窮人的微分幾何7 Stoke定理與微分形式
學過微積分的人都知道微積分基本定理，它說：一個函數的微分的積分，等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼，它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明，如果F是面積的話，那我們可以把它細切成dF，F就是dF加在一起，這就是所謂的積分，這裡dF顯然就是f乘上dx，而f是F在dx的改變量，也就是F的微分。真正來講，積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積，則在線段ab上的積分，就是F(b)-F(a)。
這個想法其實可以推廣到高維空間去，我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F，我們也可以細切成dF，從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的a與b被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式，只要作到二件事，一個就是找出dF的定義，另一個是找出F在邊界上的取值方法。
我們要找的dF，就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性：
1 它應該是某種微分，才會產生正確的面積公式。
2 它有維度，不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項，同變數無法積分二次。
數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法：
1 如果F是一個普通函數，則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + …. 這裡的dF/dx是F對x的偏微分
2 如果F=Wdx，W可能是函數，也可能是一個微分形式，則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^，它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
至於在邊界的取值方法，從圖上可以看出一個大概，就是面的邊是線，線的邊是點，然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值，就是所謂的Stoke定理，它說F在邊界的取值方法，就是F在邊界作積分。公式如下
其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣，也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理，很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性，和流形上的微分形式會有所關聯，從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
一個有趣的結果，就是任何微分形式作二次d運算後會變成0，ddF=0。代入Stoke定理，我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。
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