phymath999: pde01 用拉格朗日方程导出各个广义坐标的运动微分方程, 将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成去耦的主坐标运动方程; 简单振子的振动常微分方程圆频率(角频率) 惯性和弹性 ;偏微分方程粗分為楠圓、拋物及雙曲三類型,

Friday, September 5, 2014

pde01 用拉格朗日方程导出各个广义坐标的运动微分方程, 将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成去耦的主坐标运动方程; 简单振子的振动常微分方程圆频率(角频率) 惯性和弹性 ;偏微分方程粗分為楠圓、拋物及雙曲三類型,

常微分方程, 导数;

偏微分方程, 偏导数

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第01章简单振子的振动_百度文库

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理论声学 - 百度文库

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http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/oldsite/wlkc2/dd05/5-9.htm

《飞行器结构动力学》简介

《飞行器结构动力学》是航天学院“飞行器设计与工程”开设的一门具有鲜明航天特色的本科生课程，面向航天类飞行器设计专业高年级本科生的一门必修专业课，它是为培养航天器总体设计、结构设计领域高质量的专门人才服务的。
飞行器结构动力学的主要内容包括振动基础理论、飞行器结构动力学特性和响应分析以及飞行器结构动力学的特殊问题。通过本课程的学习，使学生掌握结构动力学的基本理论、分析方法、实验技术，对航天器结构动力学的建模、分析设计，航天器载荷、力学环境、航天器结构动力学的现代实验技术有深刻的认识，掌握大型航天器结构动力学分析设计的现代工具，计算机、先进软件。对现代航天运载器、导弹等结构动力学技术的发展有较为全面的了解，理论联系实际，培养学生在飞行器设计领域具有扎实的基础知识、较强的知识综合运用能力和实际动手能力，为学生今后从事航天器设计领域的理论研究和航天工程实际工作打下坚实的基础

5.9 主振型叠加法

    在第4章中讨论多自由度系统的动响应分析时我们介绍了主坐标分析法（即主振型叠加法）。利用系统的主振型矩阵进行主坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成去耦的主坐标运动方程，从而使多自由度系统的动响应分析问题可以按多个单自由度系统的问题分别来处理。对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系统的动响应。为此，只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统的物理坐标偏微分方程变换成一系列主坐标的二阶常微分方程组。这样，就可以按一系列单自由度系统的问题来处理了。

    我们还是用梁的弯曲振动问题来说明这一方法。设有弯曲刚度为，质量分布密度为的梁，在分布载荷的作用下，求它的动响应。这时，梁的弯曲振动微分方程为
                                             （5-77）
梁的各阶振型函数满足下列方程：
                                                          （5-78）
并且满足相应的边界条件。上节还证明了，在固支、铰支、自由端条件下，这些振型函数还满足下列正交关系：
                                                       （5-79）
                                                    （5-80）

    现设梁的挠度可以表示为振型函数的级数：
                                                                     （5-81）
式中各个可以看作系统的广义坐标（相当于多自由度系统中的主坐标）。我们用拉格朗日方程导出各个广义坐标的运动微分方程。

    首先来看系统动能的表达式。由式（5-81），梁各点的速度可表示为

考虑到式（5-79），系统的动能可表示为
                                                 （5-82）
式中

称为对应于广义坐标的广义质量。

    再来看系统的势能表示式。只考虑梁的弯曲势能，由式（5-81），梁各截面上的弯矩可表示为

考虑到式（5-80），系统的势能可表示为
                                             （5-83）
式中

为对应于广义坐标的广义刚度。且有
                        然后来看广义力。由式（5-81），梁的虚位移可表示为

梁的分布载荷在上述虚位移上所作的虚功为
                                                              （5-84）
式中定义了广义力为
                                                                     （5-85）

    将上面得到的动能、势能以及广义力的表示式代入拉格朗日方程：
                                                                 （5-86）
可得广义坐标的下列运动微分方程：
                                                （5-87）

    现在来考察梁的分布载荷在时间上与空间上可分离的情形，即设有
                                                                          （5-88）
这时，方程（5-87）可化为
                                                                      （5-89）
式中
                                                                     （5-90）
称为第阶主振型的激扰系数。方程（5-89）对应于初条件与的解为
                          （5-91）

    考虑到，对应于，梁的静挠度的级数表示式中的系数为，故下述量
                                                            （5-92）
可称为第阶主振型的动响应系数。

    广义坐标与广义速度的初始值与可由物理坐标的初始条件确定。设在时，有

则有
                                                             （5-93）

例5-6 均匀简支梁在处作用有一正弦力，如图5-12。求梁的动响应。

解：均匀简支梁的固有频率为

图5-12 例5-6示意图

                                                                            （a）
相应的振型函数为
                                                                               （b）
设梁的挠度为
                                                                         （c）
对应于广义坐标的广义质量为
                                                                  （d）
作用于的集中力可表示为

式中为函数。于是，广义力为

所以，广义坐标的运动微分方程为

上述方程对应于零初始条件的解为
                                                    （e）
将式（a），（b），（e）代入式（c），即得梁的物理坐标动响应。

例5-7 设在上例中，正弦力以等速水平移动；即有。求梁的动响应。

解：梁的固有频率与振型函数均同上例。梁的挠度仍可设为

梁的广义质量亦同上例。不同的是，这时广义力为

                        令，则有

故广义坐标的运动微分方程为

上述方程对应于零初始条件的解为

将它代入梁挠度的表示式，即得梁的动响应。

例5-8 均匀简支梁受图5-13所示突加分布载荷的作用。求其动响应。

解：梁的固有频率、振型函数、挠度以及广义质量仍然用前例中式（a），（b），（c），（d）表示。

故广义坐标的运动微分方程为

对应于零初始条件，上述方程的解为

而梁的动响应可表示为


图5-13 例5-8示意图

习    题

5.1    确定张紧弦的自由振动，设初始条件为


5.2    确定悬臂圆杆的自由扭振，设初始条件为


5.3    简支梁受集度为的均布载荷的作用，设在静止状态突然撤去载荷，问梁将发生何种振动？

    答。

5.4    长的均匀圆轴，单位长度的质量为，截面扭转刚度为，中间截面固支，两端自由。试确定其扭振固有频率。

    答。

5.5-5.9 试考察下列梁弯曲振动的频率方程。
5.5    一端铰支，一端自由的均匀梁。
5.6    一端铰支，一端弹簧（刚度为）支承的均匀梁。
5.7    一端铰支，一端附加集中质量的均匀梁。
5.8    一端饺支，一端附加集中质量并受弹簧（刚度为）支承的均匀梁。
5.9    两端附有集中质量描的自由均匀梁。

    答。频率方程为
其中   为梁单位长度的质量。

5.10 一种特殊的人造卫星，由铜缆连结两个相等的质量组成，钢缆长，单位长度的质量为；整个卫星装置以角速度绕其质心旋转，如图5-13所示。假设刚缆中的张力可以看作常数。证明刚缆在旋转平面内的横向振动微分方程为

图5-13 习题5.10图

并且这一振动的基频为

5.11 证明变截面杆纵向振动振型函数的正交性。

5.12 铅垂均匀杆下端附有集中质量，上端支点作铅垂谐振动，习题图5-14。求杆的纵向强迫振动。

5.13 设简支梁受分布载荷的作用求梁的强迫振动。

    答。

5.14 铰支-固支梁在其中点处作用有横向集中力。求梁的强迫振动。

图5-14   习题5.12图

5.15 设有铰支-自由梁，其铰支端的横向运动给定为，证明铰支端与自由端（）的振幅比为

其中。