窮人的微分幾何6 流形與纖維叢
流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌，明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言，解決這個問題的最簡單的方法，就是帶很多張地圖，有的以台灣為中心區域，有的以北極為中心區域，每個地圖可適用於地球的某一部份，各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間，就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分，則稱為可微分流形。
纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法，實數線X乘上實數線Y就是二維實數(X，Y)平面，而實數平面再乘上實數線Z，就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維)，則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。
一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數，在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值，這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)。
微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及，一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間，把這個切向量空間當成這點的纖維，形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標，各座標可以用座標變換運算互換，所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間，通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)。
1 如果在主叢上定出一個section，則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的，則主叢的section事實上就是connection的定義。
2 把整個主叢當成一個流形，再取這個section的切向量，這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間，被稱為水平切空間H。選定了H，就是選定connection。
3 對主叢的切向量T，我們可以唯一把它分解成T=H+V -> V，V是一個李群的微分，也就是說，我們有一個微分形式，它會作用在T上，而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式，也就等於定義了connection。
可以証明，以上三個方法，都可以當成connection的定義，它們之間是互等的。利用這種方法，我們可以脫離了原來的平行直覺，而定義出在廣義空間裡的connection。
窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理
曲率跟拓擈的關係，從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線，從一點開始出發，它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算，曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數，延著曲線前進一小段，切向量旋轉dt角，曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
式子中，左邊是曲率，右邊是拓擈特性。
我們要問二維曲面也有類似的情況嗎？從上個式子的推測，就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
Ddei=Wijej
從上式可以推出
S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
其中從第二式到第三式，用了Stoke定理的方法，把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
所以曲率張量在面積上的積分，等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測ei在ej方向的變化量，也就是旋轉角度的積分，最後我們得到
S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後，回來與原向量的交角
如果曲面是裝在三維空間裡的，我們可以取ei是法向量，則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺，我個人想到的一個說明如上圖所示，假設有一個球，它上面法向量所張的立體角為4pi，則不管我們怎麼亂壓這個球，擠壓會產生正曲率，但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭)，它們互相對消，所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi，除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出，一個洞的產生，等於二個負曲率的半圓相消，所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理：
S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)
同樣的，我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣？往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的，在高維曲面上就不能直接對曲率積分，而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式，它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後，求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來，所以沒法在這裡用三言二語說明白，所以先暫時打住。
學過微積分的人都知道微積分基本定理，它說：一個函數的微分的積分，等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼，它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明，如果F是面積的話，那我們可以把它細切成dF，F就是dF加在一起，這就是所謂的積分，這裡dF顯然就是f乘上dx，而f是F在dx的改變量，也就是F的微分。真正來講，積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積，則在線段ab上的積分，就是F(b)-F(a)。
這個想法其實可以推廣到高維空間去，我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F，我們也可以細切成dF，從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的a與b被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式，只要作到二件事，一個就是找出dF的定義，另一個是找出F在邊界上的取值方法。
我們要找的dF，就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性：
1 它應該是某種微分，才會產生正確的面積公式。
2 它有維度，不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項，同變數無法積分二次。
數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法：
1 如果F是一個普通函數，則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + …. 這裡的dF/dx是F對x的偏微分
2 如果F=Wdx，W可能是函數，也可能是一個微分形式，則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^，它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
至於在邊界的取值方法，從圖上可以看出一個大概，就是面的邊是線，線的邊是點，然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值，就是所謂的Stoke定理，它說F在邊界的取值方法，就是F在邊界作積分。公式如下
其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣，也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理，很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性，和流形上的微分形式會有所關聯，從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
一個有趣的結果，就是任何微分形式作二次d運算後會變成0，ddF=0。代入Stoke定理，我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。
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