电荷离散化时 Fock 态下 耗散介观电路中的量子涨落
金海兰１ ，２ ，崔元顺１ （１ ．淮阴师范学院 物理系 ，江苏 淮安 ２２３００１ ； ２ ．延边大学理工学院 物理系 ，吉林 延吉 １３３００２）
摘 要 ：基于电荷离散化的事实 ，应用最小平移算符的性质 ，计算耗散介观电路中电荷、电流 及能量的量子涨落 ．结果表明 ，计及电荷不连续性的事实 ，在 Fock 态下耗散介观电路中电荷不 存在量子涨落 ，而电流与能量的量子涨落不为零 ，分别与电荷量子、Planck 常数等有关 ，大小决 定于电路参数 ． 关键词 ：耗散介观电路 ；电荷离散化 ；量子涨落 中图分类号 ：O４３１畅２ 文献标识码 ：A 文章编号 ：１６７１-６８７６（２００７）０１-００２８-０４
收稿日期 ：２００６-１２-２８ 基金项目 ：江苏省教育厅自然科学基金资助项目（０５KJD１４００３５） 作者简介 ：金海兰（１９８１-） ，女 ，吉林市人 ，延边大学与淮阴师范学院联合培养硕士研究生 ，研究方向为量子光学 、介观物理 ．
０ 引言 在通信工程、微电子器件中 ，电路及器件的小型化 、高集成度的趋势越来越明显 ，近年已达到了原子 尺度 ，显然当尺度达到电子两次非弹性碰撞之间的尺寸时 ，需要考虑电路与器件中的量子力学效 应［１ ～ ７］ ．在对介观电路量子力学效应研究的进程中 ，人们注意从不同的角度提出对介观电路量子化的方 案 ，就不同的介观电路模型、处于特定的量子态下的量子力学效应进行了深入的研究 ，得到一些具有一 定学术价值和意义的结果与结论 ，这些结果对于设计和研制纳米电子器件作为未来量子计算机中的量 子位、量子逻辑门和量子线路等具有一定的参考价值 ．文献［８ ～ １３］基于电荷不连续性的事实 ，给出和发展 了介观物理中已发现结果的简明处理方法 ，分别研究了单一介观金属环中的持续电流 ，周期性介观传输 线的量子化方案 ，介观金属双环系统中的量子电流放大效应 ，包含耗散在内的量子 Kirchoff方程等等 ．文 献［１４～１８］将这些结果推广至介观金属多环系统以及耦合介观系统中 ，研究其中的量子电流放大 、电路 能谱等性质 ．
图 １ RLC 介观电路
本文计及电荷的离散性 ，在文献［１１］的基础上 ，试图运用最小平移 算符的性质等 ，计算介观 RLC 电路处于电荷算符对应的 Fock 态下时电 荷、电流以及能量的量子涨落 ，分析和研究影响介观电路中电荷、电流 以及能量量子涨落的因素 ． １ 介观 RLC 电路的 Ham ilton 量
考虑处于外磁场中由电源 ε
驱动的介观 RLC 电路 ，如图１所示 ，体
系的 Ham ilton 算符为［９ ，１１］ ＾ H ＝ － 礹２ ２q２ e L
exp － t τ
（
＾ Qe ′
＋
＾ Q ＋ e － ２）＋ １ ２cexp
t τ ＾ q２ － ε
exp
t τ ＾ q （１）
其中 ，qe 为电子基本电量 ， ＾ Q ＝ exp iqe ＾ p 礹 为最小平移算符 ，并且
＾ Q ＋ （qe） ＝
＾ Q （－ qe） ； ＾ p ＝ L d ＾ q dt 是与电
荷
＾ q算符Dirac共轭的正则“动量” ，满足对易关系［
＾ q ， ＾ p］ ＝ i礹 ；而 e ＝ exp（iqe 矱
／礹） ，e ′
＝ exp（－ iqe 矱
／礹） ，
矱 为穿过回路的外磁通 ； τ
＝ L R
为时间常数 ． 考虑电荷的离散性 ，对介观电路进行全量子理论处理 ，要求电荷自伴算符
＾ q＋ ＝
＾ q 的本征值取分立
值［８］ ，即
＾ q | n ＞ ＝ nqe | n ＞ （２） 其中 ，|n ＞ 为电荷算符的本征态 ，由整数 n（∈ W ）标记 ， W 为整数集 ，此时关于电荷变量的导数需由步 长为 qe 的有限差分取代 ．可以证明存在如下关系［８ ，１２］ ［ ＾ q ， ＾ Q ＋ ］ ＝ i礹 抄 抄p ＾ Q ＋ ＝ qe ＾ Q ＋ ， ［ ＾ q ， ＾ Q ］ ＝ i礹 抄 抄p ＾ Q ＝ － qe ＾ Q （３） ＾ Q ＾ Q ＋ ＝ ＾ Q ＋ ＾ Q ＝ １ （４） ＾ Q | n ＞ ＝ | n － １ ＞ ， ＾ Q ＋ | n ＞ ＝ | n ＋ １ ＞ （５） 可见 ， ＾ Q 、 ＾ Q ＋ 对应于电荷湮灭与产生的阶梯算符 ． ２ 介观 RLC 电路中的量子涨落 式（２）的条件明显地表现出介观系统中电荷的粒子性 ，但不能揭示出其波动性 ，为了考察电荷具有 不连续性时介观电路的量子性质 ，现运用（１） ～ （５）式计算介观 RLC 电路处于电荷算符对应的 Fock 态 下时的量子涨落 ． ２畅１ 电荷的量子涨落 由式（２）可得电荷算符的平均值为 ＜ ＾ q ＞ ＝ ＜ n | ＾ q | n ＞ ＝ nqe （６） 电荷算符的方均值为 ＜ ＾ q２ ＞ ＝ ＜ n | ＾ q２ | n ＞ ＝ n２ q２ e （７） 因而介观电路中电荷的均方起伏为 （Δ ＾ q）２ ＝ ＜ ＾ q２ ＞ －＜ ＾ q ＞ ２ ＝ ０ （８） 该结果在预料之中 ．此外 ，（６）、（７）式显示 ，电荷的平均值 、均方值完全决定于电荷的量子化性质 ，与电 路的参量等无关 ． ２ ．２ 电流的量子涨落 根据（１）式 ，运用 Heisenberg 运动方程 ，导出物理电流算符为 ＾ I ＝ － i礹 ２qeLexp － t τ （－ ＾ Q ＋ e＋ ＾ Qe ′ ） （９） 由（４）式知［ ＾ I， ＾ Q ］ ＝ ０ ．利用（５）式关系可得电流算符的平均值为 ＜ ＾ I ＞ ＝ ＜ n | ＾ I | n ＞ ＝ ０ （１０） 此外 ，电流的平方算符为 ＾ I ２ ＝ － 礹２ ４q２ e L２ exp － ２ t τ （ ＾ Q２ e ′ ２ ＋ ＾ Q ＋２e２ － ２） （１１） 则电流算符的方均值为 ＜ ＾ I ２ ＞ ＝ ＜ n | ＾ I ２ | n ＞ ＝ 礹２ ２q２ e L２ exp － ２t τ （１２） 因此 ，求得电流的均方起伏为 （Δ ＾ I）２ ＝ ＜ ＾ I ２ ＞ － ＜ ＾ I ＞ ２ ＝ 礹２ ２q２ e L２ exp － ２t τ （１３） 结果表明 ，考虑电荷具有离散性的事实 ，在 Fock 态下介观 RLC 电路中电流的均方起伏除与电荷量子 、 Planck 常数均有密切关系外 ，还明显地依赖于介观电路的电感 L 与电阻 R ． ２畅３ 能量的量子涨落 利用（１）式 、（２）式和（５）式 ，得到能量的平均值为
２９第 １期 金海兰等 ：电荷离散化时 Fock 态下耗散介观电路中的量子涨落
＜
＾ H ＞ ＝ ＜ n |－ 礹２ ２q２ e L
exp － t τ
（
＾ Qe ′
＋
＾ Q ＋ e － ２）＋ １ ２cexp
t τ ＾ q２ － ε
exp
t τ ＾ q | n ＞ ＝
礹２ q２ e L
exp － t τ
＋ １ ２cexp
t τ
n２ q２ e － ε
exp
t τ
nqe （１４） 即
＜
＾ H ＞ ２ ＝ 礹４ q４ e L２ exp － ２t τ
＋ １ ４c ２ exp ２ t τ
n４ q４ e ＋ ε
２exp ２t τ
n２ q２ e ＋
n２礹２ Lc － ２礹２ n ε qeL － n３ q３ e ε c
exp ２t τ
（１５）
此外
＾ H２ ＝ 礹４ ４q４ e L２ exp － ２ t τ
（
＾ Q２ e ′ ２ ＋
＾ Q ＋２e２ － ４
＾ Qe ′
－ ４
＾ Q ＋ e ＋ ６） ＋
礹２ ε ２q２ e L
［（
＾ Qe ′
＋
＾ Q ＋ e － ２） ， ＾ q］＋ － 礹２ ４q２ e Lc
［（
＾ Qe ′
＋
＾ Q ＋ e － ２） ， ＾ q２ ］＋ ＋
exp ２ t τ ε ２
＾ q２ － １ c
ε＾ q３ ＋ １ ４c ２
＾ q４ （１６）
其中 ， ［（
＾ Qe ′
＋
＾ Q ＋ e － ２） ， ＾ q］＋ 等代表反对易子 ．因此 ， ＾ H２ 的平均值为
＜
＾ H２ ＞ ＝ ３礹４ ２q４ e L２ exp － ２ t τ
－ ２礹２ n ε qeL ＋ n２礹２ Lc ＋
exp ２ t τ ε ２ n２ q２ e － １ c ε
n３ q３ e ＋ １ ４c ２ n４ q４ e （１７）
由此给出能量的均方起伏为 （Δ ＾ H ）２ ＝ ＜ ＾ H２ ＞ － ＜
＾ H ＞ ２ ＝ 礹４ ２q４ e L２ exp － ２ t τ
（１８）
分析（１４）式与（１７）式可见 ，Fock 态下 ＜
＾ H ＞ 、＜
＾ H２ ＞ 均与介观电路中电感 、电容 、电阻以及电源 有关 ，并且类似于电荷的量子性 ，其能量关系随着整数 n 的变化呈现离散性 ．但是 ， （１８）式表明 ，能量的 均方起伏如同（１３）式中电流的均方起伏一样 ，均与电容 、电源、外磁场以及 n 无关 ． ３ 结束语 本文应用最小平移算符的性质等 ，在电荷离散化的基础上 ，计算了 Fock态下介观 RLC 电路中电荷、 电流和能量的量子涨落 ．结果表明 ，在电荷量子化的情况下 ，介观 RLC 电路中电荷算符的平均值、方均 值不为零 ，但均方起伏为零 ；而电流和能谱的均方起伏均不为零 ，其大小不仅与回路的电参量、Plank 常 数有关 ，而且还与电荷的量子化性质密切相关 ；并且在 t＝ ０时 ， （Δ ＾ H ）２ 、（Δ ＾ I）２ 均与回路电感 L呈现平方 反比关系 ，在 t ＞ ０ 时 ，电流和能谱的均方起伏随着时间 t而呈现指数衰减规律变化 ．
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