其中，γ是一个依赖于速度的参量
γ =
1 q1−v2/c2. (1.24) 变换(1.22)与(1.23)被称为纯洛仑兹变换 或洛仑兹推进。参数γ 具有这样的效应： 在以不同速度运动的参考系内，时间的流逝是不同的。这对于保持光速在所有参 考系中均相等时十分必要的
5.1 电磁场的矢势和标势(2)_百度文库
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5-1 电磁场的矢势与标势_百度文库
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电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如：无线电波是由发射天线 ...
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《电动力学课件》---第五章电磁波的辐射- 大学课件- 教学课件 ...
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第五章电磁波的辐射
电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如：无线电波是由 发射天线上的高频交变电流辐射出来的。本章研究高频交 变电流辐射电磁波的规律。 严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用 的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天线 电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也 是一个边值问题。 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用 天线表面上的边界条件，同时确定空间中的电磁波的形式 和天线上的电流分布。 这种问题的求解一般比较复杂。我们仅局限于讨论给定天 线上电流分布,计算辐射电磁波。
1
§5.1 电磁场的矢势和标势
对于恒定场：
?? E ? 0
E ? ???
?? B ? 0
B ? ?? A
当电场和磁场随时间变化时，电场和磁场都不是保 守场。从概念上，描述电磁场的矢势和标势与以前
讲过的矢势、标势是不同的概念；从物理意义上，
描述电磁场的标势也失去了“电势能”的含义，因 而在高频电路中“电压”这一概念也失去意义。
2
一、 用势描述电磁场
考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为
?? Ε ? ?
?? Η ?
?Β
?t ?D
?t
?J
?? D ? ?
?? B ? 0
其中
D ? ε0 Ε,
Β ? μ0 H
3
1. 电磁场的矢势： 因为 ? ? B ? 0，所以，可以引入矢势A，使
Β ? ?? Α
(1)
从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静 磁场的矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势 是随时间变化的。
A的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭合回 路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量。
4
2. 电磁场的标势：
由于 ? ? E ? 0 ，所以，不可能用一个单独的 标势来描述E。 虽然 ? ? E ? 0 ，但由 ? ? Ε ? ? ?Β 可得：
? ? Ε ? ?? ? ?A ?t
?t
所以 ? ? Ε ? ? ? 该式表示 Ε ?
?A ?t
?A ?t
? ? ? (Ε ?
?A ?t
)?0
是无旋场，可以引入标势?
5
定义 Ε ?
?Α ?t
? ??? ，因此，一般情况下电场的
表示式为： Ε ? ??? ? ?Α ?t
(2)
实际上，在变化情况下电场与磁场发生直接联系，
则电场的表示式必然包含矢势A在内。 (1)、(2)两
式把电磁场用矢势和标势表示出来。但应注意：
(1) 变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势
能的概念，标势 ? 失去作为电场中的势能的 意义。
6
(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的 整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述 电磁场。因此我们说，描述电磁场的势有4个 分量。
思考：
当A与时间无关，即?A/?t=0时，电磁场的特点？
当A与时间无关，即?A/?t=0时， E ? ???
这时? 就直接归结为电势。
7
二、 规范变换和规范不变性 1. 规范变换： 用矢势A和标势?描述电磁场不是唯一的，即给
定的E和B并不对应于唯一的A和?。 设矢势A和标势?是描述电磁场的一组势，?为
任意时空函数，做变换
A ? A? ? A ? ??
? ? ?'? ? ?
?? ?t
8
有
? ? Α? ? ? ? Α ? Β ?Α? ?Α ? ?? ? ? ? ??? ? ?Ε ?t ?t
即(A’, ?’)和(A, ?)描述同一电磁场，同时也说明
描述电磁场的(A, ?)不唯一。势的变换：
A ? A? ? A ? ?? ?? ?t
? ? ?'? ? ?
称为规范变换，每一组势称为一种规范。各种规
范描述同一电磁场E和B，因此如果用势来描述电 磁场，客观规律跟势的特殊规范选择无关。
9
2. 规范不变性： 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都
保持不变，这就是规范不变性。
在经典电动力学中，势A和 ? 的引入是作为描述电 磁场的一种方法，规范不变性是对这种描述方法所
加的要求。
在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本 原理引入的，规范不变性是一条重要的物理原 理。
10
3. 两种重要规范：
从数学上来说，之所以存在规范变换自由度，是由于在 势的定义式中，只给出了A的旋度，而没有给出A的散度。 所以，欲得到具体的势，必须给定A的散度，即规范条 件。
电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。因此，作为
确定势的辅助条件，我们可以取??A为任意的值。 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑，在不同问 题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两 种规范条件。
11
(1) 库仑规范 规范条件为 ? ? A ? 0
在库仑规范下，A是无散场，由A描述的B也
是无散场。而一般情况下，E既是有散场， 也是有旋场。在库仑规范下，
E ? ??? ?
?A ?t
无旋场（纵场）
无散场（横场）
12
E ? ??? ?
?A ?t
? ? E ? ?? ?
2
?A ?t
? ? E ? ?? ?
结论：
? 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由?描述，
横场部分完全由 A 描述。
? 在库仑规范下，?所满足的方程
? ? ? ?? / ?
2
与静电场方程完全相同，所以，在库仑规范下?
对应库仑场。（这正是库仑规范的由来）
? 除库仑场以外的场为感应场，由A描述。
13
(2) 洛伦兹规范
c ?t 这种规范也有明显的物理意义，而且在处理 波动问题时，势的基本方程化为特别简单的 对称形式。
2
规范条件为 ? ? Α ?
1 ??
?0
这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中 是特别方便的。
14
三、 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. A和?所满足的微分方程
Β ? ?? Α
?? Η ? ?D ?t ?J
2
Ε ? ??? ?
?Α ?t
? A?
2
1 ? A c
2
?? D ? ?
?t
2
2
? ? (? ? A ?
1 ?? c
2
?t
) ? ? ?0 J
?0 这就是矢势和标势所满足的微分方程组。
?t
15
? ??
?
?? A ? ?
?
若采用库仑规范
? Α?
2
1 ? Α
2
c
2
2
?t
2
?
1 ? c ?t
2
?? ? ? μ0 J
? ???
? ?0
?? Α ? 0
这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情 形相同，其解是库仑势。解出 ? 后代入第一式可 解出A，因而可以确定辐射电磁场。
16
2. 达朗贝尔(d’Alembert)方程 当采用洛伦兹规范时，所对应的势的方程称为达 朗贝尔方程。
? A?
2
1 ? A
2
? ??
2
c ?t 2 1 ? ?
2 2
? ? ?0 J
c
2
?t
2
??
? ?0
?? Α?
1 ?? c
2
这说明，在洛伦兹规范下，J是A的源，? 是
?t
?0
?
17
的源，A和 ? 均为有源情况下的波动。
离开电荷电流分布区域以后，矢势和标势都 以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁
场E和B也以波动形式在空间中传播。
注意：两种规范，方程不同，所得的矢势和标
势当然不同，但由它们所求得的E和B是完全
相同的，即E和B的波动性质是和规范无关的。
作业：2
18
例：讨论单色平面电磁波的势。 单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：
? ??
2
1 ? ?
2
c ? A?
2
2
?t
2
?0 ?0
1 ? A
2
c
2
?t
2
其平面波解为：
A ? A0 e
i ( k ? x ??t )
? ? ?0e
i ( k ? x ??t )
但这只是方程的通解，对A和?加上洛伦兹条件才得到实际 电磁波的可能解。
19
由Lorentz规范条件
ik ? A ? 1 c
2
?? A?
1 ?? c
2
?t
?0
得
c
2
? 由此可见，只要给定了A，就可以确定单色平面电磁波。
B ? ? ? A ? ik ? A 2 ?A c E ? ??? ? ? ?ik? ? i?A ? ?ik ( k ? A) ? i?A ?t ? 2 2 c c 2 ? ?i [k (k ? A) ? k A] ? ?i k ? (k ? A) ? ?
?? c
2
(? i?? ) ? 0
??
k?A
?
k ? B ? cB ? n
此处n为传播方向单位矢量。
20
结论：
① 对平面电磁波(ρ=0,J=0)，由A可以完全确定，原因是ρ=0 电磁场没有纵场分量。 ② 电磁场不仅可以由A完全确定，而且只依赖于A的横向分量。 原因：B ? ik ? A， ? cB ? n，对A加上任意纵向分量都不 E 影响B和E。
所以，对于平面电磁波的情形，即使加上洛伦兹条件，A和 ? 仍不是唯一的，能够唯一确定的只是其横向分量。
B ? ? ? A ? ik ? A ? ik ? ( A? ? A// )
? ik ? A? ? ik ? A// ? ik ? A?
同理
E ? ?i
c
2
?
k ? (k ? A) ? ?i
c
2
?
k ? (k ? A? )
21
③ 如果令纵向分量为零，则
k ? A ? k ? A? ? 0
??
c
2
?
k?A? 0
此时， B ? ik ? A (k ? A ? 0) E ? i?A *因为 ? ? A ? ik ? A， 所以 k ? A ? 0 就是满足库仑规范的解。
因此，库仑规范下平面波的矢势A只有横向分量，刚好足 够描述电磁波的两种独立偏振，这是库仑规范的一个优点
采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为
? ??0
2
? A?
2
1 ? A
2
c
2
?t
2
?
1 ? c ?t
2
?? ? 0
22
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ? ? 0 ，则只剩下
方程
? A?
2
1 ? A
2
c
2
?t
2
?0
其解的形式为 A ? A0ei ( k ? x ??t ) ，
由库仑规范条件得到
? ? A ? ik ? A ? 0， 即保证了A只有横向分量 A ? A? 。
从而得到：
? B ? ? ? A ? ik ? A ? ik ? A? ? ? ?A ?A ?? ? i?A ? i?A? ? E ? ??? ? ?t ?t ?
(? ? A ? 0)
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通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 ? 描述库仑作用， 可直接由电荷分布 ? 求出，它的矢势 A 只有横向 分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。 洛仑兹规范的优点是：它的标势 ? 和矢势
A 构成的
势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势
? 的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。
尽管如此，它在相对论中显示出协变性。因此，本 书以后都采用洛仑兹规范。
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