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量子多体理论：二次量子化
Author：$\textbf{Tom Gao}$
$\textbf{I}$.简介
对于全同粒子系统中任意两个粒子作用置换算符有 $S|\psi\rangle=I|\psi\rangle,S^2|\psi\rangle=I^2|\psi\rangle=|\psi\rangle$，因此本征值 $I=\pm 1$ ，$I=1$对应着玻色子系统，而$I=-1$对应着费米子系统。由此可见基本有两类遵循不同交换统计规律的粒子。因此对于费米子，多体波函数必须是由Slater行列式的线性组合构成，而玻色子的多体波函数则由各个单体波函数的连乘积式线性组合成。此外还有一类遵循分数交换统计的粒子称为任意子（Anyons），它们只出现在特色几何结构的体系中，例如二维系统。现以简明方式描述全同粒子：二次量子化
看待多体系统构成物质的自然观点是将之视为（量子）场，那么就可以讨论真空中粒子的产生、消灭过程，这个真空在乎于我们对基态的定义。 一个初步描述，对于费米子，产生算符作用于态$c_k^{\dagger}|0\rangle$ 表示产生一个处于$|k\rangle$ 态的粒子，$c_{k_1}^{\dagger}c_{k_2}^{\dagger}|0\rangle$ 表示产生两个粒子处于$|k_1k_2\rangle$，.... 算符之间遵守反对易代数：$\{c_1,c_2\}=0\;,\;\{c_1,c_2^{\dagger}\}=\delta_{12}$
$\textbf{II}$.二次量子化的导出
考虑拉格朗日量
\[
\mathcal{L}=\int dxdt\;L=\int dxdt\;\psi^*(i\partial_t-h)\psi
\]
$h$为哈密顿量；$\psi$视场量 为广义坐标，则广义动量为 $\pi=\delta L/\delta(\partial_t\psi)=i\psi^*$
可得哈密顿量密度为 $H=\pi\partial_t\psi-L=\psi^*h\psi=-i\pi h\psi$
由哈密顿原理可得到运动方程 ：
\[
\dot{\pi}=-\frac{\partial L}{\partial\psi}=i\pi h\;,\;\dot{\psi}=\frac{\partial L}{\partial\pi}=-i h\psi
\]
这两方程实质就是Schrödinger方程以及其厄米共轭形式。如果我们将哈密顿量$H=i\pi h\psi$ 视为经典力学哈密顿量，则它们为经典运动方程。量子力学中通过引入算符对易关系来进行一次量子化手续 $[x,p]=i\delta_{12}$ ，类似地可对场量进行二次量子化：
\begin{align*}
[\psi_1,\pi_2]&\to i[\psi_1,\psi_2^{\dagger}]=i\delta_{12} （玻色子）\\
\{\psi_1,\pi_2\}&\to i\{\psi_1,\psi_2^{\dagger}\}=i\delta_{12} （费米子）
\end{align*}
对于连续系统场量算符化可通过Fourier展开的系数替换成产生、消灭算符（Weyl编序）：
\begin{align*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k c_k e^{ikx}\;&,\;\psi^{\dagger}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k c_k^{\dagger} e^{-ikx}\\
c_k=\frac{1}{\sqrt{V}}\int dx\;\psi(x) e^{-ikx}\;&,\;c_k^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{V}}\int dx\;\psi^{\dagger}(x) e^{ikx}
\end{align*}
对态进行箱体归一化可取极限 $V\to\infty$ 。产生消灭算符之间有对易关系：
\begin{align*}
[c_k,c_{k'}^{\dagger}]&=\delta_{k k'}（玻色子）\\
\{c_k,c_{k'}^{\dagger}\}&=\delta_{kk'}（费米子）
\end{align*}
从以上这些结果可推得费米子场算符间对易关系为
\begin{align*}
\{\psi(x),\psi^{\dagger}(x')\}&=\frac{1}{V}\sum_{kk'}\{c_k,c_{k'}\}e^{ikx-ikx'}=\frac{1}{V}\sum_k e^{ik(x-x')}\\
&\to\int\frac{dk}{2\pi}e^{ik(x-x')}=\delta(x-x')
\end{align*}
同理可得玻色场算符对易关系。在二次量子化中，$\psi,\psi^{\dagger}$ 从波函数变为场算符，$h$ 变为空间中的联络。
这一来就为多体系统提供了场论语言的表达，以固体中多电子哈密顿量(为例（忽略自旋指标）
\[
H=\int d^3x\;\psi^{\dagger}(x)\Big(-\frac{\nabla^2}{2m}-\mu\Big)\psi(x)+\frac{1}{2}\int d^3xd^3x'\psi^{\dagger}(x)\psi^{\dagger}(x')V(x-x')\psi(x')\psi(x)+...
\]
这里面算符可以看到的电子不会作用到自身上，并且哈密顿量中出现的不再是量子力学中对所有单体粒子求和项，而是对场量算符的积分，粒子平均数由化学势 控制。
$\textbf{III}$.算符代数
费米子和玻色子的算符由其对易关系表征，现在来讨论更复杂的算符代数运算。
简单起见，从玻色子开始，玻色算符代数与 $z,\partial_z$的代数是同构的（$z$是复数）,
\[
[z_1,z_2]=0\;,\;[\partial_{z_1},\partial_{z_2}]=0\;,\;[\partial_{z_1},z_2]=\delta_{12}
\]
比较于玻色算符，可以得到映射关系$b\to\partial_z\;,\;b^{\dagger}\to z$ ，由此可以得到算符组成函数$g$的对易关系
\[
[\partial_z,f(z,\partial_z)]=\partial_z f(z,\partial_z)\to[b,g(b^{\dagger},b)]=\partial_{b^{\dagger}}f(b,b^{\dagger})
\]
其厄米共轭为
\[
[z,f^*(z,\partial_z)]=-\partial_z f^*(z,\partial_z)\to [b^{\dagger},f^*(b^{\dagger},b)]=-\partial_b f^*(b^{\dagger},b)
\]
那么根据以上关系可计算态$(b^\dagger)^n|0\rangle$的模：
\[
\mathcal{N}=\langle 0|b^n(b^\dagger)^n|0\rangle=\langle 0|(\partial_{b^{\dagger}})^n(b^\dagger)^n|0\rangle=n!
\]
去掉其中$b$作用到真空态得到0的项，因此有
\[
|n\rangle=\frac{(b^\dagger)}{\sqrt{n!}}|0\rangle\;,\;b^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\;,\;b|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\;,\;\langle n|m\rangle=\delta_{mn}
\]
根据这些代数运算规则可证明
\[
\langle 0|...b_1...b_2^\dagger...b_3^\dagger...b_4...|0\rangle=\langle 0|...\partial_1...b_2^\dagger..b_3^\dagger...\partial_4...|0\rangle\;\;\;,\;\;\;\partial_i=\partial_{b_i^\dagger}
\]
式中所有$\partial_i,b_i^{\dagger}$之间必须都能配对组成“收缩”（算符$b$排在右边时候算符收缩为零，收缩是$c$数）结果才可能不为零。计算该式就相当于所有算符构成各种可能收缩的乘积的求和，这就是$\textbf{Wick}$定理。
从粒子数表象还可以构造一种特别的态
\[
|\phi\rangle=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\phi b^\dagger)^n}{n!}|0\rangle =e^{\phi b^\dagger}|0\rangle
\;\;\;,\;\;\;
b|\phi\rangle=\partial_{b^\dagger}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\phi e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\phi|\phi\rangle
\]
可明显看出$|\phi\rangle$是算符$b$的本征态。这种由各粒子数态高度线性相干叠加的态就称为相干态。同理，可给出$b\dagger$的本征态
\[
\langle\chi|=\langle 0|e^{\chi^* b}
\;\;\;,\;\;\;
\langle\chi|b^\dagger=\langle\chi|\chi^*
\]
计算相干态直接的重叠依旧作内积
\[
\langle\chi|\phi\rangle=\langle 0|e^{\chi^* b}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\langle 0|e^{\chi^* \partial_{b^\dagger}}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\langle 0|e^{\chi^*\phi}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=e^{\chi^*\phi}
\]
这意味着相干态之间并非正交的，其组成过完备基。不过所幸的是我们可以还是将其归一化
\[
\frac{1}{\pi}\int d\phi^* d\phi|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\langle\phi|=I
\]
归一化因子（这里是$1/\pi$）通常并不重要，因为它可以吸收进积分测度中或者在一些具体计算（后面讲到Green函数等关联函数）时会被分母中的抵消。其证明可作用该恒等式到任一态
\[
\begin{aligned}
\int d\phi^* d\phi|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\langle 0|e^{\phi^* b}(b^\dagger)^n|0\rangle&=\int d\phi^* d\phi (\phi^*)^n|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\\
&=\int d\phi^* d\phi (\phi^*\phi)^n e^{-\phi^*\phi}\frac{(\phi b^\dagger)^n}{n!}|0\rangle\\
&=I(b^\dagger)^n|0\rangle=(b^\dagger)^n|0\rangle
\end{aligned}
\]
接下来我们考虑费米子，费米子的反对易性质自然地导致了Pauli不相容原理。因此费米子的占据态很简单，只有两种：$c^\dagger|0\rangle\;,\;(c^\dagger)^n|0\rangle\;(n>1)$。 因此也得到费米子算符乘积的Wick定理:$\langle 0|\cdots c_1\cdots c_2^\dagger\cdots c_3\cdots c_4^\dagger\cdots|0\rangle$ 可表示为成对的两点关联函数乘积的求和，不过与玻色子的情况不同，这里因费米子的交换而会得到负号。
进一步需要得到费米子的相干态，这么做就需要引入Grassman数$\xi$，其导数$\partial_\xi$。Grassman数遵循反对易规则
\[
\{\xi_i,\xi_j\}=0\;\;,\;\;\{\partial_{\xi_i},\partial_{\xi_j}\}=0\;\;,\;\;\{\partial_{\xi_i},\xi_j\}=\delta_{ij}
\]
Grassmnan积分为求导的逆运算，积分运算后不会得到新的Grassman数，也不该破坏反对易规。则不严格地说两个Grassman数乘起来就表现得像个玻色子。于是定义Grassman积分运算为
\[
\int d\xi(a+b\xi)=b\;\;,\;\;\int d\xi=\partial_\xi
\]
所以任意常数$a$都可通过重新定义测度而归一化。进一步要求Grassman数和费米子算符都反对易
\[
\{\xi,c\}=0\;\;,\;\;\{\xi,c^\dagger\}\;\;,\;\;\{\partial_\xi,c\}=0\;\;,\;\;\{\partial_\xi,c^\dagger\}=0
\]
可验证
\[
|\phi\rangle=e^{c^\dagger\phi}|0\rangle\;,\;c|\phi\rangle=c(1+c^\dagger\phi)|0\rangle=\phi|0\rangle=\phi(1+c^\dagger\phi)|0\rangle=\phi|\phi\rangle
\]
因此$|\phi\rangle$为费米子相干态。同理可得
\[
\langle\chi|=\langle 0|e^{\bar{\chi}c}\;,\;\langle\chi|c^\dagger=\langle 0|(1+\bar{\chi}c)c^\dagger=\langle 0|e^{\bar{\chi}c}\bar{\chi}
\]
两个相干态的重叠为$\langle\bar{\chi}|\phi\rangle=1+\bar{\chi}\phi=e^{\bar{\chi}\phi}$；完备归一恒等式可由Grassman积分导出
\[
I=\int d\bar{\phi}d\phi\;e^{-\bar{\phi}\phi}|\phi\rangle\langle\phi|=|0\rangle\langle0|+c^\dagger|0\rangle\langle0|c=|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|=1
\]
此恒等式在路径积分表述中很有用。
$\textbf{IV}$.一些系统的二次量子化
简谐振子
哈密顿量写为 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$，$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$为简谐频率。定义算符
\[
a=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x+\frac{i}{m\omega}p\right)\;\;,\;\;a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x-\frac{i}{m\omega}p\right)
\]
易知它们满足对易关系$[a,a^\dagger]=1$，也就是玻色子的产生、消灭算符。可将$x,p$用$a,a^\dagger$ 表达
\[
x=\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}\left(a+a^\dagger\right)\;\;,\;\;p=-i\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(a-a^\dagger\right)
\]
代入哈密顿量$H$中对角化为
\[
H=\frac{1}{2}\omega\left(aa^\dagger+a^\dagger a\right)=\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)=\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)
\]
因此粒子数表象下系统的基态为$|0\rangle$（$a|0\rangle=0$），基态（真空）能为$E_0=\frac{1}{2}\omega$。于是可得
\[
(x+ip/m\omega)|0\rangle=0\Rightarrow (x+\partial_x/m\omega)|0\rangle=0
\]
解此方程并归一化得基态解 $|0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\frac{1}{2}m\omega x^2}$
于是对于一般激发态可由产生算符作用得到
\[
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left[\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x-\frac{\partial_x}{m\omega}\right)\right]^n|0\rangle
\]
声子
将N个谐振子串起来组成弹性链，哈密顿量为 \[H=\sum_i\frac{p_i^2}{2m}+\frac{K}{2}\sum_i(u_i-u_{i+1})^2\]
此时一次量子化中力学量对易关系为$[u_i,p_j]=i\delta_{ij}$（$u_i$为第i个格点的振动位移，$p_i$为对应的动量）；引入周期性边界条件便可得到无限长链模型。离散平移对称性下作Fourier 变换到动量空间
\begin{align*}
u_l=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{ik x_l}u_k\;\;&,\;\;u_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_l e^{-ik x_l}u_l\\
p_l=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-ik x_l}p_k\;\;&,\;\;p_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_l e^{ik x_l}p_l
\end{align*}
将以上变换式代入哈密顿量中为
\[
H=\frac{1}{2m}\sum_k p_k p_{-k}+\frac{m}{2}\sum_k\omega_k^2 u_k u_{-k}
\]
注意到这一步哈密顿量还没完全对角化；色散关系为 $\omega_k=\sqrt{\frac{2K}{m}}\left|\sin\frac{ka}{2}\right|$
对易子变为 $[u_k,p_{k'}]=\frac{1}{N}\sum_{l,m}e^{-ik x_l+ik' x_m}[u_l,p_m]=i\delta_{kk'}$
为了完全对角化哈密顿量，可同样按照谐振子的办法换到粒子数表象中，由产生消灭算符表示。然而这里不对角的原因正是哈密顿量中含有的Fourier模带有$k$ 与$-k$两符号相反的晶格动量。因此不妨将它们线性组合便得到产生、消灭算符
\[
a_k=\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(u_k+\frac{i}{m\omega_k}p_{-k}\right)\;\;,\;\;a^\dagger_k=\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(u_{-k}-\frac{i}{m\omega_k}p_k\right)
\]
同样易得到玻色子对易关系$[a_k,a_{k'}]=0\;,\;[a_k^\dagger,a_{k'}^\dagger]=0$以及$[a_k,a_{k'}^\dagger]=\delta_{kk'}$。于是有
\[
u_k=\sqrt{\frac{1}{2m\omega_k}}\left(a_k+a_{-k}^\dagger\right)\;\;,\;\;p_k=-i\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(a_{-k}-a_k^\dagger\right)
\]
代入$H$最终得到对角化的哈密顿量 $H=\sum_k\omega_k\left(a_k^\dagger a_k+\frac{1}{2}\right)$
于是我们便得到晶格振动运动的量子，这种准粒子（元激发）称为声子。在固体系统中是最重要的元激发之一。另外，晶格的不同类型的振动模式（横波、纵波）导致声子有极化。
那么在晶格间运动的电子也自然避免不了与声子发生散射作用。
电子-声子散射作用的哈密顿量可直接写为 $H_{e-ph}=G\sum_i \Delta u_i c_i^\dagger c_i$
晶格振动带来的畸变 $\Delta u_i=u_{i+1}-u_i\simeq\partial_i u_i$，电子-声子耦合项可在动量空间由产生、消灭表达
\begin{align*}
u_i&=\partial_{x_i}\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_q e^{iq x_i}u_q\;,\;u_q=\sqrt{\frac{1}{2m\omega_q}}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)\\
\partial_i u_i&=\frac{iq}{\sqrt{N}}\sum_q e^{iq x_i}u_q=\frac{iq}{\sqrt{2m\omega_q N}}\sum_q\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)\\
c_i&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{ik x_i}c_k\;,\;c_i^\dagger=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k'}e^{-ik' x_i}c_k^\dagger\\
H_{e-ph}&=\sum_{kk'q}g_q \frac{1}{N}\sum_i e^{i(k+q-k')x_i}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k'}^\dagger c_k=\sum_{kk'q}g_{kq}\delta_{k+q-k',0}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k'}^\dagger c_k\\
&=\sum_{kq}g_{kq}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k+q}^\dagger c_k
\end{align*}
$\textbf{I}$.简介
对于全同粒子系统中任意两个粒子作用置换算符有 $S|\psi\rangle=I|\psi\rangle,S^2|\psi\rangle=I^2|\psi\rangle=|\psi\rangle$，因此本征值 $I=\pm 1$ ，$I=1$对应着玻色子系统，而$I=-1$对应着费米子系统。由此可见基本有两类遵循不同交换统计规律的粒子。因此对于费米子，多体波函数必须是由Slater行列式的线性组合构成，而玻色子的多体波函数则由各个单体波函数的连乘积式线性组合成。此外还有一类遵循分数交换统计的粒子称为任意子（Anyons），它们只出现在特色几何结构的体系中，例如二维系统。现以简明方式描述全同粒子：二次量子化
看待多体系统构成物质的自然观点是将之视为（量子）场，那么就可以讨论真空中粒子的产生、消灭过程，这个真空在乎于我们对基态的定义。 一个初步描述，对于费米子，产生算符作用于态$c_k^{\dagger}|0\rangle$ 表示产生一个处于$|k\rangle$ 态的粒子，$c_{k_1}^{\dagger}c_{k_2}^{\dagger}|0\rangle$ 表示产生两个粒子处于$|k_1k_2\rangle$，.... 算符之间遵守反对易代数：$\{c_1,c_2\}=0\;,\;\{c_1,c_2^{\dagger}\}=\delta_{12}$
$\textbf{II}$.二次量子化的导出
考虑拉格朗日量
\[
\mathcal{L}=\int dxdt\;L=\int dxdt\;\psi^*(i\partial_t-h)\psi
\]
$h$为哈密顿量；$\psi$视场量 为广义坐标，则广义动量为 $\pi=\delta L/\delta(\partial_t\psi)=i\psi^*$
可得哈密顿量密度为 $H=\pi\partial_t\psi-L=\psi^*h\psi=-i\pi h\psi$
由哈密顿原理可得到运动方程 ：
\[
\dot{\pi}=-\frac{\partial L}{\partial\psi}=i\pi h\;,\;\dot{\psi}=\frac{\partial L}{\partial\pi}=-i h\psi
\]
这两方程实质就是Schrödinger方程以及其厄米共轭形式。如果我们将哈密顿量$H=i\pi h\psi$ 视为经典力学哈密顿量，则它们为经典运动方程。量子力学中通过引入算符对易关系来进行一次量子化手续 $[x,p]=i\delta_{12}$ ，类似地可对场量进行二次量子化：
\begin{align*}
[\psi_1,\pi_2]&\to i[\psi_1,\psi_2^{\dagger}]=i\delta_{12} （玻色子）\\
\{\psi_1,\pi_2\}&\to i\{\psi_1,\psi_2^{\dagger}\}=i\delta_{12} （费米子）
\end{align*}
对于连续系统场量算符化可通过Fourier展开的系数替换成产生、消灭算符（Weyl编序）：
\begin{align*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k c_k e^{ikx}\;&,\;\psi^{\dagger}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k c_k^{\dagger} e^{-ikx}\\
c_k=\frac{1}{\sqrt{V}}\int dx\;\psi(x) e^{-ikx}\;&,\;c_k^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{V}}\int dx\;\psi^{\dagger}(x) e^{ikx}
\end{align*}
对态进行箱体归一化可取极限 $V\to\infty$ 。产生消灭算符之间有对易关系：
\begin{align*}
[c_k,c_{k'}^{\dagger}]&=\delta_{k k'}（玻色子）\\
\{c_k,c_{k'}^{\dagger}\}&=\delta_{kk'}（费米子）
\end{align*}
从以上这些结果可推得费米子场算符间对易关系为
\begin{align*}
\{\psi(x),\psi^{\dagger}(x')\}&=\frac{1}{V}\sum_{kk'}\{c_k,c_{k'}\}e^{ikx-ikx'}=\frac{1}{V}\sum_k e^{ik(x-x')}\\
&\to\int\frac{dk}{2\pi}e^{ik(x-x')}=\delta(x-x')
\end{align*}
同理可得玻色场算符对易关系。在二次量子化中，$\psi,\psi^{\dagger}$ 从波函数变为场算符，$h$ 变为空间中的联络。
这一来就为多体系统提供了场论语言的表达，以固体中多电子哈密顿量(为例（忽略自旋指标）
\[
H=\int d^3x\;\psi^{\dagger}(x)\Big(-\frac{\nabla^2}{2m}-\mu\Big)\psi(x)+\frac{1}{2}\int d^3xd^3x'\psi^{\dagger}(x)\psi^{\dagger}(x')V(x-x')\psi(x')\psi(x)+...
\]
这里面算符可以看到的电子不会作用到自身上，并且哈密顿量中出现的不再是量子力学中对所有单体粒子求和项，而是对场量算符的积分，粒子平均数由化学势 控制。
$\textbf{III}$.算符代数
费米子和玻色子的算符由其对易关系表征，现在来讨论更复杂的算符代数运算。
简单起见，从玻色子开始，玻色算符代数与 $z,\partial_z$的代数是同构的（$z$是复数）,
\[
[z_1,z_2]=0\;,\;[\partial_{z_1},\partial_{z_2}]=0\;,\;[\partial_{z_1},z_2]=\delta_{12}
\]
比较于玻色算符，可以得到映射关系$b\to\partial_z\;,\;b^{\dagger}\to z$ ，由此可以得到算符组成函数$g$的对易关系
\[
[\partial_z,f(z,\partial_z)]=\partial_z f(z,\partial_z)\to[b,g(b^{\dagger},b)]=\partial_{b^{\dagger}}f(b,b^{\dagger})
\]
其厄米共轭为
\[
[z,f^*(z,\partial_z)]=-\partial_z f^*(z,\partial_z)\to [b^{\dagger},f^*(b^{\dagger},b)]=-\partial_b f^*(b^{\dagger},b)
\]
那么根据以上关系可计算态$(b^\dagger)^n|0\rangle$的模：
\[
\mathcal{N}=\langle 0|b^n(b^\dagger)^n|0\rangle=\langle 0|(\partial_{b^{\dagger}})^n(b^\dagger)^n|0\rangle=n!
\]
去掉其中$b$作用到真空态得到0的项，因此有
\[
|n\rangle=\frac{(b^\dagger)}{\sqrt{n!}}|0\rangle\;,\;b^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\;,\;b|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\;,\;\langle n|m\rangle=\delta_{mn}
\]
根据这些代数运算规则可证明
\[
\langle 0|...b_1...b_2^\dagger...b_3^\dagger...b_4...|0\rangle=\langle 0|...\partial_1...b_2^\dagger..b_3^\dagger...\partial_4...|0\rangle\;\;\;,\;\;\;\partial_i=\partial_{b_i^\dagger}
\]
式中所有$\partial_i,b_i^{\dagger}$之间必须都能配对组成“收缩”（算符$b$排在右边时候算符收缩为零，收缩是$c$数）结果才可能不为零。计算该式就相当于所有算符构成各种可能收缩的乘积的求和，这就是$\textbf{Wick}$定理。
从粒子数表象还可以构造一种特别的态
\[
|\phi\rangle=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\phi b^\dagger)^n}{n!}|0\rangle =e^{\phi b^\dagger}|0\rangle
\;\;\;,\;\;\;
b|\phi\rangle=\partial_{b^\dagger}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\phi e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\phi|\phi\rangle
\]
可明显看出$|\phi\rangle$是算符$b$的本征态。这种由各粒子数态高度线性相干叠加的态就称为相干态。同理，可给出$b\dagger$的本征态
\[
\langle\chi|=\langle 0|e^{\chi^* b}
\;\;\;,\;\;\;
\langle\chi|b^\dagger=\langle\chi|\chi^*
\]
计算相干态直接的重叠依旧作内积
\[
\langle\chi|\phi\rangle=\langle 0|e^{\chi^* b}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\langle 0|e^{\chi^* \partial_{b^\dagger}}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=\langle 0|e^{\chi^*\phi}e^{\phi b^\dagger}|0\rangle=e^{\chi^*\phi}
\]
这意味着相干态之间并非正交的，其组成过完备基。不过所幸的是我们可以还是将其归一化
\[
\frac{1}{\pi}\int d\phi^* d\phi|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\langle\phi|=I
\]
归一化因子（这里是$1/\pi$）通常并不重要，因为它可以吸收进积分测度中或者在一些具体计算（后面讲到Green函数等关联函数）时会被分母中的抵消。其证明可作用该恒等式到任一态
\[
\begin{aligned}
\int d\phi^* d\phi|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\langle 0|e^{\phi^* b}(b^\dagger)^n|0\rangle&=\int d\phi^* d\phi (\phi^*)^n|\phi\rangle e^{-\phi^*\phi}\\
&=\int d\phi^* d\phi (\phi^*\phi)^n e^{-\phi^*\phi}\frac{(\phi b^\dagger)^n}{n!}|0\rangle\\
&=I(b^\dagger)^n|0\rangle=(b^\dagger)^n|0\rangle
\end{aligned}
\]
接下来我们考虑费米子，费米子的反对易性质自然地导致了Pauli不相容原理。因此费米子的占据态很简单，只有两种：$c^\dagger|0\rangle\;,\;(c^\dagger)^n|0\rangle\;(n>1)$。 因此也得到费米子算符乘积的Wick定理:$\langle 0|\cdots c_1\cdots c_2^\dagger\cdots c_3\cdots c_4^\dagger\cdots|0\rangle$ 可表示为成对的两点关联函数乘积的求和，不过与玻色子的情况不同，这里因费米子的交换而会得到负号。
进一步需要得到费米子的相干态，这么做就需要引入Grassman数$\xi$，其导数$\partial_\xi$。Grassman数遵循反对易规则
\[
\{\xi_i,\xi_j\}=0\;\;,\;\;\{\partial_{\xi_i},\partial_{\xi_j}\}=0\;\;,\;\;\{\partial_{\xi_i},\xi_j\}=\delta_{ij}
\]
Grassmnan积分为求导的逆运算，积分运算后不会得到新的Grassman数，也不该破坏反对易规。则不严格地说两个Grassman数乘起来就表现得像个玻色子。于是定义Grassman积分运算为
\[
\int d\xi(a+b\xi)=b\;\;,\;\;\int d\xi=\partial_\xi
\]
所以任意常数$a$都可通过重新定义测度而归一化。进一步要求Grassman数和费米子算符都反对易
\[
\{\xi,c\}=0\;\;,\;\;\{\xi,c^\dagger\}\;\;,\;\;\{\partial_\xi,c\}=0\;\;,\;\;\{\partial_\xi,c^\dagger\}=0
\]
可验证
\[
|\phi\rangle=e^{c^\dagger\phi}|0\rangle\;,\;c|\phi\rangle=c(1+c^\dagger\phi)|0\rangle=\phi|0\rangle=\phi(1+c^\dagger\phi)|0\rangle=\phi|\phi\rangle
\]
因此$|\phi\rangle$为费米子相干态。同理可得
\[
\langle\chi|=\langle 0|e^{\bar{\chi}c}\;,\;\langle\chi|c^\dagger=\langle 0|(1+\bar{\chi}c)c^\dagger=\langle 0|e^{\bar{\chi}c}\bar{\chi}
\]
两个相干态的重叠为$\langle\bar{\chi}|\phi\rangle=1+\bar{\chi}\phi=e^{\bar{\chi}\phi}$；完备归一恒等式可由Grassman积分导出
\[
I=\int d\bar{\phi}d\phi\;e^{-\bar{\phi}\phi}|\phi\rangle\langle\phi|=|0\rangle\langle0|+c^\dagger|0\rangle\langle0|c=|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|=1
\]
此恒等式在路径积分表述中很有用。
$\textbf{IV}$.一些系统的二次量子化
简谐振子
哈密顿量写为 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$，$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$为简谐频率。定义算符
\[
a=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x+\frac{i}{m\omega}p\right)\;\;,\;\;a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x-\frac{i}{m\omega}p\right)
\]
易知它们满足对易关系$[a,a^\dagger]=1$，也就是玻色子的产生、消灭算符。可将$x,p$用$a,a^\dagger$ 表达
\[
x=\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}\left(a+a^\dagger\right)\;\;,\;\;p=-i\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(a-a^\dagger\right)
\]
代入哈密顿量$H$中对角化为
\[
H=\frac{1}{2}\omega\left(aa^\dagger+a^\dagger a\right)=\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)=\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)
\]
因此粒子数表象下系统的基态为$|0\rangle$（$a|0\rangle=0$），基态（真空）能为$E_0=\frac{1}{2}\omega$。于是可得
\[
(x+ip/m\omega)|0\rangle=0\Rightarrow (x+\partial_x/m\omega)|0\rangle=0
\]
解此方程并归一化得基态解 $|0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\frac{1}{2}m\omega x^2}$
于是对于一般激发态可由产生算符作用得到
\[
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left[\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(x-\frac{\partial_x}{m\omega}\right)\right]^n|0\rangle
\]
声子
将N个谐振子串起来组成弹性链，哈密顿量为 \[H=\sum_i\frac{p_i^2}{2m}+\frac{K}{2}\sum_i(u_i-u_{i+1})^2\]
此时一次量子化中力学量对易关系为$[u_i,p_j]=i\delta_{ij}$（$u_i$为第i个格点的振动位移，$p_i$为对应的动量）；引入周期性边界条件便可得到无限长链模型。离散平移对称性下作Fourier 变换到动量空间
\begin{align*}
u_l=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{ik x_l}u_k\;\;&,\;\;u_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_l e^{-ik x_l}u_l\\
p_l=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-ik x_l}p_k\;\;&,\;\;p_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_l e^{ik x_l}p_l
\end{align*}
将以上变换式代入哈密顿量中为
\[
H=\frac{1}{2m}\sum_k p_k p_{-k}+\frac{m}{2}\sum_k\omega_k^2 u_k u_{-k}
\]
注意到这一步哈密顿量还没完全对角化；色散关系为 $\omega_k=\sqrt{\frac{2K}{m}}\left|\sin\frac{ka}{2}\right|$
对易子变为 $[u_k,p_{k'}]=\frac{1}{N}\sum_{l,m}e^{-ik x_l+ik' x_m}[u_l,p_m]=i\delta_{kk'}$
为了完全对角化哈密顿量，可同样按照谐振子的办法换到粒子数表象中，由产生消灭算符表示。然而这里不对角的原因正是哈密顿量中含有的Fourier模带有$k$ 与$-k$两符号相反的晶格动量。因此不妨将它们线性组合便得到产生、消灭算符
\[
a_k=\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(u_k+\frac{i}{m\omega_k}p_{-k}\right)\;\;,\;\;a^\dagger_k=\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(u_{-k}-\frac{i}{m\omega_k}p_k\right)
\]
同样易得到玻色子对易关系$[a_k,a_{k'}]=0\;,\;[a_k^\dagger,a_{k'}^\dagger]=0$以及$[a_k,a_{k'}^\dagger]=\delta_{kk'}$。于是有
\[
u_k=\sqrt{\frac{1}{2m\omega_k}}\left(a_k+a_{-k}^\dagger\right)\;\;,\;\;p_k=-i\sqrt{\frac{m\omega_k}{2}}\left(a_{-k}-a_k^\dagger\right)
\]
代入$H$最终得到对角化的哈密顿量 $H=\sum_k\omega_k\left(a_k^\dagger a_k+\frac{1}{2}\right)$
于是我们便得到晶格振动运动的量子，这种准粒子（元激发）称为声子。在固体系统中是最重要的元激发之一。另外，晶格的不同类型的振动模式（横波、纵波）导致声子有极化。
那么在晶格间运动的电子也自然避免不了与声子发生散射作用。
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电子-声子散射作用的哈密顿量可直接写为 $H_{e-ph}=G\sum_i \Delta u_i c_i^\dagger c_i$
晶格振动带来的畸变 $\Delta u_i=u_{i+1}-u_i\simeq\partial_i u_i$，电子-声子耦合项可在动量空间由产生、消灭表达
\begin{align*}
u_i&=\partial_{x_i}\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_q e^{iq x_i}u_q\;,\;u_q=\sqrt{\frac{1}{2m\omega_q}}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)\\
\partial_i u_i&=\frac{iq}{\sqrt{N}}\sum_q e^{iq x_i}u_q=\frac{iq}{\sqrt{2m\omega_q N}}\sum_q\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)\\
c_i&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{ik x_i}c_k\;,\;c_i^\dagger=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k'}e^{-ik' x_i}c_k^\dagger\\
H_{e-ph}&=\sum_{kk'q}g_q \frac{1}{N}\sum_i e^{i(k+q-k')x_i}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k'}^\dagger c_k=\sum_{kk'q}g_{kq}\delta_{k+q-k',0}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k'}^\dagger c_k\\
&=\sum_{kq}g_{kq}\left(a_q+a_{-q}^\dagger\right)c_{k+q}^\dagger c_k
\end{align*}
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