圆周运动加速的方向是向心的，而不是沿着切线方向的
公选课《张量理论》简介及教学进程_百度文库
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大地测量理论I_百度文库
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[PDF]《大地测量基础》 河南理工大学肖建华讲稿2012 版1
218.196.253.101/xiazai/notices/大地测量理论-2012版-1.pdf
尽管理论部分是共同的，对地球表面的应用是本讲稿的核心，因为这是最成熟，也是“最
正统”的工程应用部分。狭义的大地测量为何呢？
大地测量的目标有二类：一是通过对地表局部相对坐标变化的测量，得到全局的“大地
水准面”的绝对坐标；二是，以给定的“大地水准面”的绝对坐标为参考，测定任意地表局
部的绝对坐标（变化）。
测量可能是直接使用局部欧几里得几何方法，也可能是用地球物理的间接方法。而工程
上是以GPS 技术为主的卫星系统
直观上，要确定一个“大地水准面”的绝对坐标，首先要确定它的坐标原点；然后，要
确定通过该原点的地球转动轴；尔后，要确定一个与地球转动轴正交的、过原点的圆（椭圆）
平面。
如果“大地水准面”是等价的球面，则为“球水准面”。但是，最终在全球各地的测量
表明，地球的半径是随纬度坐标的不同而变化的，是一个扁椭球形状的。
因为地球是大概的椭球面，因而，实际上用的是：“椭球水准面”。即便是对一国，也有
可能为了提高精度或其它目的，而不断的改动（微调）所采用的“椭球水准面”。
但是，各国或各地区因自身的地理特点不同，一般地说会采用不同的“椭球水准面”。
这样，各自的大地绝对坐标系是不同的。但是，一般地说，采用的绝对坐标是相同的经纬度
坐标。因而，唯一的差别是：度规（尺度）的不同，而且在东西向和南北向，度规系数也不
同。换句话说，在地球表面，度规是各向异性的。另外，在地球表面的各个点，度规系数也
是不同的，从而，它是以绝对坐标为自变量的一因变量。
确定这个度规张量（一组量）就是大地测量的基本目标。有了它，就可以把经纬度坐标
差转换为距离，对于远距离的航行，这是非常关键的论题
第一章：黎曼几何（张量理论）
1．1. 任意坐标系
两个有序点间的连线构成一个矢量。在直角坐标系中，从原点到任一点的连线构成对这
个点的矢量表达方式。在物理上，矢量对应于力或位移量，是客观量。作为一个客观量，它
是不随观测者的坐标选择而变的。这是爱因斯坦提出的保证物理学基本规律客观性的要求。
出于这一原则性，张量表述成为物理学基本规律客观性的基本表达方
反过来说，如果一个物理方程不是张量方程，则其普遍正确性就不可能了。只能作为
特例。这就是当代科学采用张量表达方式的根本目的。
凡是一个几何量或物理量，不随参考系选择不同而变的，就称为对坐标系变换的不变量。
例如，惯性力矢量为：
3
3
2
2
1
f f 1g f g f gr r r r
= + + （81）
它表示按立方单元的平行线法则分解（按边长线分解）。故也称为线力分解。这是惯性力的
逆变表达方式。
对保守力，由于它由梯度给出，而梯度方向是垂直于等值面的，故按等值面分解。如果
按面元分解，则保守力可写为：
3
3
2
2
1
f f1g f g f gr r r r
= + + （82）
它表示按有向面元（即法向面元）分解。故也称为面积坐标分解。这是保守力的协变表达方
式。
一般地说，基是不必完全写出的，只是指出基矢的定义及空间的维数即可。张量形式
的这种形式不变性使的很容易将低维空间的物理工程结果推广到高维空间。故成为当代科
学的必备工具
对给定的ds 2，球半径r是时间t 的函数。换句话说，度规是时变的。因而，水准面是一个动
态演化的概念。这里，M 表质量，G 为引力系数。
特别的注意到，球极坐标方向的度规系数为：
c r
g GM rr 2
≈ 1+ 2
从而，等位面就是它相等的面。因而，在2000 系，水准面的概念就是：球极坐标方向的度
规系数为指定恒定量的面。换句话说：2000 系把物理水准面和几何水准面概念在广义相对
论概念下统一起来了。
这样，地球形态的演化也就成为了大地测量的内涵。如果把电磁场考察进来，就有
Reissner-Nordstrom 度规（球状带电物质分布）
测地线方程
理论上，对地球表面上的任意点，它在地表面的坐标是由(θ ,ϕ )唯一确定的，而它的相
应r值（距地心的径向距离）则随地面点不同而变。在这样一个曲面上，(θ ,ϕ )是地面的内
禀坐标。它是可以测定的。地形的不同只是表现为r 值的不同。因为这个曲面是曲线系，因
而两点间的最短沿地面距离是由“测地线”规定的。
也就是说，只是在“测地线”方向上，普通的微积分运算（在直角系下的）才可以直接运
用。否则，计算就有大的误差。（这就是r ~ 大地水准面的内在定义，其经济价值很大）。
按这一定义，就有：
= −Γ = 0
∂
∂
⋅= −⋅∂
∂ i
k jk
i j
k j
i
x
g
g g
x
g
r
r r
r
（3-6）
也就是说，如果地表形态给出了一个平均化的(θ ,ϕ )方向的度规基矢，则为了使得该点成为
“测地线”上的点，(r)方向的度规基矢必须是满足要求（3-6）式的。
此时，局部空间是欧氏化的。
2）但中国不会永远陷入这种可悲的情况。国内对里奇流、里奇张量的研究怎样？
肖建华教授有一个介绍。肖建华1962年生于江西。1982年毕业于中国矿业学院应用地球物理专业；1991年在中国矿业大学北京研究生部获煤田地质与勘探专业硕士学位；2000年在该校获工程力学专业博士学位。1994-1995年在英国爱丁堡大学地质和地球物理物理系做访问学者；2000-2002年在中国矿业大学资源和地质工程系做博士后研究，现在河南理工大学测绘学院任校聘教授。主要研究方向为三维空间的有限变形力学和四维时空中的形变几何场理论，包括孔隙介质中的流体运动、软硬物质的高速碰撞等的工程应用。他说，佩雷尔曼研究里奇流的论文，震惊学界，但是佩雷尔曼本人认为，只不过是数学家关心他的研究，因为此后的有关研究论文和专著基本上集中在数学界。
a）肖建华说，里奇流问题，本身确是一个典型的物理、力学论题。里奇流问题的初等表达方式是：dg/dt=-2Ricci(g)。就是说：一个封闭流形上的度规张量的演化（随时间参数的变化）是由里奇张量决定的，而里奇张量本身又是由度规张量场决定的。研究这样一个问题的意义就看你是持有何种物理、力学运动概念。在里奇流问题中，度规张量的演化就是物理学、力学中运动。这种运动表现为流形的几何"变形"，与连续介质力学的变形概念是类似的。在经典弹性力学中，研究的是：[g(1)-g(0)]/2=e（应变）。即只比较两个位形，而里奇流研究的是连续的变化。在三维流形上，运动的概念是一个二阶度规张量，而不是位移矢量。这个物理、力学的运动概念是由爱因斯坦建立的。换句话说，是广义相对论下的运动概念。如果一个人抱定位移矢量的运动概念，则他是无论如何会对张量运动表达持反对态度的。
b）肖建华说，佩雷尔曼的研究成果的核心意义在于，为把这种运动概念应用于普通的连续介质中的物质微元（封闭流形）打开了道路，如微元的位形演化、微元间的界面相互作用等。决定里奇流的另一个方程式是一个与里奇曲率有关的泛函，在物理、力学中如何针对具体问题构造这个泛函是地地道道的物理、力学问题。但是，这方面的研究并没有得到学界重视。问题的起因很简单：里奇流问题相关数学工具在物理、力学学界的普及性不足。但是，还有一个问题就是：人们偏爱于简单、直接、直观的概念体系，尽可能拒接复杂的数学概念。这种偏爱是阻挡我们前进的原因之一。
c）肖建华说，抽象的数学的研究工作，在力求最广泛的概括性下的进展作为一个极端，这和在尽可能简单、直接、直观的概念体系下的另一个极端间，有巨大鸿沟。正是在这一个要点上，研究工作严重不足。这也表现在论文发表上：里奇流问题论文基本上发表在抽象数学集团的期刊上，而物理、力学中针对具体问题的论文发表在传统期刊集团上，二者间几乎没有正确、有效的交流，追求两个极端的人群是越来越背道而驰了。如果我国有那么一个群体，把研究工作集中在填平这个巨大鸿沟的理论性研究上，那么随之而来的应用、研究也可以期待。这里也许可说明没有人去培训，才有今天类似工人捣毁机器式的反相、反量。但就目前来看，就连发表论文的地方都没有。
d）肖建华说，连续介质力学对dg/dt 可以作出应变的对应解释；在几何上对于曲率变化，可以做出局部内在转动的解释。这样，如果把里奇流方程的左边的低阶近似完全对应于应变概念，则对里奇流的力学几何解释就是：内在的曲率变化就是封闭流形的度规变化的原因，从而把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。由一个泛函f引入的完整的、在外场作用下的Ricci方程为：dg/dt=-2Ricci(g)-2ddf(R)。这样对特定的外场，与连续介质力学不同，应力的概念被一个依赖于曲率的泛函局部二阶微分特性给定了。在连续介质力学中，物质微元是封闭的3-流形，从而Ricci流方程把微元闭流形的变化与连续介质的宏观位形变化连续了起来。但一个长期以来的难题是，如何定义物质微元的几何属性。
e）肖建华说，我国力学家陈至达建立的理性力学理论体系，事实上就是按引入先天性的3个独立矢来构造的，但是只完成了几何部分，没有建立相应的外场介入形式，而Ricci流方程恰恰是一个最为有力的补充。Ricci流概念建立于上世纪80年代，在物理原因的描述上，的确是超前于理性力学。Ricci流概念为理性力学与现代物理的结合，打开了一扇大门；在经典的连续介质力学中，微元物质是被隐涵的假定为三个1-流形的直和。此时各向同性假定是必须引入的，但是各向异性就象一个幽灵，紧随大变形而来。如接受，就与前提矛盾；如不接受，又与客观事实矛盾。因而，理性力学一直在这个问题上纠结不清。具有某种旋转对称性的各向异性介质，旋转对称轴是1-流形，旋转曲面是2-流形。对任意的微元为3-流形的介质，唯一的办法是引入先天性的3个独立矢或是任意的3-流形g(0)，而这就是Ricci流。
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广义相对论引起的科学思想革命
自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
广义相对论引起的科学思想革命
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自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
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