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教学内容：电势能·电势差
【基础知识归纳】
一、电势能
由电荷和电荷在电场中的相对位置决定的能量叫电势能．
电势能具有相对性，通常取无穷远处或大地为电势能的零点．
由于电势能具有相对性，所以实际的应用意义并不大，而经常应用的是电势能的变化．电场力对电荷做功，电荷的电势能减少；电荷克服电场力做功，电荷的电势能增加．电势能变化的数值等于电场力对电荷做功的数值．这常是判断电荷电势能如何变化的依据．
二、电势 电势差
1．电势是描述电场的能的性质的物理量．
在电场中某位置放一个检验电荷q，若它具有的电势能为W，则比值W／q叫做该位置的电势．
电势也具有相对性．通常取离电场无穷远处或大地的电势为零电势（对同一个电场，电势能及电势的零点选取是一致的），这样选取零电势点之后，可以得出正点电荷形成的电场中各点的电势均为正值，负点电荷形成的电场中各点的电势均为负值．
2．电场中两点的电势之差叫电势差．依照课本的要求，电势差都是取绝对值．知道了电势差的绝对值，要比较哪个点的电势高，需根据电场力对电荷做功的正负判断，或者是由这两点在电场线上的位置判断．
3．电势相等的点组成的面叫等势面．要掌握点电荷、等量异种点电荷的电场及匀强电场中等势面的分布情况．
等势面（线）的特点：
（1）等势面上各点电势相等，在等势面上移动电荷电场力不做功．
（2）等势面一定跟电场线垂直，而且电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
（3）规定：画等势面（线）时，相邻两等势面（线）间的电势差相等．这样，在等势面（线）密处场强大，等势面（线）疏处场强小．
4．电场力对电荷做的功为：W＝qU，此公式适用于任何电场．电场力对电荷做功与路径无关，由起始和终了位置的电势差决定．
除上述求电场力做功的方法外，还有两种方法：
（1）用功的定义式W＝Fscosθ来计算，但在中学阶段，限于数学基础，要求式中F为恒力才行，所以，这个方法有局限性，仅在匀强电场中使用．
（2）用结论“电场力做的功等于电荷电势能增量的负值”来计算，即W＝－Δε，这个方法在已知电荷电势能的值时比较方便．
5．在匀强电场中电势差与场强的关系是U＝Ed，或者E＝U／d，公式中的d是沿场强方向上的距离．
三、静电屏蔽
1．静电感应：把金属导体放在外电场E中，由于导体内的自由电子受电场力作用而定向运动，使导体的两个端面出现等量的异种电荷，这种现象叫静电感应．
2．静电平衡：发生静电感应的导体两端感应的等量异种电荷形成一附加电场E′，当附加电场与外电场完全抵消时，即E′＝E时，自由电子的定向移动停止，这时的导体处于静电平衡状态．
3．处于静电平衡状态导体的特点：
（1）导体内部的场强处处为零，电场线在导体内部中断．
（2）导体是一个等势体，表面是一个等势面．
（3）导体表面上任一点的场强方向跟该点的表面垂直．
（4）导体所带的净电荷全部分布在导体的外表面上．
4．静电屏蔽
（1）导体空腔（不论是否接地）内部的电场不受腔外电荷的影响．
（2）接地的导体空腔（或丝网）外部电场不受腔内电荷的影响．
【方法解析】
1．电势和电势差的区别与联系
（1）区别：电场中某点的电势与零电势点的选取有关（一般取无限远处或大地为零电势）．而电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关．
（2）联系：电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点间的电势差．
2．电场强度和电势的对比
电场强度E
|
电势φ
| |
1
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描写电场的力的性质
|
描写电场的能的性质
|
2
|
电场中某点的场强等于放在该点的正点电荷所受的电场力F跟正点电荷电量q的比值．E＝
 ，E在数值上等于单位正电荷所受的电场力 |
电场中某点的电势等于该点跟选定的标准位置（零电势点）间的电势差．φ在数值上等于单位正电荷所具有的电势能．
|
3
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矢量
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标量
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4
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单位：N／C；V／m
|
V（1V＝1J／C）
|
5
|
联系：①在匀强电场中uAB＝Ed（d为A、B间沿电场线方向的距离）；②电势沿着电场强度的方向降落
| |
3．应用电场力做功的计算公式W＝qU时，可以三个量都是绝对值，计算出功的数值之后，要再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定是电场力做功，还是克服电场力做功．也可都代入符号使用，写为WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝WAB／q，若UAB＞0，即φA－φB＞0，则φA＞φB；若UAB＜0，即φA－φB＜0，则φA＜φB．
4．静电感应与感应起电．如图9—2—1所示，在正电荷Q附近放一个不带电的导体B，由于静电感应在B的左、右两端分别出现等量的负、正电荷．用导线将B与大地相连，由于原来等势体B的电势大于零（正电场中各点的电势都大于零），而大地的电势等于零，大地上的自由电子在电场力作用下向高电势的B导体移动．所以不论把导线接在B的左端还是右端，接地后B导体都是带负电．如果再把导线断开，接着把＋Q移走，则B就能带负电．
图9—2—1
【典型例题精讲】
［例1］如图9—2—2所示，平行直线表示电场线，但未标方向，带电为+10－2 C的微粒在电场中只受电场力作用，由A点移到B点，动能损失0.1 J，若A点电势为－10 V，则
图9—2—2
①B点的电势为10 V ②电场线方向从右向左
③微粒的运动轨迹可能是轨迹1 ④微粒的运动轨迹可能是轨迹2
以上判断正确的是
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解析】 正电荷只在电场力作用下从A运动到B，动能损失0.1 J，则电势能增加0.1 J，φA＜φB，且电场力做功为WAB＝－0.1 J，所以
UAB＝φA－φB＝
V＝－10 V
V＝－10 V
由于φA＝－10 V，所以φB＝0，①错．
由于正电荷从A向B运动时电场力做负功，所以，正电荷所受电场力方向为沿电场线向左，则电场线的方向为从右向左，②对．
由于微粒只受电场力作用做曲线运动，则电场力一定指向它运动轨迹的内侧，所以，它的运动轨迹应为1，而不是2，故③对，④错，应选C．
【说明】 本单元中的题目综合性往往较强，多数题目要涉及力学中的内容．因此在分析有关的题目时，要善于把电场中的概念和规律与力学中分析和解决问题的方法结合起来．
【设计意图】 通过本例说明：（1）求电场某点电势的方法；（2）由电荷能量变化判断电场力方向，进一步判断运动轨迹的方法．
［例2］如图9—2—3所示，在真空中的A、B两点分别放等量异号点电荷+q、－q，在电场中通过A、B两点的竖直平面内于对称位置取一个矩形路径abcd．现将一个电子沿abcd移动一周，则正确的是
图9—2—3
A．由a→b，电势降低，电子电势能减少
B．由b→c，电场力对电子先做正功，后做负功，总功为零
C．由c→d，电子的电势能增大
D．由d→a，电子的电势能先减小后增大，电势能总变化量为零
【解析】 根据等量异号点电荷形成的电场其电场线的分布情况和等势面的分布情况来判断每段过程中电场力、电势能的改变情况．
由于abcd矩形是电场中AB间对称的四点，故有ad两点在同一等势面，bc两点在另一等势面上，且φad比φbc更高；而O1点的电势比φad更高，O2点的电势比φbc更低，所以a→b，电势降低，电子顺电场线移动，电场力做负功，电势能增加，A项错．（如图9—2—4）
图9—2—4
b→c，即b→O2→c，由于O2的电势更低，因此，电场力先做负功，后做正功，总功为零，B选项错．
c→d，电子逆电场线方向移动（或由电势低的等势面向电势高的等势面移动），电场力做正功，电势能减少，C项错．
d→a，电子先从电势低的等势面移向电势高的等势面，后从电势高的等势面移向电势低的等势面，所以电子的电势能先减少，后增大，电势能的总变化量为零，D项对．
【思考】 两等量异种电荷连线的中垂面上各点的场强如何？电势如何？
【思考提示】 两等量异种电荷连线的中垂面上各点场强的方向均与面垂直，并指向负电荷一侧．在该面上，连线中点的场强最大，离中点越远的地方场强越小．该中垂面上各点的电势都相等（等势面），若取无限远处电势为零，该面上各点的电势均为零．
【设计意图】 通过本例说明等量异种电荷所形成的电场的特点，及利用其对称性分析解决有关问题的方法．
［例3］如图9—2—5所示，a、b为竖直向上的电场线上的两点，一带电质点在a点由静止释放，沿电场线向上运动，到b点恰好速度为零，则
①带电质点在a、b两点所受的电场力都是竖直向上的
②a点的电势比b点的电势高
③带电质点在a点的电势能比在b点的电势能小
④a点的电场强度比b点的电场强度大
上述判断正确的是
A．①③ B．①②③
C．②③④ D．①②④
【解析】 沿电场线方向电势降低，a点电势一定比b点电势高，②正确．
带电质点从a点由静止释放，能沿电场线向上运动，可见受的电场力方向一定向上，即①正确．
在a点时，质点所受的电场力一定大于重力，如果是匀强电场，质点应永远加速运动下去，但质点到达b点时速度为零，说明质点已经进行了一段减速运动，则这段时间内其受的电场力比重力要小了，可见电场力是变化的，这是一非匀强电场的电场线，且场强越来越小，④正确．
由于电场力方向向上，可知电场力做正功，电势能减少，即带电质点在a点的电势能大于在b点的电势能，③错．
由以上分析知，正确的判断为①②④，应选D．
【思考】 若已知a、b两点的高度差为h，带电质点的质量为m，电量为q，a、b两点的电势差多大？
【思考提示】 在带电质点从a到b的运动过程中，电场力做功使质点的重力势能增加mgh，则Wab＝mgh，
所以，a、b两点的电势差为Uab＝
【设计意图】 通过本例说明根据电场线的方向判断电势变化，以及综合根据带电质点的受力情况和运动情况判断质点电势能的变化，比较电场强度大小的方法．
［例4］如图9—2—6所示，虚线方框内为一匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点．已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在该方框中作出该电场的示意图（即画出几条电场线），并要求保留作图时所用的辅助线，若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功？
图9—2—6
【解析】 由于电场线与等势面垂直，而且在匀强电场中，电势相等的点的连线必在同一等势面上，所以与等势点连线垂直的线必是电场线，电势相等的点可根据匀强电场的特点，利用等分法来找．
因φB＝6 V，φC＝－6 V，由匀强电场的特点：U＝E·d知，在BC连线的中点D处的电势必为零；同理，把AC线段等分成三份，在等分点D′处的电势也必为零．连接DD′即为该电场中的一条等势线，根据电场线与等势线垂直，可以画出电场中的电场线，如图9—2—7中实线所示，由沿场强方向电势降低可确定出场强的方向．将一电子从A移到B，电场力做功为：W＝－eUAB＝－e×（12－6）＝－6 eV．
图9—2—7
【说明】 像本例这类问题，由电场中几个点的电势画出电场线，依据的是电场线跟等势面（线）垂直，因此，找等势点是解决这类问题的关键．
【设计意图】 通过本例说明根据电场中某几个点的电势画电场线的方法．
【达标训练】
【基础练习】
1．在静电场中
A．电场强度处处为零的区域内，电势一定也处处为零
B．电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同
C．电场强度的方向总是跟等势面垂直
D．电势降低的方向就是电场强度的方向
【解析】 电场强度大小和电势高低没有直接关系，不能根据电场强度大小判断电势高低，也不能根据电势的高低判断电场强度的大小．A、B均错．电场强度的方向一定跟等势面垂直，C对．沿电场强度的方向电势降低，但电势降低的方向不一定是电场强度的方向，D错．
【答案】 C
2．关于静电场中某点电势的正、负，正确的说法是
A．电势的正、负取决于把电荷从零电势点移到该点的过程中电场做功的正、负
B．电势的正、负取决于场源电荷的正、负，若该点处在正的场源电荷周围的静电场中，它的电势一定是正的
C．电势的正、负取决于零电势位置的选定
D．电势的正、负取决于电荷在该点所具有的电势能的正、负
【解析】 对于某一确定的静电场来说，其中各点电势的高低分布也是确定的，但由于电势具有相对性，电场中某一点的电势究竟是取正值还是负值，则取决于零电势位置的选定，至于电荷在电场中某一点所具有的电势能却是取决于该点电势的高低、正负，以及所引入电荷的电性和电荷量．故正确选项为C．
【答案】 C
3．关于电势与电势能的说法正确的是
A．电荷在电场中电势高的地方，具有的电势能就大
B．电荷在电场中电势越高的地方，它的电荷量越大，所具有的电势能也越大
C．在正点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能
D．在负点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能
【解析】 对于A、B选项，电荷具有的电势能大小，取决于它在电场中的位置（电势的高低）和该电荷的电性．对于C、D选项，由于点电荷形成的电场无穷远处的电势为零，只要将电荷从电场中向无穷远处移，再根据电场力做功与电势能改变的关系来判断．所以，C选项正确．
【答案】 C
4．如图9—2—8所示，在真空中有两个带相等电量的正电荷q1和q2，它们分别固定在A、B两点，DC为AB连线的中垂线．现将正电荷q3由C沿CD移至无穷远处，在此过程中
图9—2—8
A．q3的电势能逐渐增大
B．q3的电势能先逐渐增大，后逐渐减小
C．q3受到的电场力逐渐减小
D．q3受到的电场力先逐渐增大，后逐渐减小
【解析】两正电荷的中垂线上电场由C向无限远移动的过程中，E先增大后减小，电场力F＝Eq，先增大后减小．由于CD上各点合电场的场强方向都是从C指向D，所以，正电荷q3沿CD移动时，电场力总是做正功，电荷的电势能一直减小．
【答案】 D
5．如图9—2—9所示的同心圆（虚线）是点电荷电场中的一组等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A向C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则有
图9—2—9
A．电子沿AC运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC运动时它具有的电势能越来越小
C．电势UA＞UB＞UC
D．电势差UAB＝UBC
【解析】 电子由A向C运动时速度越来越小，动能越来越小，则电势能越来越大，则该电场为一负的点电荷形成的电场，电子向C运动过程中受到的电场力越来越大，所以，A、B均错，C正确．由于从A到C，电场强度越来越大，由U＝Ed知，UAB＜UBC，D选项错．
【答案】 C
6．电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8 J，在B点的电势能为0.80×10－8 J．已知A、B两点在同一条电场线上，如图9—2—10所示，该点电荷的电量数值为1.0×10－9 C，那么
图9—2—10
A．该电荷为负电荷
B．该电荷为正电荷
C．A、B两点的电势差大小UAB＝4.0 V
D．把电荷从A移到B，电场力做功为W＝4.0 J
【解析】 由电荷在A、B两点的电势能知，该电荷从A点移到B点电场力做功W＝4×10－9 J，则A、B两点的电势差大小为
UAB＝
＝4.0 V
＝4.0 V
由于不能确定电荷的正、负，故不能比较A、B两点电势的高低．C选项正确．
【答案】 C
7．如图9—2—11所示，xOy坐标系中，将一负检验电荷Q由y轴上a点移至x轴上b点，需克服电场力做功W；若从a点移至x轴上c点，也需克服电场力做功W．那么此空间存在的静电场不可能是
A．电场强度方向沿y轴负方向的匀强电场
B．电场强度方向沿x轴正方向的匀强电场
C．处于第Ⅰ象限某一位置的正点电荷形成的电场
D．处于第Ⅳ象限某一位置的负点电荷形成的电场
【解析】 由题意知，b、c在同一等势面上，且a点电势高于b、c点电势．此空间的电场不可能是沿x轴正方向的匀强电场．
【答案】 B
8．如图9—2—12所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势线间电势差相等，一正电荷在等势线φ3上时，具有动能20 J，它在运动到等势线φ1上时，速度为零，设φ2＝0，那么该电荷的电势能为4 J时，其动能为______ J．
图9—2—12
【解析】 正电荷从φ3等势面运动到φ1等势面，克服电场力做功为20 J，则该正电荷从φ3等势面运动到φ2等势面，克服电场力做功为10 J，则在φ2等势面上时，正电荷具有的动能为10 J，由于φ2＝0，它的电势能为零．即该正电荷动能和电势能的总和为10 J，在只有电场力做功的情况下，动能和电势能的总和保持10 J不变，则电势能为4 J时，动能为6 J．
【答案】 6
9．一个带负电的质点，带电量为2.0×10－9 C，在电场中将它由a点移到b点，除了电场力之外，其他力做功6.0×10－5 J，质点的动能增了8.0×10－5 J．则a、b两点间的电势差φa－φb＝______．
【解析】 设电场力做功为Wab，由动能定理得
Wab+W＝ΔEk
Wab＝ΔEk－W＝2.0×10－5 J
则 φa－φb＝
V
V
＝－1.0×104 V
【答案】 －1.0×104 V
【能力突破】
10．质量为m、电荷量q的质点，在静电力作用下以恒定的速率v沿圆弧从A点运动到B点，其速度方向改变的角度为θ（rad），AB弧长为s．则A、B两点间电势差φA－φB＝______；AB弧中点的场强大小E＝______．
【解析】 由于质点从A运动到B速率不变，电场力不做功，故φA＝φB，即φA－φB＝0．
圆周半径为R＝
质点做圆周运动的向心力为电场力．根据做匀速圆周运动的条件知，在AB圆弧上各点电场强度大小相等，则
Eq＝
则 E＝
【答案】 0；
11．图9—2—13中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点．已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V．由此可得D点电势φD＝____V．
图9—2—13
【解析】 如下图，UAB＝ELcosα，UDC＝ELcosα
所以UAB＝UDC，又因为UAB＝φA－φB，UDC
＝φD－φC，
所以φD＝φA－φB+φC＝9 V
【答案】 9
12．倾角为30°的直角三角形底边长为2L，底边处在水平位置，斜边为光滑绝缘导轨．现在底边中点O处固定一正电荷Q，让一个质量为m的带正电质点q从斜边顶端A沿斜面滑下（不脱离斜面）．如图9—2—14所示，已测得它滑到B在斜边上的投影D处时速度为v，加速度为a，方向沿斜边向下，问该质点滑到斜边底端C点时的速度和加速度各为多大?
图9—2—14
【解析】 由几何关系知，DO＝OC＝OB＝l．D和C为+Q电场中等势面上的两点，则由D到C，电场力不对+q做功，只有重力做功，且
，
，由动能定理得：mg
l＝
mvC2－
mv2，vC＝
；在D点+q受力分析有:F合＝ma＝mgsin30°－Fcos30°，在C点它所受电场力不变，有：F合′＝maC＝mgsin30°+Fcos30°，得：aC＝g－a
，，由动能定理得：mgl＝mvC2－mv2，vC＝；在D点+q受力分析有:F合＝ma＝mgsin30°－Fcos30°，在C点它所受电场力不变，有：F合′＝maC＝mgsin30°+Fcos30°，得：aC＝g－a
【答案】 
；g－a
；g－a
※13．如图9—2—15所示，匀强电场中，A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，电场强度方向平行于纸面．现有一电子，在电场力作用下，由A至C动能减少W，而质子在电场力作用下，由A至B动能增加W，则该匀强电场E的大小和方向的判定正确的是
图9—2—15
A．E＝
，方向垂直BC并由A指向BC
，方向垂直BC并由A指向BC
B．E＝
，方向垂直BC并由A指向BC
，方向垂直BC并由A指向BC
C．E＝
，方向垂直AC并由B指向AC
，方向垂直AC并由B指向AC
D．E＝
，方向垂直AB并由C指向AB
，方向垂直AB并由C指向AB
【解析】 电子在电场力作用下由A到C，克服电场力做功为W，则质子从A到C电场力做功W，质子从A到B电场力做功也为W，因此B、C两点是等势点，B、C的连线为匀强电场的等势线，电场线垂直于BC，电场强度的方向从A指向BC．
A到BC的距离为asin60°＝
a，则
a，则
Ee·
a＝W
a＝W
所以 E＝
【答案】 A
※14．如图9—2—16所示，a、b和c表示点电荷的电场中的三个等势面，它们的电势分别为φ、
φ和
φ．一带电粒子从等势面a上某处由静止释放后，仅受电场力作用而运动．已知它经过等势面b时的速率为v，则它经过等势面c时速率为__________．
φ和φ．一带电粒子从等势面a上某处由静止释放后，仅受电场力作用而运动．已知它经过等势面b时的速率为v，则它经过等势面c时速率为__________．
图9—2—16
【解析】 a→b，
mv2＝q·
①
mv2＝q· ①
a→c，
mvx2＝q·
φ ②
mvx2＝q·φ ②
由可得vx＝
v
【答案】 
v
v
※15．如图9—2—17，在场强为E的匀强电场中有相距为l的A、B两点，连线AB与电场线的夹角为θ，将一电量为q的正电荷从A点移到B点．若沿直线AB移动该电荷，电场力做的功W1＝__________；若沿路径ACB移动该电荷，电场力做的功W2＝_________；若沿曲线ADB移动该电荷，电场力做的功W3＝_________．由此可知，电荷在电场中移动时，电场力做功的特点是：_________．
图9—2—17
【解析】 由电场力做功与路径无关，可判断
W1＝W2＝W3＝qElcｏsθ．
【答案】 qElcｏsθ；qElcｏsθ；qElcｏsθ；电场力做功与路径无关，仅由初末位置决定．
※16．在匀强电场中建立一直角坐标系，如图9—2—18所示，从坐标原点沿+y轴前进0.346 m到A点，电势降低34.6 V；从坐标原点沿－x轴前进0.2 m到B点，电势升高34.6 V，求匀强电场的场强大小和方向．
【解析】 由题意知，E的方向大致指向右上方，设与水平成θ如下图，应有
UOA＝E·
sinθ ①，
sinθ ①，
UBO＝E·
cosθ ②，
cosθ ②，
联立①②可解θ＝30°，E＝200 N/C．
【答案】 200 N/C；沿x轴偏上成30°角的方向
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