riemann 陳省身 黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。

從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學 （第 5 頁） 陳省身 整理：林麗明

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黎曼及克萊恩的幾何學 在幾何學的發展之中，有許許多多幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起來，那就是德國的數學家克萊恩（F. Klein, 1849～1925年）。他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果──Erlangen program，就是這個新幾何學，他把幾何學建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。因此有了一個群之後，便有一種幾何，它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。 仿克萊恩的觀點，只要在空間中有一個所謂二次的超曲面，就有一個非歐幾何，它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。如：在平面上有一個圓周，非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質，也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由克萊恩的觀點，非歐幾何學就變得極易處理。 在這階段前，還有黎曼 (Riemann) 幾何的發展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推廣。在笛卡兒坐標系中如果我們取 m 維的空間，一個點就可以用 m 個坐標 來表示，而此點到原點的距離如果是 d，那麼就有 （見圖五）。即這個點到原點距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，於是硬把笛卡兒幾何局部化。因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長 s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式，即 ；用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了 ds，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣。有了測地線，便可以有面積及其他種種觀念。 圖五 黎曼幾何最初在二維的情形是高斯（Gauss, 1777～1854年）發展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維（即曲面）的情形及這樣的 ds2 之下，所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用，因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，於是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文，微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之後，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是從 ds2 得到一切的幾何性質。 1854年，黎曼（1826～1866年）在為取得大學教書資格的公開演講上，發表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何並不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的 Erlangen program 幾何，或者是投影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。 真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式裡，大致說起來，物理的力是一個曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。 從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學 （第 6 頁） 陳省身 整理：林麗明   首頁 | 搜尋 ．原載於科學月刊第十八卷第六期 ‧對外搜尋關鍵字   聯絡、矢量叢、規範場論 在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（廣義相對論裡的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標，但是沒有關係，愛因斯坦花了七年的時間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能從狹義相對論進展到廣義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就來了，因為幾何的性質是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。 用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起來的空間，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。從黎曼幾何推廣到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。 從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學 （第 7 頁） 陳省身 整理：林麗明   首頁 | 搜尋 ．原載於科學月刊第十八卷第六期 ‧對外搜尋關鍵字   虧格、結、圓周叢 黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區域裡頭，所以局部化之後又要整體化，又要把它擴充到全空間。而在這個整體化的擴充當中，最要緊的就是拓樸學。只要我們不把一個圖形扯破，那麼就有些幾何性質雖經過放大、縮小等很大的變換，也不會改變，例如虧格 (genus) 的性質。比方說我們在一個二次的曲面上挖兩個洞（見圖六），那麼它的虧格就等於 2。虧格也可以等於 3、4……，或者像美國的甜甜圈只有一個洞，虧格就是 1。即虧格等於洞的個數，這個數目是把曲面放大縮小之後仍舊不變的，這是拓樸不變式的一個例子。 圖六 圖七 另外一個例子是有關於結 (knot)。如圖七，這是一個三維空間中封閉的曲線，沒有辦法把它解開成一圓周，這就是所謂的結。不要把這想成幾何學家沒有事在玩的東西，在應用上，這有非常重要的意義。剛才說過，物理上的空間是四維的，如果再加上電磁場，就成了五維的空間。馬克士威方程式中，底空間是一個四維的流形，在那上頭的每一點都突出去一條一維的空間（矢量叢）。這一維的空間，在物理上必須是封閉的，所以是一個圓周，數學家稱此為圓周叢 (circle bundles) 也就是說，底空間是四維，每一點又有一個圓周，所以整個空間就是五維的。但是這並不是一個任意的五維空間，它必須滿足這樣特別的一個幾何結構。利用這個觀念，馬克士威方程就可寫成下面這樣簡單的形式： 其中 F 是這個圓周叢的一個聯絡的曲率，這曲率是一個二次微分式，d 是代表此微分式的外微分，dF=0 就是說這個二次微分式是封閉的。 另外一個方程式是 δ， ，即所謂餘微分(codifferential)。在一般的電磁學書上，是用一組方程來表現馬克士威方程。現在由於數學或幾何的發展，不但把一組方程式簡化，而且可由這化簡的方程式去推得數學、幾何、物理上的結論，並不一定要回來把方程式全展開才可獲得相同的結論。所以這觀念上的發展，的確使得科學進步。如果大家有興趣，可試著去證明這組方程和平常我們所見的馬克士威方程是一樣的。 規範場論的基本方程式 在物理上有一個 Bohn-Aharonov 實驗，就是說：普通把馬克士威方程寫成那樣的形式是不對的。因為它沒有把所有的電磁現象都表示出來，應該利用圓周叢聯絡 A，dA=F 才是描寫所有電磁現象的方程式，dF=0 只是 dA=F 的一種結果。Bohn-Aharonov 實驗的裝置（見圖八），有一個內有磁場的圓筒，外面沒有磁場，而在圓筒的外圍接有線圈，那麼圓筒內的磁場，便和通電之路徑有關。楊振寧先生有一篇文章把這情形說得很清楚。 總之，就是應該把馬克士威方程寫成： 的形式（也就是楊-Mills 方程式），用以處理更複雜的實驗，也才能真正代表所有電磁現象。除此之外，楊-Mills 方程式是一切場論的基礎，是規範場論的基本方程式，它的重要性就如同馬克士威方程在電磁場或愛因斯坦方程在引力場的重要性。不過在這個情形下，矢量叢就變成二維而不是一維了，那麼作用在這個二維矢量叢上的群就不再是可交換，因此數學上的處理就變得很複雜了。 從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學 （第 9 頁） 陳省身 整理：林麗明   首頁 | 搜尋 ．原載於科學月刊第十八卷第六期 ‧對外搜尋關鍵字   DNA 的基本公式 最後談談 James White 的公式，這在分子生物學，DNA 方面是一個基本公式。DNA 在幾何上的結構是雙螺線，是兩條封閉的曲線互相繞著，所以很自然的，研究 DNA 幾何結構的基礎是很簡單的微分幾何的曲線理論，和剛剛談的結有關，即打了一個結，結的數學性質就對應到 DNA 的生物反應。目前王倬教授正在南港從事這方面的實驗。 DNA 分子雖是一個螺線，卻不像我們所想像的，它的螺線是以最經濟的方式互相纏繞，而產生了許多複雜而有意思的幾何問題。之中有一個就是 White 的公式：Lk=Tk+W。兩個封閉曲線套起來的話有一個套數 Lk，它會等於 twist 和 writhing-number 之和。套的數目可以很大很大，分子生物的現象，不僅是可以使它套起來，也可以使它解開，恢復原來的形狀。總而言之，我不懂這些生物學，只是道聽塗說。 大家覺得微分幾何應該是很有用的，因為在物理學發展之中，電磁學對人類日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結構也是生物科學對人類生活最有影響的一門學問。很巧，我剛好就是研究這兩門學問的數學基礎：微分幾何。這讓我聯想到一個有名的理論物理學家，E. Wigner 所寫的一篇文章：〈The unreasonable effectiveness of mathematics in science〉。為什麼數學會有用？光玩玩虧格、結，竟也能找到有用的數學性質，提供了很好的應用，他覺得很不可思議。在這篇文章的開頭，他舉了一個更簡單的例子：有兩個中學同學，畢業後各奔前程，若干年後，兩個人再度碰面，甲便問乙近幾年在研究什麼？乙說他在研究人口問題，甲便欣賞了一下乙的論文，發現論文裏頭總有個 π。我們都知道 π 是圓周率，怎麼可以和人口問題發生關係？這也是一個最粗淺的例子，告訴我們：基本的發現，有時候也不一定要求立刻的應用，可能結果有更大的應用。