三维空间矢量的内积定义为一个标量，其数值等于各分量乘积的代数和。所以内积也叫标积。笛卡儿坐标系里的基矢量有两个基本的特性：1）它们相互之间的内积等于零，这叫正交性

三维空间矢量的内积定义为一个标量，其数值等于各分量乘积的代数和。所以内积也叫标积。
笛卡儿坐标系里的基矢量有两个基本的特性：1）它们相互之间的内积等于零，这叫正交性；2）基矢量与自身的乘积等于一，这叫归一性。笛卡儿坐标系里的向量关系被广泛应用到函数空间


三）空间与向量
三维空间中任何一点的位置由三个坐标数值唯一决定。如果从原点画一个矢量使其箭头终于这个点，这个矢量（或曰向量）沿各坐标轴的分量就是这个点的坐标数值，所以这个点也可以用此向量表示。因此，三维空间中的任何一个点又可以看成是一个向量。沿着笛卡儿坐标轴的三个单位矢量又叫“基矢量”。任何一个向量都可以看成是基矢量的线性组合。所以，一个矢量通常表示为A = xi + yj + zk 。此处i ，j 和k分别为x，y 和 z方向的基矢量。
对空间矢量可以定义加减和乘法运算。矢量的加减很容易，就是将各分量分别加减。矢量的乘积有两种：内积（又叫点积）和矢积 （又叫叉积）。此文不讨论叉积，只讨论比较有普遍意义的内积。三维空间矢量的内积定义为一个标量，其数值等于各分量乘积的代数和。所以内积也叫标积。
笛卡儿坐标系里的基矢量有两个基本的特性：1）它们相互之间的内积等于零，这叫正交性；2）基矢量与自身的乘积等于一，这叫归一性。笛卡儿坐标系里的向量关系被广泛应用到函数空间。
四）函数空间与无穷维度
空间中的向量展开成基矢量的线性组合的概念可以应用到函数的级数展开。我们以周期性函数的傅立叶展开为例说明这一概念的应用。我们知道，任何一个周期性函数都可以展开成正弦函数和余弦函数的无穷级数，也就是sin(nx) 和 cos(nx) 的线性组合。此处n 可以取从0 到无穷大的任何整数。每一个整数n代表n次谐波。所以傅立叶展开又叫谐波分析。这无穷多个sin(nx) 和 cos(nx) 函数称为基函数。不同的周期性函数的差别表现为线性组合系数的差别。这已经有向量展开的味道了。为了使函数成为“向量”，我们还必须做两件事。第一，我们必须定义向量的内积；第二，我们必须解决正交归一性。
两个基函数的内积定义为他们的乘积在一个周期里的定积分数值。这样定义的内积达到了几个效果：1）不同的基函数的内积等于零，也就是说这些基函数是“正交”的。2）每一个基函数和自身的内积等于常数。这一常数可以被吸收到基函数之中，使基函数本身的内积等于一，满足“归一”性。满足正交和归一两个特性的基函数叫做具有“正交归一性”。3）任何一个函数在某一个基函数方向的投影等于此函数与该基函数的内积。因此某一个周期函数展开为傅立叶级数的操作可以看成是这个函数在各个基函数“方向”的投影。因此，这个周期函数就可以看成为一个“向量”，而各个基函数就是各个方向的“基矢量”。
至此，我们已经完成了将一个函数演绎成一个无穷维的函数空间（又称之为希尔伯特函数空间）中的向量的操作。这个函数空间的维度是无穷多。由此可以看出，数学上的所谓“空间”，和物理上的“空间”是风马牛不相及的概念。数学空间的维度可以高达无穷，但是物理上的空间维度必须是三，也就是说，决定一个质点某一时刻的位置有且只有三个自由度。这是数学空间和物理空间的本质区别。在许多物理问题中，我们有时将物理空间坐标和其他的自变量放在一起处理，从数学上似乎看不到这些变量之间的不同，但是这种数学操作绝对不能将物理空间的概念和数学空间的概念混为一谈。这是朋友们必须时刻牢记的。
五）为什么需要正交归一性？
不是所有的函数展开都是正交归一的。比如说，泰劳级数（马克劳林级数为特例）展开的基函数就不是正交的。非正交展开类似于用一个倾斜坐标系来决定质点的空间位置或空间向量。在倾斜坐标系里面，质点的位置和向量当然也是唯一决定的，自由度也没有变。只是用起来不太方便。所以如果可能，我们尽量用正交归一的空间。除了笛卡儿坐标系以外，球坐标系和柱坐标系也都是正交坐标系，并很容易归一化。所以，曲线坐标系也可以是正交归一的，而直线坐标系也可以是非正交的。
同样道理，函数空间也尽量用正交归一的。除了三角函数展开以外，勒让德函数（球谐函数）和贝塞尔函数（柱谐函数）展开也是常用的正交归一的函数空间系统。正交归一的函数空间用起来非常方便。在正交归一的空间中，向量的分量就是该向量与各基矢量的内积，非常简单。
六）离散维度与连续维度
上面所讨论的函数空间中，不同的维度之间没有关联，是离散的维度。比如傅立叶展开，不同谐波代表不同的维度，相互之间是不连续的。相邻谐波之间的频率之差就是基频。函数的周期越长，基频就越小，相邻谐波就越接近。一个非周期性的函数可以看成是周期无穷大的周期性函数。如果我们将傅立叶级数展开中的周期趋于无穷大，则各谐波之间的距离就趋于零，也就是说，各个基函数就越来越靠近了，而傅立叶级数展开就演变成傅立叶积分，或者说傅立叶变换。所以，傅立叶变换也可以看成是无穷连续维度函数空间中的向量展开。在这种连续维度的函数空间中，基函数不是离散的而是连续的。
七）函数空间在量子力学中的应用
函数空间的方法也用在量子力学中。一个粒子的状态波函数可以展开为一系列基函数的线性组合。基函数叫作“本征态”。所以一个粒子的波函数又可以看成为一个函数空间的向量。但是这种函数空间和物理的三维物理空间完全是两码事。我们以氢原子中的电子的波函数为例说明这种关系。
氢原子中电子的波函数是有心力场中薛定谔方程的静态解。这是一个三维空间中的二阶偏微分方程。数学求解方法是标准的分离变量法。因为势场是球对称的有心力场，最方便的空间坐标系当然是球坐标系。我们自然将波函数分解成一个径向函数，一个极角函数和一个方位角函数的乘积。方位角方向的解是正弦函数，对应的量子数是磁量子数m；极角方向的解是勒让德多项式，对应的量子数是角量子数l；径向函数是拉格日(Lagierre)多项式乘以半径的负指数函数再除以半径，对应的量子数是主量子数n。每一组量子数（n,l,m）对应于一个本征量子态。处于某一量子态的电子的能量由n决定，所以n才叫做主量子数。n为正整数；l可以取从零到n-1的整数；m可以取从-l到l的任何整数。因此，每一个主量子数对应的量子状态数为n的平方，其能量相同，都取决于主量子数n。
从氢原子的例子我们清楚地看到，在经典量子力学里面，物理空间和数学空间也是绝然不同的。物理空间是三维的，而数学空间（以不同的本征态为基矢量的函数空间）是无穷维的。如果数学空间和物理空间没有区别，那在经典的薛定谔理论中就已经用到了无穷维空间了，人们干吗要对弦论中的十维十一维空间大惊小怪？因为弦论中的十维十一维空间宣称是物理空间，这就使人们不得不大为惊异。弦论学者们宣称四维时空以外的六维空间为“内部维度”或者“额外维度”。

高维空间与内部维度

王令隽    2014年 6月10日

超弦理论中的空间维度高达十维。这种十维空间的理论至少有五种不同的版本。这显然违背了真理的唯一性。于是有人认为这五种超弦理论可能是十一维空间中的子空间中的等效理论。当然，也只是“认为”而已，“可能”而已。只是一种猜测。
十维也罢，十一维也罢，都匪夷所思。没有一个认真的科学家会相信我们所处的世界是十维的。对此，霍金在《果壳中的宇宙》一书中给出了一个似乎“深入浅出”的说明。他把我们现实的三维空间比成一个橘子，把现实空间以外的高维空间比作橘子皮上的小小凹孔。这些高维空间又称为“内部维度”。霍金说，因为这些内部维度卷缩在尺寸很小很小的空间，所以我们观察不到。
这是一个中学生都能明白的忽悠。描述橘子皮上的小凹孔和橘子本身的形状和大小用的都是同一个三维空间。哪怕再小的分子原子核子和再大的宇宙空间，都是用同一个三维空间来量度的。事实上，橘子皮的小凹孔的直径约0.1毫米或更大，橘子的直径约几个厘米。相差不到一千倍。如果我们将橘子放大到地球一般大，那表皮上的小凹孔的直径就将有十几公里，比杭州的水乐洞和庐山的仙人洞要大得多。我们描述水乐洞仙人洞的形状大小和描述地球所用的空间不是同一个现实世界中的三维空间吗？
霍金的忽悠既然不可信，那理论物理中的所谓“高维空间”“内部维度”到底是什么东西呢？为了把这高维空间的天堂概念拖下凡间，让我先举一个工程技术中的例子。这里面没有任何玄学的东西，所以比较好理解。
一）数学空间与物理空间的差别
我在武汉钢铁公司电子技术处工作过一段时间。当时武钢从德国和日本进口了两套轧钢机。我因为粗通日文，所以参与了从日本进口的热轧机的数学模型的解译工作，即从源程序中破译出它的数学模型，为仿造作准备。轧钢机的任务就是将大块的钢锭加热软化，然后经过几道轧机轧成薄板，用于舰船或者变压器铁芯的制造。成品的宽度和厚度都需要符合规定的指标和容许的误差。整个轧机的运行和参数设定，包括钢胚的初始温度，传送速度，各轧机的厚度设定，冷却水的温度和喷射速度等等，全部由电脑控制，自动化操作。这里最关键的是最后一道轧机的厚度设定，这是质量保证中最为关键的参数。
乍一听来，这似乎是非常简单的事情。如果你需要一毫米的钢板，我把最后一道轧机的厚度设定为一毫米不就行了吗？没有那么简单。因为钢材是有弹性的。如果你将最后一道轧机的厚度设定为一毫米，经过轧机以后，他又会弹回到厚一点的厚度，道理和擀面皮或者饺子皮一样。还有，热钢胚虽然有可塑性，但是硬度还是相当大，经过轧钢机时，对滚轮有反作用，因此会将滚轮往外挤推，这是造成成品钢板厚度过大的又一个因素。所以，最后轧机的厚度设定要比要求的厚度小一点，才能保证出机后的厚度达到标准。即是说，矫枉必须过正。
那矫枉过正到什么程度？最后一道轧机的设定到底如何定？这要根据日本公司多年研究出来的数学模型来决定。实际上，矫正量是一个多变量函数，其自变量包括初始钢胚的厚度，宽度，板材的出厂厚度，宽度，钢材的型号（包括进口厂家），钢胚出炉温度，传送速度，第一轧机的厚度设定，第二轧机的厚度设定，轧机间的温度，冷却水的流量，等等等等（我记不全了）。这十几个变量就是十几个自由度，或者说，他们组成一个十几维的空间。最终轧机的设定就是一个十几维空间中的某一点。当然，这样的空间只是数学空间，和物理空间是完全两码事。数学空间可以有任意的维度。物理空间只有三个自由度。时间只有一个自由度，而且是单向的。这就是数学空间和物理空间的本质差别。不过，对 多元函数的数学分析方法和对三维空间中的函数的数学分析完全一样，而且物理空间可以和其他物理量（温度，化学成分等等）一样成为自变量的组成部分，这也许是有些人分不清物理空间和数学空间的原因之一。
二）连续变量和离散变量
物理空间和时间都是连续变量，可是数学空间却可以是不连续的，或者说是离散的。即是说，这一维自变量可以取的数值是不连续的，跳跃的。比如说，不同产地来的钢胚，就会影响到终端轧机的厚度设定。这需要操作人员直接输入一个相应于钢胚品种的数字。因为品种数目不太多，所以既可以用数字，也可以用字母代表不同的品种，电脑会自动到内存的相应地方寻找相应于这种钢胚的一组参数，代入数学模型进行运算。
在中国古典星相学中，离散空间用的很多。天干和地支就是两个离散的维度。天干维度只能取十个不同的数值：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，其实也可以用一二三四五六七八九十。地支纬度可以取十二个不同的离散值 ：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，当然也可以用数字。在量子力学中，量子数都是离散的。这些离散变量的数值既可以是无穷多个，也可以是有限的个数。比如说，氢原子中的电子的主量子数n和角量子数l理论上都可以是无穷大的整数。也有只能取有限个数值的离散维度。比如电子的自旋的第三分量就只能是正负1/2。夸克的颜色维度只能取三个数值，或三种颜色。这是有限离散空间维度的例子。
三）空间与向量
三维空间中任何一点的位置由三个坐标数值唯一决定。如果从原点画一个矢量使其箭头终于这个点，这个矢量（或曰向量）沿各坐标轴的分量就是这个点的坐标数值，所以这个点也可以用此向量表示。因此，三维空间中的任何一个点又可以看成是一个向量。沿着笛卡儿坐标轴的三个单位矢量又叫“基矢量”。任何一个向量都可以看成是基矢量的线性组合。所以，一个矢量通常表示为A = xi + yj + zk 。此处i ，j 和k分别为x，y 和 z方向的基矢量。
对空间矢量可以定义加减和乘法运算。矢量的加减很容易，就是将各分量分别加减。矢量的乘积有两种：内积（又叫点积）和矢积 （又叫叉积）。此文不讨论叉积，只讨论比较有普遍意义的内积。三维空间矢量的内积定义为一个标量，其数值等于各分量乘积的代数和。所以内积也叫标积。
笛卡儿坐标系里的基矢量有两个基本的特性：1）它们相互之间的内积等于零，这叫正交性；2）基矢量与自身的乘积等于一，这叫归一性。笛卡儿坐标系里的向量关系被广泛应用到函数空间。
四）函数空间与无穷维度
空间中的向量展开成基矢量的线性组合的概念可以应用到函数的级数展开。我们以周期性函数的傅立叶展开为例说明这一概念的应用。我们知道，任何一个周期性函数都可以展开成正弦函数和余弦函数的无穷级数，也就是sin(nx) 和 cos(nx) 的线性组合。此处n 可以取从0 到无穷大的任何整数。每一个整数n代表n次谐波。所以傅立叶展开又叫谐波分析。这无穷多个sin(nx) 和 cos(nx) 函数称为基函数。不同的周期性函数的差别表现为线性组合系数的差别。这已经有向量展开的味道了。为了使函数成为“向量”，我们还必须做两件事。第一，我们必须定义向量的内积；第二，我们必须解决正交归一性。
两个基函数的内积定义为他们的乘积在一个周期里的定积分数值。这样定义的内积达到了几个效果：1）不同的基函数的内积等于零，也就是说这些基函数是“正交”的。2）每一个基函数和自身的内积等于常数。这一常数可以被吸收到基函数之中，使基函数本身的内积等于一，满足“归一”性。满足正交和归一两个特性的基函数叫做具有“正交归一性”。3）任何一个函数在某一个基函数方向的投影等于此函数与该基函数的内积。因此某一个周期函数展开为傅立叶级数的操作可以看成是这个函数在各个基函数“方向”的投影。因此，这个周期函数就可以看成为一个“向量”，而各个基函数就是各个方向的“基矢量”。
至此，我们已经完成了将一个函数演绎成一个无穷维的函数空间（又称之为希尔伯特函数空间）中的向量的操作。这个函数空间的维度是无穷多。由此可以看出，数学上的所谓“空间”，和物理上的“空间”是风马牛不相及的概念。数学空间的维度可以高达无穷，但是物理上的空间维度必须是三，也就是说，决定一个质点某一时刻的位置有且只有三个自由度。这是数学空间和物理空间的本质区别。在许多物理问题中，我们有时将物理空间坐标和其他的自变量放在一起处理，从数学上似乎看不到这些变量之间的不同，但是这种数学操作绝对不能将物理空间的概念和数学空间的概念混为一谈。这是朋友们必须时刻牢记的。
五）为什么需要正交归一性？
不是所有的函数展开都是正交归一的。比如说，泰劳级数（马克劳林级数为特例）展开的基函数就不是正交的。非正交展开类似于用一个倾斜坐标系来决定质点的空间位置或空间向量。在倾斜坐标系里面，质点的位置和向量当然也是唯一决定的，自由度也没有变。只是用起来不太方便。所以如果可能，我们尽量用正交归一的空间。除了笛卡儿坐标系以外，球坐标系和柱坐标系也都是正交坐标系，并很容易归一化。所以，曲线坐标系也可以是正交归一的，而直线坐标系也可以是非正交的。
同样道理，函数空间也尽量用正交归一的。除了三角函数展开以外，勒让德函数（球谐函数）和贝塞尔函数（柱谐函数）展开也是常用的正交归一的函数空间系统。正交归一的函数空间用起来非常方便。在正交归一的空间中，向量的分量就是该向量与各基矢量的内积，非常简单。
六）离散维度与连续维度
上面所讨论的函数空间中，不同的维度之间没有关联，是离散的维度。比如傅立叶展开，不同谐波代表不同的维度，相互之间是不连续的。相邻谐波之间的频率之差就是基频。函数的周期越长，基频就越小，相邻谐波就越接近。一个非周期性的函数可以看成是周期无穷大的周期性函数。如果我们将傅立叶级数展开中的周期趋于无穷大，则各谐波之间的距离就趋于零，也就是说，各个基函数就越来越靠近了，而傅立叶级数展开就演变成傅立叶积分，或者说傅立叶变换。所以，傅立叶变换也可以看成是无穷连续维度函数空间中的向量展开。在这种连续维度的函数空间中，基函数不是离散的而是连续的。
七）函数空间在量子力学中的应用
函数空间的方法也用在量子力学中。一个粒子的状态波函数可以展开为一系列基函数的线性组合。基函数叫作“本征态”。所以一个粒子的波函数又可以看成为一个函数空间的向量。但是这种函数空间和物理的三维物理空间完全是两码事。我们以氢原子中的电子的波函数为例说明这种关系。
氢原子中电子的波函数是有心力场中薛定谔方程的静态解。这是一个三维空间中的二阶偏微分方程。数学求解方法是标准的分离变量法。因为势场是球对称的有心力场，最方便的空间坐标系当然是球坐标系。我们自然将波函数分解成一个径向函数，一个极角函数和一个方位角函数的乘积。方位角方向的解是正弦函数，对应的量子数是磁量子数m；极角方向的解是勒让德多项式，对应的量子数是角量子数l；径向函数是拉格日(Lagierre)多项式乘以半径的负指数函数再除以半径，对应的量子数是主量子数n。每一组量子数（n,l,m）对应于一个本征量子态。处于某一量子态的电子的能量由n决定，所以n才叫做主量子数。n为正整数；l可以取从零到n-1的整数；m可以取从-l到l的任何整数。因此，每一个主量子数对应的量子状态数为n的平方，其能量相同，都取决于主量子数n。
从氢原子的例子我们清楚地看到，在经典量子力学里面，物理空间和数学空间也是绝然不同的。物理空间是三维的，而数学空间（以不同的本征态为基矢量的函数空间）是无穷维的。如果数学空间和物理空间没有区别，那在经典的薛定谔理论中就已经用到了无穷维空间了，人们干吗要对弦论中的十维十一维空间大惊小怪？因为弦论中的十维十一维空间宣称是物理空间，这就使人们不得不大为惊异。弦论学者们宣称四维时空以外的六维空间为“内部维度”或者“额外维度”。
八）“内部维度”或者“额外维度”
我们还以氢原子为例，说说什么是“内部维度”或“额外维度”。
尽管爱因斯坦不接受量子力学，但是量子力学终究被物理学界接受，其原因就是薛定谔的理论似乎给出了元素周期律的完美解释。化学实验得到的元素周期律告诉我们，每一个周期的元素个数等于周期数的平方的两倍。从上面的分析我们看到，每一个主量子数对应的量子状态数为n的平方，其能量相同，都取决于主量子数n。这自然使人们产生联想：主量子数会不会就是元素的周期数呢？电子的“量子态”的数目会不会就是核外电子可能存在的状态或者轨道的数目呢？可是这里有一点问题：每一周期的元素个数等于周期数的平方的两倍，而每一个主量子数对应的量子状态数则仅仅为n的平方，这里有一个两倍的差别。如果能够解决这个两倍的差别就好了。办法好像有：如果假定电子的自旋为二分之一，电子的可能自旋状态就只有两个：自旋向上或者向下。如果我们将自旋s也作为决定量子状态的一个量子数，那电子的状态就由四个量子数（n,l,m,s）决定。同一个主量子数n所对应的量子状态数就正好是n平方的两倍，和每一周期中元素的个数正好相等。然后再加上一个假定：泡利不相容原理—每一个量子状态只能容许一个电子，那么，元素周期率就似乎得到了某种“深层次”的理论解释。
关于电子的自旋，教科书上往往以斯忒恩-盖拉赫实验说明来由。实际上这是误导造成的误解。将斯忒恩-盖拉赫实验结果牵强附会地解释为电子的自旋经不起认真推敲。比如说，所谓自旋“向上”与“向下”必须有参考方向。这个参考方向是什么？你可以说外磁场是参考方向。可是在原子里面是没有外磁场的，那不同轨道上自旋的“向上”和“向下”是根据什么方向而定呢？其次，一个磁子在磁场中不但会受到平动力，还会受到使其转动的力矩。但是在对斯忒恩-盖拉赫实验结果的理论解释中并没有考虑转动。还有，磁子所受的力等于势能的负梯度，而势能等于磁矩与外磁场的点积。但是点积不但取决于磁矩和外磁场的大小，也取决于这两个矢量的夹角。可是在对斯忒恩-盖拉赫实验结果的理论解释中并没有考虑夹角的变化造成的势能变化。
如果说，带电粒子的自旋还可以用斯忒恩-盖拉赫实验来牵强附会地解释，那么其他粒子的自旋就连这种牵强附会都没有。基本粒子理论要求光子的自旋等于一，相对于光子的自旋应该有三种量子态。有什么实验方法能够将一束光子的三种状态展示出来吗？没有。光子的生产太容易了，一个手电筒就可以产生一束光子。朋友们不妨使出浑身解数和七十二般变化，看看能不能够设计出一个类似于斯忒恩-盖拉赫实验的东西来演示光子的自旋。质言之，粒子的自旋根本就不是经典概念，而是一个纯量子力学概念，没有办法用经典实验测量的。自旋的真正定义是泡利矩阵的对易关系。之所以要引进自旋的概念，完全是为了凑出两倍的量子数以和每周期中的元素个数相对应。这样一来，一个量子态就必须由四个量子数（n,l,m,s）来描述了。前面三个量子数对应于三维物理空间中的三个坐标：半径，极角和方位角；自旋量子数不对应于任何空间坐标，所以称为“内部维度”。自旋空间也可以称为“内部空间”。这种“内部维度”和“内部空间”的概念在量子场论标准模型中还会不断出现。比如核同位旋空间，比如弱同位旋空间，比如夸克的颜色和味道等等，都是“内部维度” 或曰“内部空间”。这种“内部空间”是没有经典对应的，也是无法用实验直接测量的，其数值只能由理论模型中的选择定则规定。
在此我们看到了，“内部维度”或“内部空间”是一种新的“维度”或“空间”，它既不是三维的物理空间，也不是函数展开中的无穷维的数学空间（如上述对应于n,l,m的拉格日多项式，勒让得多项式和正弦函数），而是一种为了对某种状态（量子态或化学元素）进行分类而假定的抽象空间。也就是说，为了对化学元素的电子轨道或者说量子状态进行分类识别，必须要有四维的量子空间。其中自旋s是和其他三个对应于三维物理空间本质上不同的“内部维度”。
九）星相学中的“内部维度”
说到分类学中的抽象空间，有必要谈谈分类识别在认识论中的作用。将世间的万事万物分类，是人类认识世界，将知识进行组织归纳的最初和最基本的手段之一。有些婴儿见了男人就叫爸爸。他把人分成了最基本的两类：爸爸和非爸爸。长大以后，他的分类越来越复杂了。爸爸妈妈是一类，还有叔叔阿姨，好人坏人，科学家和诗人，军人和老百姓，中国人和外国人，共和党和民主党。分类过程的逐渐复杂化反映了这个婴儿知识的逐渐成长。
我很晚才真正认识到图书分类学的重要性。它基本上对应于科学知识的分类。科学的发展，得益于对客观事物的合理分类。比如古代星象学家们将星星分为行星和恒星，并对行星进行集中的观察，积累了大量有关行星运动的观测数据，导致开普勒发现行星运动三定律，因而为牛顿发现万有引力定律铺平了道路。又比如炼丹术士和古代化学家们将各种化学元素分为碱金属，碱土金属，卤族，惰性气体等等不同的族。这种分类对于元素周期律的发现无疑是必不可少的。所以，在科学发展史上，星象学家和炼丹术士们在观测天文学和实验化学的数据积累方面的历史功绩是不容抹杀的。他们的问题在于对于实验结果的过度解读，在于不科学的哲学和方法论，因此得出荒唐的理论。
世界上的万事万物错综复杂，千变万化。人们自然就想将世界上的一切存在归结为由少数几种元素所组成的复杂体。这是一种古今中外的人类的自然想法和共同愿望。这种愿望的现代版就是基本粒子理论。古巴比伦和希腊星相学家们认为世界上的一切都是由火，气，水，土四大元素组成。用现代物理学来解读，古巴比伦和希腊星相学中的四种元素相当于物质存在的四种状态：等离子体，气体，液体和固体。中国的古代星相学家们认为世界上的一切都是由金，木，水，火，土五大元素组成。中国的五行学说里面没有“气”这一元素，但是可以粗略地认为它是属于“火”的范畴。中国古典太极阴阳学中的“元气”和西方星相学中的“气”不是一个概念。西方星相学里面没有“金”和“木”这两个元素，但是可以粗略地认为它是属于“土”的范畴。东西方星相学对物质的分类思想不太一样，但是相通的。以现代科学知识来衡量古代星相学，当然会觉得它太不科学。但是在古代有限的科学知识条件下，能够将世界上的万事万物进行大致的分类归纳，对于指导人们的农牧业生产和手工业制造，以及医药卫生等等方面的实践，应该是起到了重要的作用的。
如果古代星相学仅仅将阴阳五行学说应用于对物质的分类和农工医药，那就不至于演变成荒唐的玄学。可是古代星相学家们也和现代的一些理论物理学家们一样，有一种万能的最终理论情节。他们认为阴阳五行理论不仅适用于对物质世界中客观事物的分类和分析，也适用于非物质世界中各种现象的解释和预测。所以他们把阴阳五行理论用到了占卜学。他们认为宇宙空间星体的运动直接联系于地球上的物体运动和人生祸福。这是中国古典的马赫原理。不过我想在此文中不打算讨论马赫原理的星相学性质，而将讨论范围局限在与高维空间和“内部维度”有关的问题：命相学。
人的命运是一个不解析的奇异函数。许多人时运不齐，命途多舛。冯唐易老，李广难封。有的人又蒙命运女神的特别关照，腾达于穷困潦倒。舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。可见一个人的命运是很难根据我们已经掌握的科学知识进行预测的。这比预测明年今日此时的天气和预测明天此时的股票市场行情要难许多数量级。一个人的未来取决于太多的因素，除了个人素质，还有家庭背景，经济状况，社会条件，国家形势，世界大局，及许许多多的偶然因素。但是，在有限的特定的情况下，对个人或者国家的未来进行粗略的预计还是有可能的。隆中对就是一个非常成功的例子。福尔摩斯和许多从事情报公安工作的资深警官对人的观察往往也有入木三分的眼力。至于音乐舞蹈学院的教师在挑选新学员的时候对学员发展前景的判断，也有相当的准确性。有些聪明的算命先生也有福尔摩斯的功力，根据你的打扮气质，一眼就能对你的过去现在甚至未来估摸出个八九不离十。这种算命先生可以称为“半仙”。
政治家军事家对政局和战事的预测，福尔摩斯和算命半仙们对人类众生的预测，根据的都是一些客观的事实或者现象，以及经验检验过的客观现象之间的相互关联和演变规律。这些客观的观察和客观规律是命相书籍中没有的，只可意会，不可言传。在阴阳五行的占卜学典籍中，恰恰要避免那些客观的“世俗”的东西，而只能谈抽象的玄学的概念：人的命运不是决定于个人素质，家庭背景，经济状况，社会条件，国家形势，世界大局等等因素，而是决定于他的星座属相年庚八字天干地支等抽象参数。其运作规律也不是政治经济和人生阅历中积累的社会经验和人际关系，而是阴阳八卦的演绎。
既然人的命运众生相非常复杂，首先必须将人的命运分类。分多少类呢？太少了不行。比如说，按照阴阳五行将人的命运分成两类，或五类，或十类，或者按照属相分成十二类，都太少。如果你拉着二胡走到一个村庄，往晒谷场上一坐，男女老少围上来几十号人，请您算命。您的布袋里或者脑袋里只有十二种不同的命运选择，根据数学上的重叠原理，同一个村里就会有几个人的命是相同的，而这是谁都不会相信的。您的阴阳八卦马上就会露馅。所以，不管您遵照的是那一家的卦学，您必须具有足够的命运选项，以避免同一村或者同一个胡同弄堂里的人落入同一个命相。有两个办法：1。以天干和地支结合纪年。从甲子到癸亥年一共有60个不同的数值；2。增加维度，即不但要看年庚，还要看月份，日子和时辰。年月日时都以干支记录，所以又叫八字。也就是说，年月日时构成了一个四维抽象空间中的四个基矢量。任何人的命运都是这四维抽象空间中的一个矢量—您的命运矢量。您的年庚八字标示着您的命运矢量在不同维度中的坐标。每一个坐标可以取从甲子到癸亥的60个不同的离散值。所以，总共可以有259200种不同的命相可供选择，绝对不会出现同一个村子里的人命运相同的结果。有的算命先生还引入另一维坐标：阴阳或者性别。即使其他四维空间的坐标完全相同，男命和女命还不一样。这样，人的命运函数就由五维（年，月，日，时，性）空间中的坐标决定。命运函数之不解析性表现在：相邻的坐标点上的命运可以有天壤之别，一阶导数趋于无穷大。母亲分娩时使多少力气，催生婆或者护士接生时候的责任心和技术，都可能影响到婴儿出生的时刻和年庚八字，使一个本来可以出将入相的伟人成为市井布衣，或者使一个乞丐无赖成为真龙天子。当然，这也许不能归功于或者归罪于母亲和产婆，她们只不过是在冥冥中执行着命运女神或者阎王老子生死薄上的指令而已。
十）20世纪理论物理学中的“内部维度”
由上面的讨论的命相学或者图书分类学可以明白，您所要分类的对象数目越多，所需要的内部维度就越多。20世纪的理论物理对于基本粒子的分类也碰到了同样的问题。因为“基本粒子”（大多数其实只是共振态）多达数百个，可能的碰撞反应渠道或者费曼图不胜枚举，当然就需要很多维度对这些“基本粒子”和他们之间的反应进行分类。这就是高维空间和内部维度的本质。前面谈到的粒子的自旋，就是最早引入的内部维度之一。自旋的概念借用到核物理，产生了所谓“核同位旋”和同位旋空间旋转的概念。根据这一概念，质子和中子被认为是同位旋空间中的两个不同状态，或者说同一个旋量在同位旋空间中的不同位置。至于如何旋转，在什么条件下会产生这种旋转，旋转过程多快，是连续旋转还是跳跃，有没有中间状态等等问题，就不要认真追究了，因为，这是“量子”概念，是微观世界的概念，不可以经典逻辑来追究的。一句话，同位旋空间是一种量子空间，“内部维度”。核同位旋的概念被进一步推广至弱电统一标准模型之中，叫做“弱同位旋”，同样也是一个内部维度。
一旦从经典的物理空间中解放出来，自由度就大了。人们再也不必顾及空间维度的物理意义了。在对“基本粒子”们分类的时候，如果需要，只管添加维度，或者说引进新的量子数就是了。比如K介子和一些超子的衰变速度比理论预期的慢得多，这非常奇异。于是盖尔曼和西岛便引入一个新的量子数，叫做奇异数。奇异数的引进被认为是基本粒子理论发展过程中的一个革命性的事件。在夸克模型里面，奇异数是夸克的六种味道之一。夸克有两个特性：颜色和味道。也可以说夸克可以用两个内部维度—颜色和味道—的抽象空间来描述。如果把粒子和反粒子也当成另一个维度，那就有三个内部维度。颜色坐标可以取三个值 ：红，绿，蓝；味道坐标可以取六个值：上，下，奇，魅，顶，底，分成三个家族。夸克的颜色和味道都是为了对各种夸克进行分类而引进的抽象空间中的内部维度，一如用天干地支等玄学维度对事物进行分类一样，在思维和认识论上同出一辙，和经典的物理空间维度毫无关系。
最后，似乎应该谈谈超弦理论中的高维空间。虽然按照诺贝尔物理奖得主维尔特曼（Martinus Veltman）的意见，超对称和超弦理论不应该被当作物理理论来讨论，因为这些理论“甚至连被称为错误都不够资格”。但是，这些理论被其推动者们标榜为“前沿科学”，“90%的成 人，包括大学生、教授、院士看不懂”，对于圈外人有“不明觉励”的震慑效果。似乎又应该说一说他们的所谓“高维空间”，“卷缩空间”，“额外维度”，“内部维度”到底是什么东西。定性地说，很简单，就是为了对各种基本粒子和不同的相互作用进行分类的抽象的玄学空间维度。玄学空间和物理空间的差别就在于，玄学空间的维度是没有物理意义的，不可能以独立实验展示测量的，但是却可以推演出物理世界的现象并推测未来。天干地支年庚八字的属相是没有办法用独立实验展示的，但是命相理论却可以据此推演时间的万事万物，预测未来的个人命运和国家前途。这些命相语预言是可以用现实来检验其真伪的。同样地，弦论的高维空间和额外维度也是没有办法用独立实验展示的。现代弦论和古典命相学的差别在于，弦论没有办法作出任何物理预言让实验来检验其真伪。现代的外国弦论和古典的中国玄学的差别还有数学工具的不同。八卦理论用的是二进制代数，超弦理论用的是群论和群表示理论。至于具体地说，超弦理论中的高维空间和额外纬度到底具有什么物理意义，我也说不出来，也没有人说得出来。公平地说，这件事情应该由弦论家们自己来做。超弦理论家们应该说清楚，他们的“额外维度”的物理意义到底是什么。说出来了，我们才可以评论，就像本文开始，有了霍金对“额外维度”的解释，我们才能够评论。如果你们自己都说不出你们的高维空间和额外维度的物理意义，又不能给出任何可供实验检验的物理量，那这种所谓的“前沿科学”就真的“连称为错误都不够资格