陈方培的博客分享http://blog.sciencenet.cn/u/chenfap 大连理工大学物理系退休教授
博文
关于固有时及其变换关系
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关于固有时及其变换关系
有博主要求我解释固有时及其变换关系。首先申明一下：在文献中和在网上，存在着对固有时的不同定义及对其变换关系的不同解释。我不打算列举这些不同定义及对其变换关系的不同解释，也无意去评论它们的是非。我只谈自己的看法，也不强求别人接受我的看法，我也不打算参与网上的争论。为了解释得更清楚，要较多地用到相对论的数学关系。如果反对这些关系，就不必往下看了。
我是在时空事件及时空间隔概念的基础上来定义固有时的，我是在时空坐标的洛伦兹变换的基础上来讨论固有时的变换关系的。为简单起见，本文只写出时轴和x 轴坐标。本文所讨论的内容与马青山博士的博文相类似。
设有t时位于 x 处的事件（ct,x)，及t+dt时位于 x+dx 处的事件（c(t+dt),x+dt),这两个事件之间的时空间隔的平方为 ds2= c2dt2-dx2 。进行洛伦兹变换，事件（ct,x)变换为（ct’,x’),事件（c(t+dt),x+dt)变换为（c(t’+dt’),x’+dx’),这两个事件之间的时空间隔的平方变为为 ds’2= c2dt’2-dx’2 ,并且ds’= ds ,即两个事件之间的时空间隔是洛伦兹变换不变量。
在上述关系中，当dx=0 (或dx’=0）时，ds= cdt （或 ds’= cdt’）,常用 τ 表示t，即 ds= cdτ （或 ds’= cdτ’）；τ （或τ’) 被称为固有时 。这就是我所采用的固有时的定义。必须注意固有时概念得以成立的条件是时钟的位置固定不变，即dx=0 (或dx’=0）。
现在来讨论对钟后A 钟的读数，由于A钟静止在不带撇参照系，它的读数是固有时。当其读数为dτ时 ,所对应的事件为（0+dτ,0+0),进行洛伦兹变换，变到带撇参照系，该事件变为（ct’,x’)。其中，ct’= cdτ/(1-v2/c2)1/2 , x’= - vdτ/(1-v2/c2)1/2 。由于A钟不静止在带撇参照系，在带撇参照系它的读数不是固有时。B钟静止在带撇参照系，它的读数是固有时,但静止在不带撇参照系的A钟的读数不可能变换成为静止在带撇参照系的B钟的读数。
另一方面，ds= cdτ （或 ds’= cdτ’）也是个时空间隔，也是个标量，在坐标变换下，数值不变，但这种不变，不能作为用固有时计时的理由
狹義相對論的基礎探討
林其融。陳紀景。廖予崇。惠文高中。5年2班
狹義相對論的基礎探討
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壹●前言
(一)歷史
到 19 世紀末，以麥克斯韋方程組為核心的經典電磁理論的正確性已被大量實驗 所證實，但麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下不具有協變性。而經典力學中 的相對性原理則要求一切物理規律在伽利略變換下都具有協變性。為解決這一矛盾， 物理學家提出了「乙太假說」，即放棄相對性原理，認為麥克斯韋方程組只對一個絕對 參考系（乙太）成立。根據這一假說，由麥克斯韋方程組計算得到的真空光速是相對 於絕對參考系（乙太）的速度；在相對於「乙太」運動的參考系中，光速具有不同的 數值。但斐索實驗和邁克耳遜－莫雷實驗表明光速與參考系的運動無關。為說明這一 實驗結果，洛侖茲把伽利略變換修改為洛侖茲變換，但不能對此做出合理的解釋。
愛因斯坦意識到伽利略變換實際上是牛頓經典時空觀的體現，如果承認「真空 光速獨立於參考系」這一實驗事實為基本原理，可以建立起一種新的時空觀（相對論 時空觀）。在這一時空觀下，由相對性原理即可導出洛侖茲變換。1905年，愛因斯坦 發表「論動體的電動力學」，建立狹義相對論。
(二)狹義相對論的定義
狹義相對論，是只限於討論慣性系情況的相對論。牛頓時空觀認為空間是平直的、 各向同性的和各點同性的的三維時空，時間是獨立於空間的單獨一維（因而也是絕對 的）。狹義相對論認為空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，並不 存在絕對的空間和時間。在狹義相對論中，整個時空仍然是平直的、各向同性的和各 點同性的，這是一種對應於「全局慣性系」的理想狀況。狹義相對論將真空中光速為 常數作為基本假設，結合狹義相對性原理和上述時空的性質可以推出洛侖茲變換。
貳●正文
(一)麥克斯韋方程組
1864 年，在〈Dynamical Theory of The Electric Field〉中，Maxwell 提出描 述電磁場之 Maxwell 方程，用四個偏微分方程
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由上面 4 個描述電磁波的方程式計算出電磁波的速度等同光速，因此推斷光是電磁波 的一種。這個發現，是愛因斯坦思考狹義相對論的重要背景。另外，1923 年後，Hertz 在實驗室中證實 Maxwell 的預測造出無線電波，開啟了廿世紀這個無線電時代。
(二)伽利略變換
愛因斯坦在創立相對論之初，對牛頓力學中使用伽利略變換研究慣性系理論提出 了質疑，理由是：伽利略變換中默認了兩慣性系採用相同的時間標準即 t’=t，如果 沒有這個默認，就會有 t’≠t，於是愛因斯坦提出並證明了另一個變換即洛侖茲變 換，作為否定和替代伽利略變換的唯一正確的變換。愛因斯坦對牛頓力學的指責一直 成為牛頓力學的隱痛，成為人們懷疑牛頓理論的出發點，也成為相對論的立足點。
(三)乙太
19 世紀，科學家們逐步發現光是一種波，而生活中的波大多需要傳播介質（如聲 波的傳遞需要藉助於空氣，水波的傳播藉助於水等）。受傳統力學思想影響，於是他們 便假想宇宙到處都存在著一種稱之為以太的物質，而正是這種物質在光的傳播中起到 了介質的作用。 根據麥克斯韋方程組，電磁波的傳播需要一個「絕對」的參照系，只有在這個參照系 中，光速才具有麥克斯韋方程組所預言的值 。其中 是真空介電常數，μ0 是真空磁 導率。這個「絕對參照系」就是以太。而其他參照系中測量到的光速應該是這個「絕 對」參照系中的光速與這個「絕對」參照系相對於觀察者的速度的向量和。 按照當時的猜想，以太充滿整個宇宙，電磁波可在其中傳播。如果假設以太相對於太 陽是靜止的，由於地球在圍繞太陽公轉，相對於以太具有一個速度 v，因此如果在地 球上測量光速，在不同的方向上測得的數值應該是不同的，最大為c+v，最小為c-v。 如果以太相對於太陽不是靜止的，地球上不同方向測量到的光速也應該有所不同。1881 年-1884 年，阿爾伯特·麥可遜和愛德華·莫雷（Edward Morley）為測量地球和以太的 相對速度，進行了著名的麥可遜—莫雷實驗。實驗結果顯示，不同方向上的光速沒有 差異。這實際上證明了光速不變原理，即真空中光速在任何參照系下具有相同的數值， 與參照系的相對速度無關，以太其實並不存在。後來又有許多實驗支持了上面的結論。 以太說曾經在一段歷史時期內在人們腦中根深蒂固，深刻地左右著物理學家的思 想。著名物理學家洛倫茲推導出了符合電磁學協變條件的洛倫茲變換公式，但無法拋 棄以太的觀點。愛因斯坦則大膽拋棄了以太學說，認為光速不變是基本的原理，並以
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此為出發點之一創立了狹義相對論。雖然後來的事實證明確實不存在以太，不過以太 假說仍然在我們的生活中留下了痕跡，如乙太網等。
(四).邁克耳遜－莫雷實驗
1893 年洛奇在倫敦發現，光通過兩塊快速轉動的巨大鋼盤時，速度並不改變，表 明鋼盤並不把以太帶著轉。對恆星光行差的觀測也顯示以太並不隨著地球轉動。 人們在不同地點、不同時間多次重複了邁克耳遜－莫雷實驗，並且應用各種手段對實 驗結果進行驗證，精度不斷提高[1]。除光學方法外，還有使用其他技術進行的類似實 驗[2]。如 1958 年利用微波激射所做的實驗得到地球相對以太的速度上限是 3×10-2 km/s[3]，1970 年利用穆斯堡爾效應所做的實驗得到此速度的上限只有 5×10-5 km/s[4]。綜合各種實驗結果，基本可以肯定地球不存在相對以太的運動。
(五)羅倫茲轉換 19 世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標志著經典電動力學取得了巨大成功。然而 麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。
由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是 一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的慣性參照系中成立， 這個參照系就是以太。其它參照系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系 相對以太參照系的速度的向量疊加。然而 1887 年的麥可遜-莫雷實驗測量不到地球相 對於以太參照系的運動速度。1904 年，洛侖茲提出了洛侖茲變換用於解釋麥可遜-莫 雷實驗的結果。根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，長度在運動方 向上發生收縮，抵消了不同方向上由於光速差異，這樣就解釋了麥可遜-莫雷實驗的零 結果。
(六)狹義相對論
A. 概念和假設
愛因斯坦推論出，所謂的時間與空間，是一種稱為"時空"的物理量的兩個部 分。要了解這概念，要先把在"時間中的運動"想成在"時空中的運動"。從狹義相 對論的觀點來看，你是在一個時間與空間的組合體中運動，也就是在時空中運 動。當你站著不動時，你所有的運動都只發生在時間這部分上。當你做移動時， 會通過空間這一部分，大部分的運動，還是會通過時間這一部分。但是如果以光
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速在空間中運動時，所有的運動都只發生在空間中，所以當以光速移動時，將會 長生不老，因為光在空間中是不需要任何時間的，或者更嚴格來說需要極短的時 間。在空間中運動，會影響到在時間中的運動，所以無論何時，當我們在空間中 有運動的時候，在某種程度上,我們已經改變了我們走向未來的速率，這就是所 謂的時間膨脹。時間膨脹是狹義相對論的其中一種。在解釋狹義相對論前要先解 釋幾個概念和假設。
a.基本概念: 1.運動是相對的: 速率是相對的物理量。他的值與觀測座標有關。對不同的座標而言，一 物體會有不同的物理量。 2.光速為一常數: 不論光源是接近中或是遠離中，相對於觀測者而言，他所測量出來的光 速大小都是一樣的。愛因斯坦以速率的定義重新審視光速的問題，推翻對時 間與空間的古典觀念，而推論出光速的恆定性。
B.愛因斯坦在說明狹義相對論時有兩個基本假設: a.在等速運動的座標中，所有的自然律都相同。 b.光速在真空中行進的速率永遠會是個定值，不論光源或觀察者是如何運動。
D.時間膨脹
假設在地球上有一個大鐘，指著中午 12 點，則在地球上的人與在外太空船 上的觀察者，都觀察到時鐘指著中午 12 點。兩者都在不同時間內，看到中午 12 點！現在假設外太空船飛行的速率與光一樣快，然後，你便能夠趕得上時鐘是" 中午 12 點"這個訊息。也就是說如果你光速前進，然後，這個訊息就會一直告訴 你中午 12 點。 在高速移動中的座標內，時鐘與所有事件的演變，看起來好像是慢動作那 樣，時間會被拉長，至於會被拉長多少，則取決於座標的速率，這就是"時間膨 脹"。 狹義相對論扭轉了我們對這個世界的概念
a.原本，我們認為速率是相對的，但有一個速率卻是絕對的,那就是光速。 b.原本，我們認為時間是絕對的物理量，不論發生什麼事，時間總是以相同比率 流逝，但剛剛所舉的太空船這個例子，卻反而與我們原本的想法有出入，時間 是由觀察者與被觀察者之間的運動狀態來決定的。 時間膨脹方程式
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E.長度收縮
對運動中的物體而言，空間也和時間一樣會經歷著某些變化，運動中的物 體會在運動方向上的長度收縮。因為是空間本身收縮了,而空間的收縮只會沿著 一個方向發生，也就是運動方向。垂直於運動方向上的長度，對兩個座標系而 言，都是一樣的所以垂直方向的長度不會有任何變化。 相對論性的長度收縮數學式如下:
V 是運動中的物體相對於觀察者的速率，C 是光速，L 觀察者所測量出來的長度， L0 是物體靜止時所測量出來的長度，如果物體的速率可以達到光速，則它的長 度會收縮到零，這就是光速是所有物體的速率上限的一個原因。
F.相對論裡的動量
從 F=Δmv/Δt(或者 F=ma)來了解。物體的動量變化，等於外加在該物體上 的衝量大小。當外加的衝量的增加時，物體所獲得的動量也會增加，但這不是 意味著動量可以無限增加。由 p=mv 來說,無限大的動量，表示要有無限大的速 率，然而，在相對論裡卻不是這樣的。愛因斯坦指出，動量需要一個新的定義:
當 v 接近 c 的時候，上式的分母會趨近於零時，動量會趨近無限大。有無限大
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的動量，需要無限大的衝量才做得到，所以這是不可能的，也就是說，任何有 質量的物體，都不可能被加速到光速。這是，光速是所有物體的速率上限的另 一個原因。
G.質量與能量的等效性
愛因斯坦在狹義相對論最重要的理論就是: 質量只是能量的一種形式 愛因斯坦認為，製造質量需要消耗能量，而且質量消失的時候，會把這些能量
釋放出，靜能 E0與質量之間的關係為:
E0 = mc
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光速是的平方，是一個極大的數值，所以一個很小的質量，便儲存很大能 量，c2 就是這兩者之間的轉換因子。此外 E0 = mc2 所代表的意義不僅僅是淨
質量與能量之間的互換而已，它所呈現出來的意義，是能量與質量是相同的東 西，質量可以說是"凝結的"能量，所以想知道某個系統具有多少能量，測量它 的質量就可以了。所以要搖動一個巨大的物體，感覺很困難，原因就是他本身 的能量很難被搖動。
參● 結論
狹義相對論，是愛因斯坦從根據前人的結論為基礎，加上自己的想法建立出來 。從麥克斯韋方程組，得到光電磁波傳遞的速度等同於光速。從伽利略變換，得 到相對運動的概念。雖然乙太未被證明出其存在，但卻因實驗結果而提出羅倫茲 轉換式。羅倫茲轉換式雖然結論和愛因斯坦的狹義相對論有雷同處，但羅倫茲轉 換式是建立在乙太上，而愛因斯坦卻是在無乙太下建立起的，彼此的物理並不同 意義不同。新的理論被提出來是要經歷很多實驗去證明的。狹義相對論，無庸置 疑的，在核能發電和原子彈上見到了效用。在讀相對論裡得到了思考事情要遠一 點，要勇於提出想法，就像狹義相對論裡，"時間膨脹"打破當時世人對時間的想 法一樣。當初看相對論，因為好奇核能和原子彈的威力，沒想到相對論和其相關 的基礎理論，一個接著一個出現，讓我因而學到了許多理論，受益非淺
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