物理学家的乱七八糟的数学（4）——吐槽一下牛二律 的回复
2012-05-16 00:30 rupt
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作.
相对论中刚体定义不明确
引用@ofey 的话：
我是从黎曼最初的思想出发的：欧式几何的弧长是平方和，相对论的弧长是平方差，牛顿的弧长是时间
三种不同的弧长，演化出三种不同的几何学。-----这个在数学上属于常识吧？
我数学学得真不怎么的，可是我看到的是，电磁学里边居然在应用牛顿几何学的几何量，这是分属不同的几何体系的。
于是具有了第一张贴，嘲弄一下速度，加速度。----从我的思维出发，这些原本是很简单的，就是每个几何体系都有自己的几何语言，不能混用。
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作.
相对论中刚体定义不明确
1.刚体等距条件失效
2.伴随而来的d((r_ij)^2)/dt=0条件失效
3.速度不再是矢量空间中的元素
so,重新定义好"刚体"的概念是讨论任何"半经典"相对论问题的基础
2.伴随而来的d((r_ij)^2)/dt=0条件失效
3.速度不再是矢量空间中的元素
so,重新定义好"刚体"的概念是讨论任何"半经典"相对论问题的基础
评论 (8) 只看楼主
全部评论
-
1楼 2012-03-26 06:44 danagi 只看Ta1、等距条件失效?是说长度收缩效应吗?那个并不是物体本身发生了收缩，而是时空本性的反映而已。[0] |
2、惊!这神马方程!怎么从未见过?还是我记忆力下降了?形似位矢的二次导数加速度啊……但分母应该是dt²才对啊
3、咦?为何不是?因为坐标变换改变了模方吗?四维速度不会啊! -
2楼 2012-03-26 08:44 Innos 只看Ta这。。。微分几何学过黎曼几何入门的来学习一下：我的理解是：[0] |
1 等距条件要放在高一维欧氏空间里面的勒贝格测度来看吧，曲面上的度量性质肯定是变化了的。
3 是说速度叠加公式不再是向量相加的关系？这个只是说明速度向量在三维欧氏空间加减法失去了物理涵义吧，高维下就不清楚了。 - 3楼
-
4楼 - 5楼 2012-03-26 18:40 rupt 只看Ta[0] |
引用@渚团子 的话：1、等距条件失效?是说长度收缩效应吗?那个并不是物体本身发生了收缩，而是时空本性的反映而已。
2、惊!这神马方程!怎么从未见过?还是我记忆力下降了?形似位矢的二次导数加速度啊……但分母应该是dt²才对啊
3、咦?为何不是?因为坐标变换改变了模方吗?四维速度不会啊!
1.牛顿绝对时空里的绝对空间与物体空间具有"相同"的度量diag(1,1,1),而且曲率处处为零,物体空间到绝对空间的等距映射总是存在的;但是在相对论中,按照经典的理解,定义刚体的物体空间的度量跟经典的相同,这样j就会与物体空间到时空中的映射拉回来的度量相矛盾
2.就是物体空间到绝对空间映射的拉回去的度量不随时间变化
3.绝对时空中的度量与时间无关,然后伽利略变换又是某种意义上的仿射变换,于是速度的合成就刚刚好具有线性结构了。。相对论的坐标变换会使时间和空间混起来,洛伦兹变换又不是仿射变换,然后速度的合成就悲剧了..四维速度的本质其实是四维动量除静止质量,而动量则具有优秀的线性性质,或许可以以此重新定义刚体 - 6楼 2012-03-26 18:43 rupt 只看Ta[0] |
引用@Innos 的话：不对，仔细一想即使拿高维空间的勒贝格测度来看，等距条件也的确是失效了。
其实在即使在高维如果没遇到特别变态的集合一般来讲Lebesgue测度跟Riemann测度没啥区别。。 - 7楼 2012-03-26 22:27 danagi 只看Ta[0] |
引用@rupt 的话：
终于知道楼主要表达什么了。
1.牛顿绝对时空里的绝对空间与物体空间具有"相同"的度量diag(1,1,1),而且曲率处处为零,物体空间到绝对空间的等距映射总是存在的;但是在相对论中,按照经典的理解,定义刚体的物体空间的度量跟经典的相同,这样j就会与物体空间到时空中的映射拉回来的度量相矛盾
2.就是物体空间到绝对空间映射的拉回去的度量不随时间变化
3.绝对时空中的度量与时间无关,然后伽利略变换又是某种意义上的仿射变换,于是速度的合成就刚刚好具有线性结构了。。相对论的坐标变换会使时间和空间混起来,洛伦兹变换又不是仿射变换,然后速度的合成就悲剧了..四维速度的本质其实是四维动量除静止质量,而动量则具有优秀的线性性质,或许可以以此重新定义刚体
果断去翻了下书，发现爱因斯坦口中的刚体是指相对静止时形状保持不变的物体……… - 8楼
No comments:
Post a Comment