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相对论与黎曼几何-14-匀加速参考系上的Alice 
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14. 匀加速参考系上的Alice
有3个人：Alice、Bob、和Charlie。假设Bob和Alice，从出生开始就分别坐上了相对于地球静止参考系作匀速运动和匀加速运动的宇宙飞船B和A，而Charlie则一直留在地面。我们感兴趣的是，这3个人分别体验到的时空世界是怎么样的？假设Charlie所在的地面附近是一个平坦时空，图2-14-1a是Charlie在他的闵氏2维时空中画出来的Bob和Alice的世界线。在Charlie的图中，是将整个飞船视为一个点。那么，从他们两人的世界线能看出些什么呢？
图2-14-1：匀速运动参考系和匀加速运动参考系
从上面两节的分析可知，Charlie在他自己的坐标系中静止不动，世界线是垂直向上的直线；Bob的飞船作匀速运动，世界线是一条指向斜上方的直线；Alice的飞船作匀加速运动，世界线是一条双曲线。不妨假设Bob和Alice的生命很长，至少相对于我们考虑范围内的2维时空而言是如此。那么，首先我们可以观察到匀速运动和匀加速运动观测者有如下差别：作匀速运动的Bob在他的整个生命过程中可以看到整个2维时空中的事件，但对作匀加速运动的观测者Alice来说，却不是这样。“事件”是2维图中的一个点（某时某处），某观测者“可以看到事件”的意思是说，从这个事件发出的光，即在2维时空图上从事件点向上方画的两条45度斜线之一，将与该观测者的世界线相交。匀速运动的直线可以和图2-14-1a中任何位置点发出的光线相交，说明Bob可以看到整个2维时空。如果观察一下Alice的双曲线的世界线，情况就不一样了。Alice所能看到的时空事件很有限。比如说，图2-14-1b中所示的事件S1、S2，发出的光线（向上的绿色小箭头）到达不了Alice所在的双曲线，即不会与双曲线相交。而Alice发出的光信号，又到不了S2、S3处。所以，Alice能够传递信息的空间只有图中右边双曲线所在的未涂阴影的部分。也就是说，对作匀加速运动的Alice而言，存在一个“事件地平线”（event horizon），相对论的术语中称之为“视界”。图中Alice的视界就是那条从左下角到右上方的45度直线，她不能看见这条直线左边（视界之外）的时空中发生的任何事件。
图2-14-1c只画了2维时空图的第一象限。我们仍然假设这是一个相对于地面静止的参考系中观测到的平坦时空。现在，我们将图a中所描述的情形改变一下。设想在时间t=0之前，A、B、C三人都在地面上，t=0的那一刻，Bob和Alice坐上了匀加速运动的宇宙飞船，Charlie仍然留在地面。因此，在开始一段时间之内，Alice和Bob及宇宙飞船的世界线都是图中所画的那条双曲线。在t=0之后，飞船发出的光信号能够与地面上Charlie的世界线相交，说明Charlie可以“看”得见Alice和Bob。然而，对作匀加速运动的飞船来说，不能收到Charlie在t>0之后发出的任何信号，因此，飞船中的Alice和Bob看见的Charlie只是t=0那一刻的形象，Charlie后来的变化已经消失在飞船的“视界”之外。
不过，假设在图中B1所表示的那个时空点，Bob不小心从飞船上掉到了茫茫无际的宇宙空间中。之后，Bob继续飞船B1时刻的即时速度V，在空中作匀速运动。因而，Bob脱离了飞船的世界线，他的世界线变为一条在B1点与双曲线相切的直线，见图2-14-1c。问题是：从B1之后，Alice还能看见Bob吗？Bob和Charlie之间又如何呢？
从图c中可见，Bob的世界线从B1，经过B2，将穿过刚才提到的“Alice的视界”，后来到达阴影部分中的B3。还没有穿过视界之前，Bob发出的光信号，可以被Alice接收到。只不过，从Bob发出信号，到Alice接受到信号的时间，变得越来越长，越来越长……。当Bob接近“视界”的时候，传输的时间趋于无穷大。也就是说，实际上，Alice看见的Bob，已经凝固在Bob的世界线与视界相交的那一点。或者说，Bob已经走出Alice的视界了！
除了光信号的传输时间变得越来越长之外，Alice还能观察到Bob发出的信号因为多普勒效应而产生的红移。信号的红移也是越来越大，频率越来越低，到最后Alice无法接受到为止。
在Bob掉进宇宙空间作匀速运动之后，Bob和Charlie之间的光通信倒是没有什么问题了，只是信号到达对方延迟一段时间而已，这是正常情况就有的现象。他们两人都感觉不到Alice所体验到的那条“视界”的存在。对他们两人而言，周围的2维时空均匀而各向同性，处处都是一样的。
由此可见，本来是一个平坦的闵可夫斯基时空，作匀加速运动的Alice却观察到一些不一般的现象。在Alice的世界中存在一个“视界”，视界之外的事件，将在Alice的眼中消失，这些怪异之事，有些类似于Alice曾经听过的，爱因斯坦的广义相对论所预言的弯曲空间中的“黑洞”。按照经典广义相对论对黑洞的描述，黑洞周围也有一个视界，据说视界之内是一片漆黑，连光也无法逃离，所以谁也看不见它，Alice想，就像我现在看不见视界外的Charlie和Bob一样。对Alice而言，她的两个朋友都好像“掉进了黑洞”。
Alice还知道有一个名字叫做霍金的传奇残废人，是坐在轮椅上专门研究黑洞的。他研究黑洞最有名的成果是叫做“霍金辐射”。说的是：其实黑洞并不是绝对的黑，它也有一定的温度，因而会有热辐射现象。就像我们坐在炉子旁边感到温暖一样，靠近黑洞时也能感到“温暖”的辐射。
图2-14-2：安鲁效应和伦德勒坐标
Alice对她所在的飞船世界很好奇，既然这儿也如同黑洞附近一样，存在一个“视界”，那么，在视界附近，是否也像黑洞附近那样，会有一个更为温暖的背景呢？不过，Alice想，这种效应肯定非常小，靠人体的感觉是很难试验出来的。Alice记起他们三个人都随身带了一个高度灵敏的粒子探测器。因此，聪明的Alice开始注意她的探测器上的读数。开始时，探测器似乎没有什么动静，但随着时间流逝，宇宙飞船越来越接近视界时，探测器叮当叮当地响了起来，并且，越接近视界，探测器响的次数就越来越多，这说明它接受到了视界附近的辐射。
而Bob和Charlie身上的探测器，始终没有任何动静，这是他们能够理解的，因为他们所在的惯性参考系中观测到的是闵可夫斯基空间的量子基态，即绝对温度为零的真空态。但是，闵可夫斯基空间的真空态与加速参考系中的观察者能看到的真空态是不一样的。加速参考系的真空态能量低于闵可夫斯基空间的真空态能量。所以，闵可夫斯基空间的真空态，对加速参考系中的Alice来说，不是真空态，而是一个有一定温度的，比真空态能量要高的某个热力学平衡态。因此，Alice才会发现在“视界”附近时，她处在一个温暖的、热辐射的背景中。这种加速运动的观察者可以观测到惯性参考系中观察者无法看到的黑体辐射的效应，叫做“安鲁效应”，是1976年由当时在英属哥伦比亚大学的威廉·盎鲁（WilliamG. Unruh）所提出的【1】。
如上所述，Alice和她的宇宙飞船这种作匀加速运动的物体在2维时空中的世界线，是一条两端无限趋近原点光锥线的双曲线，光锥线便是参考系中观察者的“视界”。如果Alice的匀加速度是a的话，可以证明，这条双曲线与x轴的交点，位于x=1/a2的位置。不失一般性，可以假设a=1，那么，双曲线与x轴的交点，就位于x=1。
现在，我们进一步考虑加速度为2、1/2、1/3、1/4……等等情况的参考系。也就是说，除了Alice所乘坐的宇宙飞船之外，地球上的科学家们还发射了好多个加速度不相同的宇宙飞船，形成了一个宇宙飞船群。群中的每一个飞船在2维闵氏时空中都能划出一条双曲线。这些双曲线都以同一条原点光锥线为渐近线，加上从原点出发的辐射状等时线，在2维时空中形成一组特别的坐标系，叫做伦德勒坐标系（RindlerCoordinates），见图2-14-2b。闵可夫斯基时空是平坦的，平坦时空中可以有曲线坐标，正如在2维的平面上有直角坐标系，也有极坐标系一样。伦德勒坐标系便是平坦闵氏空间中的曲线坐标，因为它是由匀加速观测者的世界线构成的，所以也叫加速度坐标系。
伦德勒加速度坐标系不仅可以用来模拟和理解“黑洞”，也被人用来解释“贝尔的飞船佯谬”（Bell's spaceshipparadox）。之前讨论过的双生子佯谬，人们质疑的是时钟变慢的效应，而飞船佯谬质疑的则是空间的“尺缩效应”。
图2-14-3：贝尔的飞船佯谬
有两艘用绳索连在一起的宇宙飞船。地面上的操作者让它们以相同的加速度同时从静止开始运动。那么，在以地面为静止的参考系中的观察者看来，两艘飞船的速度在任何时刻都是一样的，因而，两艘飞船间的空间距离保持不变。由于飞船和绳索都以高速运动，它们会有“尺缩效应”。空间的距离不变但绳索的长度却缩短了，绳索应该断裂才是，另一种观点则认为绳索不会断。到底“断”还是“不断”呢？不想在此多加讨论，有兴趣者可参考wiki【2】。
参考资料：
【1】WilliamG. Unruh: Notes on Black Hole Evaporation. Phys. Rev. D 14 870, 1976
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