切开, 双环就变成了两个被咬了一口的面包圈.
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谢谢，看的话，有意见和不好的地方提出来。牧城致谢。
哈哈哈，
但是不足之处如下：
1、不够激动人心，文字不够辉煌有力，还达不到武侠小说般的效果，建议重读量子物理史话，细细在品读曹天元的文风。
2、感觉不到你的提纲。首先要有一个大纲，比如一共要写多少章，每张如何OPEN，花边放在哪些位置，如何谋篇布局，文风是哪种 ：）这些大方向要统一起来。
3、每新增加一个人名，不论是知名度如欧拉还是不知名如纤纤，最好都要加上其生卒年月，起主要成就，简单做个介绍，这样你写出来的文章就可以另外当做一部史去看了：）
“ 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1”
只可惜，到这里没有任何示意图，需要让读者在头脑中画出空间的图形出来。这样，空间想象力差的读者就全吓跑了。建议，这篇文章不用讲太多东西，就直接把这个操作说清楚，已经相当功德无量。一定要配图，不过在电脑上画出这个操作图的确很麻烦，所以建议用纸笔来做，扫描上来。
总之，很喜欢入门的风格。你提到的张无忌那段，我也在我的科普文章中用过，所以倍感亲切，欢迎来看看，共同切磋科普写作：
http://www.swarmagen
嗯，这个图不好画。当时我偷懒了。第一章写完再补上吧。
我去拜读一下。
被切开的两部分加起来就是整个的，这个倒是很方便……多一线一点正好消掉了。
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编织世界的精灵--浅谈拓扑弦论(1) 神秘的拓扑数 part II
第二节 单纯剖分, 同调群和指标定理
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.---荀子
拓扑学的一个核心思想是剖分。 我们在欧拉数的证明中已经用到了二维面的剖分， 也就是三角剖分。想必各位小时候都曾玩过搭积木的游戏。 我们现在要做的就是用单纯形这样的“积木”去构造一个复杂而美丽的作品---复形。
什么是单纯形？
顾名思义， 单纯形就是比较单纯的形状。 我们常说， 一个人单纯得脑袋里只有一根筋。其实诸位以后可以这么说， 这句话是有拓扑含义的。 一根筋（去掉端点的线段）的确是一个单纯形， 它是一个一维单纯形。这是因为， 它是构成一维物体的最基本单元。 实际上，最简单的单纯形是零维的单纯形， 它就是一个点。也就是说， 根据严肃的拓扑学， 一个人如果单纯得脑袋只有一个点才是单纯到了极致。那么现在的问题是， 二维的单纯形是什么呢？ 三角形。其实大家看到这里也就明白了。所谓n维单纯形就是能够铺出n维几何体的最基本的“积木”。 为什么圆形不能是二维的单纯形呢？ 好吧，如果它是，请您想办法用圆形构造出一个正方形出来。到现在为止，我们考虑的拓扑实际上都是离散拓扑， 也就是说，有棱有角的那种。真正光滑的拓扑比如球面或者轮胎面实际上我们并没有涉及。可以很简单的做这么一个极限推广， 比如，把球面看成是由无穷多个小三角形拼起来的面。这样做看起来的确可以。 但实际的数学的严谨证明可行还是需要做一个数学归纳法。也就是， 考虑由k个多边形构成的多面体， 将此多面体增加一个面变成k+1面体，证明增加后的欧拉数不变。这很容易证明。 具体的严格证明留给有兴趣的读者。需要补充的一点是三维的单纯形是四面体，原因这里就不再重复了。
什么是复形？
理所当然， 单纯形既然是简单得不能再简单的图形，那么复形就是由简单图形构造出来的一个复杂的图形。我们举个例子来说明它。 正方形有四个顶点，四条边， 一个面。 但由于这个面是正方形，它不是二维中的单纯形。因此我们要连接正方形的对角线，使它变成两个三角形。 这说明正方形拥有四个0-单纯形（顶点）， 五个1-单纯形（边），两个2-单纯形（三角形）。 而将正方形变成这些单纯形的集合的过程就称作是对正方形的单纯剖分。大家不妨思考一下，立方体的单纯剖分应该怎么做？最终它由几个0-单纯形，几个1-单纯形，几个2-单纯形，几个3-单纯形构成？
这些单纯形和复形的概念看起来平易近人，不那么惹人生厌。但我下面要讲的概念可能大家听到名字就会有敬而远之的想法。 就是正合列（exact sequence）和同调群(homology group)。首先我们盯着这两个名字看。请相信我，这两个名字让大家觉得头大如斗呕吐不适的原因绝不是翻译的问题。如果觉得它们讨厌，不妨类比一下中文名字：沈锦斌和杜子腾吧。不管怎样，虽然有个掉书袋的名字，但它们实际上是很可爱的概念。名字不好不代表不是美人儿。我们先来看看什么叫正合列。
首先，正合列是一个序列。其次， 它是一个映射的序列，第三，序列的元素是不同的集合， 最后，这些映射要满足一些特殊的条件。因此，总结来说，一个正合列是定义在集合的集合上面的满足某些特殊要求的映射序列。集合的集合一般在数学上称为一个范畴。 那么这些特殊的条件是什么呢？
对于不处于序列两端的任意一个序列元素，要求其前一个元素到它的映射的像是它本身到序列中后一个元素映射的核。 这是数学的定义。 头晕的可以站起来呼吸一口新鲜空气，然后忘记它。 我们来看一个可爱一点的定义。某天穷光蛋的你中了500万，然后去投资，把500万全买了股票， 这个投资股票叫一个映射。 股市下跌， 你果断清仓，和朋友合伙投资房产。房产中你只占有一定比例的份额。这房产就是另一个集合。 结果次贷危机，你和你朋友都亏了不少。 好不容易变成现金，又找一个朋友合伙开店，结果那个朋友是骗子，卷钱跑路了。于是你回归到一文不名。这一系列的投资（映射）就形成了一个正合列。这个正合列描述的是你的资产的流动。 从0到500万到股票再到房产的一部分再到店面的一部分再到0。这里的每个步骤都是基于你处在这个步骤开始时的资产的， 这个资产是你前一个步骤获得的， 而同时又是后一个步骤的本金。通过这样的一个比喻，大家就可以了解到正合列的定义了。
现在我们来看同调群到底是怎么回事。同调群这个概念实际上经过了很长时间的演化， 在19世纪人们通过很复杂的一系列定义来刻画同调群。一直到天才女数学家艾米.诺特才最终确定了现代同调论的商群定义。 八卦一下， 提起女数学家， 不得不说一个流传已久的谬论。 这个谬论的版本是这样的：有位数学家说过：在数学界， 只有两种女数学家， 一种不是女人，比如艾米.诺特。 另一种不是数学家, 比如苏菲娅·柯瓦列夫斯卡娅。 艾米. 诺特是公认的最有影响力的女数学家，她的成就令希尔伯特这样的超级伟人也赞叹不已， 并且坚持推荐诺特作为哥廷根的数学教授。以下这段话可以看出他对诺特的支持：“我不认为候选人的性别是反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。” 此外，爱因斯坦也曾经说过：诺特毫无疑问是有史以来最为杰出的女数学家。 艾米. 诺特后来被称作抽象代数之母，可见其的伟大。说她不是女人虽有过分， 但诺特终身未婚， 以世俗眼光看来， 她的确不是一个完整的女人。 而对另一位女数学家苏菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的评价却是赤裸裸的中伤， 她是大数学家外尔斯特拉斯的女弟子。长得美貌惊人，因而惹得一些人以为她的成就都是外尔斯特拉斯向她求爱而送给她的。 实际上， 苏菲亚是非常有才华的数学家， 她有很多工作无疑是具有开创性的。她曾经在瑞典的一所大学做讲师，仅仅一年以后，她的才华和创造力就为之赢得了高等分析数学的教授职位。 实在不是这个谬论中说的花瓶数学家。
回到同调群. 所谓同调, 顾名思义, 相同韵律也. 数学意义上的同调自然和音乐天差地别. 但其中的道理却非常的相似. 音律中将一首曲子分解为几个调(一般还要区分大小调). 每个调上面又有7个音. 这些处在同一个调上的音也构成一个群($Z_7$ 群).(所谓群, 是指满足一定的乘法运算规则的集合,并且在这个运算下, 1. 有唯一的恒元, 也就是在群运算下,集合中任意元素与恒元的乘法仍然是这个元素本身. 2. 集合中所有元素都能找到唯一的逆元素, 使这两者的群乘法得到恒元. )
同样, 这里使用的是剖分复形为单纯形的集合, 再根据单纯形的维度将它们归类为0维单纯形集合, 1维单纯形集合, 2维单纯形集合等等.
现在着眼于其中的n维单纯形集合.
先定义好方向, 也就是次序. 然后, 按次序在这个n单形集合中找到一个子集合, 要求它最终回归到最开始的那个单形. 这就是说找到了一条定义了方向的n单形构成的闭合链条.
如果这个n闭合链条是n+1维开链条的n边界链. 那么说它同调于0.
如果两个n闭合链条 W 和 W' 之间相差一个n边界链, 那么说W 和 Ｗ'同调等价.
一个给定复形的所有可能的不同调等价的n闭合链构成这个复形的n维同调群.
这里我们举个例子来计算同调群. 考虑最简单的正四面体的同调群.
A,B,C,D 标记这个四面体的四个顶点. 由于任意两个顶点相连构成一条1维边, 且另一方面, 比如AB边的边界是(B-A), (注意这里有定向.) 因此B-A同调等价于0, 也即 A=B. 同理, A=B=C=D. 因此本质上之有一个0维对象. 而这个0维对象, 我们总可以选取任意多次. 不同次数的0维链彼此之间不同调等价(1个点和2个点,n个点显然不是一样的.) 因此我们可以用次数来标记这些不等价的链. 因此四面体的0维同调群"同构"(即等价)于整数群. 其维度为 $dim(H_0(ABCD))=1$.
再来看其1维同调群. 这个四面体有6条边， 分别是AB, AC, AD, BC, BD, CD. 而很容易看出, 没有边界的2维链总是由三角形的边界组成. 因此由同调群定义, 它的1维同调群为0. 其维度$dim(H_1(ABCD))=0$
最后看其2维同调群. 2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
我们用d表示求边界. 有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }，
它同构于整数集。因此其维度为$dim(H_2(ABCD)) =1$.
综合以上的结果, 我们看到实际上一个四面体, "独立的' 顶点只有一个, " 独立的" 边没有, "独立的" 面也只有一个. 那么欧拉示性公式可以简化为: 1-0+1=2. 也就是说欧拉数可以写成如下的形式:
$\chi(M) = \sum_n=0^{dim(M)} (-)^nH_n(M)$. 这实际上就是主导了代数拓扑几十年发展的指标定理. 我们看到, 这个指标定理简单到只要用整数的加减法就可以计算. 而真正看出这个关系并且推而广之的, 是当代著名数学家阿迪亚(Atiyah), 伯特(Bott) 和辛格(singer) 在上世纪60年代作出的一系列重大的工作. 这就是著名的阿迪亚-辛格指标定理. 虽然最早的工作是这两位仁兄在1963年做出的, 但伯特对于指标定理的推广功不可没. 指标定理虽然简单, 但实际上对于复杂到一定程度的复形的同调群的计算, 是相当繁琐的. 而对于光滑的拓扑来讲, 这种同调的办法更显得难以入手. 然而, 嘉当(Cartan), 外尔(Weyl) 和陈省身(Chern)等人对于整体微分几何的发展, 提供了一种新的计算同调群的办法, 这就是所谓的上同调理论(Cohomology theory). 我们将在介绍完高斯-博内公式之后回到上同调的介绍.
近日身体微恙. 今日已有更新. 以后会坚持更新下去的.
为什么 2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD？
n边界链的意思是， 它本身满足n闭合链的定义， 但是它是一个n+1链的边界。 比如三角形的三条边组成一个闭合链。 但这三条边本身是这个三角形的边界。 所以这三个边（定向好的）构成一个1边界链。
我会修改一下。 这里写的不清楚。
指标定理最早的时候，是1954年Hirzebruch对高维复流形证明了Riemann-Roch，他引进了两个重要的拓扑不变量：Chern character和[;\hat{A};] genus，它们都是用Chern class的rational polynomial定义的，所以右边的所谓拓扑指标是有理数。但是左边的解释指标是用线性空间的维数定义的，所以是整数。现在二者相等。也就是说要解释这件事：为什么右边用Chern class的有理多项式定义的拓扑不变量实际上不仅仅是有理数而是整数。
所以Atiyah见到Singer，问他为什么spin manifold上的[;\hat{A};] genus是整数，这是指标定理的开端。他们一开始的证明表明了右边的拓扑指标实际上是一点的K群的元素，所以解释了为什么是整数这件事。可是Atiyah认为，指标定理今后的引用需要拓扑指标的具体形式，这就是他们后来的工作。他们第一次给出拓扑指标的具体形式是在1968年，这个具体形式可以用Chern character和Todd class给出，而假如算子是Dirac的，则可以由[;\hat{A};] genus给出。所以他们一开始的证明从来没有发表过，第一个完整的证明就是1968年的论文。这个具体形式极端重要，数学物理中要计算moduli space的维数就是用指标定理。
Bott在指标定理上的贡献是考虑了homogeneous vector bundle，这是他的老本行。不过这不算推广，是一种variation。后来Bott跟Atiyah一起用elliptic complex推广了Lefschetz fixed point formula。elliptic complex是de Rham complex的自然推广，这也是作者以后可以考虑科普的概念。这个推广在精神上是指标定理的byproduct。
Weyl没有从事过整体微分几何。Weyl对微分几何的贡献只有两点，其一，Weyl tensor，其二，tube的体积公式。后者仅仅是跟Gauss-Bonnet的Allendoefer-Weil proof有关，但是Weyl自己并没有做这个公式。
另外，你前面一篇科普讲到Gauss-Bonnet公式的时候也有把几何和拓扑混为一谈的嫌疑。不过没有这里的夸大其词严重。
我想，科普通俗易懂固然好，但是如果仅仅讲了一点连指标定理起源都算不上的东西，就说这”就是“指标定理，这毫无疑问在误导大众的同时，又构成了对数学家的贬低，希望在今后有所改正