我们常常可以看到为了形象地说明引力源如何引起时空的弯曲，艺术家会画一个地球把有格点的平面压凹下去。当然我们生活的空间是三维的，所以这个比喻有它的局限性。要正确地理解这个图像，我们应该把空间看成是二维的而不是三维的，就是说想象世界只是那个“薄膜”，离开薄膜的“面”没有其它维数。那么如何理解三维或更高维空间的弯曲呢？
要想更好地理解三维空间的弯曲（四维时空的弯曲本质上一样，只是多了一维），我们先要对几何学中的弯曲做更深刻的理解。几何学（广相其实可以看成时空的几何学）中所说的“弯曲”是空间的一种内蕴的（几何）属性。什么叫内蕴的几何属性呢？就是不需要离开所在的空间，只通过测量空间“内部”不同点之间距离就能探测到的性质。
打个比方说，如果你手头有张展平的纸，很明显我们会认为它是平的。现在假设你把这张纸紧贴到一根很直的圆柱上，那么以三维空间中人类的眼光，我们认为这张纸是弯曲的，但这是在“纸面”这个空间外部才能看出来的弯曲。如果从只能生活在纸面上的“二维人”的角度看，因为包在圆柱上的纸跟展平的纸相比任何两点间的距离没有发生变化，这种我们认为的“弯曲”是无法探测出来的。所以从内蕴几何的角度来看圆柱面是“平”的（术语是“曲率为零”）。我们感觉到的弯曲是“外蕴”的，是因为我们把同一张纸以不同的方式放到三维空间中造成的。
（几何的术语是：这种看上去不同的弯曲只是由于到三维空间的不同的“嵌入”造成的，而其实展平的纸跟圆柱面是“局部等距同构”的，从内蕴几何的角度看它们是同一个空间。）
反过来讲，展平的纸跟球面相比在“弯曲”的方式上就有了本质区别。如果不把纸弄皱（就是说改变某些点之间的距离），我们是不可能把一张原本平直的纸贴到球面上的。这就说明球面从内蕴几何的角度看是弯曲的。
可是对球面上的“二维人”来说怎么才能探测到球面（或一般曲面）的弯曲呢？办法有很多，其中比较直观的方法是把一些几何对象的尺度跟平直空间同样的尺度做比较。比如一个办法就是看球面上圆的周长跟半径之间是否满足（周长）/（半径） = 2（pi）。很显然球面上的圆的周长跟半径的比率小于 2（pi），这种曲面我们称为具有正曲率；如果是马鞍面那样的曲面，圆的周长/半径会大于 2（pi），我们认为那样的曲面具有负曲率。而平面和圆柱面，圆锥面那样的曲面则是零曲率的，或者说是平坦的。
在广相中，引力源附近的时空是弯曲的。而且即使不考虑时间轴（就是说固定一个时间），三维空间在引力源附近也是弯曲的。以地球为例，附近的度规（就是线元或弧长元素（的平方），或者说相距非常近的点之间的长度平方）在固定时间后可以近似地用史瓦西度规给出。因为史瓦西度规是旋转对称的，所以我们可以只看赤道平面的度规，它的极坐标表达式是：
ds^2 = (1 - r_s / r)^(-1) dr^2 + r^2 d(\phi)^2
其中 r_s 是地球的史瓦西半径（非常小的一个数），r是坐标半径（就是说 r 处的圆的周长等于 2(pi)r ），\phi
是极坐标系的角度。这跟平面上的弧长只差了 dr^2 前面的那个因子。因为 r_s 非常小，所以这个因子差不多就等于 1，就是说对地球来说，附近的空间几乎是平的。但是那个因子毕竟不是完全等于1，而是比1稍微大一点，所以曲率仍然存在。利用高斯曲率的计算公式，我们可以得出
K = （- 1/2 )(r_s)/(r^3)
所以地球附近的空间具有很小的负曲率。如果我们把赤道平面等距嵌入到三维的欧氏空间，局部看起来它会象一个马鞍面，它的方程是一个双曲抛物面，有个名字叫弗拉姆抛物面（Flamm's paraboloid）。
- wolfking97: 回复 uukoo :这个图的确是比较夸大的，更象是黑洞这样大质量天体附近的赤道平面，地球如果照比例画的话恐怕就是一张平面了。因为史瓦西度规只在地球之外（对黑洞是事件视界之外）有效，而地球的史瓦西半径不到一厘米，所以上面的K值小于1厘米/地球半径立方，是个极小的值，所以嵌入曲面基本是平面。2013-10-12 20:09回复
- lgxysllgxysl: 回复 wolfking97 :你似乎还没有分得清楚外部解与内部解。准确的说，地球并没有一个“真”的史瓦西半径。因为地球的内部解和外部解是不同的，对于地球这样的天体，根本就没有时空奇点，也没有类似史瓦西分界面这样的东西。如果你深挖到地球内1厘米处，它也不是“黑洞”的史瓦西半径那样的分界2013-10-12 20:18回复
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- 2013-10-12 07:11
恩发现2楼漏讲了曲面上“圆周率”跟高斯曲率的关系。大致说来，曲面上的“圆周率”跟平面上圆周率的差取极限后就是高斯曲率。准确地说，高斯曲率是下面的比率
6 [（平面圆周率 - 曲面圆周率）/ 平面圆面积 ]
令圆的半径趋于零取极限的结果。
6 [（平面圆周率 - 曲面圆周率）/ 平面圆面积 ]
令圆的半径趋于零取极限的结果。
- wolfking97: 时间的弯曲也可以通过类似跟平坦空间的对比看出来，比如在高塔顶上跟塔底标准时钟的速率不同正是时空弯曲的体现。事实上爱因斯坦之所以想到引力跟曲率有关正是因为这可以类比于地球上不同纬度上同样的经线之间距离不同。2013-10-12 19:35回复
- wolfking97: 回复 amo1945 :他的意思是，高斯曲率是对于曲面定义的，一维的对象只有外蕴曲率，所以只谈“时间的弯曲”意义不明确。我前面的说明也是取塔顶和塔底两个点去比较时钟，相当于取了个二维（空间一维加时间一维）的截面。2013-10-13 08:04回复
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- wolfking97: 对欧氏空间中的嵌入曲面要看你想算什么曲率。象均曲率这样是外蕴曲率，所以不是零（这就是为什么我们看圆柱面是弯曲的），如果是高斯曲率，尽管高斯的原始定义是外蕴的，但高斯的著名的“绝妙定理”（Theorema Egregium）证明了它其实是内蕴的。圆柱面的高斯曲率是零。2013-10-12 19:22回复
- wolfking97: 回复 Loop_Quantum :高斯原先定义高斯曲率的时候是用了主曲率的乘积来定义，曲面上一点的两个主曲率是用法向上跟曲面相切的圆的曲率在不同方向取极大跟极小值来定义的，这个定义显然是外蕴的。圆柱面的两个主曲率分别在轴的方向（为零）跟垂直方向（等于圆的曲率），所以乘积为零。2013-10-12 19:48回复
- wolfking97: 回复 Loop_Quantum :但是高斯后来证明了高斯曲率可以用曲面上的度规来计算，而度规只跟曲面内部如何度量距离有关，跟到欧氏空间的嵌入无关，所以必然是内蕴的，是等距同构下的不变量。在黎曼几何中我们往往直接用度规定义曲率，就显不出高斯定理的“绝妙”来了。2013-10-12 19:54回复
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