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[PDF]量子信息启发的量子热力学和量子相变问题 - 中国科学院理论 ...
www.itp.ac.cn/~suncp/thesis/HaiTao_Quan_2007.pdf
且由指數衰減的速率，我們可以定義系統受環 境影響下的量子去相干時間尺度。對於一公克的粒子
在室溫(300K)的環境下，如果系統一開始的空間波函
數是兩個中心相差一公分的高斯函數的疊加，則此系
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統的去相干時間比弛豫時間短了十的四十次方倍。這
也大致說明了為何在日常生活中為何察覺不到量子態 的疊加
"实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间"
so 系统宏观性质 are not changing due to 微观状态 volatility in its 时间间隔足够小
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.
von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.
统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.
为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:
(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.
在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.
而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
量子去相干及量子糾纏 文/ 周忠憲
量子力學與古典力學之巨大差異在於量子相干及量子糾纏。 本文簡單介紹在開放量子系統中對量子去相干及量子糾纏問題的研究。
一、引言
量子力學是套非常成功的理論在微觀世界的運用
上取得了巨大的成功。量子力學的根本方程式是薛丁
格方程式。這是一個線性方程式，因此在量子力學中 有所謂的態疊加原理(superposition principle)：即如果 ∣A＞和∣B＞是兩個互相獨立的量子態，那麼它們的 任意線性疊加 α∣A＞+β∣B＞，其中｜α∣^2+｜ β∣^2=1，也會是一個量子態。在量子資訊的應用範
疇中態疊加原理扮演著相當重要的角色。它使得量子
資訊儲存器得以用少量的量子位元儲存驚人的資訊 量。另外它還提供了量子平行處理(quantum parallelism)
的一個可行性方案。所謂的量子平行處理就是對所欲
計算的函數與對應自變量的各種可能取值通過量子態
疊加原理及量子態間的糾纏特性進行一么正變換
(unitary transformation)，亦即做一量子邏輯運算。而此
運算可直接同時作用在所有態上。因此量子運算完全
摒除古典運算法則，其大容量的平行計算能力是傳統 電腦所望塵莫及的。
然而一個重要的問題是：實際上所有的巨觀世界
以及微觀世界的系統都是量子力學適用的範疇。然而
在我們的日常生活中，我們並未經驗到態疊加原理， 我們所熟悉的乃是非此即彼的古典理論。.這種由任意
疊加態演變為某個對應於測量結果的本徵態則稱之為 量子去相干(quantum decoherence) 。
因此一個根本的問題是：我們所熟悉的古典理論 的世界如何由量子理論的範疇中浮現出來。
二、開放量子系統
對於由量子理論到古典理論的轉變，我們在此僅 介紹開放量子系統(open quantum system)的處理方
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法。簡而言之，開放量子系統是把我們的宇宙分為兩 部分，亦即系統 S(system)以及環境 E (environment)。 整個宇宙(S+E)是一個封閉系統，它滿足量子力學的動
力學方程。據此我們可以寫下整個宇宙的密度矩陣所 滿足的方程式。然而如果我們所感興趣的只是系統 S
本身，我們不去看環境的動力學變數，我們可以把環 境的動力學變數積分掉從而得到剩下來的系統 S 化約 密度矩陣(reduced density matrix)所滿足的方程。從此
方程式的探索給出了在環境影響下所導致的量子去相 干以及量子去糾纏。
在開放量子系統的研究中，一個簡單的可解模型 是所謂的量子布朗運動(quantum Brownian motion)模 型。在此模型中，系統 S 是一個簡諧振子(x)，環境則 由一群簡諧振子(q_i)所組成。為了具體精確描述環境 的組成，我們還需要譜密度函數(spectral density function)。系統與環境的交互作用則是正比於彼此變數 的乘積 xq_i。
Feynman 以及 Vernon[1]在 1963 年首先用路徑積
分的方法研究這個問題。他們假設環境一開始處於某
一溫度的熱平衡態。因為只對系統感興趣，他們可以
把環境變數完全積分掉，得到了所謂的影響泛函 (influence functional)。它包含了所有環境對系統的作用 影響。它也清楚顯示出導致耗散(dissipation)以及弛豫 (relaxation) 項的起源並滿足漲落- 耗散關係 (fluctuation-dissipation relation)。從這裡可以看出化約
密度矩陣的隨時間演化過程是非馬可夫的 (non-Markovian)。
在 1983 年 Caldeira 和 Leggett[2]在做了高溫近似
以及馬可夫近似，並假設環境的表現行為是歐姆式的 (Omnic)，他們得到了在此條件下的化約密度矩陣之演 化方程式。
從這個方程式可以清楚看出為何這個模型會被稱
為量子布朗運動模型。在古典布朗運動模型中，我們
透過顯微鏡觀察到花粉的無規運動，而其運動的起因
是由於大量的水分子迅速撞擊花粉粒子所引起。我們
可以用 Langevin 方程來描述並且寫下相對應的 Fokker-Planck 方程以及得到擴散常數與黏滯係數滿足
愛因斯坦關係式。在這個處理中，我們假設環境的漲
落是馬可夫的，亦即在不同的時間點，漲落是互相獨 立無關的。
在量子布朗運動模型中，將環境變數積分掉相當
於不看那些水分子本身而只看系統變數而已。高溫近
似則相當於假設水分子的運動及撞擊反應遠快於花粉
粒子的運動反應。在同樣作馬可夫近似的假設下， Caldeira 和 Leggett 得到的演化方程類似於古典布朗運 動模型的運動方程，亦即 Langevin 方程。而由化約密 度矩陣方程所得出的描述 Wigner function 所遵循的方 程則可對應到古典的 Fokker-Planck 方程。Wigner 函數 則對應到分佈函數(distribution function)。從這方程式
中我們可以看出系統的量子態如何量子去相干。如果
我們假設系統一開始的空間波函數是兩個高斯函數的
疊加，則系統的化約密度矩陣一開始有四個峰 (peak)(圖一)。當系統隨時間演化，我們可以看出化約
密度矩陣的非對角項隨時間成指數型式衰減。最後僅 存對應到古典結果的主對角項。
圖一： 兩高斯態疊加之密度矩陣隨時間之演化。
左圖為剛開始時在位置表象之化約密度矩陣，右
圖為經環境影響一段時間後之情形，可以看出非對角 部分以部分去相干。
而且由指數衰減的速率，我們可以定義系統受環 境影響下的量子去相干時間尺度。對於一公克的粒子
在室溫(300K)的環境下，如果系統一開始的空間波函
數是兩個中心相差一公分的高斯函數的疊加，則此系
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統的去相干時間比弛豫時間短了十的四十次方倍。這
也大致說明了為何在日常生活中為何察覺不到量子態 的疊加。
Unruh 以及 Zurek[3]在 1989 年將 Caldeira 和 Leggett的結果推廣到包括低溫的範圍而不僅僅是侷限
在高溫的情況下，但還是用了馬可夫近似並假設環境 的表現行為是歐姆式的(Omnic)。直到 1992 年 Hu，Paz 以及 Zhang[4]才得到化約密度矩陣在非馬可夫過程，
一般的環境表現行為，在任意溫度下的演化方程。這
個方程揭示了在低溫時，某些環境的特性將有助於減
緩量子去相干的過程。另外，它也顯示出某些情況下，
非馬可夫的效應相當重要，其表現行為和做了馬可夫 近似的結果有非常顯著的不同。
從這一簡單的模型，我們可以從開始的哈密頓量
一直推導出系統的化約密度矩陣所須遵循的演化方程
而無需做馬可夫近似。我們也可以清楚看出為何在室
溫下，普通的物體看不到量子疊加效應。這個模型給
出了量子去相干隨時間演化的過程，並在開放量子系
統的研究中，給予環境誘發去相干 (environment-induced decoherence)過程做了清楚明白 的具體實現。 三、量子糾纏
除了量子去相干性之外，量子理論與古典理論之 間還有一非常顯著的巨大差異：量子糾纏(quantum entanglement)。薛丁格在 1935 年寫到[5]：
我不會說[量子糾纏]是量子力學的特性之一，反而
要稱其是量子力學的典型特徵。也就是這迫使得我們 完全的悖離了古典的思路。
那麼到底什麼是量子糾纏呢？
簡單的說就是指兩個或多個量子位元之間存在的 非古典關聯。例如兩個粒子可以形成糾纏態(entangled state)，如果此二粒子系統的態不能分解成各自粒子狀 態的張量乘積(tensor product)。比如說｜00＞+｜11＞ 就是一個量子糾纏態，而
｜00＞+｜01＞+｜10＞+｜11＞ =
(｜0＞+｜1＞)×(｜0＞+｜1＞)不是一個量子糾纏
態。因為糾纏態的特性是不能分解成單獨粒子態的乘
積，因此糾纏態內的組成粒子間具有很強的關聯性 (correlation)。其中的一個組成粒子狀態被改變或測量
將同時決定了糾纏態內所有其它粒子狀態的相應變
化。量子糾纏的另一個特點就是此關聯是非定域性 (non-local)的。
量子糾纏除了在量子運算提供有效平行處理方法
外，它也為量子通訊提供了必備的工具，例如量子位
元協定等。如今我們已經把量子糾纏當成是一極為有
用的資源。例如量子糾纏的這種非定域性是實現量子 傳送(quantum teleportation)、超密集編碼(supersense coding)以及量子密碼學(quantum cryptography)中的量 子密鑰分佈(quantum key distribution)等應用的理論基 礎。
量子糾纏(Quantum Entanglement)的一個有趣的應 用是所謂的量子傳送(Quantum Teleportation) [6]。這是
個激發科學想像的有趣應用。對科幻迷而言，這就相 當於星艦奇航記(Star Trek) 中從企業號太空船 (Enterprise)傳送到某一星球表面的具體實現。
圖二： 量子傳送基本工作原理示意圖。1 為所欲傳送 之未知量子態，2-3 為一量子糾纏對。
其基本原理如下[圖二 1]：
假設有一量子糾纏態由兩個二能階粒子(A,B)所
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組成。為簡化討論我們假設這是個 EPR 態。位於 A 點 之愛麗絲(Alice)與B點之鮑伯(Bob)各自分別擁有其中 的一個組成粒子 A 與 B。今 Alice 欲將另一個粒子 C 上所體現的未知量子態∣Ψ＞ 傳送給 Bob。她不必真 的把 C 這個粒子傳送出去，她僅僅須要把粒子 C 與她 手中擁有的粒子 A 做一個所謂的貝爾測量(Bell measurement)，然後將測量結果以古典通訊方式告知 Bob。因為粒子 A 和粒子 B 原先處於 EPR 態，Alice 將粒子A與粒子C做貝爾測量時會對在Bob手中的粒 子 B 造成影響。
Bob 根據 Alice 以古典通訊告知他的結果對他手 中之粒子做一些操作就可以把此未知量子態∣Ψ＞ 重現在他所持有的粒子 B 上。整個過程所須要的只是 一個共同擁有的EPR態以及做聯合測量與古典通訊的 能力。在量子傳送中，物質粒子 C 本身並未真的被傳 送。但是透過與一量子糾纏態粒子 A 的貝爾測量，我 們可以把量子態的訊息傳遞到原先與A是EPR糾纏態 的粒子 B 上。這麼方案並未違反量子無法複製定理 (Quantum no cloning theorem)。因為在把未知量子態傳 送到 Bob 之後，在粒子 C 上的量子態已非原先之量子
態∣Ψ＞了。這個方案也沒有違背相對論原理。因為 在量子傳送的過程中我們還需要靠 Alice 運用古典通 訊告知 Bob 測量結果，所以量子傳送並非超光速傳 遞。在 1997 年，實驗上已證實了這個方案的可行性 [7]。後續有許多的實驗討論，但都是在地球表面的實
驗室內進行的。目前一個有趣的建議是希望能在地表
的實驗室與在地球軌道上的太空站間進行量子傳送。
如果技術上能克服，我們就朝星艦奇航記中的夢想更 進一步。
聽起來很棒，不是嗎？但是這裡面有幾個環節應
該仔細考慮。我們已經知道環境對系統的交互作用會
引發系統的量子去相干過程，從而使系統的行為表現
趨於古典。在古典物理的範疇內是不存在量子糾纏態
的。因此一個自然的問題即是在從量子世界到古典世
界行為的轉變中，環境與系統的交互作用如何導致系
統量子糾纏特性的喪失，或者說是量子去糾纏
(quantum disentanglement)。
既然我們將量子糾纏視為有用的資源，量子去糾
纏的研究就是一個有著根本重要性的課題。因為在上
述所提到的各種應用中，量子糾纏是其理論的基礎。
若是由於環境與系統的交互作用導致了量子去糾纏，
則在實際應用上，人們就必須先做純化來提高系統的 糾纏程度。
在量子糾纏的研究中，一個重要的問題是量子糾 纏的測度(entanglement measure)。我們希望能找到一個
簡單的泛函算子，通過它我們可以很快判定一個量子
態究竟是不是糾纏態，以及如果是的話，那它的糾纏
程度到底有多少。透過這樣的一個糾纏測度，人們就
可以比較兩個量子態的糾纏程度。有了方便運算的糾
纏測度，人們才得以研究在開放量子系統中的量子糾
纏隨時間的演化情形，亦即量子糾纏態的動力學 (dynamics of quantum entangled ststes)問題。對於糾纏 測度這個問題的一般情形(n 部分，能階數為有限或無 限，純態或混合態)，目前尚未得到完全的解決。
但是在由兩個二能階粒子所組成的系統中，有個 通用的糾纏測度，Wootter’s concurrence function[8]。
通過這個糾纏測度，人們得以研究二能階系統的量子 去糾纏問題。Yu 以及 Eberly[9]在 2004 年研究了放置
在不同空腔內的二能階系統的量子糾纏態動力學。他
們發現在某些情形下，系統迅速在有限時間內就失去 量子糾纏性質了，他們把這個現象稱之為猝死(sudden death)。令人驚訝的是在某些量子糾纏態猝死的情形
下，系統居然可以一直保持著量子相干性。最近的研
究顯示了猝死之後的量子態在過一段時間後有可能再
變成糾纏態。這標示著環境對系統的作用造成了關聯
在系統內以及系統與環境之間交互建立轉移。關於量 子糾纏態動力學的研究正在進行中。
在量子布朗運動模型的研究中，人們發現了在低
溫下非馬可夫過程對量子去相干的重要性。要探討量 子去糾纏的問題，Chou, Hu 以及 Yu[10]將量子布朗運
動模型推廣到系統是由兩個簡諧振子所組成，並找到
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在一般環境中，任意溫度下的化約密度矩陣所遵循的 演化方程式。 四、實驗展望
既然量子糾纏態是實現各種量子科技應用方案的
基礎，如何在實驗室中依照人們的意願來產生這些糾
纏態就成了迫切的問題。目前在量子糾纏態的實驗進 展上，研究的物理系統主要有 trapped atomic ions[11]， 在光學晶格中的冷原子(cold atom in optical lattices)[12]，空腔量子電動力學(cavity QED)[13]，超 導量子位元(superconducting quantum bits)[14]，以及半 導體中的單一自旋(single spin in semiconductors)[15]等 等。
目前關於量子去相干及量子糾纏的研究探討以及
在量子科技上的應用實現正蓬勃發展，許多大學及研
究機構亦投注大量資源在相關領域。藉由各這方面的
進展，人們對於量子世界與古典世界的關係將有更深 刻的體驗與認識。
參考文獻
[1] R. P. Feynman and F. L. Vernon, Ann. Phys.(N.Y.) 24, 118 (1963).
[2] A. O. Caldeira and A. J. Leggett, Ann. Phys.(N.Y.)
149, 374 (1983).
[3] W. G. Unruh and W. H. Zurek, Phys. Rev. D40, 1071 (1989).
[4] B. L. Hu, J. P. Paz, and Y.-H. Zhang, Phys. Rev. D 45, 2843 (1992).
[5] 原文為 “I would not call [entanglement] one but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought”, - Schrodinger (1935).
[6] Charles H. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
[7] D. Bouwmeester et al., Nature 390, 575 (1997).
[8] W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).
[9] T. Yu and J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004)
[10] C. H. Chou, B. L. Hu and T. Yu, Phys. Rev. E 77, 011112 (2008).
[11] R. Blatt and D. Wineland, Nature 453, 1008 (2008).
[12] I. Bloch, Nature 453, 1016 (2008).
[13] H. J. Kimble, Nature 453, 1023 (2008).
[14] J. Clarke and F. K. Wilhelm, Nature 453, 1031 (2008).
[15] R. Hanson and D. D. Awschalom, Nature 453, 1043 (2008).
最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.
历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Borr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振. Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理. Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Borr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚. 应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已. (待续)
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季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154    |  Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
也许我应该更仔细地解释一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理为例子, 记从 n 能级到 m 能级的跃迁发射光子的频率为 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一条谱线的频率. 所以群胚就好像一个 "图", 顶点之间有箭头, 这些箭头就是群胚里的元素, 它们能乘起来当且仅当一个箭头的终点是另一个箭头的起点.
群就是只有一个顶点的群胚, 这样所有的元素都能相乘. 从对群胚的描述来看, 它不仅是一个集合 (箭头的集合), 还需要指定每个箭头是从哪个顶点到哪个顶点的. 所以群胚最好被视为一个范畴而不仅仅是一个带有运算的集合.
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卢昌海 发表文章数: 768 内力值: 416/416 贡献度: 7898 人气: 1737   |  Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
期待下文ing。。。
Borr 应该是 Bohr (其中第二处 Born 可能也说过类似的话，不过 copyright 多半是 Bohr :-)。 
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
哈哈, 这个错误暴露了我是个不折不扣的物理盲......多谢站长指正
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gauge 发表文章数: 596 内力值: 375/375 贡献度: 8310 人气: 1396 |  Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 转载]
我想第一个重要的事情是非交换几何的motivation,简而言之，我们为什么要研究这玩意。我有个怀疑，非交换几何真的可以推广量子力学的那些东西。比如，量子力学中的算子都不是有界算子。但是非交换几何建立在算子代数或者Banach代数或者C^*代数或者von Neumann代数的基础上，我不知道是不是有“无界算子代数”这个概念。实际上，无界算子是数学中一个奇怪的对象，几乎不能当作一个集合--在合理的意义上--来考虑。无界算子都不是定义在全空间上，一般总是假定稠定义，但是可能会有两个稠定义的无界算子其定义域的交集只有0点。当然，我没有念过任何的非交换几何，也许他们有办法克服这个问题。
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.
一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何. von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学. 统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态. 为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应: (微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数. 在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度. 而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
不好意思, 好像上一个帖子有一点错误.
遍历假设并不意味着 (微观时间演化 <---> 系综) 这个对应. 这个对应只对热平衡态有效 ... 经典情况, Boltzmann 分布就是这种对应的所有例子. 量子统计, 在有限粒子情况, 有 Boltzmann 分布的类似物, Hamilton 量决定了分布, 但是在热力学极限 Hamilton 量不能决定分布, 可能有多个分布都反应微观态的时间演化. Kubo-Martin-Schwinger 条件就是对唯一性失效的补偿.
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
to gauge:
其实我们可以把无界算子看做有界算子在某种意义下的极限. 从物理上来说, 量子场论可以用产生湮灭算符来描述, 而产生湮灭算符可以看做波函数做二次量子化得到. 如果不考虑散射而只考虑局部作用, 我们可以假设所有的波函数都是速降函数 (Schwartz 函数), 这些速降函数的二次量子化是取值为有界算子的某种广义函数 ( tempered distribution). 不过如果我们要考虑散射, 我想无界算子还是无法避免的. 据说 Connes 的最终幻想是黎曼假设.......
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| leo2000 发表文章数: 24 内力值: 95/95 贡献度: 96 人气: 3 |  Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
感觉好抽象啊. 不过好象有点
流形, holonomy, 曲率, 量子化的影子.
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| gauge 发表文章数: 596 内力值: 375/375 贡献度: 8310 人气: 1396 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数
========= 应该是一个小的笔误，Gelfang-Naimark-Segal表示定理是对于C*代数来说的。 与其说Connes是想用这个去解决Riemann假设，不如说Riemann假设有一个非交换的版本。--纯属个人看法。
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
to leo2000:
你怎么看出这些东西来的? to gauge: 多谢更正.
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
商空间.
Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴. 先看一个最简单的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 这里的 "+" 表示代数的直和, C 表示复数域作为自身上的一维代数. 更好的写法是用矩阵: C 0 0 C 现在, 如果我们有等价关系 aRb, 即, 我们把这两个点等同起来, 那么有两种看法可以得到商空间对应的代数, (1) 取在等价关系下不变的函数, 即所有函数 f 使得 f(a)=f(b), 所以是常数函数, 这个意义下的 C(Y) = C. 可能有点太平凡了, 并没有反映出 Y 是通过等同 X 中的两点得到的这个 "商" 过程; (2) 把对角矩阵组成的代数扩张到整个 2 x 2 矩阵代数 M_2(C). 这是一个单代数, 只有一个极大理想 0. 所以它的谱正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一个可能的选择. 显然第二种看法会保留更多的信息. 但是我们必须要有直观的几何解释, 要不然这种推广就太过任意. 这个几何解释就是, M_2(C) 是等价关系 R 的图像上所有连续函数组成的代数. 在这个简单情况下, R 的图像是离散的, 包括四个点 (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其实也就是笛卡儿积 X x X. 这个图像上的一个连续函数就是一个 2 x 2 矩阵( a,b 是脚标). 这样我们给了矩阵一个几何解释. 矩阵之间的乘法可以解释为在 R 这个群胚上的卷积 ( 一个等价关系自然是一个群胚. Heisenberg 已经告诉我们怎样在群胚上做卷积了). 回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数. 现在, Connes 所做的是把商空间 Y 加强为定义这个商空间的等价关系 R, 而把非交换的 C(R) (R 上的函数以对 R 的群胚结构的卷积作为乘法) 作为商空间 Y 所对应的 Banach 代数. 这种处理可以推广到拓扑流形. 一个紧致拓扑流形 M, 如果我们取定一个有限开覆盖 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一个商空间 --- 设 X 为 U_i 的无交并, 等价关系 R 就是 U_i 之间的粘合. 大家现在可以想象一下 R 的图像 (作为 X x X 的子空间). 其实这个图像就是所有 (U_i 交 U_j) 的无交并, 从而 C(R) 中每个元素可以写成一个 m x m 矩阵, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一个在边界趋于零的连续函数. C(R) 的乘法就是矩阵乘法, 而矩阵元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘积显然是 (U_i 交 U_k) 上消失在边界的函数. 所以乘法是定义好的. 当然, 这种构造必须要有好处, 要不然我们就白白牺牲了交换性这么好的性质. 这个构造最表面的好处就是, 一旦我们有 M 的一个开覆盖了, 我们不用理会 M 的任何整体性质就能构造出 C(R), 所涉及到的只是开覆盖的组合结构. 这就像用 Cech 上同调一样, 在某些情况下会方便很多. (以上有些谬论是我自己加上去的, 大家不要算到 Connes 头上, hoho)
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| leo2000 发表文章数: 24 内力值: 95/95 贡献度: 96 人气: 3 |  Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
Intersting! It seems to me that for a closed smooth manifold, the ring of smooth functions on it can decied the type of the manifold. The reason why we
need the above non-commutative algebra is to build something using simple blocks, right?
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051 内力值: 453/453 贡献度: 9137 人气: 1200 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
：：回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数.
============================================================== Heisenberg当时对矩阵力学的认识其实是非常模糊的，数学上的形式化工作是Born和Jordan进行的，而且后面两位也没有这么现代的数学概念（如“群胚”、“交换群上的函数”等） 嘿嘿 这篇文章很精彩，季兄继续~
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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| leo2000 发表文章数: 24 内力值: 95/95 贡献度: 96 人气: 3 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
I believe using the noncommutative algebra to investigate
manifold is the consequence of "bending" or "non-flatness" of the space. That is why I think it is probably realted the connection, holonomy in differential geometry.
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
理解 Connes 关于测度论的描述花了不少时间。测度的概念看似简单，但比较深入的思考让我意识到以前的理解有多么肤浅。当然，认识到自己肤浅并不代表现在就不肤浅，Connes 的好多议论还是让我一头雾水。
测度是长度，面积，体积，概率这些古典数学概念在二十世纪的统一的建立在集合论基础上的表述。Lebesgue 本人的动机是为了定义积分，所以现在普遍接受的观点是，要定义一种积分，首先要定义一个测度。比如 Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度，一些随机积分对应于 Wiener 测度，等等。（说到这里，应该提一下，为了给物理学中常用的路径积分建立一个数学基础，也许需要推广现有的测度概念，这当然也是 Connes 建立非交换几何这个框架的动机之一。） 在一个测度空间 X 上，有一个自然的交换 C* 代数，就是 L^无穷，所有 X 上本性有界的可测函数组成的空间，上面的乘法就是函数之间的点点乘法。有意思的是，所有的交换 C* 代数都可以实现为某个测度空间的 L^无穷。（这是一个深刻的定理，在寻找这个定理证明的过程中我接触到了所谓一般表示论，获益匪浅。）这个定理说明，经典的测度空间对应到交换 C*代数。 很自然的想法是，非交换的 C* 代数会不会是测度论的自然推广呢？Connes 认识到，这并不是空泛的推广，而有着深刻的经典几何背景。在各个几何分支里面，对于商空间的研究都产生出漂亮的理论，比如几何不变量理论，辛商空间，等变上同调等等。商空间可能会有很坏的性质，比如一个流形的商空间可能不仅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一个代数流形的商空间可能不再是代数流形。在测度论意义下，一个测度空间的商空间可以坏到无法谈论测度的地步。 一个非常有趣的例子就是环面 T 上的无理流。环面可以看作由所有经线组成，或者看成由所有纬线组成，数学上把这种结构叫“分叶”。现在我们来看环面上其它一些曲线。有一些曲线，绕经圆 p 圈，绕纬圆 q 圈，我们把这种曲线叫做斜率为 p/q 的曲线，所有这些曲线也组成整个环面。这个分叶叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因为这些曲线可以看作环面上某个微分方程的积分曲线。）现在斜率的概念已经很直观了，所以我们可以看看斜率为无理数的那些曲线。这些曲线不是闭合的－－－环面上的闭曲线必然绕经圆和纬圆整数次。实际上这些曲线同胚于直线。固定斜率 m, 所有这个斜率的曲线也组成整个环面，这个分叶叫做“无理流”。它的动力学可以从它同一个经圆的相交看出来：这样一条曲线每绕纬圆一周，就绕经圆 m 周，也就是说，连续两次同一个经圆的交点相差 2pi m 的距离。由于 m 是无理数，所以交点永远不会重复，而且根据 Poincare 回归定理，交点会无限次回到任意小邻域，所以交点会稠密地分布在这个经圆上。 如果我们想看看这个分叶的所有“叶子”的空间 X，也就是说，把每条斜率 m 的曲线看作一个点，组成一个空间，它是原来环面的一个商空间。X 上的一个可测函数应该对应于环面 T 上一个在每片叶子上为常数的可测函数，也可以看作经圆上的一个可测函数，在跟同一片叶子的所有交点上取值相同。但是根据回归性质，这样的函数必然几乎处处跟一个常数函数相等。所以说，这个商空间上的测度性质是平凡的。学过实变函数的同修也许会认识到这跟“不可测集”有点关系－－－如果在每一片叶子上取一个点组成 T 的一个子集（根据选择公理这个子集非空），那么我们得到的是一个不可测集。 那么这种商空间到底有没有跟测度论类似的结构可以研究呢？Connes 告诉我们，有，就是从这个分叶构造出的非交换 C* 代数。这个构造的原理我们在最简单的例子（两个点被等同为一个点）里面已经看到了。分叶是一个等价关系，两个点等价如果它们在同一片叶子上。等价关系决定了一个群胚，这个群胚上的函数在卷积下形成一个非交换 C* 代数。对于环面上的无理流，这个非交换的 C* 代数就是著名的“非交换环面”。 如果这个分叶比较好，比如环面 T 上的有理流，以至于商空间 X 上有非平凡的测度论，那么以上构造的这个 C* 代数就有一个中心子代数，正好同构于 X 上的 L^无穷 函数代数。这说明如此构造的 C* 代数的确是经典测度论的一个推广。
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 管中窥豹之非交换几何 [文章类型: 原创]
更正，关于选择公理使用－－－选择公理保证这个子集存在 （所有叶子的笛卡儿积非空）。一旦存在，非空就显然。
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