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直面量子力学中学习过程中的第一只拦路虎 - 科学网—博客
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直面量子力学中学习过程中的第一只拦路虎 
精选
附录：量子力学动量算符$p_x$是自伴算符的数学证明
动量算符自伴性的数学注记.pdf
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[DOC]高等量子理论专题系列讲座 [第2讲] 自由定态球面波解争论 ...
靠近峰处（对应转-振动量子数中间分子态为），可以简化上面表达式：算符谱表示展开中只保留相应的第项，. (2.23). 注意，一般说，算符不厄米，所以虚部不为零。显然，.
... 很窄，各个峰的能量位置彼此. 很好地分开。靠近峰m 处（对应转-振动量子数中间分子态为m φ. ），. 可以简化上面表达式：算符谱表示展开中只保留相应的第m 项，.
精选
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在学习量子力学过程中，会碰到很多拦路虎．这些拦路虎可能是纸老虎，也可能是真老虎．有些真老虎甚至会与量子力学一直共存下去．在初等量子力学的学习过程中，可以把这些拦路虎拿来练习自己的技艺．也可以拿来当磨刀石，打磨自己的思想．
风险与收益同存：如果从来没有碰到过拦路虎或者磨刀石，按Bohr的说法是，根本就没有学懂；而任何试图深入了解这些问题的初学者，很可能误入旁门．是纸老虎还是真老虎，需要得到老师的指点．
《十道量子力学口试题赏析》讨论过一些纸老虎，本文说说一只真老虎，也就是一个open problem.
量子力学首先要面对动量的量子化问题，这个问题看似简单，实际很麻烦．如果量子运动局限在曲面上时，连Weinberg都出过纰漏．因此，土著还赚过温大人的一本签名赠书．
量子力学认为算符必须厄密(Hermitian)，但数学家认为量子力学中的厄密其实是数学家要求的自伴(self-adjoint)性．众所周知，量子力学的数学基础是冯·诺依曼(von Neumann)建立的，而冯本人是卓越的数学家，现在的理解是，冯写成厄密，实际意味着自伴．物理学家很实际，认为不必那么别啰嗦，只需要要求算符有谱表示即可．何为谱表示? 对一个量子态测某力学量F，每次测量必得F的本征值之一Fn．用狄拉克符号表示，即F为一个合格的量子力学算符的充要条件为：F=\sum Fn|n><n|．
量子力学教科书的始祖是狄拉克的Principles，但是证据没有表明狄拉克接受过冯·诺依曼的思想．对算符的分类，狄拉克有他自己方式．如果细读狄拉克的Principles然后站在狄拉克的角度看量子力学算符，会发现谱表示的要求太高了．在狄拉克看来，存在一些算符：
没有谱表示，但有期待值!
期待值是一系列测量值的平均，没有测量值，谈何测量值的期待值? 委员都不是，都能成常委?
为什么没有谱表示而有期待值? 这个问题伤及量子学基础! 教材对这个问题最安全的处理就是回避．再次想起来郝柏林先生在一次演讲中的话：“教科书不过是把故事编圆一点．”
最著名的例子是球坐标下的径向动量算符P_r=-iℏ(∂_r+1/r)．在氢原子的基态上，mean(P_r)=0，mean(P^2_r)=ℏ^2/a0 (a0为Bohr半径)．但是，这一算符不是量子力学厄密算符! 也没有谱表示．即使一些量子力学基础性问题的专著如Ballentine的《QM》，量子力学百科全书如Tannoudji的《QM》等等，都没有定义P_r和P^2_r等算符．注意：不定义这些算符，并不等于不利用球坐标，也不等于不处理微分算符∂_r等等!
为什么说这个问题伤及量子学基础?
如果承认量子力学必须引进动量算符P_r，就出现了矛盾的两方面．一方面，肯定对它有方法测量，然后得到一系列数值，所谓的期待值就是对这些一系列数值的平均．否则为什么会有期待值? 另一方面．量子力学认为，没有谱表示，就不是合格的量子力学量，不能测量! 狄拉克坚持说，这是一个合格的量子力学量．要改进的就只能是量子力学基础或者算符的理解．
量子力学的奠基人内心的话，不一定会直接了当告诉你．你能不能读出量子力学的理论体系其实尚未完备或者算符的理解需要发展这层意思来，他摆出来的数据就在那里．而这个问题严重到什么程度，和每个人对量子力学的理解有关．
这是一个问题，但是不严重．这是我的看法．
————
国内外对这个问题的一些研究现状
I 狄拉克和主流看法的分歧
It is a puzzle that Dirac simply overlooked the claim that the radial momentum P_{r}=-iℏ(∂_{r}+1/r) is not self-adjoint and "is not the r-component of the particlemomentum" which was explicitly demonstrated in 1960 1 and since then 2-7, and he insists his own understanding that P_{r} "is real and is the true momentum conjugate to r", which is reflected in the last revision of his classic book on quantum mechanics that published in 1967.
1,R. H.Dicke and J. P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics (Addison-Wesley,Reading, Massachusetts, 1960)
2,P. D.Robinson and J. O. Hirschfelder, Generalized Momentum Operators in QuantumMechanics, J. Math. Phys. 4(1963)338.
3,A. M.Arthurs, Momentum operators in quantum mechanics, Proc. Natl. Acad. Sci. USA,60(1968)1105.
4, R. L.Liboff, I. Nebenzahl and H. H. Fleischmann, On the radial momentum operator，Am. J. Phys. 41(1973)976.
5,J. M.Domingos, M. H. Caldeira, Self-adjointness of momentum operators in generalizedcoordinates, Found. Phys., 14(1984)147.
6,C. S.Wang, Generalized coordinate representation in quantum mechanics, Am. J. Phys.57(1989)87.
7,G. Paz,The non-self-adjointness of the radial momentum operator in n dimensions, J.Phys. A: Math. Gen. 35(2002)3727--3731.
但是，土著相信狄拉克肯定有其道理，相信他的眼光比我们深远!
II 国内对这个问题的研究的一点讯息
国内这个问题的集中讨论，起源于上海交通大学数学家陶宗英先生的一篇文章，曾经在《大学物理》等刊物上激起过轩然大波．清华、复旦、中科大、北师大、中山大学等等高校的很多先生都发表了观点．但是，最后的决定似乎是：最好回避!
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44 李轻舟 文克玲 黄永义 王春艳 李笑月 李贵发 杜敏彪 赵国求 沈律 李学宽 张云 朱晓刚 强涛 苏力宏 李铭 吴国林 戴德昌 张凯军 田云川 彭真明 黄秀清 罗教明 张能立 魏剑宏 孙小淳 肖军 陈小润 杨正瓴 陈湘明 王涛 mpywang koolp qidao ychengwei eastHL2014 Allanmu ZeroK XY ybyb3929 chenyuhuazililu physicism rosejump liyouxi Anticommutator
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- [42]Francis522
- 学生现在在效仿老师当年所为，抄书。所谓大智若愚，拙法有时更能让人理解真谛
- [41]liyouxi
- 我随便乱说的哈。
博主回复(2014-6-17 21:20)：把r = 0挖掉也是不行的。
- [40]goldensea
- 这个问题很有意思，原来物理学界也在争论自伴性问题。从数学的观点看，微分算子谱理论的核心内容之一就是在各种条件下证明算子的自伴性然后讨论谱性质。刘老师给出的证明，对于做物理的人可能比较陌生，但对于做微分算子谱理论的人来说属于常识。顺便提一下，内蒙古大学数学系在这方面的研究有着悠久的传统。
- 博主回复(2014-6-17 18:17)：尽管及其浅易，估计99.9%的物理学家认为那个证明是困难而无益的。我是出于好奇，希望能清楚到底数学家如何证明这个问题。
物理学和数学的价值观很不同，物理学的研究还是要物理来主导，其实，我也这这样想。
- [39]杨正瓴
- 量子力学很难。
- 博主回复(2014-6-17 21:19)：
- [38]chc123456
- 我感觉问题的严重性至少是对半开的
- 博主回复(2014-6-17 21:19)：
- [37]ybyb3929
- 看来刘全慧老师是在向李铭教授学习，明智量子力学错了，为了使对量子力学的讨论激烈起来，故意装着不知道，事实上推翻量子力学容易，但找到一个替代量子力学的理论太难，其实问刘老师一个问题——建立坐标系的作用是什么，就可让量子力学的问题呈现
- 博主回复(2014-6-17 21:19)：
- [36]张磊
- 传说中量子力学家玩隔空取物，心灵感应之类的...
- 博主回复(2014-6-17 21:19)：
- [35]liyouxi
- 想象一把的话，r -> \infty 的情况下不是问题，即Dirac的结论无误，P_{r} "is real and is the true momentum conjugate to r"；推广的话，把r = 0挖掉似乎也不是问题。
而把r=0挖掉可以归结为有关1/r的任何物理理论在r -> 0时都没用了，因为这个时候物理理论肯定不包括这个极限下早就应该出现的微观结构。
把这看作是理论框架的一个问题似乎也行，不过这个问题不容易明确下来以便进行理论突破。乱联想的话，也许1/r引起的这个问题跟重整化的基础不牢靠有关？ - 博主回复(2014-6-17 21:20)：把r = 0挖掉也是不行的。
- [34]魏剑宏
- 中学时很喜欢物理，大学后接触的少了，看不太懂，但我很佩服从事此类研究的人。。
- 博主回复(2014-6-17 21:20)：
- [33]用户名
- 评论已经被科学网删除
- [32]罗教明
- 量子力学最基本的任务应该解决是什么物理问题呢？微观结构、粒子的微观运动与光谱。。。。
那么微观与宏观区别在那里，之间的关系是什么，从逻辑上来讲宏观结构是由微观结构决定的，因此微观行为一定能解释宏观行为。
因此粒子的宏观运动行为一定可以由微观行为来描述或解释，电子在电场中的运动行为，在微观情况下是量子力学描述的，宏观情况下是电动力学问题，如果通过量子力学能够推导出电子的电磁学方程，那么才能说量子力学解决了带电粒子在场中的运动问题。
特别应该注意的是：自然现象展示出的规律性，对于你们、我们和爱因斯坦们都是公平的，不存在层面上的区别。不同人在不同层面上的认识都必须具有牢固的科学基础，并形成缜密的逻辑体系，相关结果可以得到全面的验证，而不是强词夺理的、片面的、甚至自相矛盾的狡辩。
- [31]刘新建
- 行距变大一点，中间有些看不清了。谢谢！
- 博主回复(2014-6-17 21:20)：这篇的格式有问题，下篇再说。
- [30]戴德昌
- 应该是国内和科学网上，咱不理会老外，希望他们走火入魔去。
- [29]张凯军
- 这是一篇很好的科普文章，至少对数学家来说应该是这样。在当今“宏观牛顿，微观量子”的时代，要想深刻地理解量子现象，除了近一半的数学知识和一半的物理知识之外，还有一点就是科学逻辑思维。“没有谱表示，但有期待值”的物理学家困惑对数学家也许不然，原因在于物理的宪法是实验，而数学的宪法是逻辑。对物理学家而言要想讨论理论问题，那就大胆一些以数学逻辑占优，当然对最终的实验问题还是要用可重复实验来定论。“没有谱表示”可否“谱存在”？，“谱存在”也许依然有不知如何计算的“特征值”，因而就可能“有期待值”！物理学家对量子力学中的“真老虎”采取教材回避的办法，也许还不如在教材中加一点研究式的成分，把“真老虎”各种可能的“本质”让读者思考与讨论，甚至写小论文研究，何尝不可？愚见仅供讨论。
- 博主回复(2014-6-15 08:25)：这个问题，可以提供者有兴趣者作为小论文、甚至毕业论文来做。我的想法是，P_r似乎不是基本算符，而是一个(二级)有效算符。
- [28]戴德昌
- 个人认为，都是一帮用牛顿力学的思维，修饰一下去理解和认知量子力学的。
我还没有见到真正骨子里通融量子力学的 - 博主回复(2014-6-15 07:53)：笔仙果不其言！
那么，Zeilinger，Bennett，Zurek三位如何?
- [27]physicism
- @博主回复(2014-6-14 17:17)：...我对量子力学问题的看法，谢谢博客可以，自己觉得上不了大雅之堂。
我是中国量子力学研究会的常务理事，时有在年会上发言，从来不谈教学问题。今年8月在内蒙古大学开今年的年会。
-------
也许，那个研究会根本就不是教学研究会！ - 博主回复(2014-6-15 08:02)：全称是：全国高校量子力学研究会，喀兴林、曾谨言、张永德、潘建伟四位教授分别出任理事长，原来是纯教学研究会，后来似乎科研的成分更多了。
这个年会好几次办成了国际会议，分别在香港，台湾主办过。
- [26]physicism
- 这类问题需要告诉学生，不讲这些问题不行，精讲也不行。在初等课程上，一两句话足够。
博主不妨写写weinberg对量子力学的不同看法。 - 博主回复(2014-6-15 08:02)：我考虑一下。
- [25]王国强
- 真有意思，昨天上午我边走路边继续思考这个老问题，结果还是那个老答案，跟 14楼的意见基本一致。
微观尺度上的物理真实 和 宏观尺度上的物理真实不是一回事儿，为了计算和测量，我们不得不用宏观的经典量来描述微观真实，结果发生了矛盾。
^_^。。。。。。。。。。。 - 博主回复(2014-6-15 08:03)：您说的这些矛盾很可能是表观的。
- [24]laijianshan
- 要解决量子力学算符中没有谱表示而有期待值的问题，须改进的不仅仅只是对单一的量子力学基础或者算符的理解。首先，理论对量子力学基础的理解是不完备的：1、任何个体量子的存在状态都不是孤立的，受外环境的制约而保持或在变化，这一点尚未形成详尽的认知；2、任何个体量子的运动都融合于不同层次系统的整体中，大系统包含小系统，并产生相互作用，是广泛联系的，而具体联系的方式或实质途径目前知之甚少；3、在任何物质的运动接触中都会进行物质的交换，但如何交换目前一无所知。因此，量子运动是动态变化的个体运动与整体运动的集合，处于复杂的广泛联系中，而目前被认定的理论基础过于单一化，远未达到完备。其次，数学算符目前只作为单一特定对象的统计公式，无法对一个包含各种物理特征的动态变化的整体效应进行全面表达，用单一的数学算符既想对整体内部粒子自由横向运动形成的波动谱进行量化统计，又想对纵向流向性运动形成的流动量进行统计，并表达系统的力学特征，目前是无法做到的。更不要说要表达整体包含中的广泛联系了。数算算符在物理应用上只能局限于在深化理论基础的理解上，对各种单一的物理量及相应力学关系分别建立不同的数学算符进行表达。另外，由于算符的统计对象是特定的，当然会出现没有谱表示而有期待值的情形。
- 博主回复(2014-6-15 08:05)：可能没有这么复杂。
- [23]罗教明
- 全慧教授一直在宣称，量子力学已经十分完美吧吗？
写这样的文章，你是不是也象微观粒子一样“鬼迷心窍，幽灵附体”了。 - 博主回复(2014-6-15 08:07)：量子力学基础的完备与否，取决于要解决的物理问题。
对于我这些人来说，量子力学是完备的；对爱因斯坦、狄拉克、weinberg等大师来说，他们的观点不是在我们这个层面上的事情。
- [22]wisdomQu
- 量子力学在尝试解释和预测什么？
- 博主回复(2014-6-15 08:08)：
- [21]ziyaomu
- 哎呀，怪不得，我一个学半导体的，固态物理和半导体物理中涉及量子力学的地方都十分费解呢，原来这么难，话说我连算符是什么都不是很清楚，好痛苦啊，学习一遍初等的量子物理大概要多久啊，如果跟着老师听课的话。。。
- 博主回复(2014-6-15 08:11)：我不是量子力学的专任老师，不过在很多场合打过酱油。我开课的最小记录是：
初等量子力学(周世勋本)：24课时。
高等量子力学(前沿4、相位4、对称4、辐射场量子化2+几何动量2)：16课时。
- [20]ybyb3929
- 最著名的例子是球坐标下的径向动量算符P_r=-iℏ(∂_r+1/r)——请博主详细解释这话，我十分自信地讲，博主自己都没有搞懂这句话
- 博主回复(2014-6-15 08:12)：那么你和笔仙的看法类似(参照28楼).
- [19]ybyb3929
- 量子力学在数学上本身就存在问题
- 博主回复(2014-6-15 08:12)：问题不大。
- [18]ybyb3929
- 没人学懂过量子力学
- 博主回复(2014-6-15 08:13)：那么，为什么会流传呢?
- [17]袁贤讯
- 【这些人是肉眼完成latex编译。】笑死我了。我编译了两行就没兴趣了。这篇博文显然是在数学与物理之间不断跳跃断层的结果，排版明显不如从前。
- 博主回复(2014-6-15 08:14)：暑假回长沙否?
贵校有没有从事人工智能的教授? 有位李达班的学生希望投身这个行当。
- [16]仲银鹏
- 这就是数学形式上的不完备吧，物理上没什么问题啊。
- 博主回复(2014-6-15 08:16)：本质上，这都是学习过程中碰到的，或者说教学问题。
甚至不到数学是否完备如否的问题。
- [15]LordoftheFlies
- 据我所知数学上对量子力学的无界算符都是考虑延拓的方法，对于径向动量算符这样的算符是对称的（本征值实数），稠密的（定义域稠密），首先可以闭延拓，其次有定理（lax Functional analysis ch33)，对于闭稠密算子，如果亏指数为0（亏指数定义为n+ 与n- 的差，n+定义为算子C-z,z为虚部为正的纯虚数，值域的余维数，n-为虚部为负的余维数），则可以延拓为自伴算符。径向动量算符我不会算到底能不能延拓。但是就算不能延拓，并不代表不存在谱测度（事实上就算是非对称的只要是正常算子（正常算子指闭稠密且C*C与CC*对易的算子）就存在谱测度，见Rudin的泛函分析），更不代表不存在平均值，因为利用范数自然可以定义平均值。而对于径向动量算符的平方是肯定可以延拓的，因为其本征值半有界（大于0)，有Friedrichs延拓，可见lax或者夏道行的书，对于大类的薛定谔算子就是利用Friedrichs延拓和Rellich扰动定理得到的。
- 博主回复(2014-6-15 08:19)：您说的问题，在1960年代已经讨论清楚，P_r不但不能自伴、连自伴扩张都没有，这一点和半空间的P_x类似。关于后者，我会在明天上载的附件中给一个简单讨论。
- [14]ep4h
- 不是因为奇点。球坐标所以能成立是因为有球对称的势场，没有球对称的势场而讨论球坐标是没有意义的。而势场在量子场论中是规范场的经典图像。所以凡是以坐标显项出现的势能项必定是唯象的，如薛定谔方程。真正的基础理论中不可能出现坐标显项，因为这与时空的对称性假设不符。量子场论中和广义相对论方程中都没有坐标显项。
或者，如果直说，就是球对称势场的存在本身是值得存疑的，所以球坐标算符本身是否存在也是值得存疑的。 - 博主回复(2014-6-15 08:22)：您这是一家之言，而且过分形式化。
杨振宁说过，好物理都是猜出来的。是否也可以这样看物理学.：如果看原子与原子的散射，会发现一些相移等问题，这个时候，可以反推原子中的势能的形式。
- [13]ZeroK
- 直面? 好！
国内教科书太完美了: 理论体系都很完美了、世界都很完备了，如果是一位照本宣科的的老师来教，更是花美无缺.
呼唤很多的直面! - 博主回复(2014-6-15 08:23)：人见人爱，花见花开，不一定是好现象。
- [12]Allanmu
- 这剧情预告委实吊人胃口，土著不看世界杯吧，边看边贴，今天就弄了吧
- 博主回复(2014-6-14 17:43)：后天上午，一定。这是数学证明，没有物理，你看完后可能会倒胃口。
- [11]ep4h
- 公式中如果出现时空项显式(如球坐标中的1/r)，就表明这种理论必是唯象的。
- 博主回复(2014-6-14 17:41)：为什么呢? 因为奇点?
- [10]chc123456
- 我家学生去湖南大学上学，我曾明说要不要学数学或物理，就是 想指点在这些问题上做一些东西出来，可是没办法，大家都知道现在的孩子谁还 想去学这个
- 博主回复(2014-6-14 17:39)：不对啊，每年都有外系的学生转系来学物理。
我课堂上就有一位旁听生，学的很好啊。
- [9]徐晓
- 而且，还要会用大括号。
- 博主回复(2014-6-14 17:38)：懂！
- [8]龚明
- 这篇文章有误导读者的意思。我需要指出几点：第一，量子力学的数学基础不是严格的，它可能有很多问题，但是还是迄今为止低能领域最精确的模型。第二，这里提到的很多问题，其实数学家都有研究，已经有了很多结论－当然这些结论对做物理的人而言我看不出有什么实质性用处。第三，没有谱表示，但是有期望值，不奇怪。量子力学要求可测量的一定是厄米的，但是反古来不正确。当然，这个假设也可以说不是那个严格正确，因为非厄米的某些现象也可以测量。
- 博主回复(2014-6-14 17:44)：写了很多，我高度怀疑你是在强迫我回答这些问题。
- 博主回复(2014-6-14 17:37)：20多年前，我学量子力学的时候，和你的看法类似。
我对你的观点有些许看法，一一回答如下：
针对第一：没有物理学家care物理学理论的数学严谨性，如果不信，谁能证明Feynman路径积分中的路径是否布朗折线? 非相对论性量子力学是迄今为止低能领域最精确的理论，你似乎小了一个限制性定语。
针对第二，很多物理学家不care数学物理。很正常。我也不care，也没有鼓励初学者care。文章里面说的很清楚：“而任何试图深入了解这些问题的初学者，很可能误入旁门.” 你刚学量子力学的时候，分得清物理和数学?
针对第三，这一点批评我完全不能理解。本博文讨论的量子力学是基本理论，不是有效或者唯象的理论! 对于后者，需要引入例如非厄密算符(例如描述dacay)，PT对称Hamiltonian(在光学中很有用处)，阻尼(谐振子)，等等。
anyway，感谢明兄的关注！
- [7]徐晓
- 楼下还一堆人点头，BS
- 博主回复(2014-6-14 17:19)：这些人是肉眼完成latex编译。 这点你就不如他们。
- [6]徐晓
- 是不是不会用latex呀？用$$夾起来。
- 博主回复(2014-6-14 17:18)：有些就是在latex中拷贝过来的。
- [5]赵国求
- 一谈到量子力学基础，我的兴趣就来了。陶宗英先生曾在上世纪90年代末邀我及四川大学的另一位老师发起一次量子力学基础香山会议（信还保存在），可惜后来因何先生的反对没有搞成，何先生现在不会反对，或许还会参加，曹天予老师同我说过。去年我曾与陶先生又联系过一次，但他的腿脚现在不方便，无力再做这件事了。刘老师不知有无兴趣再牵个头，我来凑个热闹。期待您到武汉来，至少在武汉开一次，由华科大主持，到长沙您处我也高兴。
- 博主回复(2014-6-14 17:17)：我在承德见过陶先生，应该比您要小！
我对量子力学问题的看法，谢谢博客可以，自己觉得上不了大雅之堂。
我是中国量子力学研究会的常务理事，时有在年会上发言，从来不谈教学问题。今年8月在内蒙古大学开今年的年会。
- [4]mirrorliwei
- 【没有谱表示，但有期待值!】是否可以看做连续而不可微的结构呢？甚至是常规的黎曼积分已经不够用了，需要导入勒贝格（悲歌？）积分吧。
- 博主回复(2014-6-14 17:12)：对径向动量算符，我到有一个物理的解决方案：先把径向动量算符扩大，然后再逼近。
- [3]minkt
- 量子力学很成功,但问题也是一大堆,对尖锐问题的回避,永远不会有创新,量子力学用统计的方法,解析的对象有时又是单体,至少说明一点,量子力学的基础是混乱的.
- 博主回复(2014-6-14 17:10)：我不觉得量子力学的基础是混乱的。
- [2]blackrain007
- 最后的决定似乎是：最好回避!
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所以，当年俺觉得钱和曾对量子力学的理解都有问题，很怀疑他们搞懂了没有。再往后，俺就不学了，也不看了。 - 博主回复(2014-6-14 17:08)：有些问题，教科书还是回避的好！
- [1]xiaonewton
- 高大上的量子力学，虽然鄙人是学生物的，但是还是很佩服量子理论的！
- 博主回复(2014-6-14 17:08)：
quantum.ustc.edu.cn/.../10/1_1363928503_7209167.doc
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[PDF]0 - Quantum Physics and Quantum Information
quantum.ustc.edu.cn/.../10/1_1365743854_7344055.pdf
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可是物理學家討論場論的時候，遇到很多困難，起源於無窮維流形算子的譜分析不知如何處理。一個重要例子是loop space，這是將給定的流形上的所有封閉曲線放在一起的空間，我們要尋求在它上面的譜分析，這是一個很困難的問題。量子場論還缺乏嚴格的數學基礎。用Renormalization的方法，出現很多無窮的cancellation問題。在物理上出現的問題在數學上會更為困難。因為物理學家願意接受直觀的證明的觀念，而數學家難以接受。可是從量子力學，量子場論推導出來的數學，幾何學家往往驚歎他們如魔術般的奇妙直覺（intuition）。在有限維空間時，由物理學引起的幾何，我們大致上都可以理解和證明。可是在無窮維空間裏面，我們發覺古典幾何學的直覺與真理有相當遠的距離，沒有辦法將有限維空間的想法簡單地推導到無窮維空間幾何上去。這十五年來，自從弦理論產生以後，我們驚訝地發覺從物理直覺產生的幾何結論往往是正確的。
雖然量子場論本身的基礎不夠精確，它的物理意義也不見得能夠說服所有的物理學家，可是得出來的幾何結論即使不能以物理學的思維來嚴格證明，卻意義深厚且往往可以用不同的數學方法來驗證。現在舉一個例子，這是一個很深奧而古典的問題，已經有一百多年的歷史：一個五次方程，它有五個變數，這是中學生都看得懂的方程。我們要解這個方程，我們問一個很簡單的問題，假如要求尋找這個方程的函數解，它是可以寫成一個參數t的有理函數，問這個方程有多少個這樣的函數解。這是一個很古典的問題
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