我们熟悉的相变现象一般都是由于改变系统的温度
引起的，如冰熔化的水，还有加热一个磁铁使它的磁性消失（铁磁-顺磁相变）。
从物理上讲这类相变是由于热涨落引起的，我们通常称之为“经典相变”。另外
还有一类我们不太熟悉的发生在绝对零温时候的相变，这类相变一般是由系统
的哈密顿量的某个参数引起的，比如外磁场强度。研究发现，这类相变是由海
森堡不确定关系引起的量子涨落带来的，因为零温时热涨落完全消失[97]。由于
这类相变完全是由量子效应引起的，因此我们称它为量子相变。由于量子相变
发生在极低温时，它对实验技术的要求非常高。要想从实验上观察到量子相变
现象是非常困难的。直到最近物理学家才第一次从实验上[25]观察到了量子相
变现象：光晶格中的冷原子的超流-莫特绝缘体相变[98]。当光晶格势阱的深度
不是很深时，冷原子可以在各个势阱中自由穿梭，这就是超流相；但是当势阱的
深度超过某一临界值后，原子就被限制在光晶格的各个势阱中，不能再在晶格
的各个势阱间自由隧穿，这就是绝缘相;
。
74 量子信息启发的量子热力学和量子相变问题
6.1.1 系统基态能级简并与量子相变
判断系统发生量子相变的一个常用标志是基态与第一激发态能级发生交叉
或者是简并[24, 100]。或者说，通过寻找能级简并点可以帮助我们确定量子相变
点。下面我们来看一个这样的例子。
Lipkin-Meshkov-Glick (LMG)模型最开始是核物理中引入的一个模型[101]，
它用下面的哈密顿量描述
HB = ¡
¸
N
XN
i<j
(¾x
i ¾x
j + °¾y
i ¾y
j ) ¡
XN
i=1
¾z
i ; (6.1)
其中¾®
i ，® = x; y; z (i = 1; 2; ¢ ¢ ¢N)是第i个原子的泡利算符；¸=N是任意两个自
旋间的耦合强度。这个强度与总自旋数N成反比。这个系统的哈密顿量包含有
长程相互作用，因为系统中的任意两个自旋间都有相互作用。在各向同性情况
下° = 1，这个哈密顿量在Dicke表象是对角化的。
HB = ¡
2¸
N
·
J2
N ¡ (JzN
)2 ¡
N
2
¸
¡ 2JzN
; (6.2)
而且HB的基态位于由Dicke态fjN=2;Mi ;M = ¡N=2; ¢ ¢ ¢N=2g张成的子空间
中[102]。这里s =~¾=2, J®N
= 1=2
PN
i=1 ¾®
i 且
J2
N
¯¯¯¯
N
2
;M
À
=
N
2
µ
N
2
+ 1
¶¯¯¯¯
N
2
;M
À
; (6.3)
JzN
¯¯¯¯
N
2
;M
À
= M
¯¯¯¯
N
2
;M
À
:
与本征态jN=2;Mi对应的本征能量是2¸M2=N¡2M¡¸N=2。因此基态jGi与¸有
关[103]，
jGi =
( ¯¯
N
2 ; N
2
®
; (0 < ¸ < 1); ¯¯
N
2 ; I(¸)
®
; (¸ > 1)
(6.4)
这里I(¸)是与N=2¸最接近的整数。方程(6.4)暗含¸ = 1是一个能级简并点，这意
味着¸ = 1点也是一个量子相变点[24]。在¸ > 1和¸ < 1的两个相中，系统地基态
的性质非常不同，或者说系统的基态在¸ = 1两边有完全不同的对称性。这一点
也同样是对称性破缺点[103, 104]。当0 < ¸ < 1，系统的基态是唯一的，而且沿
着磁场方向完全极化，因而环境系统是处于对称性破缺相；当¸ > 1，基态无限
重简并，因而环境系统处于对称相。
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