小布拉格得奖的理由在于他从晶格模型（劳厄的结果和化学界的“常识”模型）、晶体密度和阿伏伽德罗常数推算出了晶格的尺寸。老布拉格则是利用这个尺寸，通过测衍射角决定了X射线的波长，也就开辟了X射线领域里的谱学
它描述了满足衍射加强条件的波矢k与晶体结构中原子间距d之间的关系。满足衍射加强条件的波矢k的方向，也就是能打在衍射屏幕上而出现亮点的电磁波方向。所以，换言之，公式（7.1）描述了衍射图像亮点的位置与d之间的某种关系。什么样的关系呢？公式的右边是变量(p/d)的整数倍，这个变量与原子间距离d的倒数有关。
图7
再进一步引伸下去，说得更清楚一些。图7（a）所示的衍射实验，得到如（b）图所示的衍射图像，这个图像看起来是某种格点空间的映像。这个新格点空间不是晶格本身，但是又和原来的晶格有关系：新格点间的距离正比于原来晶格原子间距d的倒数。而且，新格子空间的量纲也倒过来了。原来的晶格是在真实空间中，点间的距离d是长度（米）的量纲，而新格点间的距离(p/d)的量纲是‘米’的倒数（1/米）。既然数值和量纲都是倒数的关系，人们便把这个虚拟的空间叫做 ‘倒格子’空间，见图7（c）。
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8.倒格子空间
两位布拉格同时被授予诺贝尔物理奖，自然地引起了人们的质疑：这个工作恐怕主要是由父亲做的吧？这种说法不知是否也曾经使小布拉格苦恼过？他可能并不在乎，因为他有独自发表的第一篇论文，强烈地、毫无疑问地证明了他对这个领域的贡献和能力【2】。
早在6岁的孩童时代，1896年，小布拉格因为骑自行车摔跤而受伤。父亲带儿子用当时澳大利亚新装配的第一台X射线发生器，拍了一张儿子肘部受伤部位的x射线照片。也许从那时候开始，小布拉格就牢牢地记住了这位能干的x-射线‘女士’？
1912年，劳厄发表有关X射线衍射的论文时，小布拉格正在剑桥大学做研究。劳厄的工作立刻引起了小布拉格的兴趣，不到四个月之后，他就以《晶体对短波长电磁波的衍射》为题向剑桥哲学学会报告了他的研究成果。
文章中，小布拉格成功地解释了劳厄的实验事实，提出了晶体衍射的布拉格方程，巧妙而方便地借用镜面反射规律来描述晶体中各原子对电磁波的衍射效应。不过，他在文章标题中用的是‘短波长电磁波’，而不是‘X-射线’一词，这是为什么呢？其原因与老布拉格当时对X-射线的看法有关。开始时，老布拉格认为X-射线不是波，而是一种微粒，他试图用微粒理论来解释劳厄的照片，但失败了。布拉格一家人夏天在海滨度假的时候，父子俩讨论过这个问题。小布拉格回到剑桥后发现，如果用某种‘短波长电磁波’的概念，能够完美地解释劳厄观察到的现象。但是，受父亲观点的影响，小布拉格尚未确定这个短波长的电磁波，到底是入射的X-射线本身，还是X-射线通过晶体时激发产生出来的另一种次级电磁波。后来，老布拉格用实验观察证实了衍射后的出射波也是X-射线，才接受了X-射线就是一种电磁波的理论，转而和儿子一起，潜心研究晶体结构分析的实验方法，并对多种晶体进行了测试，奠定了用X-射线衍射来确定晶体结构的理论基础。
图7（a）是晶体衍射的示意图。根据布拉格衍射条件：2d sinθ = nλ，这儿，d是晶格常数，θ是衍射角。如果我们将波长λ用波矢量k=2p/l来代替的话，经过简单的代数变换后，很容易将衍射条件写成：
k sinθ= n(p/d) （7.1）
仔细观察图7（a），我们发现，不难从几何上理解公式（7.1）。它描述了满足衍射加强条件的波矢k与晶体结构中原子间距d之间的关系。满足衍射加强条件的波矢k的方向，也就是能打在衍射屏幕上而出现亮点的电磁波方向。所以，换言之，公式（7.1）描述了衍射图像亮点的位置与d之间的某种关系。什么样的关系呢？公式的右边是变量(p/d)的整数倍，这个变量与原子间距离d的倒数有关。
图7
再进一步引伸下去，说得更清楚一些。图7（a）所示的衍射实验，得到如（b）图所示的衍射图像，这个图像看起来是某种格点空间的映像。这个新格点空间不是晶格本身，但是又和原来的晶格有关系：新格点间的距离正比于原来晶格原子间距d的倒数。而且，新格子空间的量纲也倒过来了。原来的晶格是在真实空间中，点间的距离d是长度（米）的量纲，而新格点间的距离(p/d)的量纲是‘米’的倒数（1/米）。既然数值和量纲都是倒数的关系，人们便把这个虚拟的空间叫做 ‘倒格子’空间，见图7（c）。
从数学的观点看，倒格子是原来周期性晶格的傅立叶变换【3】。说到傅立叶变换，大家比较熟悉的是从时间空间到频率空间的变换，时间的周期函数变换成频谱。比如，我们用光谱来研究光线中包含的各种颜色，用乐谱来表示音乐。对晶体来说，傅立叶变换将通常的坐标空间变换成了波矢空间。而原来坐标空间中的晶格，则变换成了波矢空间中的‘倒格子’。无论是正格子，还是倒格子，都属于我们在前一节中提到过的‘布拉菲点阵’。并且，正格子和倒格子在对称性方面互相关联，产生许多有趣的特性，在此不再赘述，读者可参考有关文献【4】。
现在，我们知道晶体的衍射图像对应于倒格子，就更加明白了布拉格父子工作的重要意义。因为固体中原子的晶格结构，是很难用显微镜直接观察到的。但是，X射线的衍射图像却已经可以得到。从X射线的衍射图像，我们可以计算出倒空间的几何结构，然后，再从倒空间，反过来又能计算出正晶格的相关常数，这样，晶体的结构不就一目了然了吗。因此，波矢空间及倒格子的概念，对研究固体物理的意义非常重大。探测晶体结构，不仅使用X-射线，也能用电子或中子衍射，从量子力学的观点，这些粒子（或电磁波）都具有波粒二象性，波矢反映了波动性，粒子性则可用动量表示。波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。
固体的晶格结构清楚了，就方便于从理论上求解薛定谔方程，从而研究电子在固体中的运动规律。这样，下一节我们又将返回到固体中电子能带的问题。
参考资料：
【1】Bravais, A. (1850). "Mémoiresur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan oudans l'espace". J. Ecole Polytech. 19: 1–128 (English: Memoir 1,Crystallographic Society of America, 1949.)
【2】Bragg, W.L. (1913). "TheDiffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal". Proceedings ofthe CambridgePhilosophical Society 17: 43–57.
Bragg's Nobel lecture ''The diffraction of X-rays by crystals'' is at http://diamond.kist.re.kr/knowledge/nobel-physics/1915/wl-bragg-lecture.pdf
"The Nobel Prize in Physics 1915". Nobel Foundation。
【3】B. E. Warren (1969/1990) X-raydiffraction (Addison-Wesley, Reading MA/Dover, Mineola NY).
【4】《固体物理学》，黄昆、韩汝琦著，高等教育出版社出版，2005，
http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-702195.html 转载请注明来自科学网博客，并请注明作者姓名。
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- [9]vivikzw
- 倒格子的讲解很生动，好懂。
- 博主回复(2013-7-27 00:38)：多提意见
- [8]王国强
- 你说的对，应该是 晶格振动的波矢对应的是声子 q 。晶格空间对应的是倒格子空间 b 。虽然q的取值是可以限制在 b 中。但两者一动一静，并不是一回事儿。谢谢辨正。^_^。。。。。。。。。。。。。。。。。
- [7]hitlby
- 好文！很崇拜楼主的博学，以后博主出书我一定要买一本。课本如果能多增加一些科学史，讲讲科学发展的思路，就更能激发学生学习的兴趣和认识问题的深度。
- [6]王国强
- 5楼的提议很有道理。
毕竟晶格的波矢对应的是声子。 - 博主回复(2013-6-24 19:43)：是说动量互相转换
- 博主回复(2013-6-24 19:17)：能带图中的波矢空间对应的不是声子，是电子的波矢空间。与声子相关的是晶格的振动。有时，由于动量守恒，电子、声子的能量互相转换而已。
- [5]bridgeneer
- 讲的很到位，但这句有点小问题：“从量子力学的观点，电子具有波粒二象性，波矢反映了电子的波动性，电子的粒子性则用它的动量表示。”
前面讲的都是X射线衍射，一下转到电子衍射了。把电子改为电磁波或X射线更连贯一些。 - 博主回复(2013-6-24 19:10)：谢谢，已经改了。
- [4]mirrorliwei
- to 1楼：实验条件不同。环是所谓的粉末衍射，而衍射斑点则是单晶的白光衍射。至于说怎么变的，可以想象光束变细，也可想象成晶粒变大。
- [3]用户名
- 评论已经被科学网删除
- [2]mirrorliwei
- 解说得算是“中规中矩”，但是不好。参照http://blog.sciencenet.cn/blog-362400-580388.html。小布拉格的贡献不是那个公式，而是对物质结构的解析。从阿伏伽德罗常数算出了晶格的长度。这才是闪亮点。
- [1]wangnug
- 衍射环是怎么变成衍射斑点的呢？
- 博主回复(2013-6-24 09:50)：布拉格定律是必要条件，但不是充分条件。
说说劳埃发现X射线衍射时代的事儿
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说说一百年前劳埃发现X射线衍射时代前后的事儿。
作者: mirror (*)
日期: 06/09/2012 03:45:32
一百年前的事儿了，都成了往事儿，误传的故事就多了。尤其是这些故事经外行人的传播，越来越离谱。作为科学网，能有 人记起这些事儿来，X-射线衍射发现100周年，纪念X射线衍射发现100周年，很是令人欣慰。
这个一百周年不如伦琴发现X射线一百周年动静大。毕竟伦琴是第一个炸药奖的得主。遵照伦琴的遗嘱，有关X射线发现的所有笔记都付之一炬了。这让后人留下了很多想象的空间。因为当时主张发现X射线的有不少人，争议不会小于发现青蒿素的屠呦呦等人。
劳厄本人是贵族出身，von是个身份的标帜。所以，娶个漂亮的夫人很是“正常”。劳厄在索末菲手下当私讲师，厄瓦尔德是索末菲的博士生，名字留在了X衍射的厄瓦尔德球面的术语里。厄瓦尔德在纪念X射线衍射发现50周年的文章里，有过这样的描述
晶体是个什么样子？原子又是什么样子？这也是那个时代的前沿问题。1909年里卢瑟福根据阿尔法散射的实验结果发表了卢瑟福原子模型，但是古典电磁学理论不支持这个模型。化学人理解的原子是中性的球，里面有电子这类的模型。人们有晶体是由原子排列组成的模型，但是并没有实验的验证。而劳厄衍射的意义第一，证明了X射线是电磁波，第二，证明了晶体是由原子点阵形成的。
这是1912年的CuZn晶体的劳厄衍射照片。凭借这个开创性的工作两年后劳厄得了炸药奖。
Download
如今使用X光的人多与物理学无关。他们也很忙，也没有机会了解当初发生的事情。小布拉格的教科书里对那段时间里的工作有个很好的描述。老布拉格原本认为X射线是粒子的一派人物。因为他在威尔逊云雾室里可以看到X射线引起的电离轨迹。这与阿尔法线、贝塔线是一样的。直到知道了劳厄的报告。一般人都认为布拉格父子的得奖是因为那个有名的布拉格公式2dsinθ=nλ，其实不然。因为这个公式与劳厄的公式是等价的，并没有什么新意。这个事情以前在教育“小屁孩儿”们的时候说过。小布拉格得奖的理由在于他从晶格模型（劳厄的结果和化学界的“常识”模型）、晶体密度和阿伏伽德罗常数推算出了晶格的尺寸。老布拉格则是利用这个尺寸，通过测衍射角决定了X射线的波长，也就开辟了X射线领域里的谱学。这种工作都是所谓的原始创新，是前人没有做（到）过的事情。
用X射线衍射的方法看晶体的结构，这在今天养活了成千上万的研究人员，尤其是当下流行的“结构生物学”，就是用现代的X射线做衍射，决定蛋白质巨大分子的结构。今天英国在晶体结构分析领域依然领先的地位，是小布拉格时代里打下的。人们幻想着能象今天的有机化学那样，在生物大分子层里设计、制造各类对人有用的东西，比如说药品。这事情，可以说是科学时代的“炼丹术”和“炼金术”。
从价值的角度看，人类遗留下来的文化遗产都不是为了赚钱的。而今天做研究的很大一部分，与一百年前的劳厄时代不同，是为了赚钱的、或者是鼓吹可以赚到钱的。这个模式就必然带来一个“不幸”：赚到钱了会因为赚到了钱而消失，没赚到钱又会因为没赚到钱而消失。百年过后，什么也不会留下。
卓别林有个作品叫摩登时代。镜某小的时候看过，不能理解。大了以后才多少有些理解了。1936年，是个汽车生产的“摩登时代”。几十年过后，如今到了科研的“摩登时代”了。研究人员的“异化”恐怕也只是个时间的问题了吧。
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就“是”论事儿，就“事儿”论是，就“事儿”论“事儿”。
这个一百周年不如伦琴发现X射线一百周年动静大。毕竟伦琴是第一个炸药奖的得主。遵照伦琴的遗嘱，有关X射线发现的所有笔记都付之一炬了。这让后人留下了很多想象的空间。因为当时主张发现X射线的有不少人，争议不会小于发现青蒿素的屠呦呦等人。
劳厄本人是贵族出身，von是个身份的标帜。所以，娶个漂亮的夫人很是“正常”。劳厄在索末菲手下当私讲师，厄瓦尔德是索末菲的博士生，名字留在了X衍射的厄瓦尔德球面的术语里。厄瓦尔德在纪念X射线衍射发现50周年的文章里，有过这样的描述
这样的思考，导致的劳厄的发现。这类故事网上可以查到很多。对于国人，也许思考一下需要什么样的条件才能做这个实验会有益得多。比如多少时间曝光？X光的胶片是什么样子的？X光机的功率如何等等，这些真正才是需要信息。Quote
他却发现劳厄听讲心不在焉，劳厄又一次问振子之间的距离，当得到相同的回答时，劳厄问道：假如用短得多的电磁波穿越晶体，会怎样呢？”
晶体是个什么样子？原子又是什么样子？这也是那个时代的前沿问题。1909年里卢瑟福根据阿尔法散射的实验结果发表了卢瑟福原子模型，但是古典电磁学理论不支持这个模型。化学人理解的原子是中性的球，里面有电子这类的模型。人们有晶体是由原子排列组成的模型，但是并没有实验的验证。而劳厄衍射的意义第一，证明了X射线是电磁波，第二，证明了晶体是由原子点阵形成的。
这是1912年的CuZn晶体的劳厄衍射照片。凭借这个开创性的工作两年后劳厄得了炸药奖。
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如今使用X光的人多与物理学无关。他们也很忙，也没有机会了解当初发生的事情。小布拉格的教科书里对那段时间里的工作有个很好的描述。老布拉格原本认为X射线是粒子的一派人物。因为他在威尔逊云雾室里可以看到X射线引起的电离轨迹。这与阿尔法线、贝塔线是一样的。直到知道了劳厄的报告。一般人都认为布拉格父子的得奖是因为那个有名的布拉格公式2dsinθ=nλ，其实不然。因为这个公式与劳厄的公式是等价的，并没有什么新意。这个事情以前在教育“小屁孩儿”们的时候说过。小布拉格得奖的理由在于他从晶格模型（劳厄的结果和化学界的“常识”模型）、晶体密度和阿伏伽德罗常数推算出了晶格的尺寸。老布拉格则是利用这个尺寸，通过测衍射角决定了X射线的波长，也就开辟了X射线领域里的谱学。这种工作都是所谓的原始创新，是前人没有做（到）过的事情。
用X射线衍射的方法看晶体的结构，这在今天养活了成千上万的研究人员，尤其是当下流行的“结构生物学”，就是用现代的X射线做衍射，决定蛋白质巨大分子的结构。今天英国在晶体结构分析领域依然领先的地位，是小布拉格时代里打下的。人们幻想着能象今天的有机化学那样，在生物大分子层里设计、制造各类对人有用的东西，比如说药品。这事情，可以说是科学时代的“炼丹术”和“炼金术”。
从价值的角度看，人类遗留下来的文化遗产都不是为了赚钱的。而今天做研究的很大一部分，与一百年前的劳厄时代不同，是为了赚钱的、或者是鼓吹可以赚到钱的。这个模式就必然带来一个“不幸”：赚到钱了会因为赚到了钱而消失，没赚到钱又会因为没赚到钱而消失。百年过后，什么也不会留下。
卓别林有个作品叫摩登时代。镜某小的时候看过，不能理解。大了以后才多少有些理解了。1936年，是个汽车生产的“摩登时代”。几十年过后，如今到了科研的“摩登时代”了。研究人员的“异化”恐怕也只是个时间的问题了吧。
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就“是”论事儿，就“事儿”论是，就“事儿”论“事儿”。
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- [5]nnxxsh
- X-ray 是Tesla的发现
- [4]xiangshui01
- “而今天做研究的很大一部分，与一百年前的劳厄时代不同，是为了赚钱的、或者是鼓吹可以赚到钱的。这个模式就必然带来一个“不幸”：赚到钱了会因为赚到了钱而消失，没赚到钱又会因为没赚到钱而消失。百年过后，什么也不会留下。”与小女子的观点不谋而合啊。
- [3]njciggar
- 呵呵，下划线在需下划线处下划
- [2]wuting0
- 科研的功利化是科研社会化、职业化的必然结果
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