来自: 6米阳光(love the way you lie，，) 2012-09-30 15:38:39
系统可积
可积一般涉及到微分方程的求解。而可解虽然包括可积，但未必需要有微分方程。 可积系统是指对应于一个自由度为N的动力学系统，存在有N个守恒量，这N个守恒量的对易关系给出N个微分方程，这样N个自由度都可以严格被限制在解上。因此，系统称为可积。实际上，这个问题可以扩展到无穷自由度动力学系统，相应的可积性称为Liouville可积。比如Hitchin系统就是黎曼面上的二维无穷自由度可积系统，它对应的谱曲线为Seiberg-Witten曲线，相应的微分方程是Seiberg-Witten方程（有的数学文献称为Picard-Fuchs方程）。这样的系统的求解问题实际上就是著名的模几何问题。这是代数几何的中心问题之一。一般在可积系统中会出现代数几何，代数拓扑之类的东西，实际上都是来源于无穷自由度动力学系统的研究。涉及的代数几何有：Monodromy，Homology，Holonomy, Cohomology等等。
可解实际上并不需要一定有微分方程，它可以是代数线性方程，比如矩阵方程之类的。但是由于算子代数的出现，可解和可积实际上可以等价。 因为一个微分算子既可以得到一个微分方程，而如果选择好了基矢，它也可以变成一个矩阵方程。 实际上，物理上早就有这个例子了。 薛定谔方程是微分方程，而海森堡方程是矩阵方程。两种表象描述等价。
可积系统（模型） 可以分为 经典可积系统 和 量子可积系统 以及 可解统计模型
有限维的经典可积系统 可积性有刘维尔可积性，由于辛对称性 具有2n个自由度的动力系统，只要给出n个独立对合的守恒流，系统就可完全约化，一般的由m个独立的辛对称性，辛约化后系统的自由度降低2m，这是在辛几何下可积性，
除此之外，更有意义的可积性的框架是 拉克斯对和零曲率表示，他们的好处是直接给出守恒量 和 可以用反散射/非线性傅里叶变换求解，
刘维尔可积系统都有拉克斯表示和零曲率表示（不唯一），反之未必。
拉克斯算子相当 威尔逊算子 也相当于 单值群算子 量子化之后就是 量子场论中的 散射矩阵或者 统计物理中的转移矩阵，他们分别满足经典和量子的扬巴克斯方程，
拉克斯表示是一个等谱形变的系统，可以定义谱曲线，拉克斯算子的本征值 或 各阶迹是系统的守恒量， 拉克斯对的几何描述就是谱曲线上的向量丛， 系统守恒流的生成函数 叫做 tau 函数，满足一定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，
在可积的量子多体问题和量子场论，可解统计场论中，配分函数就是 算子乘积 的生成函数，类似于tau 函数，也满足由对称性决定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，成为 ward 恒定式，可以认为是经典作用量的主方程（BV 框架）的量子化。对配分函数按照不同的基底展开，可以得到费曼图或者杨图的组合关系。 在在同调或拓扑场论中，配分函数是量子上同调环的生成函数。 一个量子场论就是一个由单粒子态空间生成的张量范畴，系统的相互作用反应在张量积的非交换性，但是通常满足扬巴斯特方程的弱交换，这是系统可积性的一个体现，量子场论的内部对称性由量子群来刻画。
[PDF]Page 1 Page 2 970 物理学报29 卷 _言砸一M9 一z厉9]). (1.7 ...
可积一般涉及到微分方程的求解。而可解虽然包括可积，但未必需要有微分方程。 可积系统是指对应于一个自由度为N的动力学系统，存在有N个守恒量，这N个守恒量的对易关系给出N个微分方程，这样N个自由度都可以严格被限制在解上。因此，系统称为可积。实际上，这个问题可以扩展到无穷自由度动力学系统，相应的可积性称为Liouville可积。比如Hitchin系统就是黎曼面上的二维无穷自由度可积系统，它对应的谱曲线为Seiberg-Witten曲线，相应的微分方程是Seiberg-Witten方程（有的数学文献称为Picard-Fuchs方程）。这样的系统的求解问题实际上就是著名的模几何问题。这是代数几何的中心问题之一。一般在可积系统中会出现代数几何，代数拓扑之类的东西，实际上都是来源于无穷自由度动力学系统的研究。涉及的代数几何有：Monodromy，Homology，Holonomy, Cohomology等等。
可解实际上并不需要一定有微分方程，它可以是代数线性方程，比如矩阵方程之类的。但是由于算子代数的出现，可解和可积实际上可以等价。 因为一个微分算子既可以得到一个微分方程，而如果选择好了基矢，它也可以变成一个矩阵方程。 实际上，物理上早就有这个例子了。 薛定谔方程是微分方程，而海森堡方程是矩阵方程。两种表象描述等价。
可积系统（模型） 可以分为 经典可积系统 和 量子可积系统 以及 可解统计模型
有限维的经典可积系统 可积性有刘维尔可积性，由于辛对称性 具有2n个自由度的动力系统，只要给出n个独立对合的守恒流，系统就可完全约化，一般的由m个独立的辛对称性，辛约化后系统的自由度降低2m，这是在辛几何下可积性，
除此之外，更有意义的可积性的框架是 拉克斯对和零曲率表示，他们的好处是直接给出守恒量 和 可以用反散射/非线性傅里叶变换求解，
刘维尔可积系统都有拉克斯表示和零曲率表示（不唯一），反之未必。
拉克斯算子相当 威尔逊算子 也相当于 单值群算子 量子化之后就是 量子场论中的 散射矩阵或者 统计物理中的转移矩阵，他们分别满足经典和量子的扬巴克斯方程，
拉克斯表示是一个等谱形变的系统，可以定义谱曲线，拉克斯算子的本征值 或 各阶迹是系统的守恒量， 拉克斯对的几何描述就是谱曲线上的向量丛， 系统守恒流的生成函数 叫做 tau 函数，满足一定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，
在可积的量子多体问题和量子场论，可解统计场论中，配分函数就是 算子乘积 的生成函数，类似于tau 函数，也满足由对称性决定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，成为 ward 恒定式，可以认为是经典作用量的主方程（BV 框架）的量子化。对配分函数按照不同的基底展开，可以得到费曼图或者杨图的组合关系。 在在同调或拓扑场论中，配分函数是量子上同调环的生成函数。 一个量子场论就是一个由单粒子态空间生成的张量范畴，系统的相互作用反应在张量积的非交换性，但是通常满足扬巴斯特方程的弱交换，这是系统可积性的一个体现，量子场论的内部对称性由量子群来刻画。
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量子場論- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/量子场论
一致而且方便地處理多粒子系統的統計，是促使量子場論發展的第三個動機。 ... 量子場論中計算格林方程式之關聯函數時將遭遇到發散困難，這種困難很自然地出現在 ...非平衡统计场论与临界动力学(Ⅰ) 广义朗之万方程_CNKI学问
xuewen.cnki.net/CJFD-WLXB198008000.html
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文献[3—5】中指出,它足研究非平衡态统计场论的有效方法.文献[6】中用它 ... 本文中利用闭路生成泛函的连续积分表示推导临界动力学的拉氏场论表述. 在随机模型中 ...量子非阿贝尔规范场论_百度百科
baike.baidu.com/view/8581216.htm
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《量子非阿贝尔规范场论》是作者在其为北京大学物理系理论物理专业研究生讲授量子非 ... 场、非阿贝尔规范场的量子化、非阿贝尔规范场的重正化理论、重正化群方程和顶角函数的大动量渐近性为等。 ... 1.3 格林函数和顶角函数的生成泛函，重正化规格条件 ... 量子非阿贝尔规范场论图册. 词条统计. 浏览次数：次. 编辑次数：4次历史版本.粒子物理、凝態物理與量子場論 - 批踢踢實業坊
https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1425445705.A.027.html
2015年3月4日 - 10 篇文章 - 5 位作者
我已有量力基礎: : thx : 量子場論的概念其實就是在描述"多粒子"系統. ... 兩個: 粒子湮滅生成另一個粒子. ... 當我們確立了一個對稱性,我們就可以寫下一個相應的: 場方程,不同的場方程,會用來描述不同的粒子. ... 除此之外,場論的內容的取材又是另一個問題了,是要偏向凝體統計方面的: 應用呢,還是偏向粒子高能的應用, ...
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