谭天荣：迷人心智的德布罗意波
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迷人心智的德布罗意波谭天荣青岛大学 物理系青岛 266071ttr359@126.com
内容提要：本文通过两种途径从经典物理学导出德布罗意波。一种途径是通过电子模型，另一种途径是借助于相对论。此外，还在相对论的框架下讨论电子自旋的问题。
关键词：德布罗意波；电子模型；相对论；电子自旋；狄拉克方程
1 引言
在量子物理学家们看来，普朗克的“辐射量子论”与德布罗意的“物质波假说”是量子物理学发展史上的两个里程碑，前者显示了一向被看作波动的光具有粒子性，后者则预言了一向被看作粒子的电子具有波动性。
按照我们的观点，作为量子现象，光的量子性和电子衍射现象都是电子在不同的外部条件下的行为的表现方式。在《震惊世界的光量子》一文中我们已经证明，“光电效应”与“康普顿效应”乃是电子与光波相互作用的表现；而辐射的量子性则是原子论的必然结论。另一方面，在《奇异的电子》一文中，我们已经初步阐明什么是“电子的波动性”，把“德布罗意波”作为一个推论纳入经典物理学的框架。本文对该文关于“电子的卫星模型”的论述作一点补充，并从如下角度进一步考察德布罗意波：电子束通过小孔时的行为是一个特殊的洛仑兹问题，而电子的小孔衍射实验则是大自然对这一问题的回答。
2 经典的氢原子模型
在《奇异的电子》一文中我们在塑造“电子的卫星模型”时，只是径直给出最终的结论，回避了一些相关的问题，例如，怎样从宏观电动力学向微观电动力学过渡。在这里，我们将把这一问题当作头等重要的问题来考察。
为了实现从宏观电动力学向微观电动力学过渡，我们必须摆脱某些根深蒂固的思维习惯，例如，一个宏观的偶极子作电磁震荡时，不言而喻地有某种外部能源向它源源不断地供给能量，只有这样它才能连续地发射电磁波。但对于微观物体，我们应该随时记住它们是没有外部能源的。还有，对于宏观的带电粒子我们可以任意加上某种约束条件，例如我们可以限制它在特定的曲线或曲面上运动。但对于一个电子，我们却不能赋予它这样的约束。
下面，我们从一个既有外部能源又有约束的宏观电动力学的系统出发，逐步摆脱外部能源与约束，使它变成微观电动力学的系统。
设想由两个金属小球，一个带正电，另一个带相等的负电,用一根很轻的小棍连接着，形成一个有固定电矩的“电偶极子”。固定正电小球，让负电小球以某一角速度绕它旋转。按照麦克斯韦方程的推迟解，这个旋转着的电偶极子将发射一个向外发散的球面电磁波。我们将这一过程记作I。
发射电磁波将带走能量，为了维持偶极子以恒定的角速度旋转，必须由外部能源向它源源不断地供给能量。我们假定这个能源是一个下降的重物，它通过一个机械装置推动偶极子旋转。这是一个恒定的发射过程。
把这一过程拍成电影，然后倒过来放映，银幕上的过程将是过程I的时间反演。它可描述如下：
一个球面电磁波从无穷远向旋转着的偶极子会聚；偶极子不断吸收着向它会聚的电磁波，并且通过机械装置推动重物上升。这是一个恒定的吸收过程。这一过程中的偶极子的旋转方向与过程I的相反，如果在银幕前置一面镜子，则镜中的过程也是一个恒定的吸收过程，而且其中的偶极子的旋转方向与过程I的相同，我们把这一过程记作II。
过程II在技术上是不能实现的，因为我们不能在实验室造成一个向里会聚的球面电磁波，再说，机械装置的摩擦和空气阻尼也会使重物的下降过程变成不可逆的。因此II只是一个理想过程。但它对应麦克斯韦方程的超前解，从而是一个满足麦克斯韦方程的理想过程。
推迟解与超前解的算术平均值也是麦克斯韦方程的一个解，它在所谓“波场区”表示一个球面驻波场，我们称它“驻波解”。它描写如下过程：旋转着的偶极子既发射又吸收，发射与吸收达到平衡，形成驻波。重物则既不上升也不下降，于是重物连同传动的机械装置不再起作用。在这一过程中去掉重物与机械装置，就剩下偶极子与自身的驻波场在相互作用中永恒地旋转。
在偶极子旋转时，由于向心力的反作用，小棍受到一个拉力；由于两个小球的库仑吸引，小棍又受到一个压力。当旋转的角速度适中时，拉力与压力达到平衡，小棍就不再起作用。如果正电小球的质量远比负电小球的质量大。则在我们去掉小棍，并解除对正电小球的约束之后，正电小球照样静止，负电小球照样以原来的角速度绕它旋转。
这样一个旋转着的偶极子既摆脱了外部能源，又摆脱了约束，这是从宏观电动力学向微观电动力学过渡的关键的一步。
在这个旋转着的偶极子中，将正电小球换成一个质子，负电小球换成一个电子，它就成了一个氢原子的模型，这个模型遵循经典物理学的规律，我们称它为“经典的氢原子模型”。
谁也不会否认大量原子组成的物质处于平衡状态时，其发射与吸收必须达到平衡。但从这个原子模型我们看到，单个原子处于平衡状态时，它的发射与吸收也必须达到平衡。
一般地说，发射与吸收达到平衡是任何物体的状态经久不变的必要条件。这一观点可以追溯到古希腊的伊壁鸠鲁。他说过：“从物的表面放出一股连续不断的流，而这股流是感觉所不能察觉到的，这是因为有逆向的补充，因为物体本身依然保持充盈，这种补充使得固体中的原子的排列和位置长久地保持着。”诚然，我们不能说伊壁鸠鲁的连续不断的流就是现代物理学中的电磁波，再说，伊壁鸠鲁所说的“长久地保持着”是原子的排列和位置，而不是原子的内部运动。但有一点是肯定的：伊壁鸠鲁用“逆向的补充”来消除“从物的表面放出一股连续不断的流”与“物体本身依然保持充盈”之间的矛盾，这一基本思路和我们是一致的。
人们或许会这样责难我们的原子模型：驻波解中有一个向里会聚的球面电磁波，这个波在技术上是不能实现的，既然如此，驻波解就不可能实现，因此，麦克斯韦方程找不到一个“可以实现的特解”来表示“保持经久不变的原子有核模型”。
对于这种责难，我们的回答是：
第一，至少我们已经肯定，麦克斯韦方程的驻波解表示保持经久不变的原子有核模型，至于这个解所表示的过程怎么实现，则是进一步的问题，我们不能要求一个新的理论一步到位，一开始就解决每一个潜在的问题。
第二，把驻波分解成两个相反方向的进行波的合成，只是一个数学过程。这个数学过程很容易使人们这样设想：要使得驻波解得以实现，原子应该先激发一个由推迟解表示的一个向外发散的电磁波，然后有一个由超前解表示的向里会聚的电磁波与它相互迭加。只有这样才能形成一个驻波场。不幸的是，由超前解表示的向里会聚的电磁波没有来由，因此驻波解不能实现。这种想法把观念上的合成过程强加于自然界了。从原子激发的电磁场满可以一开始就是一个驻波场，并没有经过与两个解相互迭加的过程。这就像一条现实中的直线，不一定是由一个点的运动形成的一样。
第三，人们采用推迟解而放弃超前解的理由是：“超前解违背因果律。”这是一个普遍的误解，我们不得不在这里稍稍停留一下。
3 波动方程的推迟解与超前解
有人说：波动方程在理论上是可逆的：如果时间坐标t换成-t，波动方程的形式不变。但是考虑到因果律，波动方程实际上却是不可逆的，因为只有这个方程的推迟解能够实现，而超前解则不能实现。例如，扔一个石头到水面平静的池塘里，在水面激起一个向外发散的波纹，这一过程满足一个波动方程，它必须由该方程的推迟解来描述。而超前解则是这一过程的时间反演，从而描写的是“石头还没有扔出去，水面就已经有了波纹的过程”，这就违背因果律了。人们还说，自然界为什么有这种不可逆性，是二十世纪的世界难题之一。
在这里，人们实在太不动脑子了，竟然把一个因疏忽引起的错误结论当作一个世界难题。实际上，波动方程的超前解并不违背因果律。
诚然，扔一个石头到平静的池塘里，肯定会在池塘的水面激起一个向外发散的波纹，这一过程，记作A，确实是由推迟解来描述的。但是，A的时间反演却并不是“石头还没有扔出去水面就已经有了波纹”，而是如下过程：开始时，水面有一个波纹向里会聚，当会聚到波纹中心时，一块石头从水中冒出，飞向那个扔石头的人的手中，在这以后，水面恢复平静。
这里有一个问题：“石头冒出水面飞向那个扔石头的人的手中”的过程违背力学规律，因为石头入水的过程是不可逆的。对于我们的推理，这是一个节外生枝的麻烦。幸运的是，这个麻烦与我们讨论的问题无关。通过一个简单的数学运算我们可以得出结论：一个波动方程的推迟解的时间反演并不是该波动方程的超前解，而是另一个波动方程的超前解。我们考察的过程是“把石头扔到水中”而不是“石头从水中冒出”，描写该过程的波动方程的超前解表示：开始时，水面有一个波纹向里会聚，当会聚到波纹中心时，一块石头进入水中，在这以后，水面恢复平静，我们把这一过程记作B。
B虽然十分离奇，但并不违背因果律。为了证明这一点，让我们把表示这一过程的超前解表成两项之和，第一项就是推迟解，表示过程A；第二项满足一个齐次波动方程，描述如下过程：初始的波纹会聚到中心点以后，反过来向外发散，把这一过程记作C。为了理解过程C，你可以用脸盆打一盆水，然后敲一下盆边，你将看到一个波纹从脸盆的边沿开始向里会聚的，波纹会聚到脸盆中心以后会反过来向外发散。如果你更细心一点，还会发现，会聚的波纹原来凸出的部分到达中心后，会变成了凹陷的部分，反之亦然。我想这个实验能够使你相信过程C也不违背因果律。B作为A和C两个过程的迭加可描写如下：开始时，初始的波纹向里会聚，当会聚到中心时，初始的波纹反过来向外发散，与此同时，一块石头入水激发另一个向外发散的波纹，这两个向外发散的波纹恰好相互抵消，因此，水面平静下来。既然A和C都不违背因果律，B作为A和C的迭加也不违背因果律。因此，对于我们所考察的例子，超前解并不违背因果律。
再考察另一个例子。
从静电学我们知道，一个点电荷会激发一个球对称的静电场，这个静电场从无穷遥远的过去直到无穷遥远的将来一直保持不变，我们把这一过程记作D。根据电动力学，D满足一个波动方程，并且由该波动方程的一个特解来表示。从来没有人怀疑这个解是可以实现的。该波动方程还有其它的解。如果我们加上如下初始条件：在t = 0时，全空间没有电场，也没有电场的变化，则从该波动方程得到另一特解，它表示：在t = 0之后，点电荷激发一个球面对称的静电场，在一个以光速膨胀的球面内有电场，而在球面外则没有电场。在t = 0之前，空间的电场分布更为离奇：在一个在以光速收缩的球面内有电场，而在球面外则没有电场。我们把这一过程记作E。
表示D的解与表示E的解之差是一个齐次波动方程的特解，它表示：第一，空间始终没有电荷。第二，在t = 0之前，在一个在以光速收缩的球面内有电场，而在球面外则没有电场；在t = 0时，这个球面收缩到中心点，整个空间没有电场；而在t = 0之后，一个球面对称的静电场向外发散：在以光速膨胀的球面内有电场，而在球面外则没有电场。我们把这一过程记作F。
没有人怀疑D是可以实现的，但是，我们可以把表示D的特解表成E和F两项之和，而其中至少F在技术上是不能实现的。由此可见，如果把一个特解表成两项之和，其中有一项在技术上不能实现，并不能得出这个特解不能实现的结论。可是我们记得，人们对波动方程的驻波解的非难正是因为它可以表成两项之和，其中的一项在技术上不能实现哩！
为了与上面的两个例子一致，我们以另一种方式把氢原子模型的驻波解表成两项之和，第一项是同一方程的推迟解，第二项则是对应的齐次波动方程的解，表示如下过程：在观察到的空间没有氢原子，却有一个球面波向里会聚，该球面波会聚到中心点以后反过来向外发散，这样一个向里一个向外的两个波迭加起来也形成驻波。
从上面的考察我们看到，波动方程的推迟解和超前解之间的区别仅仅是初始条件的不同，并不涉及“因果律”这样高深的哲学问题。我们还看到：波动方程的解对初始条件的改变是极为敏感的。由于推迟解只是波动方程无穷多个特解中的一个，它对初始条件的要求极为苛刻，因此推迟解在诸特解中并没有特别优越的地位。对于宏观过程，我们原则上可以创造适当的条件，使得推迟解得以实现。而对于微观过程，初始条件就不能人为地“创造”了，这时再糊里胡涂应用推迟解，就难免要“创造新颖观念”了。
顺便说一句，当前人们对“黑洞”的一些细致入微的描写，恐怕也是某种“新颖观念”。例如，人们说，光线不能离开黑洞，但外界却能检测到黑洞的电荷。我们看到，静电作用也是以光速传播的，而且静电场还具有质量，因此，如果光线不能离开黑洞，则静电作用也不能离开黑洞，这样，黑洞中的电荷又怎能在黑洞之外被探测到呢？进一步，引力作用能否离开黑洞也成为问题了。
4 从原子模型到电子模型
现在我们看到，电子论从经典电动力学引出“原子中的电子将因发射电磁波而落于核”的结论原是可以预期的：在计算电子的固有电磁场时，电子论用了推迟解，这个解是描写发射过程的，而在卢瑟福的原子模型中又没有外部能源供给原子以补充发射的消耗，原子中的电子自然不能保持恒定的绕核旋转运动。由此我们本来应该得出结论：“麦克斯韦方程的推迟解不适用于原子过程。”可是玻尔却从这一事实得出“经典电动力学不适用于原子过程”的结论。物理学有过多次重大失足，这是其中最关键的一次。
我们看到，关于电子在原子中的行为有三种意见：首先的电子论的意见，电子在原子中绕核旋转时，只能发射，不能吸收，因此电子将因发射而落于核。这一结论与事实不符。其次是玻尔的意见，电子在原子中绕核旋转时，既不发射，也不吸收，这一结论不对应麦克斯韦方程的任何解，因而违背经典电动力学。最后是我们的意见，电子在原子中绕核旋转时，既发射，又吸收，发射与吸收达到平衡，形成驻波，这一结论既不违背原子经久不变的事实，又满足麦克斯韦方程。如果这一原子模型得到了物理学家们的认可，则物理学经过曲折的道路，到底得出了“物理学的理论基础同原子的有核模型相适应”的结论。
给出“经典的氢原子模型”的那个“旋转着的偶极子”也可以用来得到我们在《奇异的电子》一文中给出的“电子的卫星模型”。有了这个模型，我们就得到德布罗意波的双重含义：既是单个电子的特征波，又是单色电子束的固有电磁波。
在《震惊世界的光量子》一文中我们曾经证明：电子的“粒子”与“波包”它们在相互作用中达到双重的平衡：“力学平衡”与“电学平衡”，它们组成电子内部运动的“电动平衡”。电子的自我调节机制的任务就是在任何外部条件下都力求保持电子的电动平衡。这种机制使得电子具有“稳定性”。这种稳定性意味着电子能够对外部作用作出“能动的”反应。外界不能像支配力学粒子那样支配电子，只能通过电子的这种内部机制对电子起作用。
如果电子能够永远保持自己的电动平衡，则只要加上电子的自旋角动量固定不变这一硬性规定，电子的行为就完全和力学粒子一样了。然而事实并非如此，电子保持电动平衡要求一定的条件，而且在某些条件下电子的电动平衡可能被破坏。这就使得电子的行为和力学粒子不一样，电子的这种与力学粒子不一样的反常行为，就是所谓“量子现象”。
早期的电子射线实验表明电子束中的单个电子中的粒子在外电磁场中和点电荷一样运动，这就表明，在这些实验中，电子始终保持着电动平衡，其中力学平衡表现为：波包对粒子既没有阻滞、也没有推动；而电学平衡则表现为：从外部观察者看来，粒子既没有发射、也没有吸收。
后来德布罗意发现，在玻尔原子理论中，绕原子核旋转的单个电子达到电动平衡的条件是其特征波在轨道上形成驻波。这一条件使原子具有稳定性。在这里，原子稳定性也是原子有保持自身的达到平衡的内部机制。于是我们看到，是电子的稳定性使得原子具有稳定性。我们把这种机制称为“稳定性的涌现”。
电子有磁矩，它在外磁场中将作“进动”，实验证明，当电子在外电磁场中达到电动平衡时，它的角动量在外电磁场中的投影只有两个可能的取值，换句话说，电子的进动只有两种可能的稳定状态。这种性质，称为电子的“空间量子化”。由于稳定性的涌现，原子也具有相应的空间量子化的性质：原子的角动量在外磁场中也取分立的值。
那么电子的稳定性又是什么一种稳定性的涌现呢？这是一个还有待探讨的问题。
5 电子束与德布罗意波
如果我们一开始就考察电子束而不是考察单个电子，则可以绕过塑造电子模型的问题，根据某些已知的物理学原理，导出德布罗意波。首先，让我们考察一个有关的宏观现象——金属的表面波。
当电子在导线中运动时，电场的电力对它作用的平均效果表现为欧姆定律。如果金属中的电子在交变的外电场作用下，则根据微分形式的欧姆定律，在金属表面会形成交变的电流。另一方面，这一交变的电流又按照麦克斯韦方程激发一个交变的电磁场，迭加在外电场之上，合成一个总的交变电磁场。这个合成的电磁场仍然满足的麦克斯韦方程。再将金属表面的交变电流所满足的微分欧姆定律代入这一方程，就得到一个“表面波”方程。如果说麦克斯韦方程表现电流激发电磁场，欧姆定律表现电磁场对电流的作用力，那么，这个“表面波”方程就表现了电流与电磁场的相互作用。
在普通物理学中我们经常遇到两种电流，一是导线中的“导线电流”，一是介质中的“分子电流”，这两种电流都是由电子的运动形成的。但还有一种常见的电流我们似乎很少注意到，一束电子射线（例如，阴极射线）也形成电流，我们不妨称这种电流为“射线电流”。和导线电流一样，射线电流本来也由一个一个分立的电子形成，相应地，通过麦克斯韦方程给出的射线电流所激发的电磁场也是一个在空间和时间上都急剧变化的电磁场。如果我们对这个麦克斯韦方程的两端取平均值，则射线电流被看作连续分布的电流，而它所激发的电磁场也相应地成了一个缓慢变化的电磁场了。
对于射线电流，有待解决的关键问题是：当电子束在电磁场中运动时，诸电子受到洛仑兹力的作用的平均效果表现为一个什么样的方程？由于这个方程对应于导线电流的欧姆定律，我们暂时称它为“射线电流的欧姆定律”。
对于射线电流，只要对麦克斯韦方程两边取平均值，就得到表示射线电流激发电磁场的平均效果的方程。人们自然会想，对洛仑兹力方程两边取平均值，能不能得到射线电流的欧姆定律呢？回答是否定的，因为洛仑兹力方程中的洛仑兹力涉及微观物理量的乘积，例如电流密度与电场强度的乘积，我们从麦克斯韦方程只能得到电流密度的平均值与电场强度的平均值，而给出洛仑兹力的平均效果的却是电流密度与电场强度的乘积的平均值。不幸的是，两个微观物理量的平均值的乘积不等于它们的乘积的平均值。因此，为了得到表示射线电流的欧姆定律的方程，我们还得另想办法。
当电子在导线中运动时，由于不断与金属的晶格点阵碰撞，在静电场作用下，平均地说，保持等速运动，因此导线电流与电场强度成正比（这是欧姆定律的微分形式）。反之，当电子自由运动时，它的电荷在静电场作用下的运动却是等加速运动。因此，对于射线电流的欧姆定律，与电场强度成正比的不是电流（密度）本身，而是电流对时间的导数。这样，我们已经有了一个已知条件。但是，要建立射线电流的欧姆定律，这个已知条件是远远不够的。
人们说，物理学是一门实验的科学，既然已知条件不够，我们还得求助于更多的实验事实。但在物理学中，不同的新理论的建立过程对实验事实的依赖程度是极为不同的，在建立量子力学的过程中，每一步都得依赖“大量事实”，可是爱因斯坦建立广义相对论却没有考虑任何实验事实，他的立足点只是“等效原理”这一“思想实验”。甚至当广义相对论已经建立以后，证实这一新理论的实验事实也不多，当时只有光线弯曲、水星的反常进动和光谱的引力红移三个实验事实。但广义相对论并没有因为没有“大量事实”的支持而受到怀疑，相反，物理学家一致盛赞爱因斯坦这一新理论，例如，波恩称广义相对论是：“认识自然的人类思维最伟大的成就，哲学的深奥、物理学的洞察力和数学的技巧最惊人的结合。”
还有一个例子也表明相对论有巨大的扩展能力，人们仅仅从静电学的库伦定律出发，借助于相对论导出了经典电动力学的全部内容。
在这里，我们借助于相对论的这种扩展能力，仅仅从射线电流对时间的导数与电场强度成正比这一前提出发，建立射线电流的欧姆定律。
对于导线中的电流，导线本身就给出一个特殊的参照系，欧姆定律仅对这个参照系才成立。而当电子在真空中自由运动时，却没有一个特殊的参照系，因此，射线电流的欧姆定律应该对一切参照系成立，即具有“洛仑兹不变性”。
有了上面两个已知条件，可以得出结论：如果射线电流的欧姆定律不是复杂得难以想象，它就应该是如下张量方程：“电荷电流向量”的“四维旋度”（这个用语只不过是一种比拟）与“电磁场张量”成正比。
麦克斯韦方程可以表成两个张量方程，一个是“电磁场张量”的“四维散度”与电荷电流向量成正比；另一个是“电磁场张量”的“四维旋度”为零。而麦克斯韦的洛仑兹形式，则可以表成“电磁场张量”在“四维拉普拉斯算符”作用下，与“电荷电流向量”的“四维旋度”成正比。借助于射线电流的欧姆定律，我们可以把这种形式的麦克斯韦方程转化成如下广义的波动方程：“电磁场张量”在“四维拉普拉斯算符”作用下，与“电磁场张量”自身成正比，现在这个广义的波动方程被称为克莱因-戈登方程。“电磁场张量”的每一个分量，以及“电荷电流向量”的每一个分量都满足这个方程。“德布罗意波”的“波函数”就是这个方程的一个特解。克莱因-戈登方程的特解未必有周期性，但德布罗意波这一特解却有周期性，它反映电子内部运动的周期性。
光波所满足的微分方程是波动方程，如果所考察的地区没有光波的波源，则这个波动方程的齐次的，如果该地区有光波的波源，则这个波动方程的非齐次的，可见光波是离开了波源的电磁波；而德布罗意波所满足的克莱因-戈登含有一个由未知函数自身构成的“非齐次项”，这个“非齐次项”相当于波源，只要所考察的地区有德布罗意波，该地区就有德布罗意波的波源，可见德布罗意波是伴随着波源（电子）的电磁波。而电子衍射过程则是这个伴随着波源的电磁波的衍射过程。我们知道，德布罗意波原来就是电子束的固有电磁场，它是一个“波场”，从而它是电子束的“固有电磁波”。光波的衍射图形通过光波的能量分布表现出来，而德布罗意波的衍射图形则通过电子束的数密度分布表现出来，这就是电子衍射实验的结果。
现在，我们已经从洛仑兹问题出发，对电子衍射现象作了一个初步的“经典描述”，从而给出了第一个论据，证明“量子现象”正是大自然对洛仑兹问题的回答；而量子力学则是对这种回答的数学表述。
6 自旋量与狄拉克方程
有了克莱因-戈登方程我们还不能描述单个电子的行为（例如，电子在氢原子中的行为）。下一步该怎么走呢？在回答这个问题之前，先谈一谈我们对相对论的认识。
102年以前，爱因斯坦发表了他划时代的论文“运动物体的电动力学”，提出许多极为新奇的观点。例如，质量并不是一个物体的固有属性，同一物体的质量从不同的（惯性）参照系看来是不同的。同样，距离、时间间隔等物理量，也是随参照系的变化而变化的。在这种意义下，空间与时间等物理学范畴成了相对的，对比之下，牛顿的空间与时间则是绝对的。在这里“绝对”与“相对”的对立有确切的特殊含义：在参照系的变换下保持不变的东西称为“绝对”的；随参照系的变化而变化的东西称为“相对”的。
按照相对论，一切严格的物理学规律在参照系的变换下保持不变，用数学的语言来表达，就是物理学规律的数学表达式在洛仑兹变换下保持不变，“洛仑兹不变性”就是指物理学方程的这种性质。相对论应用一种称为“张量分析”的特殊的数学工具来表达物理学的规律。严格的物理学规律，例如牛顿定律，麦克斯韦方程等，都表现为某种张量方程，从而具有洛仑兹不变性。另一方面，方程中涉及的物理量：质量、力、电流、电磁场强度等则成为某一张量的分量，在洛仑兹变换下，一个张量的诸分量是会改变的，但这种改变正是为了保证张量方程的形式保持不变。因此，爱因斯坦的新理论具有两重性，一方面是“物理量”具有相对性，另一方面则是“物理学规律”具有绝对性，这是同一件事的两个方面，其中物理学规律的绝对性倒是其主要的方面。由此，“相对论”这个名称仅表现了爱因斯坦的新理论的一个方面，而且还是其次要的一个方面。当然，没有人说因此就得改变“相对论”这一名称。
按照相对论，在严格的物理学规律中，空间坐标、时间坐标；能量、动量；电场强度、磁场强度等物理量都是某一张量的分量，那么，德布罗意波的波函数又是什么张量的分量呢？
我们看到，电荷密度以及电流密度的每一个分量，还有电场强度与磁场强度的每一个分量，都满足克莱因-戈登方程，而这些量在洛仑兹变换下的协变性是十分不同的。因此，仅仅根据克莱因-戈登方程，我们不能确定德布罗意波的波函数随参照系变化的协变特征。
为了确定这种特征，我们换一种方式对射线电流中的电荷密度等物理量求平均值：不考虑电子的内部运动，仅仅把电子看作点电荷。这样，射线电流的电荷密度与电子的数密度成正比，根据电子衍射实验我们知道，电子的数密度与德布罗意波的波函数的模方成正比。而根据相对论，电荷密度与电流密度组成一个四维向量，即洛仑兹群的一阶张量。于是，波函数的模方构成洛仑兹群的一个一阶张量。
另一方面，根据张量理论，如果一个n阶张量A的某个分量的平方是另一个张量B的分量，那么，张量B将是一个2n阶张量。由此可见，如果德布罗意波的波函数是洛仑兹群的n阶张量的一个分量，则电荷密度与电流密度应当组成一个洛仑兹群的2n阶张量，现在这个2n阶张量是一阶张量，从而有2n = 1, n = 1/2，即德布罗意波的波函数应该是洛仑兹群的半阶张量。可是，在张量代数中却没有半阶张量。
根据群论，除了张量以外，洛仑兹群还有另一种数学对象，称为“自旋张量”。“自旋张量”与“张量”有一种对应关系：2n阶“自旋张量”对应于n阶张量，在这种意义下，“自旋量”，即一阶的自旋张量，恰好相当于半阶张量。因此，德布罗意波的波函数正是一个“自旋量”。
在物理学史上，人们认识“自旋量”经历了一个极为曲折的过程。最初，德布罗意是根据相对论提出德布罗意波的，当薛定谔试图建立德布罗意波所满足的方程时，自然也从相对论出发，但他这方面的工作没有成功。后来薛定谔退而求其次，建立了一个非相对论的方程，就是现在的“薛定谔方程”，这个薛定谔方程不具有洛仑兹不变性，从而不是一个严格的物理学方程。不仅如此，它还有一种与相对论格格不入的非对称性：对于时间坐标来说，它是一个一阶方程；而对于空间坐标来说，它却是一个二阶方程。后来，为了表现“电子自旋”，泡利对描写电子的薛定谔方程进行加工，得到一个2×2的矩阵形式的薛定谔方程。1928年，狄拉克为了把克莱因-戈登方程（它是时间坐标的二阶方程）改成对于时间坐标的一阶方程，建立了描写电子的狄拉克方程。他意外地发现，这个狄拉克方程自然而然地表现了电子自旋。有了群论以后，人们终于认识到：狄拉克方程是一个关于洛仑兹群的自旋量的方程，它是德布罗意波的波函数应该满足的相对论方程。
这样，我们就剥去了狄拉克方程的神秘的外衣，但是要“说明”这个方程，我们还有一段很长的路要走。
* * * * * *
上面，我们用非数学的语言表达数学公式的推演，这种表达方式并不能帮助不掌握数学语言的读者理解其中的内容，而对于掌握数学语言的读者，这种刻意回避“方程式语言”的做法又只有增加理解的困难，实在是两边都费力不讨好。从下一篇文章开始，我们将放弃这种做法。
7 小结
综上所述，我们看到，电子的波粒二象性与光的波粒二象性完全是两回事。尽管有辐射的量子性，光还是一种波，只不过由于作为光源的物质具有原子性，光才在“光与物质的相互作用”的过程中显示出量子性。一言以蔽之：“光的量子性源于光源的原子性。”但是电子的波粒二象性却不是起源于电子以外的某种东西，而是起源于电子自身的如下性质：电子除了有一个带电粒子之外，还有一个固有电磁场，而在这个固有电磁场中包括一个波场。
量子力学的初学者听到“电子既是粒子又是波”或者“既不是粒子又不是波”之类的说法时，无论他是茫然不解还是心领神会，关于电子他不会有任何新的认识。我们的看法没有那么神妙，说白了就是：“电子既有粒子也有波。”而对于光的类似的说法，我们的看法更干脆：“光仅仅是一种波动过程，在任何情况下它都不是粒子。”
因此，光与电子并没有德布罗意设想的那种对称性，德布罗意从这种对称性出发成功地预言了电子衍射实验只能说是侥幸。量子物理学的进一步发展所遭受的种种挫折表明：人们已经为这一侥幸的成功付出了昂贵的代价。
从辐射量子论的提出到电子衍射实验证实德布罗意波的存在，物理学经历了一个狂飙般的发展过程，在这一过程中物理学日新月异，新理论新人物层出不穷，人们至今还津津乐道。但正是在这一过程中，物理学从“朴素实在论的大本营”变成了“主观主义哲学的堡垒”，如果说过去人们相信自然界有着优美而简单的规律，人们通过理性的探索，一定能逐步掌握这些规律；那么，经过这一过程之后，人们却相信自然界是疯狂的，只有疯狂的脑袋才能窥探其中的奥秘，物理学就这样走上了“极端的幻想、盲从与迷信”的不归路。不论德布罗意本人的哲学倾向如何，他的“物质波”观念在物理学的发展过程中起着“迷人心智”的作用。
在结束本文时，关于德布罗意波，我们再次重复如下主要结论：光波与德布罗意波都是由电子激发的电磁波，光波是离开了波源的电磁波，而德布罗意波则是伴随着波源的电磁波。
A Kind of Illusive wavesTAN Tianrong(Department of Physics, Qingdao University, Qingdao 266071, P. R. China.)ttr359@126.comAbstract: Two ways to derive de Broglie waves from classical physics are given. One is through an electron model and the other by means of relativity. Also, the problem about electron spin is discussed.Key words: de Broglie waves; electron model; relativity; electron spin; Dirac function
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