晶体共有化电子不能同时有确定的位置和速度， 但具有平均位置和平均速度。将布洛赫波组成波包，波包的 群速度就是电子平均速度。晶体电子可以用类似经典粒子的 速度、准动量和能量加以描述

固体的电子输运过程

固体的电子输运过程 材料物理 孔 毅 October 29, 2009 材料物理: 输运 2 §6.1 晶体电子的准经典运动 一、波包、电子平均速度 在量子力学中，对于任意具有经典类比的系统，如果一 个状态的经典描述近似成立，则量子力学中就由一个波包代 表该状态。波包的坐标和动量有近似值，其精度由测不准关 系确定（海森伯关系）：  波包 h ≥ Δ Δ x p x （普郎克常数） x x k p h = 对于电子， October 29, 2009 材料物理: 输运 3 电子的空间分布在 附近的 内，动量分布在 附近 范围内。波包中心 称为电子的位置， 称为电子的 动量。 0 r r Δ 0 k h k Δ h 0 r 0 k h 所以，晶体共有化电子不能同时有确定的位置和速度， 但具有平均位置和平均速度。将布洛赫波组成波包，波包的 群速度就是电子平均速度。晶体电子可以用类似经典粒子的 速度、准动量和能量加以描述。 当 a k x π 2<< Δ （布里渊区的线度） h ≥ Δ Δ x p x a x >> Δ （电子共有化运动） October 29, 2009 材料物理: 输运 4  电子平均速度 根据量子力学理论，电子平均速度： dr p m k k k ϕ ϕ υ ˆ 1 ∫ ∗ = m p ) ) = υ 由单电子薛定谔方程： k k k E H ψ ψ ) ( ˆ = dr H k E k k ϕ ϕ ˆ ) ( ∫ ∗ = 得到： October 29, 2009 材料物理: 输运 5 dr k H dr H k k k E x k k k x k x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ ˆ ˆ ) ( dr k u e H dr H k u e dr H x x H i k k E x k r ik k k x k r ik k k x ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ⋅ ∗ ∗ ⋅ − ∗ ∫ ∫ ∫ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ( ψ ψ ψ ψ 由布洛赫定理： ( ) r u e k r ik k ⋅ = ψ 得到： z k y k x k r k z y x + + = ⋅ ( ) r u e k r ik k ∗ ⋅ − ∗ = ψ October 29, 2009 材料物理: 输运 6 利用算符 的厄米性质，得到上式中的第三项： ( ) ∫ ∫ ∫ ∗ ⋅ ∗ ⋅ − ⋅ ∗ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ dr k u e k E dr H k u e dr k u e H k x k r ik k x k r ik x k r ik k ψ ψ ψ ˆ ˆ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∗ ⋅ − ⋅ ⋅ ∗ ⋅ − ∗ ∫ ∫ ∫ dr u e k u e k E dr r u e k u e k E dr H x x H i k k E k r ik x k r ik k r ik x k r ik k k x ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ψ ψ H ˆ 得到： ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − dr u u k k E dr H x x H i dr u k u k E dr u k u k E dr H x x H i k k x k k k x k x x k k k ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ψ ψ ψ ψ October 29, 2009 材料物理: 输运 7 因为： 0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∗ ∗ dr k dr u u k k k k k ψ ψ x P m i H x x H ˆ ˆ ˆ h − = − 得到： ) ( ˆ ) ( k dr P m k k E x k x k υ ψ ψ h h = = ∂ ∂ ∫ ∗ x x k k E k ∂ ∂ = ) ( 1 ) ( h υ October 29, 2009 材料物理: 输运 8 同理得到： y y y y k k E k k k E ∂ ∂ = = ∂ ∂ ) ( 1 ), ( ) ( h h υ υ z z z z k k E k k k E ∂ ∂ = = ∂ ∂ ) ( 1 ), ( ) ( h h υ υ ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( k E k k k E j k k E i k k E k j i k k z y x z y x ∇ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = D h υ υ υ υ October 29, 2009 材料物理: 输运 9 二、晶体电子在外力作用下的加速度 在外力作用下（外加电场、磁场等），单位时间内，外 力对电子的作功： υ r r ⋅ f 外力对电子的作功使电子能量发生变化， 电子能量是波矢的函数，所以外力作功使电子波矢发生改变： ( ) υ r r ⋅ = f dt k dE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt k d k E dt dk dk k E dt dk dk k E dt dk dk k E dt k dE k z z y y x x r ⋅ ∇ = ∂ + ∂ + ∂ = October 29, 2009 材料物理: 输运 10 得到： ( ) υ r r r ⋅ = ⋅ ∇ f dt k d k E k ( ) dt p d dt k d dt k d f r r h r h r = = = k p r h r = ：晶体电子准动量 October 29, 2009 材料物理: 输运 11 三、电子有效质量 对一维晶格，在外电场作用下，电子波矢不断随时间变 化，则电子速度必然变化，电子加速度： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 dk k E d f dt dk dk k E d dk k dE dt d dt d a h h h = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = υ 令 ( ) 2 2 2 1 1 dk k E d m n h = ∗ a m f n ∗ = 电子有效质量 引进 后，晶体电子在外 力作用下的加速度类似牛顿 第二定律。 ∗ n m  电子有效质量的定义 October 29, 2009 材料物理: 输运 12 对三维晶格，电子速度： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = = k dt dk j dt dk i dt dk dt k d f z y x r r r h r h r ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = k k k E j k k E i k k E k E z y x k r r r h h r 1 1 υ 外力作用下，电子波矢变化： October 29, 2009 材料物理: 输运 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k dt dk k k E dt dk k k k E dt dk k k k E j dt dk k k k E dt dk k k E dt dk k k k E i dt dk k k k E dt dk k k k E dt dk k k E k k k E j k k E i k k E dt d a z z y z y z z x z z y y y x y x z z x y y x x x z y x r h r h r h r r r h r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 电子平均加速度： October 29, 2009 材料物理: 输运 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x z z y z x z y y y x z x y x x z y x f f f k k E k k k E k k k E k k k E k k E k k k E k k k E k k k E k k E a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 z z y z x z y y y x z x y x x n k k E k k k E k k k E k k k E k k E k k k E k k k E k k k E k k E m h 令电子有效质量： （二阶对称张量） October 29, 2009 材料物理: 输运 15 得到三维晶格电子在外力作用下满足牛顿第二定律： a m f n r r ∗ = October 29, 2009 材料物理: 输运 16  计算举例 对一维晶格，原子S态电子能量本征值的一级近似： ) cos( 2 ) ( ka k E i γ β ε − − = a N l k 1 1 2π = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ − = 2 , 2 1 1 1 N N l ) cos( 2 ) ( 2 2 ka a k k E γ = ∂ ∂ 能带底 （能带极小值）电子有效质量： 0 2 / ) ( / 2 2 0 2 2 2> = ∂ ∂ = = ∗ a k k E m k c γ h h 能带顶 （能带极大值）电子有效质量： 0 = k a k π = 0 2 / ) ( / 2 2 2 2 2< − = ∂ ∂ = = ∗ a k k E m a k c γ π h h October 29, 2009 材料物理: 输运 17  电子有效质量的物理意义 电子有效质量概括了晶体内部周期性势场对于晶体电子的 作用，使得在分析晶体电子在外力作用下的运动规律时，可 以不涉及到晶体具体势场，大大简化分析。 回旋共振实验可以确定电子有效质量。 October 29, 2009 材料物理: 输运 18  能带极值 附近，电子 ： ( ) k k E ~ 0 k k = ( ) ( ) ( ) ( ) L + − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = = = 2 0 2 2 0 0 ) ( 2 1 ) ( 0 0 k k k k E k k k k E k E k E k k k k ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 k k m k E k E − + ≈ ∗ h （能带极值附近，电子能谱与自由电子能谱类似（抛物线关系），电子是 具有有效质量的自由电子。） ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 k k m k E k E − = − ∗ h k 0 a π a π − ( ) k E 2 G 2 G − 0 = k a k / π ± = 极小值 极大值 October 29, 2009 材料物理: 输运 19 §4.6 固体导电性能的能带论解释 一、热平衡条件下，能带电子总电流等于零 在每个能带中，电子能谱在 空间具有对称性： ( ) ( ) k E k E − = k 同一能带上， 态、 态电子速度： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = k k k E j k k E i k k E k E k z y x k r r r h h r 1 1 υ k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k E j k k E i k k E k E k z y x k υ υ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂ − ∂ = − ∇ = − r r r h h r 1 1 k − （同一能带上， 态、 态电子速度大小相等、方向相反。） k k − October 29, 2009 材料物理: 输运 20 ( ) k E n k ε ( ) k υ k a π a π − 0 ( ) k E n a π a π − k k ( ) k υ 0 0 a π − a π a π − a π 0 October 29, 2009 材料物理: 输运 21 态、 态电子对电流密度的贡献： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = − − − = − − + − = k q k q k q k q J υ υ υ υ r r r r r k k − 在热平衡条件下，电子占据 态、 态的几率相等，所以 在没有外加电场情况下，无论是满带电子或不满带，能带中 所有电子的总电流等于零。 k k − October 29, 2009 材料物理: 输运 22 二、外加电场作用下，满带电子不导电，不满带电子导电 给晶体外加电场 ， ε ε r r q f − = ε r r q dt k d − = 晶体电子受到电场力： 晶体 V ε 能带中所有电子的波矢以同样速度从一个 状态变化 到另一个 状态 k k October 29, 2009 材料物理: 输运 23 由于状态点在 空间均匀分布，而且： k ( ) ( ) k E G k E n n r r r = + ( ) ( ) r r k n G k n r r r , , ψ ψ = + 1 1 2 2 3 3 a π 3 0 a π a π − a π 2 a π 2 − a π 3 − ( ) k E n ( ) k E 2 ( ) k E 1 ( ) k E 3 October 29, 2009 材料物理: 输运 24 对满带，从布里渊区 一侧边界流出的电子 从布里渊区另一侧边 界流进来，整个能带 中电子分布没有变 化，所以，没有电流 形成。 ( ) k υ k a π a π − 0 A X D C B Z Y ε r k ( ) k E n a π a π − 0 October 29, 2009 材料物理: 输运 25 对不满带，外电场 使电子状态在 空间平 移，形成不对称分布， 沿电场方向运动的电子 数目与反电场方向运动 的电子数目不等，形成 电流。所以，不满带电 子导电，将不满带称为 导带。 k ( ) k E n a π a π − k k ( ) k υ 0 a π − a π 0 ε r October 29, 2009 材料物理: 输运 26 三、空穴 ( ) k E n 1 = n 空状态A X D C B Z Y k a π a π − 2 = n  跃迁、空带、近满带（价带） 热激发，使满带顶电子跃迁到空带中 空带 导带 满带 近满带（价带） October 29, 2009 材料物理: 输运 27 C B A Z Y X D C B A Z X D Y A X D C B Z Y ε r ε r ε r ( ) k E n k a π ( ) k E n ( ) k E n k k a π − 0 电场作用下，价带顶附近空状态 的波矢变化、速度与电子相同： ε r r q dt k d − = 空状态移动可以用电子填充等效， 假设一个电子填充空状态，产生 的电流为： ( ) k qυ − ( ) ( ) k E k k ∇ = h 1 υ  空穴、空穴电荷、空穴运动速度 October 29, 2009 材料物理: 输运 28 电子填充该空状态后，能带被填满，总电流为零： ( ) [ ] 0 = − + k q I k υ ( ) k q I k υ = 上式表明，包含一个空状态的能带在外电场作用下，产生 的电流与一个带正电子电荷、以该空状态的电子运动速度运 动的“赝粒子”产生的电流相等。 通常将这种赝粒子称为空穴。 October 29, 2009 材料物理: 输运 29  空穴具有正有效质量 ∗ − = = n m q dt k d a ε υ ) ( 空状态得到的加速度： 电场作用下，价带顶附近空状态的波矢变化与电子相同： h q dt dk ε − =< 0 ∗ n m 在价带顶，电子有效质量： October 29, 2009 材料物理: 输运 30 ∗ ∗ − = n p m m 得到： ∗ = = p m q dt k d a ε υ ) ( 定义空穴有效质量： October 29, 2009 材料物理: 输运 31 四、导体、绝缘体、半导体的能带解释 导带 导带 禁带 禁带 禁带 价带 价带 满带 半满带 绝缘体 半导体 导体 价带 价带 绝缘体禁带宽度比半导体大得多；金属具有半满带；半导体禁带宽度较 小，一定温度下，价带电子容易激发成导带电子。  导体、绝缘体、半导体能带图 October 29, 2009 材料物理: 输运 32 导体 绝缘体 半导体 导体 n E n E n E n E October 29, 2009 材料物理: 能带结构 33 Thanks！