在实验上无法直接测量一个生物系统的自由能是的改变，
为准静态过程
第一章引言3
原则上需要无穷长时间，因而很难做到。但是Jarzynski等式告诉我们可以通过
测量有限时间（非平衡或者说非准静态）过程的做功，并通过求平均的办法来
间接求出自由能。这就为我们从实验上测量两个状态间的自由能的改变提供了
一种可能。
。所谓线性理论是指偏离平衡态的各种热力学力（如温度梯度，电势梯
度，密度梯度）比较小，由这些力产生的热力学流（如电流，热流，物质流）与
这些力之间遵从线性关系。这是的非平衡态离平衡态不远，称为近平衡的非平
衡态；3.非平衡态热力学（非线性理论）。当引起偏离平衡态的各种力足够强时，
系统被驱动到远离平衡态的非平衡态，这是热力学力和流之间不再遵从线性关
系，而变为复杂的非线性关系。当热力学力增大到某个特定阈值时，系统将出
现有序的结构，它可以看成是一种非平衡相变
说把热力学理论完全简化为多粒子系统的牛顿力学。
但是都没有能够绕开一些超出牛顿力学的额外的假设，如“各态历经”假说或
者是“等概率”假说
另外，对于如何从更基本的物理理论推导热力学的有关基
本原理，如热力学第二定律，直至今天仍然是一个充满争议的问题。几乎所有
的（推导这些基本原理的）方法都是基于牛顿力学。但是现在我们都知道这些
热力学系统，比如气体或固体，本质上服从的是比牛顿力学更基本的量子力学
第二章数学和物理准备知识
[PDF]第十章重要概率分布及随机过程简介 - 北京国际数学研究中心
bicmr.pku.edu.cn/personal/gehao/.../Chapter10_2014.pdf
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Patent CN100549679C - 缩短终点型反应分布图的分析时间 ...
www.google.com/patents/CN100549679C?cl=zh - 轉為繁體網頁
Patent CN1508534A - 缩短终点型反应分布图的分析时间的方法
www.google.ee/patents/CN1508534A?cl=zh
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化学反应中的随机动力学_百度文库
wenku.baidu.com/view/512ec46aa45177232f60a20c.html
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phymath999: white01 对于每个分子该反应的等待时间是随机 ...
phymath999.blogspot.com/2014/02/blog-post_1898.html
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phymath999: 经典的理论表明当平均等待时间及跳跃长度的 ...
phymath999.blogspot.com/2014/02/st.html
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Bo丨tzmann方程的理论和应用 - 物理学进展
*二章 *学和物理准备知识 *二章 *学和物理准备知识 *******************************************************:(1) *****(***
*DNA,***********)*******************
**,*****************;**(2)**********
*************(************,********
*)***,*************************,***
*程学的角度来说,我们能从现象学上认识后者,而不需要前者的大量细节。*********(1),*******************,*
***************(2),*****************
****--********,*******************
*,基本的方程将源于这样两个定律:原子守恒和质量作用定律。
***********,********************
*********,**********************,*
*****************,*************,**
*,******;**************,**********
****,*******************,*********
********,******************,******
***,*********,*********************"*计学"*质。
2.1 *应动力学方程: *子守恒和质量作用定律
*面是一个简单的异构化反应
*一个稍复杂一些的二阶化学反应X
k* Y, (2.1)
A + B
1k* C. (2.2)
2**********: **(2.1)*****,************,
*J
1= k
1c
X,***(
2.2)***J
2= k
2c
Ac
B***,c
A, c
B*c
X*****– 13 –2.2. *阶反应的指数等待时间分布
*A, B, *C*浓度。k
1*量纲是(*间)
-1,k
2*量纲是(*间)
-1(*度)
*
* * * * * * * * * * * * * , * * * * * * * * * , * * * * **(2.1)*
dc
*对于双分子反应(2.2)*
J
1*J
2dc
C
Ydt
= -
dt
= -
dc
Adc
Xdt
= J
dt
= -
dc
B
1= k
dt
= J
2
1c
X= k
-1, (2.3)
2c
Ac
B. (2.4)
**************,****************
****,*********************,*************(**:*************************
*？)
2.2 *阶反应的指数等待时间分布
***********,*******X
k* Y **********
*********,*********,************,*
*一定的概率分布,那么这二者又有何内在联系呢？1*T********,*****************g(t) =
Pr(T > t)******X**c
X(0),***t**X***c
X(t)***c
(t)*
**以g(t)*足
dg(t)
dt= -k
1dc
(t)
dt
Xg(t),且g(0) = 1*
*解为
*是其分布密度为f
*是参数为* = k
1
T(t) =
d
= -k
g(t) = e
1
-kc
1X
t(t),
, (2.5)
dt
(1 - g(t)) = k
1e
-k1t
X. (2.6)
*标准指数分布密度。
****,************,********************,****t**************,********
– 14 –* 2.1 *数分布。From Annu. Rev. Biophys. (2008) 37:417-44.
*小区间(t, t + t )*发生的概率,等于
Pr(t < T < t + t )
Pr(T > t)
=
g(t) - g(t + t )
*二章 *学和物理准备知识 g(t)
= *t + o(t ).
* *** * * * *t* * , * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * *P(AB) = P(A)P(B|A), * *P(AB)* * * *A*B* * * * * *
*P(B|A)*是在已知事件A*生情况下事件B*生的概率。
*数分布在很多实验中都观测到了(*2.1)*
2.3 *力学与反应常数
*们还可以从热力学角度来分析可逆化学反应A
k1
k-1B. (2.7)
*******,*******,**********µ = µ
+
k
BT log c,**c****,k
B*******,T****µ
0******,
*与该溶质和溶剂的结构等静态性质决定。*质B*溶质A*化学势差为*µ = µ
B-µ
A= *µ
0+kT log
[B]
[A],而单位时间**A*B********J = k
[B]**********(1)*µ =
0*及(2)J = 0*由此我们可以得到平衡常数K
1[A] - k
-1
eq=
k
k1
-1=
[B]
[A]eq
eq= e
-*µ0/kT*0– 15 –2.4. *微分方程相图分析简介
*于著名的ATP*解反应,ATP
ADP +P
i,其*µ
0= -31kJ · mol
=
-k
BT log
[ADP]eq[ATP]
[Pi
eq]eq(******)*******,
[ADP][P
]
[ATP]********多(*平衡态),否则无法为生命体提供能量。
2.4 *微分方程相图分析简介
i**************,****************
*,***************************************************************19*
*80****,********************,*****
*(***)*************,***************
***********************HH****,*****
*了生物数学作为一门独立学科的发展。
*们可以类比经典力学的哈密尔顿系统来理解常微分方程。比如dX
dt
= f(X),
*************X(t)************(***),
*f(X)*******,****************,******
****************************(f(X
) = 0*
*)*其稳定性。
2.4.1 *性常微分方程求解
*于线性方程组dX
*解X(t) = e
ˆ
AtX(0)*其中e
ˆ
At=
*
dt
=
8
n=0ˆ
AX,
(
ˆ
At)
n!n*************,*********det(*I -
*值*
1**
2**
1+ *
2= tr(
ˆ
A),和*
1*
2= det(
ˆ
A)*
*果这两个特征值不一样的时候,那么方程的一般解形式为a
,*数由初值决定(*值包括初始值和初始导数值);
***************,****,********a
+
a
2te
,系数也是由初值决定(*值包括初始值和初始导数值)*
*****,*************ˆe
*t– 16 –******e
*tˆe
*
*
-1ˆ
A) = 0***
1e
*1t+a
2e
1
*e
2t
*t******* 2.2 *维线性方程组不动点分类
*解,但是当有重根的时候还有其他的基本形式。2.4.2 *图分析
*********dX
dt*二章 *学和物理准备知识 = f(X)**X(t)(*******)***X***
***(**,*****)******X*,***f(X)********
****************X*****************
*统。
**************,****************？(*案是不会,思考题)*
2.4.2.1 *性不动点的稳定性
*********dX
dt=
ˆ
AX**,****(****)******
*****,***************,**********(*
*2.2*2.3)*
**************,**********a
,
*****************,*********,******
**;*****,*****,*****************,*
*程画出的相图是同心圆,称作中心。2.4.2.2 *线性不动点的稳定性
****************,******,******,
********,************************1e
*1t+ a
2e
*2t– 17 –2.4. *微分方程相图分析简介
* 2.3 *维线性方程组不动点图示
********************,**X = (x
),f(X) =
(f
1(x
1, x
2), f
****X
2
*(x
1, x
= (x
2
*
1)),则微分方程组
, x
*
2)**f
1(x
*
1dX
dt
, x
*
2= f(X)
) = f
2(x
*
1, x
*
2
1, x
2) = 0****(X - X
)**
*,该微分方程组可以近似为d(x
1- x
*
1)
dt
= f
1(x
1, x
2) ˜ f
1(x
*
1, x
*
2) +
*f
1(x
*
1, x
*
2)
*x
1(x
1- x
*
1) +
*f
1(x
*
1, x
*
2)
*x
);
d(x
2- x
*
2)
dt
= f
2(x
1, x
2) ˜ f
*此线性矩阵A =
2.4.3 *岔
2(x
*
1[
, x
*
2
*f
*f) +
*f
1
2(x*
1,x*
2)
*x
(x1
*
1,x*
2)
*x12(x
*
1, x
*
2)
*x
*f
*f
11
2(x*
1,x(x
*
2)
*x
(x2
*
1,x*
2)
*x21- x
]
.
*
1) +
*f
2***********,*******************,*就称作"*岔"*
– 18 –(x
2
*
1, x
*
2)
*x
2
*(x
(x
2
2- x
- x
*
2
*
2).
*如dx
dt= *-x
2*结点(saddle-node)*岔;
dx
dt*二章 *学和物理准备知识 *临界(transcritical)*
*,dx
dt= x(* ± x
2= *x-x
2)*(pitchfork) ************* = 0***,**
*系统的线性矩阵有零特征值,出现稳定性变化。Hopf****:*X
'* 2.4 *特征值分岔图
= F(X, *)*********X
(*),*A(*)***
*矩阵,并且有一对复特征值a(*) ± iω(*)*如果下述条件满足:对于某个*
1. a(*
) = 0(*对虚根);
2. *(*
0> 0;
3. * =
0) = *
da(*)
dλ|
0* = 0;
4. A(*
0
*=*0)*有其它的零实部特征值;
****
0******,**** > *
0
0*,**** < *
*,****
****************v
|* - *
0
0| ***,******
***** > 0******** > *
0*,**** < 0******** < *
*,**
*环是稳定的。
*细的例子我们会在今后的课程中不断遇到。
***读**材**料**
*习概率论与常微分方程相关知识。
***业**«Mathematical Physiology»1.1(a)(b) 1.2(a) 1.3
0
0
0– 19 –2.4. *微分方程相图分析简介
– 20 –* 2.5 *对复根分岔图
*一章 *学建模与生物数学 *一章 *学建模与生物数学 ************,*******************
*******************************:**
******,********,************,*****
*****************,***********(****
****)****************************
***********************,*************,**********************:(Mathematical
Modelling) ***************,*******,*****
*,********,**********************
*。以上定义来源于网络。
******,**************:*******,**********;*******,*********(***
*)*****************;******,*******
*,Michaelis-Menten****,******;******,*****
*,Hodgkin-Huxley*经元模型等。
*然定律和科学假设 ****************:***************
*******,******************************************"**"***************
*******,**************************
*做的贡献。
*经典振子为例:m
d
2x
dt
2= -kx.
***********,**********************
**,*********,***********;*********
*信息,前者能告诉我们的也非常有限。
*************************,*****– 1 –1.2. *物科学与数学
*,********;**********************
***************,******************
*学发现,数学的描述必不可少。*顿v.s.*普勒
**,********,**********,*********
*****,***********************;****
*******,******************,******
*****************************************,************,********HodgkinHuxley****,*********************,****
*的挑战,也是我们的机遇。1.2 *物科学与数学
*****100*****,**************,*****
**************************,*******
********,**********,**************
**************,***************,**************(whole genome sequencing, microarray, Chip-chip*)**
***,****DNA*******,****************
*一个前所未有的程度,所以现在被称为"*基因组"*代。
**************************,*****
****************,*************************,**Fraser*Harland(2000)**"******,****
******,******************"***,Nobel**
*Nurse*:"******************,*********
*********************,**************"*****(Kitano)**:"*****,**************
*****,*************"*************,*
*数据整合的需要。**,******,Hodgkin*Huxley***************
*****************Nobel*,*************
*********DNA***************,*******
– 2 –*一章 *学建模与生物数学 *(Bioinformatics)********Michael Waterman***********
************,*********************
*筹莫展。
*****,**********,***************,******************DNA********,**
*******************************Peskin,
Murray, Oster, Keener*************************
*系统,并成长为一门专门的学科Mathematical Biology*
**,*********************,*******
********************,***************Navier-Stokes*********,********,*******
*似于chaos*样的有趣现象被提出来。
1.2.1 *理、化学和生物中的概率论与随机过程
************19********Boltzmann,Gibbs***
**************************20*******
************,*********************
******,**************,************
****************,************,*************L. Onsarger, T.L. Hill, J. Lebowitz,C. Jarzynski*****
**I. Prigogine, I. Nicolis*;*******Kramers*Delbruck*1940***
***************************,**************************,****R. Marcus*****
***************,A. Szabo**************
******************,*****H. Qian, J. Pausson**
****************,************;*****P. Flory**1940-1960***********************
**************,**Rouse**************
****************,****K. Dill*P. Wolynes*****
**************************;*******
**,********************,*********
*******,********************,****
*********************,******,*****Sakmann*Neher ********,****************
– 3 –1.3. *们对生物细胞知道多少
*;*****D. Magde, E. Elson*W. Webb**************
*(FCS, Fluorescent Correlation Spectroscopy),**************
*********,********************,***
**********,***********************
*********************************
*****,**************,************
*******,************************,*********,*****Elowitz***********,***
***********************STORM(Stochastic Optical
Restructure Microscopy,*******)**,*************
*******************,***********,**
************,*******,*************
*是非常不准确的,也很有可能做出一些错误的判断。
**********,*******,*************
*****************,**************,********************,**O. Schramm***SLE
(Stochastic Loewner Equation,**Loewner**)**,**********
*****P. Flory*************************
*****,***********Fields*(Wendelin Werner (2006) Stanislav
Smirnov (2010))*
***************,****************
*********;************************
**************,****,*********,****
********************,************
*,而且一定也会给科学界带来崭新的思维。1.3 *们对生物细胞知道多少
1.3.1 *学反应基础知识
****(elementary reaction),****,***********,**
************,**(*****)************
***************************(*****)
**********************************– 4 –* 1.1 *物细胞
******************,*********,****一章 *学建模与生物数学 ****(*********)**************,****
**************:*****,*************
*************,********************
**********************************
*,*****************,**************
*作用6CO
2+ 6H
2O * C
6H
12O
6+ 6O
2.
19****,G.M.*****P.****:*************
**************,*******************
*,**************,****************:
*************************,********
**********************************
*为化学反应常数。该定律在之后的章节中会被多次用到。
***************,****************
************,*****************,***
*化反应。1.3.2 *胞,蛋白质,染色体,基因
*****(***********************),**************************:****DNA**
– 5 –* 1.3 *白质例子
* 1.2 *基酸和肽键
1.3. *们对生物细胞知道多少
*RNA*(*1.1)
***********,**********(**)*********************20*:A*R*N*…M*L*T*…V**
******,*********,*****************
*。(*1.2, 1.3)
*************,**********(*1.4,1.5)**
******************(************– 6 –* 1.4 *氧核糖核酸。
*一章 *学建模与生物数学 * * * * * * * * * ) * * * * *DNA( * * * * * * ) * * * * * *
*************,*********************,*****DNA************(histone)*****
*(nucleosome)*(*
1.6)**********DNA***********,
*是蛋白编码的基本单位。细胞中根据基因来生产蛋白。*******DNA (******) *******DNA******
******4*,A*T*C*G,***********,*DNA****
********************,*****(**)****,A *T,C *G****;*********************
**********************************
*。*******:****(Archaea)***;****(Prokarya )*
*;真核生物(Eukarya,有成形的细胞核膜,有核小体)酵母菌、动植物。
1.3.3 *子生物学中心法则
*****************,**DNA*********
************,********************
**********************************34*(*在可能更多)*
****************:***************************"DNA **RNA,RNA *****,******
*******,***DNA ****",******"DNA* RNA * **
– 7 –* 1.6 *蛋白和核小体。
1.3. *们对生物细胞知道多少
* 1.5 *色体。
*"***************:******DNA*****RNA *
*一步了解,告诉我们还有第四步:剪接(splicing)*(*
1.7)
**************DNA*:*******,*3 ****
***********,**"coden"***ATG****M ***,CUA,
CUT, CUC, CUG *氨基酸L*编码...(*1.8)
– 8 –************RNA ****,**********Pre-
* 1.8 *白质翻译。
* 1.7 *心法则。
*一章 *学建模与生物数学 mRNA(**-RNA**),************,Pre-mRNA ***
*(***) mRNA,*************,mRNA ****(****
***)****,************,*************
*,*输运到需要它们的位置(*胞器中或细胞核内)。(*1.7)
1.3.4 *胞调控
********************,********** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *RNA*
*(binding),******,********************
– 9 –1.3. *们对生物细胞知道多少
***,*****,*************************化, Histone*蛋白的Methylation (*基化)*Acethylation(*酰化)*泛素化等。
* * * * * * * * * * *(Protein kinase) * * * * *
*ATP*ADP*GTP… * * * *(P) * * * * * * ; * * * * * * * *
*(protein phosphatases)************************
*******,***********,************,**
************ATP*ADP ********(****) , ****
*也是能量的传递过程(*说法不够准确,以后会讲到)*
*************-************,*******
****************************;*****
****************,***************,*
*调不同细胞的行为。
*胞内的调控活动如:1. ******,*DNA*********,**********
*;2. ******,**********,*************
******;3. ************(****);4. ****,*
************,************(*********、RNA*细胞物质,赋予蛋白能量以活化蛋白);5. *现细胞功能, *肌肉的
*缩和舒张, *体分泌物的释放等
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