众多的微观粒子组成体系（或系统），而体系的微观状态自然用体系的波函数 ψ（
为体系中所有粒子的波函数
乘积 ）来描述，称为体系的量子态，或简称为系统态
7.2 最概然分布与平衡分布
依量子力学方法，微观粒子的各种运动状态可用波函数(
、
……)表示，其能量是量子化的，其值不连续，由低至高可列成 ε1、ε2……（其中有些态能量可相等，即称能级简并）。粒子这种微观状态称为粒子（或分子）的量子态或粒子态。众多的微观粒子组成体系（或系统），而体系的微观状态自然用体系的波函数 ψ（
为体系中所有粒子的波函数乘积 ）来描述，称为体系的量子态，或简称为系统态。其组成的所有粒子态确定之后，系统态即确定，其能量用 E（或 U）表示，也是量子化的，其值不连续，由低至高可排序为：E1、E2…… 。由于体系中各个粒子可处于各种可能的粒子态，因此体系的同一热力学平衡态可表现为多样化的微观态。7.2.2 能级分布与状态分布
统计力学方法无须繁琐地去说明每个粒子乃至整个体系的量子态，关心的是体系中总的N 个粒子如何分配体系的总能量 U，此即能级分布问题，也就是说它绕过解薛定谔方程的困难，将问题简化为设法寻求粒子在各个能级上的最可几分布式样，并由此导出体系的能量分布律。正因为可通过指定系统中全部粒子的能级或量子态来表征体系的微观态，所以，它与直接由波函数的描述在根本上是一致的。
【交流】请大家继续讨论能带理论中能隙形成的原因
看了虫友讨论能带的帖子，大家讨论了能带形成的原因，非常有深度。但没有深刻讨论能隙形成的原因，孤立原子形成能级间距是因为驻波条件（类似玻尔的轨道量子化条件，其实是一种广义的边界条件）。而晶体也有边界（玻恩-卡曼条件，与轨道量子化条件对应），但晶体的边界条件产生的是能带内子能级分离，而不是能隙形成的原因。所以能隙形成原因真让人费解，请大家继续讨论能隙形成的原因。
猜也是可以的，大家都来猜猜啊，说不定你的猜测对大家有启发。
电子被束缚是孤立原子能级分离的通俗原因，由此我大胆猜测，晶体边界对晶体中电子的管制（束缚）是导致能带内子能级分离的原因，而晶格格点对电子的宏观束缚是导致能带分离的原因，也是能隙形成的原因。
"孤立原子形成能级间距是因为驻波条件（类似玻尔的轨道量子化条件，其实是一种广义的边界条件）。"
你的这个大前提有问题！
你的这种所谓假设本身就是量子论的早期理论。孤立原子的能级产生的原因应该从薛定谔方程出发。
你的这个大前提有问题！
你的这种所谓假设本身就是量子论的早期理论。孤立原子的能级产生的原因应该从薛定谔方程出发。
楼上说得很有道理，具体的计算还是要立足希尔伯特空间从薛定谔方程出发，对于象固体这样的多体系统还需要从平均场理论出发，但我们只是立足于直观理解而不是数学，况且旧量子理论的概念如定态、能级、跃迁等我们不也保留了吗，旧量子理论并非一无是处，它的一些思想有助于我们直观理解微观世界，旧量子论的奠基人玻尔不正是一位直觉大师吗。
我再次看了黄昆《固体物理》第四章P161页的4-25式，能隙的形成来源于该式，是K指标出现一个奇点。K指标的出现是由于周期场的平移对称性导致的，也就是说，能带的展宽是由于周期场，能隙的形成也是由于周期场，成也萧何败也萧何。看来3楼我的大胆猜测是对的，能隙形成的原因真是周期场对巡游电子的宏观束缚。而晶体的边界束缚是能带内子能级形成的原因。
也就是说，周期场对价电子的作用是两方面的： 一方面，提供长程有序让价电子方便巡游；另一方面，又对价电子产生宏观束缚，既放松又收紧，这样看来政治也是周期场，也许我们每个人都生活在能带理论之中，某些方面我们可以自由谈论（能带），某些方面我们不能谈论（能隙）。
黄老先生书上的公式确实指明了周期场的作用。但我觉得应该明确书中的周期势只是赝势，它是真实的周期势（在离子实附近趋近负无穷）考虑了外层电子波函数与内层电子波函数的正交特性（即孤立原子的能量本征态构成正交完备基）之后的结果。那么我们可不可以理解成，正是由于孤立原子能量本征态之间的正交特性导致能级分立，而组成晶体后，真实周期场又使得各分立能级展宽，两方面因素导致了最终的能隙。但是如果没有起初的能级分立，是否就可以理解为应该没有能隙。
在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！
在能带形成过程中，使用玻恩-卡曼边界条件，实质上是忽略边界对体系能量的影响。
mlcen 看到的是从自由电子近似出发的观点。还有一种观点是从原子轨道出发的观点。实际上都可以得到能隙！
多说一点儿：很多东西不是使用形象的东西就可以类比出来的，还需要定量的描述。这就很可能需要专业的东西。我年轻的时候也常常空想，实际上这样空想很影响自己的问题理解能力。有这个时间，最好能够学习一下量子力学，因为这是所有现代物理知识的基础之一。
使用《论语》上的一句话：“学而不思则罔，思而不学则殆”，不仅要想，还要学习才行。
（言语失当之处请多包含）
在能带形成过程中，使用玻恩-卡曼边界条件，实质上是忽略边界对体系能量的影响。
mlcen 看到的是从自由电子近似出发的观点。还有一种观点是从原子轨道出发的观点。实际上都可以得到能隙！
多说一点儿：很多东西不是使用形象的东西就可以类比出来的，还需要定量的描述。这就很可能需要专业的东西。我年轻的时候也常常空想，实际上这样空想很影响自己的问题理解能力。有这个时间，最好能够学习一下量子力学，因为这是所有现代物理知识的基础之一。
使用《论语》上的一句话：“学而不思则罔，思而不学则殆”，不仅要想，还要学习才行。
（言语失当之处请多包含）
本人也赞成周期势场的影响导致能隙的产生，另外还要考虑电子的量子效应的集体行为。
樓主想法很好,這樣的問題就應該展開廣泛的討論.
這個問題最好是能得到黃先生的親自加入!
這個問題最好是能得到黃先生的親自加入!
Originally posted by supersolid226 at 2009-9-30 21:18:
在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！
在能带形成过程中，使用玻恩-卡曼边界条件，实质上是忽略边界对体系能量的影响。
mlcen 看到的是从自由电子近似出发的观点。还有一种观点 ...
正是因为玻恩-卡曼边界条件，才导致能带分离成N条子能级，请见黄昆《固体物理》第168页，你怎么能说“在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！”，如果没有完全理解问题实质时，请不引经据典误导大家好吗。在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！
在能带形成过程中，使用玻恩-卡曼边界条件，实质上是忽略边界对体系能量的影响。
mlcen 看到的是从自由电子近似出发的观点。还有一种观点 ...
Originally posted by supersolid226 at 2009-9-30 21:18:
有这个时间，最好能够学习一下量子力学，因为这是所有现代物理知识的基础之一。使用《论语》上的一句话：“学而不思则罔，思而不学则殆”，不仅要想，还要学习才行。（言语失当之处请多包含）
根据这段话，我猜upersolid226认为我没学过量子力学，真是冤杀我矣，我不仅学过量子力学，还学过量子场论、群论、量子统计，李正中的固体理论我还从头到尾推过一遍。有这个时间，最好能够学习一下量子力学，因为这是所有现代物理知识的基础之一。使用《论语》上的一句话：“学而不思则罔，思而不学则殆”，不仅要想，还要学习才行。（言语失当之处请多包含）
“玻恩-卡曼边界条件”这个边界条件好像是假想出来的。实际的固体边界就是固体表面，这是当前凝聚态研究领域的一个很重要的一个分支，具有非常不同于固体内部的性质。
固体内部（不考虑表面影响）的性质是由内部的周期平移不变性引起的，试想，在实际的固体中，怎么可能具有平移不变性呢？所以为了避免这种困难，就采用了近似方式，也就是所谓“玻恩-卡曼边界条件”。
在某种意义上说，玻恩-卡曼边界条件的引入是为了使我们的理论能够保持这种对称性，从而大大简化我们的理论（避免数学上的困难）。
固体内部（不考虑表面影响）的性质是由内部的周期平移不变性引起的，试想，在实际的固体中，怎么可能具有平移不变性呢？所以为了避免这种困难，就采用了近似方式，也就是所谓“玻恩-卡曼边界条件”。
在某种意义上说，玻恩-卡曼边界条件的引入是为了使我们的理论能够保持这种对称性，从而大大简化我们的理论（避免数学上的困难）。
Originally posted by mlcen at 10/1/2009 07:46:
正是因为玻恩-卡曼边界条件，才导致能带分离成N条子能级，请见黄昆《固体物理》第168页，你怎么能说“在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！”，如果没有完全理解问题实质时，请 ...
正是因为玻恩-卡曼边界条件，才导致能带分离成N条子能级，请见黄昆《固体物理》第168页，你怎么能说“在黄昆先生《固体物理》中，从来就没有说实际的边界对能带形成的影响！”，如果没有完全理解问题实质时，请 ...
黄先生已经作古了吧
Originally posted by dddd1971 at 10/1/2009 02:56:
樓主想法很好,這樣的問題就應該展開廣泛的討論.
這個問題最好是能得到黃先生的親自加入!
樓主想法很好,這樣的問題就應該展開廣泛的討論.
這個問題最好是能得到黃先生的親自加入!
黄昆先生确实已经作古。
Originally posted by mlcen at 2009-9-30 20:47:
我再次看了黄昆《固体物理》第四章P161页的4-25式，能隙的形成来源于该式，是K指标出现一个奇点。K指标的出现是由于周期场的平移对称性导致的，也就是说，能带的展宽是由于周期场，能隙的形成也是由于周期场，成也 ...
周期性边界条件可以认为是数学上为了方便解决固体问题而引入的，是为了体现晶格平移对称性而引入的条件。我再次看了黄昆《固体物理》第四章P161页的4-25式，能隙的形成来源于该式，是K指标出现一个奇点。K指标的出现是由于周期场的平移对称性导致的，也就是说，能带的展宽是由于周期场，能隙的形成也是由于周期场，成也 ...
第一，我们研究的固体在理论上为无限大完美周期性体系（不考虑缺陷），然而实际的晶体总是有限的，但是由于大块晶体的尺寸（宏观大小）是远大于晶包的（微观尺寸），所以在这里表面效应并不重要（通俗的说，如果你处在晶体深处是感受不到表面的影响的），大块体系的属性近似于表面无关。但是为了体现有限晶格的平移不变并在数学上便于处理，人为的设计的了周期性边界条件。
第二，在固体物理中研究的晶体，隐含了一个热力学极限条件，即原子数N和晶体体积都为无穷大，而两者比值为有限的。所以，虽然可以取周期边界条件，但在热力学极限下（以无限大的体系为周期，这个周期实际就是“非周期”的，也就是摆脱了边界条件的影响而只关注体相的性质）
最后，如果非要考虑开放性边界条件，比如存在实际的晶体表面。其实，这往往会引入表面态或表面共振态，这种状态会在能带的带隙中引入新的能级。但是，在能带论的单电子近似下，这种能级对于处于体内的电子，是感受不到的。换句话说，晶体表面是不会对整个能带结构有重大的影响的（只是在带隙中引入表面能级）。如果你熟悉表面的东西的话，应该能理解我的说法。
楼上高手，学习了，我不太懂表面态。我们知道能带内子能级的数目等于原胞数N（简单晶格就是原子数N），一个能带可以填2N个电子。如果真取热力学极限，则意味着能带内子能级的数目为无穷大，可以填2倍无穷多电子，也就是说价电子永远填不满能带，那么导体、绝缘体又如何区分呢？
Originally posted by mlcen at 2009-10-1 13:10:
楼上高手，学习了，我不太懂表面态。我们知道能带内子能级的数目等于原胞数N（简单晶格就是原子数N），一个能带可以填2N个电子。如果真取热力学极限，则意味着能带内子能级的数目为无穷大，可以填2倍无穷多电子， ...
你这个问题可以从两方面来说，今天放假，所以可以多说两句。既然你前面一直提到原子能级和固体能带的关系，我们就从这里说起。楼上高手，学习了，我不太懂表面态。我们知道能带内子能级的数目等于原胞数N（简单晶格就是原子数N），一个能带可以填2N个电子。如果真取热力学极限，则意味着能带内子能级的数目为无穷大，可以填2倍无穷多电子， ...
第一，我举个最简单的例子，比如金属Li所形成的金属体系。我们知道自由Li原子的电子壳层是1s22s1，宽展成能带时，形成1s带和2s带，其中前者完全充满，而后者是半满的，呈现金属特性。这说明什么？说明我们考虑晶体是金属、半导体，绝缘体（其实绝缘体就是一种电介质）的能带时，主要关注的是最高能带的“相对”占据情况（也就是电子跟能带所包含能量状态的相对关系）。比如说，即使采取热力学极限，Li金属的价带总是半满的，这个比值1/2是不会随着N趋于无穷大而改变的。对于半导体或是绝缘体也类似，如果原子的最外层是满壳层，则展宽成价带时也是全满的，不会出现半满或是部分占据的情况。所以热力学极限不会改变晶体的电学性质，不会出现你说的电子永远填不满的情况。当然，这里没有考虑能带交叠的情况，比如金属Mg等的第二主族元素，就存在这种情况。这是由晶格结构所导致的，与问题关系不大，不多说。
第二，在固体中N是一个10^{23}数量级的大数，但显然也是有限的。所以我们所谓的热力学极限，肯定是物理上的（而非数学上的）。但是，固体中对这两者并没有严格划分，比如在固体中对某些求和化为积分的时候，其实是采用了数学上的无穷大才能这么做。但在讨论另一些问题，比如BZ中的状态点的时候，就又把N这个“大数”拿出来说话。并且经常根据需要在这两者之间“自由切换”，却没有进一步说明。
这么做是有道理的，既然你学过量子统计物理。就应该知道无论对哪种系综，其涨落是正比于1/N的，无论N取10^{23}或是真正的无穷大，对于体系的物理学量的计算并没有什么影响，或是说，影响可以忽略不计。因此，这里面是一个对N的理解问题。
其实，你上面所说的东西，都是最基本的概念问题，不是吗？:)
谢谢你讲得这么详细，既然你承认比值1/2是不会随着N趋于无穷大而改变，也就是说你是承认有比值1/2存在的，而这个比值1/2又是由非热力学极限下的周期性边界条件导出的，说明周期性边界条件影响了能带容纳电子的能力，虽然我们通过周期性边界条件摆脱了表面的影响或者说数学上的困难，但这个周期性边界条件还是影响了能带能带容纳电子的能力，这又是为什么呢？
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