Newton01 white01 加速度是时间、位置和速度的函数, 二阶常微分方程

Newton力学定律从数学角度看，无非是说加速度是时间、位置和速度的函数，这是一个二阶常微分方程


我觉得是直接定义了更广的广义力。
比如极坐标里面的广义力就是力矩。
相对论里面好像是用
四维广义力=四维广义动量的固有时偏导，
既然坐标是可以随意选取的，貌似这个四维广义力也是不需要符合标准力定义的——我没仔细想，瞎猜的。


Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-02-22 00:02:44
2009-02-21 20:02:20 阴阳鱼[重登录]　　
　　咱学的是一套理论力学么...我囧了...
　　
　　广义动量对时间求导 - lagrange函数对广义坐标的偏导 = 广义力
　　Lagrange 方程不是长这个样子的么 对于非保守体系
==================================================
我们学的是相同的理论力学。物理学规律是客观的，但是对各种概念的命名是主观的，这就造成了某些误解。

对于非保守体系，Lagrange 方程确实如你所说的那样。而对于保守体系，Lagrage 方程变为：

广义动量对时间求导 - Lagrangain 对广义坐标的偏导 = 0

将保守的和非保守的情况相比较可知，非保守的 Lagrange 方程右边的“广义力”，实际上并不是全部的广义力，而是非保守广义力。在保守的情况下，它就自动消失了。这样，我们可以把你那个方程的左边的第二项移到右边去：

广义动量对时间求导 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力

这个方程的物理意义更加明确。根据牛顿第二定律，广义力就是广义动量对时间求导；而 Lagrange 函数对广义坐标的偏导则给出了“保守的”广义力。所以上面这个方程无非说明了这样一件事：

广义力 = 保守的广义力 + 非保守广义力

当然这里的“保守的广义力”实际上既包含了普通力学中的（狭义的）保守力，也包含了涡旋力（比如 Lorentz 力和 Ampere 力）；而“非保守广义力”则包含耗散力（摩擦力、阻尼力）或者约束力（如拉力、支持力）等等。

因此，关于广义力， 我们有以下两个方程：

(1) 广义力 = 广义动量对时间求导，
(2) 广义力 = Lagrangain 对广义坐标的偏导 + 非保守广义力。

我们完全可以凭个人喜好，任取其中的一个作为广义力的定义。流水弦歌 为我们举出了两个非常好的例子：“极坐标里面的广义力就是力矩”这实际上在应用定义(2)；而“相对论里面的四维广义力 = 四维广义动量的固有时偏导”，则是利用了定义(1)，只是在相对论的情况下，时间也变成了一个广义坐标，这时候我们会有四个广义动量，并且需要引入“固有时”来承担经典力学中时间的作用（即标记轨迹/世界线）。

不过，不论是哪一种定义，都可以退化为牛顿力学里面的力。所以，理论力学并没有重新定义力的概念，而只是对原有概念进行了一定的推广而已。


一八 2014-12-10 00:22:11
这个帖子貌似很老了，不知道还有没有人看。第一次发贴，希望不被喷。

在一些偏向于数学方面的力学著作中（如俄罗斯数学家V.I. Arnold的力学著作），常常将所谓的Newton-Laplace决定论作为一个基本原理。Newton力学定律从数学角度看，无非是说加速度是时间、位置和速度的函数，这是一个二阶常微分方程。但同时还隐含了Newton-Laplace决定论，即系统在某一时刻的状态决定了此系统的运动，也就是说给定了初始条件，系统在任意时刻的状态都是确定的（无论过去还是将来）。这实际上是解这个二阶常微分方程，而常微分方程解的存在性和唯一性从数学上是可以证明的。

从数学上看，这里不需要质量的概念，也不需要力的概念。只是把上述函数乘上一个叫质量的量，就可以定义为物理学上的力。分析力学给出的Lagrange运动方程也是二阶的，与Newton力学给出的方程没什么本质不同。Landau的书中一开始也没有给定质量和力的概念，而是直接给出Lagrange函数，利用最小作用量原理给出运动方程，这是一种相当数学化的处理方法。

在我看来这就是物理学与数学有区别的地方。数学只是给了分析物理问题的工具，人们找到了物理规律，可以用相应的数学方法来描述，但物理学不能还原为数学。Newton定律和Newton-Laplace决定论是物理原理，而常微分方程理论是数学理论，在大部分情况下常微分方程理论可以很好的描述力学规律，但Newton-Laplace决定论绝不是可有可无的，在证明虚功原理的充分性时就要用到Newton-Laplace决定论。考虑这样一个例子，$\ddot{x}=a*x^b$,其中$a>0,0<b<1$,当$x(0)=0,\dot{x}(0)=0$,可以有$\ddot{x}(0)=0$,也就是质点静止时，外力为零，那么此质点应当一直静止，这其实是Newton-Laplace决定论保证的。但显然这个方程有非零解，也就是说$t=0$处于静止的质点，加速度也为零，但当$t>0$时质点会偏离静止位置（见马尔契夫《理论力学》）。从数学上，这个非零解是存在的，但从力学上是不合理的，违背了Newton-Laplace决定论。

回到主题，分析力学可不可以放弃力的概念？当然可以，Landau的书中就是这么做的，完全的从一个抽象的Lagrange函数出发，然后“证明”这个函数应当采取什么形式，最后得到运动方程。这个“证明”的过程就是物理学原理引入的过程。


广义力的定义

来自: 陰陽魚(澤無水) 2009-02-21 10:05:03

很多物理书
用牛顿三定律推导 拉格朗日方程和正则方程
这样
广义力 虚功等概念 都是力f来定义的
假如
从最小作用量原理
来推导出lagrange方程和正则方程
那么这里面的广义力
将如何定义 虚功讲如何定义

也就是说
分析力学如何彻底的放弃力的概念

在两个方程里 除了lagrange 函数 和 Hamilton 函数 以及广义坐标 广义动量 只有广义力一种量了
前几个量我都知道不包含力f的定义方式
那么广义力是如何定义的

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