来自: 陰陽魚(澤無水) 2009-02-21 10:05:03
很多物理书
用牛顿三定律推导 拉格朗日方程和正则方程
这样
广义力 虚功等概念 都是力f来定义的
假如
从最小作用量原理
来推导出lagrange方程和正则方程
那么这里面的广义力
将如何定义 虚功讲如何定义
也就是说
分析力学如何彻底的放弃力的概念
在两个方程里 除了lagrange 函数 和 Hamilton 函数 以及广义坐标 广义动量 只有广义力一种量了
前几个量我都知道不包含力f的定义方式
那么广义力是如何定义的
用牛顿三定律推导 拉格朗日方程和正则方程
这样
广义力 虚功等概念 都是力f来定义的
假如
从最小作用量原理
来推导出lagrange方程和正则方程
那么这里面的广义力
将如何定义 虚功讲如何定义
也就是说
分析力学如何彻底的放弃力的概念
在两个方程里 除了lagrange 函数 和 Hamilton 函数 以及广义坐标 广义动量 只有广义力一种量了
前几个量我都知道不包含力f的定义方式
那么广义力是如何定义的
广义动量是拉格朗日量随广义速度的导数，广义力是虚位移对广义坐标的导数流水弦歌 (I pray for the life) 2009-02-21 10:25:20
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9B%E 5%8A%9F_(%E7%89%A9%E 7%90%86) 虚功
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?titl e=%E8%99%9B%E4%BD%8D %E7%A7%BB&varian t=zh-cn 虚位移
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?titl e=%E5%BB%A3%E7%BE%A9 %E5%8A%9B&varian t=zh-cn 广义力
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- 2009-02-21 20:02:20 阴阳鱼[重登录]
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-22 00:02:44
咱学的是一套理论力学么...我囧了...
广义动量对时间求导 - lagrange函数对广义坐标的偏导 = 广义力
Lagrange 方程不是长这个样子的么 对于非保守体系
==================================================
我们学的是相同的理论力学。物理学规律是客观的，但是对各种概念的命名是主观的，这就造成了某些误解。
对于非保守体系，Lagrange 方程确实如你所说的那样。而对于保守体系，Lagrage 方程变为：
广义动量对时间求导 - Lagrangain 对广义坐标的偏导 = 0
将保守的和非保守的情况相比较可知，非保守的 Lagrange 方程右边的“广义力”，实际上并不是全部的广义力，而是非保守广义力。在保守的情况下，它就自动消失了。这样，我们可以把你那个方程的左边的第二项移到右边去：
广义动量对时间求导 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力
这个方程的物理意义更加明确。根据牛顿第二定律，广义力就是广义动量对时间求导；而 Lagrange 函数对广义坐标的偏导则给出了“保守的”广义力。所以上面这个方程无非说明了这样一件事：
广义力 = 保守的广义力 + 非保守广义力
当然这里的“保守的广义力”实际上既包含了普通力学中的（狭义的）保守力，也包含了涡旋力（比如 Lorentz 力和 Ampere 力）；而“非保守广义力”则包含耗散力（摩擦力、阻尼力）或者约束力（如拉力、支持力）等等。
因此，关于广义力， 我们有以下两个方程：
(1) 广义力 = 广义动量对时间求导，
(2) 广义力 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力。
我们完全可以凭个人喜好，任取其中的一个作为广义力的定义。流水弦歌 为我们举出了两个非常好的例子：“极坐标里面的广义力就是力矩”这实际上在应用定义(2)；而“相对论里面的四维广义力 = 四维广义动量的固有时偏导”，则是利用了定义(1)，只是在相对论的情况下，时间也变成了一个广义坐标，这时候我们会有四个广义动量，并且需要引入“固有时”来承担经典力学中时间的作用（即标记轨迹/世界线）。
不过，不论是哪一种定义，都可以退化为牛顿力学里面的力。所以，理论力学并没有重新定义力的概念，而只是对原有概念进行了一定的推广而已。
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- 2009-02-22 00:38:57 阴阳鱼[重登录]
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-22 01:00:49
完整的lagrange方程
T对q导求偏导 再对时间求导 - T对q求偏导 = Q
我书上这样写
说Q叫广义力
包括非保守的 和非保守的
然后把Q的一部分写成 - v对q求偏导 然后挪过去
才有了拉格朗日方程的那个形式
====================================
阴阳鱼同学，你已经理解我的意思了。你书上的 Q 比较奇怪，确实与我所说的广义力不太相同。但是，你知道，取名字只是为了方便人的记忆，只要你能记住Lagrange 方程，它的每一项你怎么命名都可以。我喜欢把 T对q的偏导也算到广义力里面去，但很多教材都不同意。不过这没关系，只要我们最后得到了运动方程都是相同的就可以了。
Typhoon 2012-04-05 00:08:05
噢 我有些朙白了... 因为我学的是从牛顿力学那边推过来的... 所以我觉得 后面那个Q是广义力 噢 我有些朙白了... 因为我学的是从牛顿力学那边推过来的... 所以我觉得 后面那个Q是广义力 其实整体说的就是广义力的两种不同表示相等 整个都叫广义力... 完整的lagrange方程 T对q导求偏导 再对时间求导 - T对q求偏导 = Q 我书上这样写 说Q叫广义力 包括非保守的 和非保守的 然后把Q的一部分写成 - v对q求偏导 然后挪过去 才有了拉格朗日方程的那个形式 组长的意思是说 真正广义力的定义 不只只有后面Q的那部分么 ... 陰陽魚这么说吧
T对q导求偏导 再对时间求导 - T对q求偏导 = Q
式中T对q求偏导为拉格朗日力，Q为广义主动力，两者统称广义力。
只是取名字以示区别对待罢了，想表达的意思都一样的。
这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。零点六一八 2014-12-10 00:22:11
在一些偏向于数学方面的力学著作中（如俄罗斯数学家V.I. Arnold的力学著作），常常将所谓的Newton-Laplace决定论作为一个基本原理。Newton力学定律从数学角度看，无非是说加速度是时间、位置和速度的函数，这是一个二阶常微分方程。但同时还隐含了Newton-Laplace决定论，即系统在某一时刻的状态决定了此系统的运动，也就是说给定了初始条件，系统在任意时刻的状态都是确定的（无论过去还是将来）。这实际上是解这个二阶常微分方程，而常微分方程解的存在性和唯一性从数学上是可以证明的。
从数学上看，这里不需要质量的概念，也不需要力的概念。只是把上述函数乘上一个叫质量的量，就可以定义为物理学上的力。分析力学给出的Lagrange运动方程也是二阶的，与Newton力学给出的方程没什么本质不同。Landau的书中一开始也没有给定质量和力的概念，而是直接给出Lagrange函数，利用最小作用量原理给出运动方程，这是一种相当数学化的处理方法。
在我看来这就是物理学与数学有区别的地方。数学只是给了分析物理问题的工具，人们找到了物理规律，可以用相应的数学方法来描述，但物理学不能还原为数学。Newton定律和Newton-Laplace决定论是物理原理，而常微分方程理论是数学理论，在大部分情况下常微分方程理论可以很好的描述力学规律，但Newton-Laplace决定论绝不是可有可无的，在证明虚功原理的充分性时就要用到Newton-Laplace决定论。考虑这样一个例子，$\ddot{x}=a*x^b$,其中$a>0,0<b<1$,当$x(0)=0,\dot{x}(0)=0$,可以有$\ddot{x}(0)=0$,也就是质点静止时，外力为零，那么此质点应当一直静止，这其实是Newton-Laplace决定论保证的。但显然这个方程有非零解，也就是说$t=0$处于静止的质点，加速度也为零，但当$t>0$时质点会偏离静止位置（见马尔契夫《理论力学》）。从数学上，这个非零解是存在的，但从力学上是不合理的，违背了Newton-Laplace决定论。
回到主题，分析力学可不可以放弃力的概念？当然可以，Landau的书中就是这么做的，完全的从一个抽象的Lagrange函数出发，然后“证明”这个函数应当采取什么形式，最后得到运动方程。这个“证明”的过程就是物理学原理引入的过程。
cmp0xff 并非未 (添加签名档) 2014-12-10 06:36:31
这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。 在一些偏向于数学方面的 这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。 在一些偏向于数学方面的力学著作中（如俄罗斯数学家V.I. Arnold的力学著作），常常将所谓的Newton-Laplace决定论作为一个基本原理。Newton力学定律从数学角度看，无非是说加速度是时间、位置和速度的函数，这是一个二阶常微分方程。但同时还隐含了Newton-Laplace决定论，即系统在某一时刻的状态决定了此系统的运动，也就是说给定了初始条件，系统在任意时刻的状态都是确定的（无论过去还是将来）。这实际上是解这个二阶常微分方程，而常微分方程解的存在性和唯一性从数学上是可以证明的。 从数学上看，这里不需要质量的概念，也不需要力的概念。只是把上述函数乘上一个叫质量的量，就可以定义为物理学上的力。分析力学给出的Lagrange运动方程也是二阶的，与Newton力学给出的方程没什么本质不同。Landau的书中一开始也没有给定质量和力的概念，而是直接给出Lagrange函数，利用最小作用量原理给出运动方程，这是一种相当数学化的处理方法。 在我看来这就是物理学与数学有区别的地方。数学只是给了分析物理问题的工具，人们找到了物理规律，可以用相应的数学方法来描述，但物理学不能还原为数学。Newton定律和Newton-Laplace决定论是物理原理，而常微分方程理论是数学理论，在大部分情况下常微分方程理论可以很好的描述力学规律，但Newton-Laplace决定论绝不是可有可无的，在证明虚功原理的充分性时就要用到Newton-Laplace决定论。考虑这样一个例子，$\ddot{x}=a*x^b$,其中$a>0,0<b<1$,当$x(0)=0,\dot{x}(0)=0$,可以有$\ddot{x}(0)=0$,也就是质点静止时，外力为零，那么此质点应当一直静止，这其实是Newton-Laplace决定论保证的。但显然这个方程有非零解，也就是说$t=0$处于静止的质点，加速度也为零，但当$t>0$时质点会偏离静止位置（见马尔契夫《理论力学》）。从数学上，这个非零解是存在的，但从力学上是不合理的，违背了Newton-Laplace决定论。 回到主题，分析力学可不可以放弃力的概念？当然可以，Landau的书中就是这么做的，完全的从一个抽象的Lagrange函数出发，然后“证明”这个函数应当采取什么形式，最后得到运动方程。这个“证明”的过程就是物理学原理引入的过程。 ... 零点六一八我想问一下耗散力能在拉氏体系中表达出来吗?
- 对于耗散力是速度的线性函数（比如流体中的粘性力），可以定义瑞利耗散函数。耗散力可以表示为耗散函数对速度的导数。这样在Lagrange力学中就可以直接使用这个耗散函数了。
零点六一八 2014-12-10 10:43:46
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Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-10 23:55:21
那如果是常数的耗散力呢？我总觉得有一些牛顿力学中能描述的现象在拉氏体系中很难被包括进来。阴 那如果是常数的耗散力呢？我总觉得有一些牛顿力学中能描述的现象在拉氏体系中很难被包括进来。阴阳鱼也举过一个变质量体系的运动的例子。 ... cmp0xff 并非未端阳之前给出过一些方法：http://www.douban.com/group/topic/496265 88/
对耗散体系的一般有效理论（得到EoM）可以计入热浴，什么样类型的摩擦取决于耦合方式，见：http://tieba.baidu.com/p/1457702325?pn=1
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cmp0xff 并非未 (添加签名档) 2014-12-11 00:45:29
端阳之前给出过一些方法：http://www.douban.com/group/topic/49626588/ 对耗散体系的一般有 端阳之前给出过一些方法：http://www.douban.com/group/topic/49626588/ 对耗散体系的一般有效理论（得到EoM）可以计入热浴，什么样类型的摩擦取决于耦合方式，见：http://tieba.baidu.com/p/1457702325?pn=1 ... Phantom_Ghost我在这问一个，你贴出来的百度帖子里的问题吧。我们在路径积分里面积掉一部分自由度（并适当近似）之后剩下来一个有效拉氏量。现在你把量子自由度都积掉了，得到了你那个
Z[J] = Z[0] * Integrate[i * effective action]
这个有效作用量是怎么回事呢?
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Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-11 02:11:31
我在这问一个，你贴出来的百度帖子里的问题吧。我们在路径积分里面积掉一部分自由度（并适当近似 我在这问一个，你贴出来的百度帖子里的问题吧。我们在路径积分里面积掉一部分自由度（并适当近似）之后剩下来一个有效拉氏量。现在你把量子自由度都积掉了，得到了你那个 Z[J] = Z[0] * Integrate[i * effective action] 这个有效作用量是怎么回事呢? ... cmp0xff 并非未积掉热浴自由度就是为了得到要考察有效运动过程，积掉后得到作用量经典路径就是最简单的平均场，在这里的涨落联系的是耗散。
-
cmp0xff 并非未 (添加签名档) 2014-12-11 02:46:19
积掉热浴自由度就是为了得到要考察有效运动过程，积掉后得到作用量经典路径就是最简单的平均场， 积掉热浴自由度就是为了得到要考察有效运动过程，积掉后得到作用量经典路径就是最简单的平均场，在这里的涨落联系的是耗散。 ... Phantom_Ghost哦我想问的是这一部分，以下是你写的。
我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦力这种表观的行为。
\[\]
在量子层面上存在着量子涨落，对于无耗散的自由谐振子我们可以写出其作用量：
\[
S=\int L\;dt=-\int dt\;x(t)\big[\frac{1}{2}m(\frac{d}{dt})^2+m\omega_0^2\big]x(t)
\]
导出运动方程就是简单的简谐振动方程，那么可解其Green函数为 $G(t)=[m(d/dt)^2+m\omega_0^2]^{-1}=-\frac{i}{2m\omega_0}e^{-i|t|\omega_0(1-i0^+)}$
换到频率空间为 $G(\omega)=\frac{1}{m(\omega^2-\omega_0^2+i0^+)}$
\[\]
引入外场 $E(t)$ 后配分函数 $Z[E(t)]=\int\mathcal{D}[x(t)]e^{i\int dt[L+Ex(t)]}$，积掉振子自由度得到有效作用量 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$。谐振子系统在外场作用下响应的偶极矩为 $d(\omega)=\langle x(\omega)\rangle=-2\pi i\frac{\delta\ln Z[E]}{\delta E}=-G(\omega)E(\omega)$，极化率为 $\chi(\omega)=d/E=-G(\omega)$,
\[\]
以上是你写的，我想知道 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$ 是怎么回事，为什么这叫做有效作用量。
-
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-11 14:34:57
哦我想问的是这一部分，以下是你写的。 我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦 哦我想问的是这一部分，以下是你写的。 我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦力这种表观的行为。 \[\] 在量子层面上存在着量子涨落，对于无耗散的自由谐振子我们可以写出其作用量： \[ S=\int L\;dt=-\int dt\;x(t)\big[\frac{1}{2}m(\frac{d}{dt})^2+m\omega_0^2\big]x(t) \] 导出运动方程就是简单的简谐振动方程，那么可解其Green函数为 $G(t)=[m(d/dt)^2+m\omega_0^2]^{-1}=-\frac{i}{2m\omega_0}e^{-i|t|\omega_0(1-i0^+)}$ 换到频率空间为 $G(\omega)=\frac{1}{m(\omega^2-\omega_0^2+i0^+)}$ \[\] 引入外场 $E(t)$ 后配分函数 $Z[E(t)]=\int\mathcal{D}[x(t)]e^{i\int dt[L+Ex(t)]}$，积掉振子自由度得到有效作用量 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$。谐振子系统在外场作用下响应的偶极矩为 $d(\omega)=\langle x(\omega)\rangle=-2\pi i\frac{\delta\ln Z[E]}{\delta E}=-G(\omega)E(\omega)$，极化率为 $\chi(\omega)=d/E=-G(\omega)$, \[\] 以上是你写的，我想知道 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$ 是怎么回事，为什么这叫做有效作用量。 ... cmp0xff 并非未那你得理解什么是有效作用量(见:http://www.douban.com/group/topic/532559 31/)，在Caladria-Leggett模型里面热浴的作用就是为了带来耗散，你研究的物体的运动受到热浴的耗散这种有效的运动怎么体现，那就是加上微扰修正。这所谓得到经典EoM并带着有效emerge的摩擦力，就是因为积掉热浴自由度后得到的就是一个1PI有效作用量的理论里面的经典路径解。
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Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-11 14:38:40
哦我想问的是这一部分，以下是你写的。 我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦 哦我想问的是这一部分，以下是你写的。 我们先从一个微观质点粒子来引入所谓耗散来导出摩擦力这种表观的行为。 \[\] 在量子层面上存在着量子涨落，对于无耗散的自由谐振子我们可以写出其作用量： \[ S=\int L\;dt=-\int dt\;x(t)\big[\frac{1}{2}m(\frac{d}{dt})^2+m\omega_0^2\big]x(t) \] 导出运动方程就是简单的简谐振动方程，那么可解其Green函数为 $G(t)=[m(d/dt)^2+m\omega_0^2]^{-1}=-\frac{i}{2m\omega_0}e^{-i|t|\omega_0(1-i0^+)}$ 换到频率空间为 $G(\omega)=\frac{1}{m(\omega^2-\omega_0^2+i0^+)}$ \[\] 引入外场 $E(t)$ 后配分函数 $Z[E(t)]=\int\mathcal{D}[x(t)]e^{i\int dt[L+Ex(t)]}$，积掉振子自由度得到有效作用量 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$。谐振子系统在外场作用下响应的偶极矩为 $d(\omega)=\langle x(\omega)\rangle=-2\pi i\frac{\delta\ln Z[E]}{\delta E}=-G(\omega)E(\omega)$，极化率为 $\chi(\omega)=d/E=-G(\omega)$, \[\] 以上是你写的，我想知道 $S_\text{eff}=\int dt\;\frac{1}{2}E(t)G(t-t’)E(t’)=-\int\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{2}E(-\omega)G(\omega)E(\omega)$ 是怎么回事，为什么这叫做有效作用量。 ... cmp0xff 并非未而你截下来的这段内容都还没到CL模型，这只是外场下谐振子的响应问题，要么你积掉振子自由度得到关于外场的有效理论，要么积掉外场得到的是振子的有效理论。
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