果已知它在各个能级上的布居数Pn，那么它的的
。近年
来人们开始考虑借用新兴的量子信息科学的一些观念和方法来研究量子相变。
这里牵涉到的一个重要概念是量子纠缠（或者是量子关联）。基本思想是量子
临界性能够用量子纠缠的各种不同的度量，比如并发度（concurrence），块纠
缠（block entanglement）以及负值性（negativity）很好地刻画[28]。最近我们提
出了用量子信息科学中的两个概念-“退相干”[29, 30] （或者是洛克斯密特回
波（Loschmidt echo））和“量子保真度”[30, 31, 32, 33]来研究量子相变。它的
主要思想非常简单：在量子相变系统的临界点附近，系统的性质会发生急剧地
变化。我们可以用两个态的重叠积分，也就是它们的标量积，来刻画这中变化。
我们让这两个态对应于控制参数稍有不同的系统的基态。在远离临界点时，系
统对微扰不敏感，保真度几乎为1。但是在临界点附近，微扰可能使系统进入另
外一个相区。从而它的基态结构发生了巨大的变化，导致保真度在临界点附近
急剧下降。通过这些保真度的行为我们很容易得到该量子相变系统的相图。而
两个温度稍有不同的系统的热平衡态作内积。我们不需要事先知道任何序参量
或对称性破缺的的信息。这种保真度方法刻画相变的一个重要应用是拓扑量子
相变[34]，这里没有对称性破缺，也没有局域序参量的存在，保真度方法的巨大
威力就显现出来了。而且拓扑量子相变还跟目前流行的具有很强抗干扰能力的
拓扑量子计算有直接的联系
。近年
来人们开始考虑借用新兴的量子信息科学的一些观念和方法来研究量子相变。
这里牵涉到的一个重要概念是量子纠缠（或者是量子关联）。基本思想是量子
临界性能够用量子纠缠的各种不同的度量，比如并发度（concurrence），块纠
缠（block entanglement）以及负值性（negativity）很好地刻画[28]。最近我们提
出了用量子信息科学中的两个概念-“退相干”[29, 30] （或者是洛克斯密特回
波（Loschmidt echo））和“量子保真度”[30, 31, 32, 33]来研究量子相变。它的
主要思想非常简单：在量子相变系统的临界点附近，系统的性质会发生急剧地
变化。我们可以用两个态的重叠积分，也就是它们的标量积，来刻画这中变化。
我们让这两个态对应于控制参数稍有不同的系统的基态。在远离临界点时，系
统对微扰不敏感，保真度几乎为1。但是在临界点附近，微扰可能使系统进入另
外一个相区。从而它的基态结构发生了巨大的变化，导致保真度在临界点附近
急剧下降。通过这些保真度的行为我们很容易得到该量子相变系统的相图。而
且这种办法可能可以推广到经典相变系统，比如BCS相变和BEC相变。我们对
热力学第一定律的量子力学描述
我们考虑一个任意多能级量子系统（见图2.1，为了简单起见我们这里考虑
的系统只包含离散能谱结构，并且只含有有限个本征能级。当然我们也可以更
广泛地考虑具有无穷多个能级的系统）。
该系统的哈密尔顿量可以写成
H =
X
n
En jni hnj ; (2.1)
这里jni是系统的第n个本征态，En是它的第n个本征能量。不失一般性，我们可
以选取基态j0i的本征能量为能量零点（见附录A）。这样一来，系统的哈密尔顿
量(2.1)就可以被重新表述成
H =
X
n
(En ¡ E0) jni hnj : (2.2)
后面我们将会看到，用哈密尔顿量(2.2)来讨论系统的热力学性质会比用(2.1)式
更加方便。对于这个系统，如果已知它在各个能级上的布居数Pn，那么它的的
内能U可以表示为
U = hHi =
X
n
PnEn;
系统的等温过程和量子力学系统的等容过程，我们需要先找到热交换¹dQ和做
功¹dW的量子力学对应的表述。从方程(2.3)我们可以得到
dU =
X
n
(En dPn + Pn dEn) : (2.4)
在经典热力学中，热力学第一定律被表述为
dU = ¹dQ + ¹dW; (2.5)
其中¹dQ = TdS，¹dW =
P
i Yidyi [35]；T 和S 分别是温度和熵；yi 是广义坐
标Yi是与yi共轭的广义力。考虑到（冯诺依曼）熵S和各个本征能级En上的布居
数Pi的关系S = ¡kB
P
i Pi ln Pi，我们可以如下定义量子力学系统的热传递和做
功[36, 37, 38]
¹dQ =
X
n
En dPn; (2.6)
¹dW =
X
n
Pn dEn:- 在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。 ... 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。 ..... 辛幾何包含了代數曲面的理論，但是代數曲面的內容豐富得多，如何去構造代數結構 ...
[PDF]線性代數五講一一 - 中研院數學研究所
- 上的雙線性型式、二次型式及度量向量空間, 正交幾何和辛幾何的分類, 還有大家十分熟悉的內. 積空間。 ..... 內積空間, 對其上的線性變換, 則可定義並討論其共扼算子。
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