什么是特征函数
什么是特征函数？
在奥本海姆的离散数字信号处理第二版（中文版）中的第2.6.1节，讲解了线性时不变系统的特征函数。这里的特征函数是什么意思呢？不是很理解，望大虾解释，谢谢！
2#
发表于 2011-8-28 04:02
特征函数是从纯数学的角度来描述线性时不变系统。在实际的操作中应用并不广泛。
3#
发表于 2011-9-5 07:24
版主能否详细道来？
因为，我只知道在概率论里有特征函数这种说法，其他地方还没有看到过这种说法。
4#
发表于 2011-9-7 02:48
简单说, 对于随机变量x，其特征函数为φ(w)=E{exp(jxw)}
4楼同学能否说明一下，这一定义的出处，小弟基础薄弱，谢谢了。
另外，为什么随机变量x的特征函数是复指数序列？这个我非常不解，难道要追溯到傅里叶发明傅里叶变换的时候？
8#
发表于 2011-10-6 08:56
可以从线性代数知识中找感觉：如果满足Ax=λx，其中A为矩阵，x为向量，λ为常数，此时称x为特征向量，而λ为对应的特征值。
quietquiet 发表于 2011-11-18 13:15
线性代数里，一个线性映射A定义在向量空间上，具体形式为矩阵相乘，A的特征向量x，意味是对于x做A映射，Ax=特征值x，也就是特征向量x在A映射下只有数乘改变。
信号系统里，一个线性系统h当然也是一个线性映射，但这里的线性映射定义在信号空间上，具体形式是卷积，所以特征向量在这里叫作特征信号，意思其实还是一样，也就是特征信号x在h映射下只有数乘变换，也就是h(t)*x(t)=数乘x(t)，满足这个性质的信号显然是exp(jwt)，因为h(t)*exp(jwt)=H(w)exp(jwt)，信号也是个函数，所以特征信号叫特征函数也可以了。
至于意义，线性代数里，特征向量组可以构成一个特征空间，线性映射在特征空间上被解耦了，问题分析会变得简单，而线性系统的特征向量组{exp(jwt)}构成了一个特征空间，系统投影到特征空间上是否变得简单呢？
连续信号空间下投影的定义是信号对特征信号的共轭做积分，系统h(t)对exp(jwt)的共轭做积分是什么？就是傅里叶变换，这些特征信号构成的特征空间是傅里叶空间，系统在傅里叶空间上被解耦了，所以在傅里叶空间上算系统卷积只要算对应分量的数乘就行了，问题变得简单了。引入特征函数主要是为了这些理论上的问题简化。这样角度来理解，傅里叶变换其实就是一个很合情合理很自然的做法了。
个人理解，可能由不严密的地方，但大概就是这么个意思。。
在奥本海姆的离散数字信号处理第二版（中文版）中的第2.6.1节，讲解了线性时不变系统的特征函数。这里的特征函数是什么意思呢？不是很理解，望大虾解释，谢谢！
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发表于 2011-8-28 04:02
特征函数是从纯数学的角度来描述线性时不变系统。在实际的操作中应用并不广泛。
3#
发表于 2011-9-5 07:24
版主能否详细道来？
因为，我只知道在概率论里有特征函数这种说法，其他地方还没有看到过这种说法。
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发表于 2011-9-7 02:48
简单说, 对于随机变量x，其特征函数为φ(w)=E{exp(jxw)}
4楼同学能否说明一下，这一定义的出处，小弟基础薄弱，谢谢了。
另外，为什么随机变量x的特征函数是复指数序列？这个我非常不解，难道要追溯到傅里叶发明傅里叶变换的时候？
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发表于 2011-10-6 08:56
可以从线性代数知识中找感觉：如果满足Ax=λx，其中A为矩阵，x为向量，λ为常数，此时称x为特征向量，而λ为对应的特征值。
quietquiet 发表于 2011-11-18 13:15
线性代数里，一个线性映射A定义在向量空间上，具体形式为矩阵相乘，A的特征向量x，意味是对于x做A映射，Ax=特征值x，也就是特征向量x在A映射下只有数乘改变。
信号系统里，一个线性系统h当然也是一个线性映射，但这里的线性映射定义在信号空间上，具体形式是卷积，所以特征向量在这里叫作特征信号，意思其实还是一样，也就是特征信号x在h映射下只有数乘变换，也就是h(t)*x(t)=数乘x(t)，满足这个性质的信号显然是exp(jwt)，因为h(t)*exp(jwt)=H(w)exp(jwt)，信号也是个函数，所以特征信号叫特征函数也可以了。
至于意义，线性代数里，特征向量组可以构成一个特征空间，线性映射在特征空间上被解耦了，问题分析会变得简单，而线性系统的特征向量组{exp(jwt)}构成了一个特征空间，系统投影到特征空间上是否变得简单呢？
连续信号空间下投影的定义是信号对特征信号的共轭做积分，系统h(t)对exp(jwt)的共轭做积分是什么？就是傅里叶变换，这些特征信号构成的特征空间是傅里叶空间，系统在傅里叶空间上被解耦了，所以在傅里叶空间上算系统卷积只要算对应分量的数乘就行了，问题变得简单了。引入特征函数主要是为了这些理论上的问题简化。这样角度来理解，傅里叶变换其实就是一个很合情合理很自然的做法了。
个人理解，可能由不严密的地方，但大概就是这么个意思。。
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