Riemannian曲率張量 經線是會相交於南北極的, 經線的切向量是互相平行的，則這些平行線是會相交的

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200708052020窮人的微分幾何1 什麼是平行

22讀書心得

平行似乎是一個很簡單的直覺，任何人都可以很容易的畫出二條平行線。國中所教的幾何學是所謂的歐氏幾何。在歐氏幾何的幾個公設裡有一個是平行線公設，它說：
在直線外的任何一點上，必唯一存在一條平行線，它不會與原直線相交。
中古世紀的數學家，有很多人覺得這不應該是一個公設，而應該是一個定理，可以從其他的公設推出來，可是他們花了極多的力氣，還是無法提出証明，最後不得不承認它是一個必需存在的公設。
如果沒了這個公設，就會出現非歐幾何，在非歐幾何裡，經過線外一點，可以有很多條平行線，也可以沒半條。這聽起來很奇怪，但事實上是很正常的。一個明顯的例子，就是地球與世界地圖的關係。
在世界地圖上有經緯線，這些經緯線在地圖上是互相平行的。但在地球儀上面看，經線是會相交於南北極的。如果我們承認經線的切向量是互相平行的，則這些平行線是會相交的！更奇怪的是緯線，緯線在地圖上看起來是平行線，但所有的緯線，除了赤道之外，都不是大圓。在地球表面上，二點間最短的線段，會是一個以地心為中心點的圓弧，這個圓弧所在的圓，被稱為大圓。由於大圓是由二個間最短的距離所定義出來，它在某種意義上相當於平面幾何裡的直線。所以我們通常認為大圓上的切向量，是互相平行的。猶如直線上的切向量都互相平行一樣。事實上，找一條通過台灣的大圓畫在世界地圖上，首先我們會發現這個大圓會跟赤道相交。再來我們會發現，在世界地圖上，這個大圓的切向量，跟亦道的切向量不平行！
現在你會發現平行不再是個簡單的直覺了。從上面這個例子，我們可以發現，在世界地圖上平行的線，並不是真的平行線，而真的平行線，在世界地圖上，反而會指向看起來不平行的方向。這現像發生在所有非平面地形的地圖上，假設我們在地圖的一點上有一個向量，我們要問正另一點上，與這個向量平行的方向會是那個方向？答案是任何方向都有可能。要看原來的地形跟地圖製作的方法而定。
如果我們在地圖上每一點都給一組座標向量(e1,e2,..en),我們自然會問從一點移動到旁邊很接近的一點時，原來點上e1平行的向量會轉動多少？它可以寫成

de1=w1jej

de1是e1作平移的轉變量，ej是座標向量,wij是ei的平移轉動在ej軸上的投影量。由於平移發生在無窮接近的二點，wij是一個無窮小量，事實上，它是一個微分形式，一般稱為聯絡(connection)。以後會說明，從wij我們就可以決定這地形的曲率。我們可以把wij分解成座標無窮小量dx的線性組合

wij=Gijk dxk

Gijk就是所謂的克里斯多符號。以上公式內的ijk都是座標指標，而且使用愛氏求和習慣。




窮人的微分幾何2 曲率張量

35讀書心得

對聯絡的定義式，再作一次微分

D(dei)=d(wijej)=d(wij)ej+wij(dej)
=d(wij)ej+wij(wjkek)
=(dwij+winwnj)ej
=Wijej

其中Wij=dwij+wikwkj
就是為曲率微分形式，它的幾何意思也可從它的定義式

Ddei=Wijej

看出來。是ei的二次微分在ej分向的投影量。
Wij是一個二次微分形式，把它用dxdy分解出來可得

Wij=Rijkldxkdxl
Rijkl就是一般的Riemannian曲率張量。因為它有四個指標，所以通常不太容易了解它的幾何意義。下面是我能想到的幾種說明：

1 Rijkl為ei平移差的k分量在l方向的微分後，在j方向產生的投影量。
2 Rijkl是ei對k及l作平移微分後的j方向分量。
3 Rijkl是Wij對dxkdxl的展開係數。

由於微分形式的反對稱，所以


Rijlk = - Rijlkl
對Riemann幾何而言，d(ei. ej) =0可導出 dei.ej=-dej.ei，或是wij = - wji，因此

Rijlk = - Rjilk

 張量之指標間可以收縮，如矩陣之求trace，但i與j，l與k之間為反對稱，其收縮為0。故對Riemanian張量而言，我們只能收縮ij與lk二組間之指標，對i與k求收縮，得

Rjl=Rijli

為Ricci張量。愛因斯坦廣義相對論中之無物質之場方程式即為 Rjl=0

窮人的微分幾何3 扭量、協變微分、李括號

25讀書心得

 
這張圖是我的得意之作，它把微分幾何的這三個量用圖表示出來。

微分幾何探討的都是變曲的空間，而我們要用平面來表示它，唯一的方法，就是把區域縮成無窮小，這時曲面的作用就看不太出來。所以在這張圖裡面，所有的量都是無窮小的，我們可以假設它們都被乘上一個無窮小的參數dt。

協變微分DxY是將向量場Y在X方向作微分，但微分的動作不是Y(x+dx)-Y(x) /dx，而是Y(x+dx)-Y(平移) /dx，如圖上的紫色小箭頭所示。同理有DyX。

李括號 [X,Y] = XY-YX ，用分量表示就是 x dy/dx – y dx/dy，就是先X向前一步，再Y向前一步，與先Y向前一步，再X向前一步之差，如圖中所示，X向量場與Y向量場在無窮小區間內，所形成的四邊形的缺口，就是[X,Y]。

扭量(Torsion)的定義為
T(X,Y)=DxY-DyX-[X,Y]
依照這個定義，我們可以發現它就是圖上的綠色小箭頭。它還有一個更簡單的幾何意思，把X,Y二個向量沿著對方互相作一個小平移，應該會形成一個”平行”四邊形，如果這個平行四邊形有缺口，這缺口的量就是扭量。

在扭量的定義中，若令X=ei, Y=ej，則因[ei,ej]=0，T(i,j)=(Gijk-Gikj)dxk，故扭量為0之情況下，則Gijk之後二指標為對稱。這也是扭量為0的充分必要條件。



窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何

14讀書心得

 
在前面我們討論平行的時候，都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係，因為與平面幾何的相法不同，事實上在廣義的幾何裡，平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：
 
gij=ei.ej
 
對上式作d運算，可得
 
D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji
 
注意其實ei.ei=gii，但gii與gjj的作用是改變i與j指標的上下位置，所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同，ij二個指標都是下指標。
把wij分解成Gijkdxk，再把dxk移到左邊當微分算子的分母，可得
 
 Dgij/dxk=Gijk+Gjik
 
所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。
假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次，就可以發現
 
Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2
 
克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定！
空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點。

窮人的微分幾何5 座標變換與規範理論

16讀書心得

假設我們已經在曲面上的每一點定出一組座標ei，及它的聯絡 dei=wijej
座標軸的選定是很隨意的事情，我們可以選任何方向當我們的座標軸，假設我們現在換到另一組座標上面去Ei’=Tijej，我們要問原來的聯絡會變成什麼樣子。
 
dE=d(Te)=dTe+Tde=(dT+Tw)e=(dT+Tw)/ T E=WE
 
或是 W’= Tw/T+ dT/T
 
這是座標變換下的聯絡變換方式，事實上，如果每一點的座標向量並不是空間的切向量，而是一組(規範空間中)滿足某種特定座標轉換群的向量，則上式就是所謂的規範轉換。此聯絡所定出的曲率張量則滿足一般的張量轉換公式：
 
F’=dW+W^W=T(dw+w^w)/ T
 
對規範場而言，例如電磁場，w這個聯絡就是電磁學中之向量位能A，而電磁學中的規範轉換
 
A’=A+df
 
就是聯絡變換化簡後的樣子
 
A’= TA/T+ dT/T=A T/T + dT/T =A+df
 
而其曲率張量F，就是電磁學中之電場E與磁場B。
從量子力學的眼光來看，規範變換來自於波函數相角的選定。我們可以想像在每一個空間點上，有一個圓形的相角空間，而波函數在這個空間中選定了一個方向做相角的零點。不同點上零點的位置會不同，其由來可能因為座標的選定，也可能因為規範空間的彎曲，選定各零點間的相對位置也就是設定了一組聯絡。當粒子受到電磁場而在空間中轉向，可以想成是在規範空間中經過一個彎曲的地形而導至的轉向。利用這種方式，我們可以把所有的作用力場(強、弱、電磁、重力)，都當成是規範空間裡的曲率來處理。