窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何- 讀書筆記-物理、數學、電子 ...
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2007年8月17日 – 向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：. gij=ei.ej. 對上式 ... 所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。 假設空間 ... 空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何 ...在前面我們討論平行的時候，都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係，因為與平面幾何的相法不同，事實上在廣義的幾何裡，平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：
gij=ei.ej
對上式作d運算，可得
D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji
注意其實ei.ei=gii，但gii與gjj的作用是改變i與j指標的上下位置，所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同，ij二個指標都是下指標。
把wij分解成Gijkdxk，再把dxk移到左邊當微分算子的分母，可得
Dgij/dxk=Gijk+Gjik
所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。
假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次，就可以發現
Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2
克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定！
空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點
曲面的表达（基础科学论题）
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前一篇博文是：曲面的属性（基础科学论题），现谈其表达问题。基于高斯曲面理论，地球表面在大尺度上是光滑曲面，从而只需要两个内禀坐标（也称为：随体坐标，拖带坐标，弯曲坐标，等）描述曲面上的任何位置点。这就是现在使用的经纬度坐标。
虽然经纬度坐标远在高斯以前就被使用，但是之前是球坐标，而在球面上的球面三角形几何理论也早已建立（是平面三角形理论的升级版），所以，也完全可以用古典理论得到同样的结果：使用球面的经纬度坐标表达地面点的位置。
高斯曲面理论的革命性在于：1）用偏离曲面的法向距离来表达地面的小尺度起伏，从而引入高程的概念。由此，导出地形的表达理论。在平面上表达出各重要地理城市间的关系（曲面上的关系）是古地图就能做到的，但是，其点间距离的表达是不精确的。高斯曲面理论的革命性在于：2）建立了在平面上表达曲面上点间距离的精确表达方式，也就是高斯投影理论。3）建立用高程和曲面上点间距离来表达任意两地面点间的精确距离关系的几何理论，这样，曲面的局部三维空间欧氏几何化表达及观测理论就得以实现了。
也就是说，由定性或半定量的古代地图进入到现代地图，其基础科学理论就是“高斯曲面理论”（二维流形）。
以上就是大地测量学的传统性基础理论。现在被原子分子，生物学，等需要描述外表面及其变化的学科作为“基础科学”理论之一。引入一个全球性尺度的曲面（水准面），把它投影到平面上，就是一般所说的地图（也称为底图），这类图没有多少保密性可言。在这份底图上，把各点的高程标示出来，就确切的表达了小尺度上的地形，从而是地面在100米（或10米，或1米）尺度上的精确形态。这就是（卫星数据）空间分辨率的基本概念。
现在问：地面在10厘米尺度上的形状是如何的？那就复杂了。如果要求把12层楼房的各住户的床位表达在图上，那么高程的作用也就升格了，因为此时，一个经纬度坐标点上有多个高程。
高程的概念一旦升格为内禀坐标，就有了与经纬度坐标等同的地位，从而，就把地球表面看成是三维流形动态演化的表现，而对这个三维流形在4维空间里的测量技术就顺理成章的成为现代大地测量学的技术研究方向，其“基础科学”理论就是三维流形及高维流形的几何理论。大地测量学就由200多年前的二维流形理论基础革命为三维流形及高维流形的几何理论。
这就是发生在我们身边的、对大地测量学而言的“基础科学革命”。高维流形的显示技术立即成为技术上的开发方向。例如，由全国的卫星遥感资料监测全国地质灾害（地震，滑波，植被变化）及，环境污染物输运过程，耕地面积变化等，就需要在三维流形及高维流形的几何理论基础上来理解大地测量学的数据（由卫星遥感资料反演获解译而来）。当然，使用传统概念也是可以对付的，但那也就限于对付了。这类对付显然是技术上没有创新性的根本原因。
我国的大地测量学界对此次科学革命的深层基础是措手不及，几乎没有人才储备，也谈不上参与革命。但是，享受这场“基础科学”革命的成果，尤其是技术成果的能力还是很强的。作为一个实际的案例，对“基础科学”的革命的参与程度和理解程度是瓜分或抢夺技术性开发权及利益的前提性条件。
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