[PDF]可怕的对称
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可怕的对称编辑
这本书以通俗文学的形式，描述了20世纪物理学家的研究成果。主要阐释了“对称”如何奠定了现代物理学上的思想和美学的基础。
书 名
可怕的对称
原版名称
[美] 阿·热
译 者
荀坤 / 劳玉军
ISBN
9787535710635
目录
1图书基本信息编辑
译者: 荀坤 / 劳玉军
作者: [美] 阿·热
副标题: 现代物理学中美的探索
ISBN: 9787535710635
页数: 324
定价: 18.00元
出版社: 湖南科学技术出版社
丛书: 第一推动丛书
装帧: 平装
出版年: 1999年4月
2图书目录编辑
前言
致谢
Ⅰ 对称与设计
第一章 对美的追求
第二章 对称与简单
第三章 镜中的世界
Ⅱ 爱因斯坦的遗产
第四章 时间与空间的联姻
第五章 幸福的思想
第六章 对称性统治设计
Ⅲ 光环中的明星
第七章 作用量
第八章 女士与虎
第九章 学会去读这本伟大的书
第十章 对称性的凯旋
Ⅳ 了解他的思想
第十一章 夜晚森林中的八重路
第十二章 艺术的回报
第十三章 终报设计问题
第十四章 力的统一
第十五章 傲气吉生
第十六章 造物主的精神
第九章附录
注释
库仑定律是描述一个电荷产生的电场是如何随着离开它的 距离下降的。换句话说，我们有了一个描述电场如何随空间变化的方程。 在洛伦兹变换下，这个方程精确地演化为描述电场如何随时间、磁场如何 随空间、以及相应的其它麦克斯韦方程。
在作用量原理中，所有可能的 经历都必须被考虑。(和在给定介质中速度是确定的光子不同，有质量的粒 子的速度是与环境有关的变量。因此，作用量原理在这方面不同于费马原 理
作用量
通过考察一个粒子在 TA 时从 A 点出发，在 TB 时到达 B 点这样一个典 型过程，就可清楚地看出作用量原理的含意。在作用量原理的方法中，我 们不仅要考虑粒子从 A 到 B 所可能走的所有路径，而且还要考虑它走这一 段路程的所有可能方式。因此，对于一个特定的路径，粒子可先慢走，然 后加速一会儿，再慢下来，然后再加速。物理学家把一定时间内走过这一 路径的每一种特定方式称为一个“经历”。在作用量原理中，所有可能的 经历都必须被考虑。(和在给定介质中速度是确定的光子不同，有质量的粒 子的速度是与环境有关的变量。因此，作用量原理在这方面不同于费马原 理，而要更一般些。后来物理学家确实就把费马原理理解为作用量原理的 一个特例。)
我们下面就接着陈述作用量原理。 给每一个经历指定一个被称为“作用量”的数。例如，一个经历可以
被标上 95.6，另一个经历可被标上 123.45。作用量原理说，粒子的实际经 历是作用量最小的那一个。就象费马原理能确定光的径迹一样，一旦我们 确定了作用量，这个原理就为我们确定了粒子的实际径迹。
物理学可以用作用量原理的公式表述。如果能找到一个公式来算出一 给定物体在任一经历下的作用量，我们就完全把握住了这个物体的运动情 况。例如，一个牛顿粒子的某一经历的作用量是这样计算的：从它的动能
中减去势能，然后将这个量对从 TA 到 TB 的整个期间累加起来。(在牛顿力
学中，动能是仅与粒子运动有关的能量，而势能则是一种“贮存起来的” 可转换成动能的能量。
可怕的对称
作加速运动的观察者看到的也是同样的物理实在，它说的是，这个作加速 运动的观察者，可以把他和未加速的观察者所体验的物理实在的差异解释 成是由于一个引力场引起的。广义协变性是引力特性的一种陈述。杰出的 美国物理学家史蒂夫·温伯格(Steve Weinberg)曾提议把广义协变性当作 一种动力学对称性，以强调这种区别。在这本书中，我仍依照物理学家中 的习惯，还是简单地把广义协变性当作一种对称性。
座标变换带给我们的不同感受 描述时空的座标选择和地图册中在一张平坦的纸上描述圆形地球的
座标选择之间的类比在某些方面是贴切的，但在另一些方面容易引起可怕
的误解。在一个标准的莫卡托(Mercator)世界地图中，靠近两极的区域被 拓宽了。确实，我们大多数人渐渐地觉得在北大西洋有一块叫格陵兰的巨 大陆地。制图学上与座标不变性对应的说法是：格陵兰的实际面积不可能 仅仅依赖于它在地图上看上去有多大。反之，物理学家则坚持物理现实不 能依赖于座标。
在最近的一个引人注目的工作中，德国历史学家阿诺·佩托斯(Arno Peters)强调了“欧洲中心”的莫卡托投影法如何扭曲了我们对地缘政治的 感受。考虑到世界被划分为“富裕的北方”和“贫穷的南方”，佩托斯指 出，由于大多数“贫穷的南方”处于赤道附近(经济历史学家会补充说这个 事实正是“南方”贫穷的原因)，在莫卡托地图中相对于“富裕的北方”来 说，它们看上去比实际上要小。佩托斯发表了一幅新的真实反映各国面积 大小的新型世界地图，在这种所谓的佩托斯地图中，世界看起来大不一样 了。非常有意思，但也不足为怪的是，佩托斯写到，他的地图的发表在欧 洲挑起了一场“制图学史上前所未有的热烈的公开讨论”。
引力理论 广义协变性是一个非常严格的要求。确实，正是因为这种严格性，爱
因斯坦才找到了正确的引力理论。亏得有了他的幸福的思想，爱因斯坦才
在 1907 年发现了描述有引力存在时的物理学的方法，这当然得事先知道无 引力情况下的物理学是什么。那么，支配引力场本身动力学行为的物理学 又是什么呢？
这个问题让爱因斯坦作难了几年，他得不到任何实验的指导，因为引 力极弱，要对引力场的动力学作直接的实验验证，并不象鉴别引力场中运 动物体动力学那样容易。
那么爱因斯坦能做些什么呢？ 爱因斯坦自己的智慧产儿，广义协变原理急速地赶来救驾了。从历史
上看，为理解广义协变原理，爱因斯坦着实烦恼了很长时间，但一旦理解 了它，他几乎就能立即写出支配引力场的物理学。
这里是一个粗略的类比：假定要让一个建筑师猜测一个大厅的几何形 状，除非有了诸如几张该大厅的局部照片之类的“实验输入”，他才能开 始他的工作。但如果这个建筑师被告知，这个大厅在绕其自身中心旋转 60
°的倍数的角度时保持不变——这确是一个强有力的信息，这个建筑师就
立即能把大厅所可能的形状限制为六边形，十二边形，十八边形等等，最 简单的猜测是六边形。在物理学中也是一样，加上一个对称性后立即就局 限了可能性。在物理学家中有一个未言明的法则，要求在所有等效的东西 中，选择最简单的一个——这个法则一直都很有效。
扭曲的时间和空间 爱因斯坦的工作中大概没有哪一个方面能比关于弯曲的时间和空间
的奇谈更能扣住公众的想象力了，而实际上，时空弯曲的概念直接来自于
等价原理。
看一看这个著名的谜语，一个猎人向南走了 1 英里，然后向东走了 1 英里，最后他转向北，在又走了 1 英里后回到了原来的出发点，并射中了 一头熊。这熊是什么颜色的？
谜语中所给的距离和角度立即告诉我们地球肯定是圆的。一般说来， 只要我们知道任意两点间的最短距离，就可以精确得出表面是如何弯曲 的。当然我所讲的是实际的或内禀的距离，这与我们使用的是何种地图无 关。廷巴克图和加德满都之间的实际距离，是一个乘飞机的旅行者所可能 走的最短航程。
相似地，在物理学中，时空中任意两点间的内禀距离，只能是一个旅
行者从一点到另一点所花费的固有时间。按照等价原理，一个处于重力场 中的观察者眼中的物理学，与一个在无重力场情况下作加速运动的观察者 眼中的物理学完全等同。我们已经知道火车上的乘客感受到的固有时间和 站台工作人员感受到的是很不相同的。推而广之，一个正在加速的观察者 将有另一种固有时间。因而，引力场的出现将改变时空中各点的相对位置。 假定我们手上有一张所有飞行时间都被人改动过的航班时刻表，如果 注意到给出的从加德满都到廷巴克图的飞行时间实际上比从加德满都到新 德里的还要短，我们就会得出结论，有人扭曲了地球表面，使它不再是球
形的了。同样的原因迫使爱因斯坦得出了引力场扭曲了时空的结论。
光的弯折 时空的扭曲有一些出人意料的推论。在欧几里得几何中，两点间的最
短路径是直线。但对一任意的弯曲空间，直线的说法不再成立。然而，谈 论最短路径依然还是有意义的。就象一个要在弯曲的洋面上作航程最短的 航行的航海家，被迫在空间划下一个弯曲的航迹一样，从遥远的恒星向我 们飞来的光子，也会因经过太阳的引力场而被迫走一个弯曲的路径。
在 1911 年，爱因斯坦预言，在日全食时，掠过太阳旁的星光会被扭 弯。(为使这种弯曲效应强一些，希望星光尽可能接近太阳，但为了看见太 阳附近的星光，需靠日全食来遮住太阳的强光。)由于引力极弱，所预言的 弯曲只有千分之二度。(作为一个理论物理学家，1910 年那个时代的天文 学家并不认为这是一个不可测量的小量，这一点给我留下了深刻的印象。) 看到等价原理如何不顾光子并无质量而强求引力必须影响它，是很有 启发性的。让我们把一个研究助手麻醉到失去知觉，然后把他放到一个飞 船中，并把这个飞船送向太空。我们以一个适当的常加速度加速这只飞船，
使得当这位助手醒来时还以为他仍在地球上。(记住，在这些假想实验中， 我们不花一分钱，这架飞船的内部可以装饰得和这个助手的起居室一模一 样！)现在我们要这个可怜的家伙把一束光射到墙上，由于飞船在加速，在 光子到达墙面之前，墙已经“向上”(把飞船加速的方向称为“上”)运动 了(见图 5.3)，因此这个光束将到达在飞船没有加速时它所应到达的那点 之下的另一点。但这个助手认为他仍在地球的引力场中，因而得到了引力 把光子往下拉的结论！
等价原理就是这样的：你可骗某人，让他认为自己处于引力场中，他 所见到的物理就被(爱因斯坦)称为引力场中的物理。记住这点为下次愚人 节用！
青史留名 他们说，要学会如何切割钻石得花三代人的时间，要学会如何制造钟
表得花整整一生的时间，在整个世界仅仅只有 3 个人完全理解了爱因斯坦
的相对论。但橄榄球教练要让人确信，上面这些技能没有哪一个在复杂程 度上能与在全国橄榄球联赛中打四分位相比拟。我的意思是，钟表不会对 你构筑防线，钻石不会发动闪电快攻，而爱因斯坦则可以成天地思考。E=mc2 不会改变模样。
——J.默里，运动专栏作家，“洛杉矾时报辛迪加”
1984.11.4 尽管他在当专利职员时所作的冥想引起了物理学界的重视，但在 1911 年“爱因斯坦”还不是一个家喻户晓的词。非常有意思，当天文学家们要 去验证爱因斯坦关于光的弯曲的大胆预言时，历史的偶然事件协力使爱因 斯坦得以青史留名。第一次是在 1912 年，一场突发的暴雨洗劫了阿根廷日 食考察队。后来一支得到强大财政支持的德国考察队到了克里米亚，准备
观察将发生在 1914
■
图 5.3(A)一个在一艘停放在密度极高的行星上的宇宙飞船上的机器 人，瞄准对面窗口发射了一束激光。为了清楚起见，艺术家夸大了把光子 往下拉的引力场的强度。
(B)此飞船现处于远离任何引力场的太空深处，并以常加速度作加速
运动。机器人瞄准窗口发射了一束激光。 (C)在这束光飞向对面窗口时，宇宙飞船的地板也以越来越快的速度
向上运动。 (D)因而，这束光射不出窗户，而是射到对面的墙根。如果这个机器
人有视觉的话，他会看到这束光的轨迹和图(A)中的是一样的，因而验证了 等价原理。这个机器人说不清自己是处于静止的引力场中还是在作加速运 动。
年 8 月 21 日的日食，但 8 月的枪声隆隆作响了。狂怒的爱因斯坦在写给一 个朋友的信中说，“只是可悲的人的阴谋”阻止了他的想法得到验证。 事实上，爱因斯坦是幸运的。在 1915 年末，他发现自己犯了一个错误。爱 因斯坦(其它地方都正确)忽略了扭曲的空间的一个特殊效应，他原来预言 的弯曲量只是正确值的一半。
1919 年，战争结束了，两个英国考察队分别到了巴西和西班牙属几内 亚(Guinea)，他们对日食的观测明确地肯定了爱因斯坦的理论。如果历史 不是这样，爱因斯坦会多少有些窘迫。这个理论的不可理解的神秘性和实 验的明确的可理解性，征服了这个厌战的世界。新闻转向了一个与饥荒、 布尔什维克和赔款无关的事件。伦敦《时报》以“科学中的革命/宇宙的新 理论/牛顿的观点被推翻/重要宣言/空间被扭曲”为标题透露了这一新闻。
《纽约时报》报道说，在这个世界上有 12 个(他们竟然数过了)聪明的人理 解了这个新理论。爱因斯坦立即变成了著名人士，受到来自世界各地的领 导人的接见。
扭曲的时间
尽管，时空可以被扭曲在 1919 年就已经确定了，但它至今仍然常常 出现在那些带有科幻意味的科普文章里。引力扭曲时间在 1960 年由哈佛大 学的 R.V.庞德(Pound)和 G.A.雷勃卡(Rebka)在一次陆地上的实验中验证 了，他们试图证明在引力场中的不同点，例如在塔的顶部和底部，时间以 不同的速率流逝。
庞德和雷勃卡不必到远处去找一个适合的塔，就象比萨斜塔一样，哈
佛大学物理系也有自己的塔。利用等价原理作一简单计算，就可预言在连 着哈佛大学物理楼的塔的塔顶和塔底的两只钟 1 亿年后将会相差 1 秒。要 检验出如此细小的差别，庞德和雷勃卡必须最大限度地施展他们的才干。 这两位实验物理学家是用一个光子作时钟的。我们都知道电磁波以一 定的频率振荡，正是这个事实使我们能选择自己喜爱的广播和电视节目。 因此，以确定频率振荡的光子可用来作一个时钟。庞德和雷勃卡从哈佛塔 顶往下发射一束光子，并在塔顶和塔底仔细地测量它们的频率。如果时间 在塔顶和塔底以不同的速率流逝，那么光子从塔顶传下时频率将会象实际 所发生的那样会有微小改变。这个实验明确地肯定了爱因斯坦的理论。几 年以后，庞德取笑说，当他把沉重的实验设备在塔中搬上搬下时才理解了
引力的真正含意。
黑洞 因而宇宙中有一些极大的天体是看不见的。
——拉普拉斯侯爵皮尔·西蒙 足智多谋的实验物理学家一直在不断地验证和支持爱因斯坦关于引 力的观点。不幸，在陆地上和太阳系附近的实验，由于牛顿的和爱因斯坦 的理论差别太小而受到限制。只有在象黑洞周围那样的区域，两种理论才
会有很大的差别。 黑洞抓住了公众的想象力。实际上，黑洞的想法既不新也不特别深
刻。早在 1795 年，与法兰西观象局和国家研究所都有交往的德·拉普拉斯 (deLaplace)侯爵，就提出过，即使是光也可能不能运动得快到足以逃离极 端致密的天体。高密度的天体会把光拉回去。
光不能从一个高密度的天体逃逸是每个人都同意的明显结论，真正的 问题是，这样一个物体是怎样形成的。标准的说法认为，是由一个大质量
的恒星在燃尽它的核燃料后坍塌造成的。在 1939 年 J.罗伯特·奥本海默 (RobertOppenheimer)，G.沃尔科夫(Volkoff)和 H.斯尼多(Snyder)指出， 一个质量足够大的星体不能阻止自身的坍缩，最终将达到拉普拉斯所想象 的临界密度。这里牛顿和爱因斯坦有根本的不同。在牛顿力学中，人们可 以说星体上的物质可以变得足够紧密以阻止坍缩。但是与这种紧密性相联 系的是需要很多能量(注意压缩的弹簧会放出能量)。按照爱因斯坦的观 点，这些能量等价为质量，又将产生一个附加的引力场，而这个引力场又 加速了坍缩。按爱因斯坦的理论，即使从原理上讲，也不能防止黑洞的形 成。
不听话的人 在几英里的距离内，大地平坦理论和大地球形理论的差别是可以忽略
的。但随着一个人旅行的距离越来越长，两种理论的差距就变得越来越大，
直到最终绕了地球一周之后，他就会发现两种理论是完全不同的。与此相 似，当我们把宇宙看成一个整体时，牛顿和爱因斯坦的理论就完全不同了。 由于在爱因斯坦的理论中空间是弯曲的，我们就可以象环球航行一样环宇 宙航行，乘上一个飞船，保持一直向前(即走最短路径)，经过极久远的时 间后，就可能回到原来的位置。在这种情况下，宇宙是有限的，被说成是 “封闭的”，就象一个球那样弯曲。宇宙也可能象马鞍一样弯曲(想象马鞍 无限扩展出去)。在这种情况下，宇宙是无限的，一个空间旅行者可以保持 永远向前而不会重回任何他曾经到过的地方。这种宇宙被称为“开放的”。 显然，天文学家不能通过直接观测来确定宇宙是开放的还是封闭的。 与古希腊人确定地球是平的还是圆的方法相似，物理学家和天文学家需要 把直接观测的结果和间接的物理推理相结合，以作出最好的决断。就读者
的知识而言，立即能得到的证据倾向于宇宙是开放的。
1917 年，在提出引力理论不到两年之后，爱因斯坦又在物理学中开辟 了一个激动人心的领域：现代宇宙学。经过了上百万年的进化，人类心智 终于可以超越星系而去理解宇宙本身了！爱因斯坦意识到，既然天体的运 动都受引力支配，那么一个完整的引力理论应该能够告诉我们整个宇宙的 动力学。
今天，天文学家告诉我们，宇宙充满了均匀分布的星系。1922 年俄国
的亚历山大·弗里德曼(AleksanderFriedmann)解出了一个由物质均匀填充 的宇宙的爱因斯坦方程，证明了宇宙要么在膨胀，要么在收缩。
我们可以想象这种说法会引起什么震动。宇宙总被想象成不变的或永 恒的。确实，爱因斯坦本人也是如此墨守静止宇宙的观点，以至认为自己 的宇宙方程是不完整的。在 1917 年的文章里，他实际上已修改了他的方 程，以允许其有静止解。料想他后来会把这一改动称为他一生中“最可悲 的错误之一”。
在陪审团制定爱因斯坦犯有不相信他自己的理论的罪之前，我必须赶 来提醒陪审团注意，在 1917 年天文学家的知识相当有限。在当时他们甚至 还没有确定，除了我们银河系外还有其他星系存在。但进步是非常快的。 到了 1929 年，放弃了律师职位而去研究天文的美国天文学家埃德 温·哈勃(EdwinHubble)，确定了星系间是相互背离飞行的。到了 1935 年，
宇宙正在膨胀已成了天文观察的事实。1946 年，乔治·伽莫夫提出了宇宙 产生于大爆炸的想法。
这个想法其实很简单。我们想象着把宇宙膨胀的电影倒着放，这样银 幕上看到的星系就是相向着飞行。最后，所有的粒子都聚到了一起。突然 胶片断了。如果我们再把电影正过来放，就会看到宇宙中的所有粒子都是 从一点爆炸式地冲出来的。大爆炸的图像成功地解释了观察到的某些宇宙 特性。
对于爱因斯坦的错误，有一个很难理解的脚注。1917 年，爱因斯坦在 他的理论中加上了一个被称作“宇宙常数”的项，使得宇宙“停止”了膨 胀。既然宇宙确实在膨胀，宇宙常数这一项就不该有。但是，直到目前为 止，也还没有一个人能找出一个理论上的论据来证明这一项不该有。这一 困难，即“宇宙常数问题”，是今日物理学中最深刻的未被解决的问题之 一。
神秘的迷宫 爱因斯坦的错误再次说明，在一个伟大的物理理论的内部结构中，含
有它的创造者都梦想不到的秘密。理论应该指引理论家，而不是反过来。
爱因斯坦的理论就把我们从乘电梯时胃下沉的感受引导到宇宙的膨胀。这 和只被简单地构建来“解释”具体现象的唯象学理论形成了鲜明的对照。 那些制作这种理论来拟合数据的理论物理学家，从中得到的东西和他们放 进去的一样多，是他们指引了他们的唯象学理论，而不是反过来。这种唯 象学理论可能有很强的实用性，但是关于其它现象，如果说它们还能告诉 我们点什么的话，也只是很可怜的一点点，我对它们基本上不感兴趣。
它必须是 爱因斯坦的理论，以它使人敬畏的完美，为理论物理学树立了一个典
范。这个理论的出发点植根于日常生活经验，但它的结论却和直感大相庭
径。只要给出所有物体都以同样速率下落，人类理性就能建立一个理论。 由此理论，象时间的引力畸变、宇宙的演化一类的原来只有神仙才知道的 黑色秘密，就会自然地、逻辑地流露出来。
爱因斯坦的引力理论带有一种不可避免的意味。一个特定的理论只有
唯一可能的一个，这种说法对物理学来说还是新的。例如，牛顿说两物体 间的万有引力与它们的距离平方成反比，从纯逻辑的角度看就显得有些任 意，为什么这个力不与距离或距离立方成反比呢？
牛顿并不认为这个问题是不可回答的，他提出的定律只是简单地陈述 依照对现实世界的观察得到的结论。所不同的是，一旦爱因斯坦确定广义 协变是必须的，引力理论就完全确定了。
爱因斯坦的首席传记作家阿伯拉罕·派斯(AbrahamPais)曾贴切地评 论说，如果说爱因斯坦的狭义相对论以其完美性使人想起莫扎特的作品， 那么他的引力理论则充满了贝多芬作品的力度。贝多芬作品第 135 号最后 一个乐章题有：“Musz es Sein？Esmusz sein.”(它必须是吗？它必须是。) 艺术就其完美性来说，必定有一种必然性。
完美的艺术肯定是不能被更改的，有谁敢，或更进一步，有谁想过要 重写贝多芬的第九交响乐呢？在理论物理学中这种结构更严密。物理学家 不象音乐家那样尊重权威，一代代物理学家是带着要改进爱因斯坦理论的 眼光来摆弄他的理论的，但没有一种方法能在不放弃广义协变原理的前题 下，对这个理论作实质性的修改。在对称的美学原理下人们可以修饰爱因 斯坦的理论，但不能更改他的结论。
图 5.4 理解了艺术的必然性的两个同胞
第六章 对称性统治设计
一个睿智的、年长的同事曾经对我说，他每隔 10 年看一遍托尔斯泰 的《战争与和平》，而且每一次都觉得它是一本不同的书。最伟大的文学 巨著具有不同层次的含意：它们所告诉读者的东西依赖于读者的经验和情 感。我在 10 岁时天真地认为《威尼斯之死》是一本关于谋杀的侦探小说， 但后来发现不是这么回事后就失望了。长大以后，我吃惊地发现，作品中 含有非常丰富的符号主义。
在高中时我并不是仅对刑事侦探小说感兴趣。一天，我找到了一本讲 述爱因斯坦理论的科普小册子。象一个典型的门外汉一样，我被爱因斯坦 博士的宇宙的稀奇古怪的方面所吸引。后来到了大学，在我掌握了足以理 解爱因斯坦理论的物理和数学知识后，我惊叹他所涉及到的数学的精巧， 而把那些奇怪的结论看成是他的理论的完美的逻辑结论。但是随着我学到 的物理越来越多并开始做研究时，才最后意识到爱因斯坦留给我们这一代 物理学家的真正遗产，只不过是做物理的一种新方法。
基础物理的发展框图
为了欣赏爱因斯坦的洞察力，让我们先来回顾一下 19 世纪理论的精 华——电磁学理论发展的脉络。
经过摆弄青蛙腿和导线，物理学家看到自然的行为有一定规律，并且
可由一组方程来描述。这些方程一旦写下就唱出了一首歌，它耐心地等待 有人来听。最后，一个聪颖的年轻人走来了，听出这些方程在说它们是洛 伦兹不变的。然后这个年轻人又意识到这个对称性要求对整个物理学进行 修改(关于电磁学和狭义相对论发展的图解见图 6.1)。
在爱因斯坦完成狭义相对论之后，他和他的同时代人赫尔曼·闵可夫
斯基(HermannMinkowski)还明白了，图解中的箭头也可以倒过来。假定在 黑夜里被秘密告知这个世界是洛伦兹不变的，我们能不用进实验室一步就 推出麦克斯韦方程并因此推出电磁学的事实吗？
在很大程度上我们能！洛伦兹不变性是对自然的一个强有力的限制。
麦克斯韦方程是如此复杂地为这个不变性所关联，以至于只要给出其中之 一，我们就能推出其它的来。
下面就让读者品尝一下所涉及到的推理的味道。
我们被给定了一个联系时间与空间、电与磁的对称性。假定我们知道 了麦克斯韦方程组中的一个方程，比方说是与库仑定律相应的那个方程， 你可能回想起了库仑定律是描述一个电荷产生的电场是如何随着离开它的 距离下降的。换句话说，我们有了一个描述电场如何随空间变化的方程。 在洛伦兹变换下，这个方程精确地演化为描述电场如何随时间、磁场如何 随空间、以及相应的其它麦克斯韦方程。
这种对称性讨论的实质也可以简洁地表述出来：既然这种对称性把时 间和空间统一成时空，电场和磁场统一成电磁场，一个单单描述电场随空 间变换的方程就不能成立。确实就象我们在第四章中说到的，这样的方程 只能是描述电磁场随时空变化的统一方程的一个部分。建筑学上也有类似 的情况。如果建筑师被告知房间具有六角对称性，而且他又得到了一面墙
的照片，那么他就能明白无误地推出整个房间的设计式样。在物理中，涉 及到的数学更复杂，但指导思想还是一样的。
在菲力浦·罗斯(PhilipRoth)的《幽灵作家》中，有一个人物是一个 著名的作家，他告诉另一个人物说，他总是在午饭前写一个句子，午饭后， 他就轮换这个句子，他的一生都花在在头脑中翻来复去倒腾句子上。在很 大程度上，理论物理学家也一样是在他们头脑中反复倒腾逻辑结构。因而， 爱因斯坦和闵可夫斯基意识到可以把图 6.1 中的箭头反过来，把对称性当 成出发点。
19 世纪基础物理学发展框图
图 6.1 大量的实验事实被总结成方程，而这些方程又揭示了自然设计中用 到的一个对称性。一旦看出这个对称，又引出了一些新的如质量转换为能 量一类的可从实验得到验证的事实。这些新事实和电磁学中的事实间的联 系并不是很明显的。
一次俯冲捕食 爱因斯坦领悟了对称性的威力，并把它用于发展自己的引力理论。他
不是根据五花八门的实验事实吃力地总结出这个理论并从中找出一个对称
性，而是提出一个足以决定他的理论的对称性。他的工作程序如图 6.2 所 示。
事实抽象出来)
20 世纪基础物理学发展框图
图 6.2 爱因斯坦在发现他的引力理论时所遵循的逻辑过程。请与电磁
学和相对论的发展过程相比较(图 6.1)。 对称性使爱因斯坦找出引力理论只是一蹴而就的事，只需一次俯冲就
捕到了他所要的引力理论。为了能对此作出评价，让我们来看看如果物理
学家们象他们中有些人试图做的那样，按照 19 世纪的方法来研究引力，情 况会怎样。经过对行星轨道进行多年的仔细研究，天文学家得注意到它们 与牛顿定律所预言的有极其细微的差异。为了对此作出解释，物理学家将 对牛顿的引力定律作细小的修正。更仔细的研究又表明这还是不行，物理 学家们又被迫对牛顿的引力定律作更细小的修正。但是，即使物理学家们 能正确确定所有的修正项，要看出所有这些修正可以组合起来，产生出一 个完全不同的理论，在数学上也还是一个天才的突破。而处于中间阶段时， 这个理论是一个复杂的大杂烩。这就好象一个建筑师设计了一个方形建 筑，而他的委托人实际上是想要一个圆形的。每次建筑师提交图纸，委托 人都要要求作一些改动，但拒绝告诉建筑师他究竟想要的是什么。这个建
筑师不断地改动他的方形的设计。终于，当设计变得越来越圆时，他可能 会意识到委托人想要的是圆形的设计。
夜晚的声音 我认为爱因斯坦对对称性如何支配设计的理解，是物理学史上真正深
刻的见解。今天的基础物理基本上是遵循爱因斯坦式的工作程序而不是遵
循 19 世纪式的。在研究基础设计时，物理学家是从一个对称性出发，然后 看它的结论是否和观察结果相符。
读者可能会问，在玩爱因斯坦的游戏时，物理学家如何找到那个合适 的对称性呢？可以推测，没有人会在黑暗里对着我们的耳朵悄悄告诉我 们，自然织进他花毯里的是什么对称性。如果一个委托人想要具有某种对 称性的设计，又不把这种对称性告诉建筑师，这个建筑师得怎样才能找出 这种对称性呢？
显然，人们可以从已知实验事实中抽取对称性，这正是爱因斯坦所用 的方法。困难在于确定和提出那个与对称性关系最大的事实。从许多与引 力有关的已知事实中，爱因斯坦抓住了所有物体无论质量如何都以同样的 加速度下落这一事实。例如，他并没有使用两物体间的引力与它们之间距 离平方成反比这一事实。这个以及所有其它已知事实都是作为加在引力上 的对称性的结论出现的。
随着受到的约束越来越少，物理学家们越来越大胆地使用的一种处理
方法是，去听与审美有关的那个半脑的意见。为了理解上帝的心灵，他们 去探寻自己的心灵，因为那里构造了对称和美。在寂静的夜晚，他们静候 那些能告诉他们关于尚未梦想到的对称的声音。
说到刚才用到的类比，我们可以想象建筑师如何苦思委托人所说过的
话，试图从中找出与委托人想要的对称性有关的线索。这种处理大致相当 于物理学家从观察结果中抽出对称性。但是，这个建筑师也可以采用一个 更大胆的方法，事先作出他所能想到的最合谐的设计，然后只能希望委托 人与他分享共同的审美感受。
在第四部分，我将解释这两种处理方法如何都被物理学家所采用并产
生了很好的效果。
在夜晚的森林里 在关于相对论的工作中，爱因斯坦处理的是电磁和引力两种相互作
用，它们在日常生活的宏观世界有所表现，而且我们对之已经有了相当程 度的直观理解。但就在爱因斯坦进行他的工作时，物理世界的秩序也正在 瓦解，已经发现原子和核的世界跳的是另一种舞步。经典物理的平稳的华 尔兹为量子物理的吉特巴所代替，新的相互作用统治着这一陌生的微观世 界，对此物理学家还没有直观的感受。世界并不象那些 19 世纪晚期自负的 持决定论观点的物理学家想象的那样简单。物理学家们进入了夜色朦胧的 森林，那里能听到的只是把他们引入难以摆脱的悖论的森林妖怪的歌声。 在黑暗中，燃烧的猛虎，以它威武对称的身躯，犹如希望的灯塔出现 了。基础物理学家越来越依赖于此虎。今天，在包括我在内的许多基础物
理学家的工作中对称性的考虑起着中心的作用。
图 6.3 黑夜森林中那只燃烧的猛虎
Ⅲ 光环中的明星
第七章 作用量
在科学中，人们得试图说出前人不曾说过的话；在诗中，人们则可以 说前人已经说过的东西，但要说得更好。这就基本上解释了为什么好的诗 和好的科学理论都同样稀少。
从表面上看，诗和物理极为不同。然而，某些理论物理学家也象诗人 一样，把自己的创造力用于去说那些前人已经说过的东西，但用一种不同 的方法。把某一方面的物理学理论用一种新的方法表述出来，并不能使我 们的知识有所增加。因此，那些更实用主义的物理学家往往不理睬他们的 工作；基本上也是由于同样的原因，诗也常常被冷落。在诗中和在理论物 理中都一样，新的东西往往比老的更繁琐、更臃肿；所以在多数情况下， 这种粗鲁的冷落也不是没有道理的。但是，偶尔也会有一首结构更精美、 格调更清新的诗篇会比以往的诗都更明晰地表现了主题。在物理学中也是 一样，那些更多更准地抓住了自然的内在逻辑的公式也时有出现。
在牛顿的公式中，注意力集中在每一时刻粒子所处的状态。作用在粒 子上的力使得粒子的速度按牛顿定律 F＝ma 变化。因此，我们知道粒子在 下一个时刻的速度，并可推出粒子的位置。通过重复这种手续，我们就能 知道粒子在将来的速度和位置。简单地说，这是每个初学物理的学生都必 须掌握的标准方法。因为我们留意的是某一时刻和下一时刻的物理量的差 异，这种方法就被称作微分方法。描述这些物理量的变化的方程被称作“运 动方程”。
另一方面，作用量方法则是总观粒子所走的路径，并探寻粒子“用来”
选择这一特别路径而不是其它路径的根据。 长时间以来，作用量方法一直只被当成牛顿公式的一个精巧的替代
物。在此期间，物理学的内容依然是用微分形式的运动方程描述的。然而，
我们这代理论物理学家最终还是拥抱了作用量方法，而抛弃了微分方法。 我们变心了，因为作用量方法更美，它使我们更容易对基础设计的对称性 进行研究。
匆忙的光 当一个游泳者站在水池中时，他的腿看起来变短了。把汤匙插进一杯
水里也可看到同样的现象。这个现象很容易用光通过两个透明介质的界面
时会发生偏折来解释，这里两种透明介质分别为水和空气。在图 7.1 中， 一束光从游泳者的脚趾尖传到水面的 A 点，偏折，然后传到观察者的眼睛 E。根据来光方向，观察者的大脑判断游泳者的脚趾尖是在 T′处，因而腿 显得短了。
为了对为什么光从水到空气时传播方向要偏折有一个更深刻的理 解，数学家费马(Fermat)(1601—1665)在他去世那年提出了一个相当神秘 的原理，被称作费马原理。这个原理说，光所选择的是使它到达目的地所 花时间最短的那条路径。
在图 7.1 中，直线路径 TBE 在距离上比光实际所走的路径 TAE 更短。
但光在水中要比在空气中走得慢，TAE 这条路在水中的一段要短一些，这 样就可省下时间来走 AE 这段更长一些的路程。那 TCE 这条路会不会更省时 呢？这条路在水中的一段 TC 更短了，但在空气中的 CE 段更长了。显然， 存在一条最佳路径。
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图 7.1 匆忙的光：在从游泳者的脚趾尖传到观察者的眼睛时，光选择 的路径使它能用最短的时间到达目的地。由于光在水中传得慢，所以它走 TAE 路径，而没有走距离最短的 TBE。于是，观察者好象觉得脚趾尖是在 T
′点。
赛车手也得作同样的选择。在这个高速公路的时代，最省时的路线往 往不是最短的路线。从巴黎到威尼斯就有几条路可走。一个赛车手既可能 经苏黎士横穿瑞士，也可能绕法国南部而行，这得看天气。
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图 7.2 夏天的幻景：从车罩 H 发出的光，先下弯经接近地面的热空气 向前传播，然后再上弯，最终的效果是沿路径 2 到达观察者的眼睛。观察 者的大脑根据来光方向认为它是来自 H′。另一束光经路径 1 直接从 H 到 达眼睛。从车上的每一点传到观察者眼睛的光都以这样两种方式传播。因 此观察者就看到了车的一个反射像。大脑这个不可思议的器官由此推出路 一定是湿的。
(说到赛车手，我想说常见的光学幻景也可用光生性匆忙这个原因来
解释。在热天开车，常可看到远处的汽车在路上的“倒影”。我们的大脑 太容易上当了，它还当前面的路是湿的呢。这种现象之所以出现，是由于 接近路面的空气比上部的更热，而光在空气中的速度依赖于温度。)
费马原理给那个时代的人留下了如此深刻的印象，以致他们急切地要
去找出力学中类似的原理。在光学中，最短时间原理使我不必记忆那与图
7.1 中θ、φ有关的并不特别有启发性的公式。同样，人们希望在力学中 也能有一个类似的原理来代替原来的牛顿运动方程。
一个正确的被称作最小作用量原理或作用量原理的原理不久就由皮
埃尔·路易·莫里·欧·德·莫珀图易斯 (PierreLouisMoreau de Maupertuis)(1698—1759)，约瑟夫·路易斯(JosephLouis)，科蒙特·德·拉 格朗日(ComtedeLagrage)(1736—1813)等发现了。
作用量
通过考察一个粒子在 TA 时从 A 点出发，在 TB 时到达 B 点这样一个典 型过程，就可清楚地看出作用量原理的含意。在作用量原理的方法中，我 们不仅要考虑粒子从 A 到 B 所可能走的所有路径，而且还要考虑它走这一 段路程的所有可能方式。因此，对于一个特定的路径，粒子可先慢走，然 后加速一会儿，再慢下来，然后再加速。物理学家把一定时间内走过这一 路径的每一种特定方式称为一个“经历”。在作用量原理中，所有可能的 经历都必须被考虑。(和在给定介质中速度是确定的光子不同，有质量的粒 子的速度是与环境有关的变量。因此，作用量原理在这方面不同于费马原 理，而要更一般些。后来物理学家确实就把费马原理理解为作用量原理的 一个特例。)
我们下面就接着陈述作用量原理。 给每一个经历指定一个被称为“作用量”的数。例如，一个经历可以
被标上 95.6，另一个经历可被标上 123.45。作用量原理说，粒子的实际经 历是作用量最小的那一个。就象费马原理能确定光的径迹一样，一旦我们 确定了作用量，这个原理就为我们确定了粒子的实际径迹。
物理学可以用作用量原理的公式表述。如果能找到一个公式来算出一 给定物体在任一经历下的作用量，我们就完全把握住了这个物体的运动情 况。例如，一个牛顿粒子的某一经历的作用量是这样计算的：从它的动能
中减去势能，然后将这个量对从 TA 到 TB 的整个期间累加起来。(在牛顿力
学中，动能是仅与粒子运动有关的能量，而势能则是一种“贮存起来的” 可转换成动能的能量。例如，在地球表面附近的物体因重力的牵引而具有 势能，物体离地越远，它具有的势能就越大。当物体下落时，它的势能就 转换成动能。)作用量的计算很象会计计算某一生产方案的总商业利润。他 从一周的毛收入中减去总成本，然后把这个量对整个财政年度的 52 周累加 起来。商人自然要选择一个最优的经历使总利润最大。
伟大的下落 让我通过一个物体的下落来说明作用量是如何起作用的。如图 7.3 所
示，张三先生必须在一给定时间内从 A 点跳到 B 点，并使他的作用量最小。
显然，不按直线下落对张三先生没有什么好处。弯曲的路径要比直的更长， 这样张三就得走快一些，于是他的动能、作用量都增加了。一旦张三决定 了要直接下落，他也还得从无穷多种可能的经历中选出作用量最小的那一 个。为简单起见，张三先生可从比较两个策略大体相反的经历入手：一种 是开始落得慢些，然后逐步增加速度；另一种是开始落快一些，然后再逐 步慢下来。请记住，作用量是动能减势能并对经历作累加。由于势能随到 地面的距离的增加而增加，在高处花的时间多会有好处，因为这可以减去 更大的势能。因此，张三的下落是先慢后快。借助于初等力学，可以证明， 张三的最佳策略是以一常加速度加
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图 7.3 张三先生必须决定哪一种经历使他从 A 到 B 的作用量最小。路 径 2 不能使他的作用量最小。
速下落。
读者可能会觉得，在这种情况下，作用量的方法实际要比微分形式的 方法更复杂。情况也确实是这样。在后一种方法中，张三的加速度可由牛 顿公式立即算出。但是，当物理学的知识超过牛顿力学时，作用量方法的 优越性就越来越明显了。
神灵指路 我必须强调指出，力学的作用量原理所表达的东西既不比牛顿力学的
多，也不比牛顿力学的少。作用量方法虽然更紧凑、更美，但它在物理上
和牛顿的公式是完全等价的。 然而，这两种方法的着眼点是完全不同的。在作用量方法中，采用的
是一种结构性的观点，是比较粒子从这里到那里所有可能走的路径和经 历。
对于 17 和 18 世纪的人们来说，最短时间和最小作用量原理提供了让 人感到安慰的神灵指路的证据。有一个声音告诉宇宙中的每一个粒子去走 最有利的路径和选择最有利的经历。由最小作用量原理会引发出一大批半 哲学、半神学的作品是不足为怪的。这些作品尽管很迷惑人，但最终仍被 证明是虚幻的。今天的物理学家通常采取一种保守的、实用主义的态度， 他们仅把最小作用量原理看成是物理学的一种更紧凑的表述方式，而对由 此引出的半神学的解释不加理睬。
餐巾上的世界 作用量原理在物理上被证明是适用于整个宇宙的。自牛顿以来的所有
物理学理论都可以用作用量的语言表述出来。作用量的公式也更简洁和精
巧。例如，麦克斯韦的四个电磁学方程就可用一个简单的作用量——一个 使我们能对每一描述电磁场如何变化的经历算出一个数的公式来表述。同 样，爱因斯坦的引力理论的十个方程也可精巧地概括到一个简单的作用量 中去。(在爱因斯坦得到他的引力方程后不久，他自己和德国数学家大卫·希 尔伯特(DavidHilbest)就独立找出了相应的作用量。)这就是说，尽管运动 方程可以很复杂，可以有很多个，作用量公式只有一个。
读者应该理解，整个物理世界是用单个作用量描述的。每当物理学家
掌握了物理学的一个新领域，譬如说电磁学，他们就在描述这个世界的作 用量公式中加上一个用来描述这个新领域的项。因而，在物理学发展的任 一阶段，作用量是一些分离项的累加。我们可以指着其中的一些项说，这 项是描述电磁的，那项是描述引力的，等等。基础物理学家的志向就是要 把这些分离的项统一成一个有机的整体。机械师修理他的引擎，建筑师修 改她的设计，基础物理学家则是要修补这个世界的作用量。他把这项换一 下，把那项改一下。
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图 7.4(A)基础物理学家梦想在一张餐巾上写下整个宇宙的设计。作用 量公式可以使表述非常紧凑。
(B)今天，大多数物理学家相信这个作用量就和这张餐巾上所写的差
不多。为了理解其上每一项的意义，你得到有名望的研究生院学习多年。 然而，你也会留意到等式右边的那些加号：这个作用量是由许多部分加到
一
1 1 2
起的。例如，第一项 R代表万有引力，第二项 F
G g 2
代表其它三种相互
作用。这表明物理学还没有能做到对自然的完全统一描述。正象第十六章 所说的，物理学家正尽力找出一个能把上面作用量中的六项都归成一项的 更紧凑的作用量。
我们对物理学的探索可以归结为是要决定一个公式。当物理学家梦想 在一张餐巾上写下关于整个宇宙的全部物理学理论时，他们指的是要写下 宇宙的作用量。要写下所有运动方程则要占多得多的地方。
不变的作用量
虽说言以简为贵，但我们偏爱作用量的最主要的原因还不是它的简 洁。让我们回到中心论题对称性上去。在讨论对称的概念时，我曾小心地 说，对不同的观察者物理实在可以不同，但物理实在的结构必定是相同 的。作用量原理使我们能够给出“物理实在的结构”一语的精确含意。
为了说明这一点，让我们回忆一下第六章中关于库伦定律在洛伦兹变 换下如何变换的讨论。库伦定律的数学方程具有(电场)＝(电荷的函数)的 形式。在洛伦兹变换下，等号两边的量都变了，但始终保持等号成立。站 台工作人员看到是电场的东西，在火车上的乘客看来就会是电场和磁场的 混合，库伦定律就变成了奥斯特定律。
按物理学家的行话，并不说这个方程是不变的，而说它是协变的。方 程两边都以同样的方式变化，而不是都保持不变。结果是，尽管涉及到的 物理量都变了，但它们之间的结构关系仍然不变。打一粗略的比方。假想 有一桩婚姻，配偶双方性格都逐年“变化”，在少见的情况下，夫妻双方 都沿同样的方向以同样的速率变化。虽然夫妻双方都有所变化，但他们的 关系依然如故。不幸的是，心理学家告诉我们，大多数人际关系并不是随 时间协变的。(当然就更不会是不变的。)
和运动方程不同，作用量在洛伦兹变换下保持不变。作用量是保持不
变的。确实，说物理学具有某种对称性是指，在作过与这种对称性相应的 变换后作用量保持不变。结果，对任一经历，不同观察者给它标记上的都 是同一个数，譬如说 95.6，这样对作用量原理所要选择的是什么经历，就 不会有任何分歧。简而言之，作用量体现了物理实在的结构。
为检测基础设计中是否具有某一对称性，必须依次检查用微分形式写
出的许多运动方程的协变性。而在作用量表述中，任务则变得相当容易， 只需检查作用量的不变性。
从作用量考虑 随着量子力学的出现，另一个使我们偏爱作用量表述方式的基本原因
又出现了。就象我将在第九章中解释的那样，作用量的表述形式很自然地
适合于描述量子物理。 由于已经提到的和尚未提到的一些原因，在基础物理学的领域，作用
量的表述方式已经把运动方程挤到一边去了。在我自己的工作中就算有， 也极少处理运动方程以及相应的诸如力和加速度一类的概念。
有些物理学家乐于相信宇宙的终极设计者是从作用量的角度来考虑 问题的。
第八章 女士与虎
自然不会发表他的设计 和建筑师不一样，自然并不会去四处讲解他的设计的对称性。这些对
称性得由理论物理学家把它们推导出来。有些对称性，如宇称和旋转不变 性，在直观上很明显。我们认为自然应该具有这些对称性，如果他没有的 话我们就会感到吃惊。另一些对称性，如洛伦兹不变性和广义协变性，要 更精巧一些，而且也不是基于日常生活经验就能看出来的。但是，不管在 什么情况下，为了找出自然所具有的某种对称，我们必须将由这种对称导 出的推论和实验的观测结果作比较。
找出一个对称性的可观察推断的难度依赖于这个对称性。这一任务也 因实验者所能获取的实验现象的范围有限而变得复杂。因而，据某些可能 存在的对称性所作出的推断，大概永远也不能得到直接验证。
在前一章中，我们已经知道，一个物理学理论可以被总结成一个被称 为作用量的量，并且这个理论的对称性就明白地表现于，在各种变换之下 作用量的不变性。
爱因斯坦宣称，对称性能够制约作用量的形式。然而，物理学家常常
遇到这样的情况，他们并不知道所涉及到的全部对称性，而他们确实知道 的那些对称性又不足以限制作用量的形式。尽管作用量可能具有的形式已 经大大受到限制，它们也依然有许多种可能的形式。即使要求每个建筑都 必须具有左右对称，建筑师也可以设计出无限多种建筑来。
遇到这种情况，物理学家只得依次考察每一个“候选的”作用量，以
确定它们的物理含意。这确实是一个艰巨的工作。在极端情况下，要从一 个几笔就能写出的作用量中把所有的推断抽取出来，如果不说要花几十年 的话也得花几年的时间。
现在如果有人走过来说：对于一个特定的对称性，人们可以不必知道
作用量的具体细节而立即知道它的某些推断，物理学家们将会欣喜若狂！
痴迷的爱因斯坦 在本世纪早期，确实有人走来了：她就是数学家艾米·诺特尔
(EmmyNoether)。她的深刻的结论一直是物理学家关于不变的作用量的最一 般的陈述。她去世后，爱因斯坦在《纽约时报》上写了一篇悼念她的文章， 说：
纯数学是一种逻辑理念的诗篇。它寻求的是以简单的、逻辑的和统一 的形式把最大可能的形式关系圈汇集起来的最一般的操作观念。在这种接 近逻辑美的努力中，人们发现了那些为更深入、更透彻地理解自然定律所 必须的精神法则。
这个艾米·诺特尔是谁呢？她的“精神”发现又是什么呢？要想知道 答案，得听我解释物理学的守恒定律。
没有不要钱的午餐
物理学中的守恒定律说，你得到的只会和你给出的一样多。大自然 说，没有不要钱的午餐。能量是守恒的，永动机是不可能造出来的。
直到上世纪和这世纪交接的时候，永动机还仍然相当风行，并常在博 览会中展出。那些想当发明家的人，被可以造出一种不需燃料而永远运转 的机器这样一种想法迷惑住了。由于现实世界的机器总免不了有摩擦阻 力，要维持机器的运转必须提供一些附加的能量。那些表面上看起来能永 远运转的机器，最终都被揭露出是具有欺骗人的结构。例如，有些机器内 有暗藏的辅助装置，有些则是有暗中操纵等等作弊现象。
如同会计学中的收支平衡一样，在物理学中守恒是一个重要的概念。 会计先在一个账户的初始余额上加上这个账户的所有收入，然后从中减去 所有支出，最后要核查得到的总数是否等于总的结余。自然的会计就是她 自己，她算账的速度飞快，并且从她一生下来一直干到现在。实验物理学 家们就象独立的审计员一样，一直在对自然的账目作现有技术所允许的最 精细的核查，而且至今为止还没有发现任何差错。能量守恒定律还从来没 有不对的时候。观察两个弹子球的碰撞，如果分别测量两个球在碰撞前和 碰撞后的速度，计算与这些速度相应的动能，实验者就会发现，尽管每一 个球的能量都由于碰撞而变化了，但总能量在碰撞前后是守恒的。
随着我们的实验者对弹子球速度的测量精度的提高，他终于发现了碰
撞前后的能量有细小的差别。有很小一部分动能不见了！自然会不会象今 天潜伏在银行里的计算机窃贼一样，把每一账户上四舍五入舍去的最后一 位微小的金额归到她自己的名下了呢？不，不是这样，自然只不过是把这 一小部分金额转到其它账号上了。我们不懈努力的“审计员”现在用更精 密的仪器测出了被碰撞产生的声音带走的能量。此外，他还检查出弹子球 和桌台都稍稍变热了。考虑到所有形式的能量后，账本仍然是平衡的。
能量守恒的概念大大减少了物理学家的计算量。让我们来看一个简单
的例子，一个钟摆的摆动。知道了任一时刻作用在摆锤上的重力后，借助 于牛顿定律我们就能算出摆锤的速度如何变化。依次在不同时刻进行计 算，我们就可知道摆锤在轨迹上任一点的运动状况。然而，如果认识到当 摆锤来回摆动时，能量也在动能和势能之间来回转换的话，事情就变得比 较容易。回想一下第七章说过的关于势能的话，就会知道，摆锤离地面越 高，它的势能就越大。摆锤在达到最高点的那一刹那是静止的，动能为零， 势能最大。当摆锤处于最低点时，动能最大，而势能最小。如果不考虑象 空气阻力那样的细小的影响，总能量是守恒的。在摆锤轨迹的任一点上， 我们都可以简单地由从总能量中减去与这一点相应的势能而得的动能来算 出速度。这不同于需要跟踪任一时刻摆的运动情况的微分形式的处理方 法。用守恒定律处理问题不仅简单，而且从某种意义上讲，在理性上也更 让人满意。
任何一个在高中受到过物理教育的人都知道，还有其它守恒定律。例 如，动量就是守恒的。近来，报道美国总统选举的政治作家们也以暗示存 在某种守恒的口气谈到动量。经过初步竞选，有一个候选人被说成是具有 “大动量”，这就表明他的对手多半没什么指望了。
在现代物理中，能量守恒和动量守恒也具有很大的实用意义。物理学 家们把电子、质子这类粒子在巨大的加速器中加速到极高的能量，并使它 们相互碰撞，以探测自然的秘密。这些碰撞产生了各种各样的沿不同方向
飞出的粒子。用这种方式，物理学家们已经发现了许多过去一直不为人们 所知的亚核粒子。有些新发现的粒子寿命极短，以至于即使它们几乎以光 速运动，在分解成其它更稳定、更为人们所熟悉的粒子前都不会留下可检 测到的径迹。
例如，一个实验物理学家可能会探测到有一个电子和一个质子高速飞 出。他假定电子和质子是来自同一个源，来自一个分解了的母粒子。借助 于守恒定律，在测量了这个电子和质子的能量与动量以后，这个实验物理 学家就可以确定那个没被看见的粒子的能量和动量。知道了先为牛顿提 出，后来为爱因斯坦修改了的粒子的能量、动量和质量间的标准关系后， 这个实验物理学家最后还能算出这个未被看见的、分解了的粒子的质量。 我们在这一章早些时候用到的会计的类比是很不妥当的。虽然有时候 要做到这点是不那么容易，账本显然还是应该保持平衡。然而保证这种平 衡只不过是验证了我们具有正确计算的能力，而能量和动量在所有物理过 程中都守恒这一事实，则要深刻得多。它告诉了我们某些关于自然的内部
设计的信息。 但能量是什么呢？其实，守恒的更准确的含意是，任给一组描述一个
物理系统如何随时间变化的方程，我们都必定要能从中找出一个一直保持 不变的物理量。最初，我们并不知道一个自由运动的粒子的动能是否正比 于它的速度、速度平方或速度立方等等。更一般地，对于一个给定的作用 量，怎样才能决定什么量是守恒量呢？
在诺特尔到来之前，物理学家们求助的是试探法，他们不停地摆弄着
手中的方程，直到发现某个不随时间变化的组合量为止。考虑由两个相互 作用力依赖于它们之间距离的牛顿粒子构成的这样一个最简单的系统，譬 如说，这两个“粒子”可以是地球和太阳。在猜测它们的能量会是什么时， 物理学家首先可能会试探如下一种组合：将每个粒子的质量乘上它的速度 的平方，然后把这个量对两个粒子加起来。
遵照牛顿定律，一个粒子的速度的变化率由作用在其上的力除以它的
质量给出。由此，我们的物理学家很容易计算他的试探量是否改变。结果 发现它确实会变。但如果这个物理学家足够聪明的话，他可能会注意到， 如果在他的组合量上再加上一个与两粒子间距离有关的量后，得到的总和 就不会改变。一个守恒量就这样被发现了，他把它叫作能量。我们的物理 学家很幸运，他第一次就猜得不很离谱。如果他用的是速度的立方而不是 平方，或者他没有乘上粒子的质量，那么不管他怎样摆弄都找不出一个守 恒量。有些读者可能会想起高中课本只是简单地指出能量是什么，然后再 来验证它确实是守恒的。其实，实际过程并不是这样。
如果物理学家只能采用试探法来寻找守恒量的话，事情将是极为讨厌 的，在需要考虑更抽象的作用量的今天就更是如此。而且，事先谁也不知 道作用量里究竟包含了多少守恒量。
艾米·诺特尔的生活和时代 艾米·诺特尔现在来救驾了。阿玛丽·艾米·诺特尔(Amalie Emmy
Noether)(1882—1935)是一个伟大的数学家，但在那个时代，她不得不为
获得能成为自己想成为的人的权利而奋斗。尽管法国在 1861 年，英国在
1878 年，意大利在 1885 年开始允许妇女进入大学学习，在世纪交接的时 候，一个德国妇女要想受到较高的教育还是有很大困难。很能说明问题的 一个例子是，当时的一位学术界著名人士就大叫，允许妇女进入大学是“道 德沦丧的可耻标志”。诺特尔坚持读完了大学，并取得了博士学位。但她 仍然不能谋到任何一种学术职位。
杰出的数学家大卫·希尔伯特(作为爱因斯坦引力理论的作用量的发 现者，我们在前面已经提到过他。)很赏识她的才能，并在 1915 年邀请她 加入他们在哥廷根的工作；那时哥廷根是德国的头号学术中心。希尔伯特 试图为她争取到无偿讲课的权利，但没有成功。有人差不多在这样叫喊： “一开始她们想上学，现在她们竟想开课了！”开课的要求被当局以“与 法律不相宜的要求”为由而拒绝了。在 1908 年通过的一项条例规定，只有 男人才有开课的权利。在教务会上，哲学家、历史学家们都无动于衷，恼 怒的希尔伯特嘴里叫着“这是大学，不是澡堂！”而冲出门外。
第一次世界大战并没有给德国带来多少好处，但却给它的社会带来了 变化。在 1918 年，妇女的法律地位得到了改善。经过教务委员会组织的口 试，艾米·诺特尔终于获得了讲课的权利。那些旧式思想的卫护者们抱怨 说，那些保卫过祖国的士兵和那些已经经历过许多苦难的人们今天又不得 不听一个女人讲课。
对称和守恒 就是在教务委员会考察诺特尔能否胜任无偿讲座工作的那段时间，她
提出了她的著名定理。她一直在研究那些在对称变换下保持不变的作用
量。这种类型的作用量显然应有一些特殊的性质，但会是些什么性质呢？ 这里区别一下象旋转那样的连续对称和象宇称那样的分离对称是很 有益的。就如其名字所暗示的那样，与连续对称相应的变换是可以连续地 改变的。对于旋转对称，我们可以连续地改变旋转角。然而，对于宇称对
称，只有一个反射变换和一个不变变换。
凭着灵感，诺特尔意识到，作用量的每一种连续对称性都将有一个守 恒量与之对应。对称和守恒这两个物理学家所钟爱的概念事实上是联系在 一起的！
这种联系不仅是深刻的，而且，如我所强调过的，也是极为有用的。
实验上每观察到一个守恒量就立即告诉了我们，自然的设计中含有一个与 这个守恒量相对应的连续对称性。从 18 世纪后期起就已经知道电荷守恒 了。在诺特尔发现了她的理论后，物理学家们又重新去验证电磁理论，并 寻找与电荷守恒相应的对称性。在寻找过程中，对这个有近一个世纪历史 的理论的认识变得更深刻了。这个被及时发现的对称性被称为“规范对称 性”。在后面几章中，我们将会看到，规范对称的观念确确实实为物理学 家提供了开启宇宙之门的钥匙。
诺特尔的灵感在众多方面帮助了物理学家。当物理学家们开始探索核 及后来探索亚核世界时，并不知道作用量象什么样，但他们可能会注意到 某些量是守恒的。诺特尔的定理告诉他们，作用量必定具有相应的对称性。 现在，物理学家至少能大致猜出作用量会是什么样的。后面，我们将会看 到这种谋略的成功运用。如果说以前的物理学家象一个试图辨认出自然的
花毯上的对称性的半瞎艺术批评家的话，艾米·诺特尔则使他们的双眼得 以复明。
反过来，如果知道所有使一个给定的作用量保持不变的对称变换，我 们现在就能立即知道应该有多少守恒定律。回想过去物理学家们用试探法 寻找恒量是多么艰难啊。再也用不着试探法了！艾米·诺特尔解决了如何 决定守恒量的问题。
诺特尔的定理之美在于它不依赖于作用量的细节。因此，在同样的对 称变换下保持不变的作用量，必须会具有同样的守恒定律。物理学家再也 用不着依次找出每一个作用量的守恒定律。
万变不离其宗 人们知道能量和动量守恒已经有上百年了，但物理学家们从没有把它
们明显地和对称性联系在一起。借助于艾米·诺特尔的灵感，让我们来看
一下，与这两个守恒量相应的对称性是什么会很有启发性。既然能量和动 量是如此普遍，相应的对称性也必定会具有绝对普适的特性。那它们能是 什么呢？
利用诺特尔的定理，人们发现，如果物理定律不随时间变化，能量就
守恒。用更技术性的语言，这个条件就是，在时间漂移(或用正确的术语“平 移”)下作用量保持不变。而这正是我们对物理定律所作的要求。我们要求 昨天、今天和明天的物理学都要是一样的。
通过考虑一个能量看起来好象不守恒的简单例子，我们就很容易理解
能量守恒所需满足的条件。想象在操场上有一个秋千，大人将坐着小孩的 秋千推送出去。你可以说，在小孩看来物理定律是随时间变化的。小孩“感 到了”作用在秋千上的力在变化，当然觉得能量不守恒。但这不过是因为 我们把着眼点放在秋千的运动上了。当我们考察由秋千、大人和地球构成 的一个更大的系统时，能量当然是守恒的。
关于动量守恒，诺特尔的定理说了些什么呢？它说，如果作用量在空
间平移下保持不变，动量就守恒。用通俗的话说就是，如果物理学在这里、 那里，在所有地方都一样，动量就守恒。让我再次用一个简单的例子来作 说明。假定我向一小山滚一个球，当球爬上斜坡时它失去了动量。动量看 起来不守恒。这同样是因为我们只把着眼点局限在球上。这个球所“感受 到”的物理定律确定是随空间变化的，依赖于它是否在斜坡上。事实上， 当我向一个方向滚球的时候，借助于使我附于地球的重力和由此产生的摩 擦力，我也使得地球在朝相反的方向运动。当球爬上斜坡慢下来时，地球 向相反方向运动的速度也减慢了，整个系统的总动量是守恒的。
另一个基本守恒定律说，角动量是守恒的，奥林匹克花样滑冰比赛中 的一个动作最精巧地说明了这一定律。当一个滑冰运动员收回她的手臂 时，角动量守恒定律要求她转得更快。诺特尔的定理揭示，角动量守恒是 由于空间的旋转不变性。不管这个滑冰运动员面向哪一个方向，物理定律 都是一样的。
能量、动量和角动量守恒是学习物理时最先遇到的几个定律。它们共 同支配着从星系的膨胀到电子绕核旋转的物理世界中每一事物的运动。很 多年来，我都没有问过这些守恒定律来自何处，它们似乎是如此基本，以
至不需作任何解释。后来，我听说了诺特尔的灵感，这给我留下了深刻的 印象。这些基本守恒定律是来源于物理学在今天、昨天和明天；这里、那 里和所有地方；东方、西方、南方和北方都一样的假定，这一启示对我来 说，就象爱因斯坦所说的那样，实质上是来自精神的。
这个特别的启示是我的物理生涯中最值得纪念的。我一直为人类智慧 对自然的理解力所吸引，但很少遇到象诺特尔那样的灵感。这些灵感使我 快乐、敬畏和动情，因为作为绝对真理，它们既深刻又简单。另一方面， 作为一个物理学家，我并不觉得一个核或一个晶体在这样那样的环境中的 行为本身有多大意思。在对宇宙的唯象学知察中，现在大家感兴趣的东西， 以后的人往往不再会有多大兴趣。现在这代基础物理学家就已经把 20 年前 粒子物理的发现当成是，按爱因斯坦的话说，“这样或那样的现象”。但 是，对称性与守恒定律之间的联系将是永恒的。
第九章 学会去读这本伟大的书
如果不理解它的语言，没有人能够读懂宇宙这本伟大的书，它的语言 就是数学。
对称性的数学
——伽利略
对基本对称性的研究归结起来就是对诸如反射、旋转、洛伦兹变换以
及其它不改变基础物理作用量的变换的研究。 为了描述变换的结构性质，数学家和物理学家已经发展出了一种被称
为“群论”的语言。这里，我想介绍一些群的基本概念以供后面使用。后 面两节必然要更数学化一些。确实，它们是《可怕的对称》中数学性最强 的章节。幸运的是，你不必掌握数学上的细节也能理解本书的其余部分。 重要的是，你能对我后面将使用的术语有所理解。本章末尾将把讨论的要 点归纳出来。
其实，一旦克服了最初的恐惧心理并去认识这些术语，你会发现群论 是自然和直观的。假定要你去研究一组变换，你自然地会想知道些什么呢？ 你大体上想知道两类信息。首先，你想知道相继作两次变换后的效果相当 于作了一个什么样的变换。这告诉了你不同变换间的相互联系。其次，你 想知道这些变换是如何把各种各样的物体联系在一起的。我将按这两个自 然的思路来进行讨论。
组合变换
给定 T1、T2 两个变换，我们自然就会考虑，如果先作 T1，然后再作 T2， 情况将会怎样。物理学家称这种组合变换为 T2×T1。在早先提到的河狸的 课程中，刘易斯·卡罗尔考虑了两种变换，煮和腌。如果 T1 是煮，T2 是腌， 那么变换 T1×T2 就是煮了以后接着再腌的操作。为了能使讨论更连贯，让 我们来考虑旋转。例如，T1 可以是绕某个轴转 17°，T2 是绕另一个轴转 21
°，那么，T1×T2 就是先作旋转操作 T1，再接着作旋转操作 T2 后产生的旋
转效果。 我们可以将把两个变换组合成一个变换的操作看成某种乘法。确实，
通常的数值乘法可以认为是这种组合操作的特例。例如，如果一个投资者
在 1 年内使他们钱翻了 3 倍，我们就可以说，他把他的每 1 个美元“变换” 成了 3 个美元。假定第二年他又使他的钱翻了 5 倍，这个组合的变换把每
1 美元转换成了 15 美元，我们可以把这个组合变换称作 3×5。 在普通乘法中，数字 1 扮演了一个特别的角色；每个数字乘上 1 都还
是等于这个数字本身。当我们组合变换时，什么事也不做的变换也扮演了 一个特别的角色。这个变换被称作“全同变换”，用 I 标记。例如，对旋 转来说全同变换就是转动 0°，或者说根本不转。
除了一个重要的差别外，变换乘法遵从与普通乘法一样的规则：尽管
3×5=5×3，可 T1×T2 不一定等于 T2×T1。次序也是有讲究的。这倒不特
别让人吃惊，我们的日常生活中到处都是要按一定顺序执行才有效的操
作。容易推测，在卡罗尔的例子中，是先煮还是先腌结果是不同的。为了 恢复这个讨论的学术严谨性，让我们还是来看旋转的情况。
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图 9.1 (A)一个海军陆战队训练营的新兵在执行训练中士所喊的两 个口令。 (B)如果这个中士调换一下他口令的次序结果会怎样呢？
为清楚起见，让我们来看一个海军陆战队训练营中面向北方站着的新 兵。当负责操练的中士叫到，“绕竖直轴向东转 90°”(我想在这种训练 中应该有更技术性的术语)，我们的新兵就转到面向东。假定中士接着又叫 到，“绕南北轴向西转 90°”，我们的新兵又将向后躺下，头指西，脚朝 东。但如果中士颠倒他的两次口令的次序情况又会怎样呢？你很容易验 证，我们的新兵最后将是侧卧在左臂上，头指向北方。次序是有讲究的。 为此缘故，各届学物理的学生都嫌恶学习旋转。
物理学家很幸运，在 19 世纪，数学家们就已经在“群论”的名义下 把变换的乘法研究清楚了。你刚才就已经知道了，群论涉及到一种与次序 有关的高等乘法。
与那些被象原子那样的实际物体和象作用量那样的物理量所吸引的 物理学家不同，数学家更愿意以抽象的方法来考察群。在儿童时代，我们 都经历了一个与此相似的抽象过程。我们首先学到，如果有 3 个篮子，每 个篮子里装有 5 个苹果，那么总共就有 15 个苹果。随后，我们又知道了， 就乘法而言，篮子里放的是 5 个苹果，还是 5 个橙子，甚或是 5 只猫都无 关紧要。就我的观察，孩子们很容易作出这种抽象，他们很快就能脱离开 具体事物学会乘法。同样，数学家也是脱离开具体事物和场合来研究群论 的。
为了说明前面关于抽象的讨论，我可以用第三章讨论过的两种对称
性，即宇称对称和电荷共轭对称来作例子。对于宇称对称，涉及的变换是 把我们的世界反射成镜像世界；对于电荷共轭对称，涉及的变换则是将每 一个粒子用它的反粒子替代。对数学家来说，与这两种对称性相应的变换 的乘法规则在结构上是完全相同的。两次镜像反射将把我们带回到原来的 世界，而两次电荷共轭变换也将使一个粒子回到它本身。数学家会说，在 每种情况下都有一个变换 T，使得 T×T=I。换句话说，在每一种情况下， 只要你连续变换两次，都将回到你原来的出发点。就象我们大家都能不管 篮子里装的是猫还是苹果而照样做我们的乘法一样，数学家将把注意力集 中在群的乘法关系上，而不管物理学家正在考虑的是宇称、电荷共轭或是， 就此例而言，阴阳互换。
到了现在，我才准备给出群的定义，一个群只不过是可以通过乘法联 系到一起的一组变换。如果某人要向我们描述一个群，他必须告诉我们这 个群中含有什么变换，并指导我们如何把这些变换乘到一起。就象普通的 乘法完全是由我们幼时学背的乘法表所规定的一样，一个群也是由它的变 换和乘法表规定的。例如，最简单的群只包含两个变换，I 和 T。乘法表只 有四款：I×I=I，I×T=T，T×I=T 和 T×T=I。
确实，前三式只相当于将 I 定义为全同操作，再简单不过了。这个群 被称为 Z(2)，它和物理学家的宇称和电荷共轭有关。
作为另一个例子，被称为 SO(3)的群所包含的变换(亦称元素)，是三 维空间中所有可能的旋转变换。乘法规则则定义为相继进行两次旋转操
作。
这使我想起了一个故事。有一个客人随他的朋友一道去参加一个笑话
俱乐部的聚会。一个会员叫道，“C—46！”，其他人都会心地笑了起来。 另一个站起来叫道，“S—5”，引得所有的人都笑了起来。这个迷惑不解 的客人问道，这是怎么回事？他的朋友解释道：“所有可能的笑话，当然 不能计细小的差别，都已经被归类编上号了，我们心里都知道这些编号指 的是什么。”同样，所有的群都被数学家们分类编号了。当一个物理学家 到我办公室来时，他可能咕哝着 SO(3)或 E(6)，我将会赞同地点头。这位 物理学家是正在告诉我，他猜测自然在他的设计中用的是他所说的那种对 称性。
让我在这里顺带把上面那个故事的包袱抖出来。最后，有一个人站起
来 叫道，“G—6！”，这时每一个人都捧腹大笑起来。这个客人问，究竟 是什么笑话会如此可笑。他朋友答道：“哦，这是乔·史蒙，他笨透了， 还不知道根本没有 G—6 这种类型的笑话呢！”类似地，如果我在一次讨论 会中提到 G(6)的话，我的同事们一定会吃惊得竖眉瞪眼。总之，所有的群 都已被分类编号了。
但就算是这样和物理又会有什么关系呢？就如前面解释过的那样，物 理学家对不改变作用量的变换很感兴趣。这种变换被称作对称变换。如果
T1 是一个对称变换，T2 是一个对称变换，那么 T1×T2 也是一个对称变换。
按定义，这个陈述就是正确的。如果 T1、T2 都不改变作用量，那么先作 T1，
再作 T2 后当然也不会改变作用量。换句话说，对称变换构成了一个群。因
此，研究对称性的物理学家自然地被引向了与群论有关的著述。当然，群 Z(2)是太简单了，以至于不需要学多少高深的数学就可以完全看清它的结 构。但当物理学家遇到更复杂的群时，他们还是很感激把它们研究清楚了 的数学家。
我们的数学家可以脱离开宇称和电荷共轭而抽象地来研究 Z(2)群这
个例子，虽然平谈，但强调了这样一个事实，即与过去的、现在的，以及 还没有梦想到的物理理论相关的所有可能的群的结构，都已经被数学家们 研究过了。数学不必等待物理学。
表 示 就如这章的引言所说，我下面就要研究一个给定群的变换如何把各种
各样的物体搅和在一起。这些被搅和在一起的物体，被说成是为这个群提
供了一个表示。 粗略地说，一个群的表示就是这个群的一个模型，非常类似于一个大
楼的建筑模型。我们认为这个模型代表了实际建筑的结构安排，它所强调 的是结构。例如，两个侧厅的相对尺寸在模型中和在实际建筑中应严格相 等，但所用纸板的颜色可以和实际建筑所用的石头的颜色完全不同。
为了发展群表示的概念，同时也为了明确起见，让我们把目光对准三 维空间的旋转群 SO(3)。
用三个具有一定长度的箭头来指明空间的三个方向，一个指东，一个 指北，一个指上(见图 9.2)。为说起来方便，让我用、和来分别标记
这三个箭头。我们能够用某种类似 a＋b＋c的东西来标记空间的任一 方向。其中，a、b、c 是三个数。可以认为这三个数构成了给机器人的一 个指令。接到这个指令的机器人先向东移 a 厘米，再向北移 b 厘米，然后 两向上移动 c 厘米，它的移动方向就是由 a+b+c 所指示的方向。因 而，箭头－指向东南方，箭头－+2指向东南偏上与水平面成 55
°角的方向。a＋b＋c这种形式的箭头被称为、、三个箭头的 线性组合。
现在我们已经学会了如何标记一个方向，为继续讨论旋转作好了准 备。我们可以通过指出、、三个基本箭头被旋转到了什么方向来描 述一个旋转。换句话说，一个旋转把、、这三
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图 9.2 箭头的加减：三个箭头、和分别指明东、北和上三个方 向。为了确定由线性组合－+2这个箭头所指的方向，可先向东走一 个单位长度，再向北反走一个单位长度(即向南走一个单位长度)，然后再 向上走两个单位长度，你实际所走的方向就是这个组合箭头所指的方向。 个箭头的每一个都变换成了这三个箭头的线性组合。
这里并没有什么深刻的东西。相反，我只是在以一种精确的方式表达 出旋转把空间的三个方向搅和在一起了这样一个概念。
在这个例子中，一个旋转由它对三个基本箭头的作用来表示。或者
说，这三个基本箭头提供了 SO(3)的一个表示。由于这个表示实际上是由 SO(3)的定义提供的，因而被称为“定义表示”，有时也称为“基本表示”。 你可能会觉得，这些长长的讨论只不过是叙说了一个显而易见的事 实：一个旋转是用它对三个基本箭头的作用定义的。其实，你只要稍微耐 心一点的话，马上就能看到研究这个表示的引人注目之处：利用定义表示，
我们可以构造出更大的表示。
要这样做，我们就得象孩童时代学乘法一样，扔掉篮子、苹果、橙子、 小猫和箭头这样的具体事物，把定义表示看成是由三个抽象“实体”提供 的。经过一次旋转，这三个实体的每一个都变成了它们三个的线性组合。 为了跟踪这三个实体，我们必须给他们取上诸如张三、李四、王五、或红、
黄、蓝一类的名字。在书中，我们可以把这三个实体表示成、、。 (可以认为它们分别为红、黄、蓝三种颜色，如果这样会帮助理解的话。) 假定我们还有另外三个也是按定义表示变换的实体，为了与上面的三个实 体相区别，记为：、、。纯粹是因为说起来方便，我们分别把这两 种实体看成“圆的”和“方的”。
现在我们已经可以通过把这两个定义表示的复制品胶合起来得到一 个更大的表示了。将一个圆实体和一个方实体胶合在一起就可得到九个新
的实体，即： 、 、 、 、 、 、 、 、
注意，我们要区分由一个红圆实体与一个黄方实体胶合而成的 和 由一个黄圆实体与一个红方实体胶合而成的 。经过一个旋转，九个实 体的每一个显然都会变换成它们的线性组合。
从表面上看，我们已经构造出了一个含有九个实体的表示。但得等一 下！尽管我们这里确实有由旋转相互联系到一起的九个实体，然而，从逻 辑上讲，这并不意味着任一给定的实体都可以变换成其它八个实体的每一 个。
让我打一个有些异想天开的比方。在漫不经心地读了一个童话故事之 后，一个外星人可能会得到这样一个印象，青蛙、王子、南瓜和四轮马车 是可以相互转换的。其实，如果他读得再仔细一点的话就会发现，这四种 东西可以分成两对，青蛙和王子可以互换，但不能变成南瓜和马车。事实 上，通过适当的组合，我们就可以把这九个实体分成三个氏族：一个氏族 含有五个实体，一个氏族含有三个实体，还有一个氏族只含有一个实体。 这九个实体是按下面的意义划分的：经过任一旋转，属于第一个氏族的五 个实体只在它们之间相互变换。换句话说，这五个实体变换成它们之间的 线性组合。它们提供了一个五实体的表示。类似地，处于同一氏族中的三 个实体提供了一个三实体的表示，那个单独的实体则提供了一个一实体的 表示。
这使我想起了在苏格兰乡村集市上的情况。如果我们让所有有亲戚关 系的人站在一起，人群就会按氏族分开。得承认，这个比方并不很妥当， 因为变换的概念没有被考虑进来。
这九个实体可以分成不同的氏族是很容易理解的。其实，从逻辑学的 观点看倒该问为什么不能分开。因为并没有什么可指望的原因能保证由胶 合得到的九个实体的每一个都可以变换成任一其它实体。感兴趣的读者可 以在本章附录找到解释。
通常数学家们不说“一个五实体的表示”，而说“一个 5 维表示”。
这里“维”的说法容易引起混淆。所以需要澄清一下，我们正讨论的是 3 维空间的旋转群 SO(3)的表示。SO(3)群有一个 1 维表示，一个 3 维表示， 一个 5 维表示，而且还可有一个 17 维表示。因而数学家的维既指空间，也 指表示。3 维空间的旋转可以把五个或十七个实体联系起来是数学家想到 的，你我大概都想不到。
综上所述，我们说，通过把两个 3 维表示胶合起来构造出的 9 维表示，
分裂成了一个 5 维表示、一个 3 维表示和一个 1 维表示。这一事实可由方
程 33=135 标记。一个表示只是简单地用一个与它的维数相同的数目 标记。胶合到一起这一行为用表示。(注意，既然实体不会白白消失，由 方程 33=135 去掉圆圈后得到的方程 3×3=1+3+5 肯定也是成立的。) 通过把两个定义表示胶合在一起，我们又遇到了一个 5 维表示，其中， 旋转是由它对这五个联在一起的实体的影响表示的。重复这种把表示胶在 一起的操作，数学家们就得到了一个给定群的所有表示。学会了如何做
33，我们就能接着学习做 35、55 等等。因而得到 35=357，
55=13579，等等。(这里我们遇到了一个 7 维和一个 9 维表示。) 有一些人实际得花很大精力来学习把表示胶合在一起的规则。对我们 来说，重要的不是学习这些具体规则，而是要明白可以有什么样的表示完 全是由群结构决定的这一事实。例如，SO(3)有 3 维和 5 维表示，但没有 4 维表示。要异想天开地构造出 SO(3)的一个 4 维表示，并不是物理学家所
能胜任的。
我们对 SO(3)的讨论也可以推广到一般的群。我们在后面谈论大统一 时将看到，有些物理学家已经提出宇宙的终极设计是建立在 10 维空间的旋 转群 SO(10)的基础之上的。我们可以象前面一样，从 10 维定义表示出发， 把两个定义表示胶合到一起。在这种情况下的结果是：1010=14554。
群论要点
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