[PDF]introduction to the path integral - Clarkson University
by LS Schulman - Cited by 6 - Related articles
An overview of the major trends in the use of the path integral. ..... The important paths that contribute to Brownian motion—as in the Wiener integral, Eq ..... In any case, I would not be the least dissatisfied if by using the path integral formulation.随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度;在场论中,经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质,即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性
引用:
原帖由 chernzy 于 2011-3-31 21:44 发表非常不同。随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,
是的,就是轨道空间给测度做积分,这应该就是随机积分,也不知道两者有什么不同,所以不知道为什么没有严格的数学基础
如果像随机积分一样把 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定,也许可以构成某种数学上可定义的测度(至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它),但现在还不确切地知道其可行性。
然而,现代物理并不依赖于这种积分的存在性。
其中积分域 包含两个能标之间的所有(有限个)自由度。当然,
[ 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 ]
Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数
1983年左右,Donaldson利用理论物理上的工具( Yang-Mills方程的瞬子解),得到一大类4维拓扑流形,它们不允许任何的微分结构,例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知,存在4维拓扑流形M,其上有无穷多种微分结构,例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上,维数为4时,会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题,如现在(2011年1月)还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多(甚至是唯一的)的微分结构。"
关于极小超曲面的第一特征值问题,是丘成桐先生问题集的第100个problem,Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数。这个问题大家一直难以下手,唐老师和师姐解决了这个问题的等参情形,所以论文很快便被Journal of Differential Geometry录用了。等参族里确有宝藏啊
分享 黎曼认为,几何学的对象缺乏先验的定义,欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系,而我们却不知道这些关系怎么来的, 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系
"分子的手性,就要从单个分子的拓扑结构来分析。如果分子能够与自身的镜像重
合,那么它就是非手性分子。所有手性体的结构相同,但是他们的构造是不同的,也就是说
它们原子的排列不同,称为同分异构体"
手性是许多天然体系的内在本质,主要表现为分子非对称性,螺旋生物分子,贝壳
牛和植物生长的单手螺旋,所有这些现象都是由于违背了钴60 β 衰变的奇偶性弱相互作用
产生的[33]50。手性定义为非镜面对称,也就是说图像在镜面内确实存在,但是它不能与本
体重合,那么我们就说它具有手性,称为手性体[34]51。从历史的观点看,这个定义并不是
针对于分子结构,而主要被广泛应用于几何体,立体化学对手性体的理解扮演了重要的角色
[35]52。如果一个物体没有对称镜面和镜面旋转轴,那么它就是一个手性体。对称物体具有
平移对称和旋转对称。手性体的对称应用点群来表示, 1 C(没有镜面对称和旋转轴), n C(一
重或n 对称旋转轴), n D (一重n 对称旋转轴和二重n 对称旋转轴)。
考虑分子的手性,就要从单个分子的拓扑结构来分析。如果分子能够与自身的镜像重
合,那么它就是非手性分子。所有手性体的结构相同,但是他们的构造是不同的,也就是说
它们原子的排列不同,称为同分异构体。两个同分异构体行为就类似于像与镜像两个对映体。
对映体表现出相同的物理性质例如熔点和手性体相关的性质例如旋光性,只是它们的正负号
相反。而其他一些分子为非同分异构体,如图 1.16 所示,它们表现出不同的物理性质。注
意到非同分异构体的形成至少要包含两个手性基元。它们没必要具有手性中心,但是必须要
有手性轴和手性面[36]53。图1.17 给出了代表性的例子[37]54。
从Huygens原理到等参超曲面作者: 李启超
Dedicate to my Honey.
一个老问题:不正对着光源时为何也能看到光线?标准答案是源于光线的反射和在空气中的散射作用。其实,按照我大学室友的说法,还要加上电磁波的Huygens(惠更斯)衍射效应。尽管后者在高阶近似意义下可忽略。
惠更斯是荷兰历史上最著名的物理学家,是介于伽利略与牛顿之间的一位重量级物理学先驱。他提出了重要的惠更斯原理,与牛顿叫板创立了波动光学理论。惠更斯是将几何学用于力学研究的先驱之一,他对几何学的另一个间接贡献是,后人对惠更斯原理的研究直接导至了对称空间中等参超曲面的概念。如今等参超曲面(Isoparametric hypersurfaces)是黎曼几何里一个独立的研究方向,至今仍有许多open problems.
其实,对于学数学的人来说,惠更斯原理(Huygens principle)不应是陌生的词汇,它在双曲型偏微分方程的某些估计中提供指导思想,几乎出没于各个版本的本科生偏微分方程教材。
一个出人意料的结论是:偶数维空间里波动方程的解具有后效性,就像水面波,一石激起千层浪,久久不能平息。奇数维空间里的波动方程解无后效性,所以一个距离乐器d距离的听众,在t时刻听到的仅仅是t-d/v时刻所奏的音符,其中v是指音速。这里奇数维很重要,偶数维的话,听众听到的声音可是之前所有时刻声音的叠加…乱糟糟一团…难怪我们要生活在三维空间里了。
惠更斯原理(Huygens principle)
在波的传播过程中,总可以找到同相位的点,这些点的轨迹是一个等相面,叫做波面(也叫做波前)。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现象,建立了惠更斯原理.惠更斯原理可表述如下:任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波;在以后的任何时刻,所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
我们回忆波的传递是波动形式的传播,而不是质点的具体运动,一个例子就是观众席上的人浪,从观众席的一边“喔…喔…”地传到另一边,波动形式是观众们的顺次起伏,传播的是波动形式,不过观众作为振动质点其位置始终没有变。人浪波的波前,就是集体弯腰撅腚的等相面。波前的另一个例子就是海边的波浪,波浪都是平行海岸线涌来的,路过的童鞋可记得是为什么?
对于紧跟其后的数学家Levi-Civita,Segre,E.Cartan等人来说这个问题还远没有结束,三维欧氏空间的情形解决了,但是高维欧式空间里的波前形状是怎样的呢?曲率不为零的球面空间、双曲空间里又是怎样的呢?这些形状如今称为等参超曲面。
后面的发展证明,这些研究都不是为了数学而数学,很多成果都用到了物理中。数学在物理中总是那么不可理喻额的有效。
考虑高维一般空间里波前的形状,首先就是建立波前所满足的方程:
还是退回到三维最简单情形:波动方程(这个方程相当于波速为单位一)
其中波函数描述各个振动质点的相位;我们要求的波前(等相位面)是波函数取相同值点的集合,描波前的方程里不应含有时间t,波前方程只与空间坐标有关。注意到垂直于某个等相面,波前沿梯度方向的速度在这个等相面上处处相同(均匀介质嘛)
所以
这里的ds是波前沿法方向(其实就是梯度方向)的微小位移。这样,根据波动方程
我们注意到一点,波函数的梯度模长平方和Laplacian,这两个函数限制在等相面上是常数(等参概念源于此,代表等相面上的点都有相同的参数);这就是波前应满足的方程,所以我们可以如下定义我们的等参超曲面:
把欧式空间换为球面空间或双曲空间,梯度和拉普拉斯算子换为对应空间里的,我们就得到空间形式里等参超曲面的限制方程。
直接代数或分析的解这些方程几乎不可能,人们采取迂回战术,从几何的角度,借助微分几何和代数拓扑的工具找到了很多性质和限制条件。最有意思的一个是,空间形式中,每一族等参超曲面都是互相平行的,即任意两者间的测地线距离相等;每个等参超曲面都是常主曲率超曲面。考虑三维空间中的情形,常主曲率曲面只有平面、柱面或标准球面,这正好是我们前面提到过的所有可能情况。
一个早期的结论是,欧氏空间和双曲空间里的等参超曲面,或者是全脐点超曲面,或者是两个不同类型的全脐点曲面的乘积;而球面中的等参超曲面要复杂的多,是我们的“直觉”所猜不到的。对于球面情形至今没有获得全部的分类。 一个惊人的结论是,这些超曲面全是常主曲率的,不同主曲率的个数只能是1,2,3,4或6.德国人Munzner借助上同调算出来的。别问我,其实我也不懂。
我们师门的一个结果是,球面空间中每一族等参超曲面中(包括退化的焦流形),至少有一个极小子流形,一个Einstein子流形,一个Willmore子流形。借助等参族的性质,我的师兄谢余铨和葛建全解决了一个关于Ginzburgh-Laudau系统(描述第二型超导的方程)的问题,文章很意外地发在分析类的杂志Jounal of Functional Analysis上,看来二位为分析背叛几何了。
最近的一个结论是,我的导师唐梓洲教授和师姐彦文娇证明了等参极小超曲面(甚至焦流形)的第一特征值都等于超曲面的维数。关于极小超曲面的第一特征值问题,是丘成桐先生问题集的第100个problem,Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数。这个问题大家一直难以下手,唐老师和师姐解决了这个问题的等参情形,所以论文很快便被Journal of Differential Geometry录用了。等参族里确有宝藏啊
一个老问题:不正对着光源时为何也能看到光线?标准答案是源于光线的反射和在空气中的散射作用。其实,按照我大学室友的说法,还要加上电磁波的Huygens(惠更斯)衍射效应。尽管后者在高阶近似意义下可忽略。
惠更斯是荷兰历史上最著名的物理学家,是介于伽利略与牛顿之间的一位重量级物理学先驱。他提出了重要的惠更斯原理,与牛顿叫板创立了波动光学理论。惠更斯是将几何学用于力学研究的先驱之一,他对几何学的另一个间接贡献是,后人对惠更斯原理的研究直接导至了对称空间中等参超曲面的概念。如今等参超曲面(Isoparametric hypersurfaces)是黎曼几何里一个独立的研究方向,至今仍有许多open problems.
其实,对于学数学的人来说,惠更斯原理(Huygens principle)不应是陌生的词汇,它在双曲型偏微分方程的某些估计中提供指导思想,几乎出没于各个版本的本科生偏微分方程教材。
一个出人意料的结论是:偶数维空间里波动方程的解具有后效性,就像水面波,一石激起千层浪,久久不能平息。奇数维空间里的波动方程解无后效性,所以一个距离乐器d距离的听众,在t时刻听到的仅仅是t-d/v时刻所奏的音符,其中v是指音速。这里奇数维很重要,偶数维的话,听众听到的声音可是之前所有时刻声音的叠加…乱糟糟一团…难怪我们要生活在三维空间里了。
惠更斯原理(Huygens principle)
在波的传播过程中,总可以找到同相位的点,这些点的轨迹是一个等相面,叫做波面(也叫做波前)。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现象,建立了惠更斯原理.惠更斯原理可表述如下:任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波;在以后的任何时刻,所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
我们回忆波的传递是波动形式的传播,而不是质点的具体运动,一个例子就是观众席上的人浪,从观众席的一边“喔…喔…”地传到另一边,波动形式是观众们的顺次起伏,传播的是波动形式,不过观众作为振动质点其位置始终没有变。人浪波的波前,就是集体弯腰撅腚的等相面。波前的另一个例子就是海边的波浪,波浪都是平行海岸线涌来的,路过的童鞋可记得是为什么?
借助Huygens原理,人们可以轻易解释光的反射、折射甚至晶体的双折射效应,再加上后来菲涅尔对惠更斯原理的几点补充,惠更斯---菲涅尔原理可以定量的解释波的衍射现象,不过这与下边的等参超曲面问题无关。
等参超曲面(Isoparametric hypersurfaces)
有了三维空间中的波动方程,人们在几何光学里很自然地就会遇到这样的问题:
一列波在均匀介质中传播(从而处处波速相等)时,各个时刻波前(最前边的等相面)的形状是怎样的?
最简单的情况,就是一个点波源诱发的球面波,波前就是同心球面族;然后是一个线波源,诱发的同轴柱面族;或者是一个面波源诱导的平行平面族;没错,其实就这么几种情形,这些结果对于19世纪的物理学家足够了,事实上,Laura,Sommigliana他们就是这么做的。对于紧跟其后的数学家Levi-Civita,Segre,E.Cartan等人来说这个问题还远没有结束,三维欧氏空间的情形解决了,但是高维欧式空间里的波前形状是怎样的呢?曲率不为零的球面空间、双曲空间里又是怎样的呢?这些形状如今称为等参超曲面。
后面的发展证明,这些研究都不是为了数学而数学,很多成果都用到了物理中。数学在物理中总是那么不可理喻额的有效。
考虑高维一般空间里波前的形状,首先就是建立波前所满足的方程:
还是退回到三维最简单情形:波动方程(这个方程相当于波速为单位一)
其中波函数描述各个振动质点的相位;我们要求的波前(等相位面)是波函数取相同值点的集合,描波前的方程里不应含有时间t,波前方程只与空间坐标有关。注意到垂直于某个等相面,波前沿梯度方向的速度在这个等相面上处处相同(均匀介质嘛)
所以
这里的ds是波前沿法方向(其实就是梯度方向)的微小位移。这样,根据波动方程
我们注意到一点,波函数的梯度模长平方和Laplacian,这两个函数限制在等相面上是常数(等参概念源于此,代表等相面上的点都有相同的参数);这就是波前应满足的方程,所以我们可以如下定义我们的等参超曲面:
把欧式空间换为球面空间或双曲空间,梯度和拉普拉斯算子换为对应空间里的,我们就得到空间形式里等参超曲面的限制方程。
直接代数或分析的解这些方程几乎不可能,人们采取迂回战术,从几何的角度,借助微分几何和代数拓扑的工具找到了很多性质和限制条件。最有意思的一个是,空间形式中,每一族等参超曲面都是互相平行的,即任意两者间的测地线距离相等;每个等参超曲面都是常主曲率超曲面。考虑三维空间中的情形,常主曲率曲面只有平面、柱面或标准球面,这正好是我们前面提到过的所有可能情况。
一个早期的结论是,欧氏空间和双曲空间里的等参超曲面,或者是全脐点超曲面,或者是两个不同类型的全脐点曲面的乘积;而球面中的等参超曲面要复杂的多,是我们的“直觉”所猜不到的。对于球面情形至今没有获得全部的分类。 一个惊人的结论是,这些超曲面全是常主曲率的,不同主曲率的个数只能是1,2,3,4或6.德国人Munzner借助上同调算出来的。别问我,其实我也不懂。
我们师门的一个结果是,球面空间中每一族等参超曲面中(包括退化的焦流形),至少有一个极小子流形,一个Einstein子流形,一个Willmore子流形。借助等参族的性质,我的师兄谢余铨和葛建全解决了一个关于Ginzburgh-Laudau系统(描述第二型超导的方程)的问题,文章很意外地发在分析类的杂志Jounal of Functional Analysis上,看来二位为分析背叛几何了。
最近的一个结论是,我的导师唐梓洲教授和师姐彦文娇证明了等参极小超曲面(甚至焦流形)的第一特征值都等于超曲面的维数。关于极小超曲面的第一特征值问题,是丘成桐先生问题集的第100个problem,Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数。这个问题大家一直难以下手,唐老师和师姐解决了这个问题的等参情形,所以论文很快便被Journal of Differential Geometry录用了。等参族里确有宝藏啊
[PDF]从微积分的发展看微积分的教学
牛頓把微分學的思想用到積分問題上,看到了積分運算是微分運算在某種意義 ,求一个函数的原函数远比求一个已知函数的导数困难得多,其原因在于原函数的定义不像导数那样具有构造性,它只告诉其导数正好等于已知函数,而没有指出由求原函数的具体操作办法。因此,只有选择按照微分法的已知结果去逆推
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61.136.197.232/.../从微积分的发展看微积分的教学(续一)... - 轉為繁體網頁
是包括了我们现在所说的反常积分),而黎曼考虑的对象则是使得积分和极限存在(或如达布 ... 函数只是几乎处处连续,而把所有不连续点都归入分点之内是办不到的
牛頓把微分學的思想用到積分問題上,看到了積分運算是微分運算在某種意義 ,求一个函数的原函数远比求一个已知函数的导数困难得多,其原因在于原函数的定义不像导数那样具有构造性,它只告诉其导数正好等于已知函数,而没有指出由求原函数的具体操作办法。因此,只有选择按照微分法的已知结果去逆推
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微分 1-形式:流形上 局部上还有一个有趣的东西就是函数在 ...
微分:设函数y=f(x)的自变量有一改变量△x,则函数的对应改变量△y的近似值f~(x)*△x叫做函数y的微分。 (“~”表示导数)
记为 dy=f~(x)△x
可见,微分的概念是在导数概念的基础上得到的。
自变量的微分的等于自变量的改变量,则
将△x用dx代之,则微分写为dy=f~(x)dx
变形为: dy/dx=f~(x)
故导数又叫微商。
积分:它是微分学的逆问题。函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的或f(x)dx的不定积分。记作 ∫f(x)dx.
若F(x)是f(x)的原函数,则有
∫f(x)dx=F(x)+C C为任意常数,称为不定积分常数。
对于定积分,它的概念来源不同于不定积分。定积分檎是从极限方面来。是从以“不变”代“变”,以“直”代“曲”求某个变化过程中无限多个微小量的和,最后取极限得到的。所以不定积分与定积分不是仅差一个常数的问题,即使是在计算上仅差一常数,而且运算法则也基本相同。它们之间建立关系是通过“牛顿-莱布尼兹公式”。公式是
非曲直 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 积分下限a,上限b
下面只针对一元函数来说。
一元函数微积分实际上只是讨论、研究了两个极限,一个就是导数定义里的那个极限,另一个就是定积分定义里的那个极限。由于在解决实际问题时,经常会用到这两个极限,数学专门研究了这两个极限,真是对它们的研究导致产生了微积分学。
现在国内外绝大多数微积分教材都是以导数为微分学的最基本概念,导数就是上面说的那个极限,导数概念搞不清楚的人是没有资格说学过微积分的。
微分是从另外一个角度出发定义的,它是函数增量的线性主部。也可以把微分作为微分学的最基本概念,即导数与微分是两个并列的基本概念,没有办法说哪一个更基本。
然而函数微分与自变量微分的商就是导数,导数也叫微商,这样导数与微分之间就有了联系,已知导数求微分和已知微分求导数就变得非常容易,这两个概念一个学透了,另一个就不必仔仔细细做详细研究了。
积分就是上面说的另一个极限。牛顿-莱布尼兹公式把求这个极限与求原函数联系到了一起。为了计算定积分,就需要会求原函数,于是有了“不定积分”这样一章。必须指出,定积分是积分学的基本概念,与不定积分不是并列的,从某种意义上说,学习不定积分是为计算定积分服务的。
从拓扑学到几何学的长征
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拓扑学简介(摘自科学松鼠会 原作者季候风)
http://songshuhui.net/archives/1633
(一)
拓扑学是现代数学的一个重要分支,同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文 topologie,最初由高斯的学生李斯亭引入 (1848年),用来表示一个新的研究方向,“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵,他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯,学成后为中国带来了这个新学科(1931年)。
拓扑学经常被描述成 “橡皮泥的几何”,就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如,所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的,因为多边形可以通过连续变形变成圆周,右边这个图上,一个茶杯可以连续地变为一个实心环,在拓扑学家眼里,它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样,因为把圆周变成线段总会断裂(不连续)。为什么要研究这种性质呢?这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多,用不着 “言必称希腊”,只要从莱布尼兹开始就行。
莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一,对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统,比如微商符号 dy/dx,不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候,莱布尼兹突发奇想,尝试用抽象符号代表物体的几何性质,用以将几何性质代数化,通过符号的代数运算,由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法,认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的,从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了,在他自己的脑子里也还只是混沌一片,而当年听到他这个想法的很多人,比如惠更斯,干脆就不予理睬。
莱布尼兹在三百多年前想要建立的,是现在称为“代数拓扑”的学问,中间经过欧拉,柯西,高斯,李斯亭,莫比乌斯,克莱因,特别是黎曼和贝迪的思考和尝试,终于在19,20世纪之交,由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中,高斯名气最大,被称为数学王子;大家可能不太熟悉黎曼,其实他同高斯在数学史上的地位是相当的,他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响;莫比乌斯,他在数学上有很多贡献,不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面:莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带,它的重要特性是,虽然在每个局部都可以说正面反面,但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做 “单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭,哈哈。
(二)
这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题, 扭结分类问题。所谓扭结,顾名思义就是一根绳子首尾相接,它可能打了结。更一般的,可以是几根绳子,除了自身打结以外,还互相打结。对具体的一个扭结,也许可以通过做实验的办法判断它是否打结,但是数学家希望找一个普适的,定量的办法。比如说,任意画一个扭结(它实际上是一个空间扭结的平面投影),比如这个有点复杂的,怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结?
这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后,才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年,才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。
扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如,以下两个扭结都打了结,它们是否本质上是同一种结?
所谓 “分类”, 就是要找一个(可计算的)判据,使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结;当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止,也还只能找到一些非常复杂的判据,同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。
扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年,著名物理学家开尔文勋爵,就是那个号称物理学已经接近终结,只剩 “两朵乌云”的开尔文,突然产生了关于化学元素表的新看法(那时候还没有发现原子,所以化学元素表还是一个谜)。开尔文认为,不同的化学元素其实是 “以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念,它被想象成充满整个空间,是电磁波传播的载体(或媒质)。开尔文是很严肃的物理学家,当然不能凭空想象,实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据:
(1)元素很稳定,这可以用扭结的拓扑性质来解释,微小的形变不改变扭结的 “扭法”。
(2)元素很多样,这可以用扭结的多样性来解释,不同的 “打结方式” 实在太多了。
(3)不同的元素发出不同的光谱,这可以用 “以太扭结” 的各种 “振动方式” 来解释。
有时候我们不得不佩服一些大师,他们虽然偶尔有点信口开河,不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是 “弦论” 的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构,但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。
请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法,都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书 《An introduction to knot theory》, 作者 Lickorish, 属于系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再贴几个扭结:
然后是一个问题:下面三个扭结中,哪两个本质上是同一种结?
(三)
庞卡莱是 19 世纪末 20 世纪初法国最伟大的数学家,他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界,分别继承了黎曼和高斯的衣钵:庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力,一如当年的黎曼;希尔伯特严谨,博学,细致入微地思考,为 20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何,就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论,完全革新了整个学科的基本观念。
这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念:“同调群” 与 “基本群”。它们都是几何体内在性质的 “代数体现”。
庞卡莱意识到,描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界,以及它是不是其它几何体的边界。比如,一个圆盘和一个球面为什么不同,就是因为圆盘有边界而球面没有边界;球面为什么跟轮胎面不同,就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界,比如赤道就是北半球面的边界,而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。
在第一篇里说过,莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦,他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分(点,边,三边形,四面体,...),比如,一个球面上可以画四个点,然后把它们两两相连 (不允许连线相交),有六条边,这些边把球面分成四个三边形,这就是球面的一个 “剖分”(见左图)。剖分的基本组成成份叫做 “单形”,“点” 是 0 维单形,“边” 是 1 维单形,“三边形”(包括内部)是 2 维单形,等等 ( 试想一下 3 维单形是什么 )。
拿之前已经剖分的球面做例子,顶点 A, B, C, D 是 0 维单形,边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形,三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 维单形 (如果 ABC, ACD 是东半球的区域,那 ABD, BCD 就包括了西半球) 。因为考察的是球面,而不是球体,所以没有三维以上的单形。
庞卡莱在单形前面放上系数(整数),假设它们能够相加,以及做同类项合并。这种表达式称为一个 “链”, 比如
(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.
单形前面的加号减号具有几何意义,“定向”。在 1维的时候就是边的方向,比如,AB 是从 A 到 B 的边,-AB 就是从 B 到 A 的边,也就是 BA,所以 BA = - AB. 三边形的定向复杂一些,不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关,对换两个顶点就会改变定向,
ACB = - ABC.
由于每一个 n 维单形的边界由若干 n-1 维单形组成,所以 “求边界” 可以作为一种运算,作用在 “链” 上,得到另一个 “链”,其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中,定向也是一个重要因素,虽然 AB 的边界是两个点 A 和 B, 但为了体现定向性质,规定 AB 的边界是 ( B – A ). 这种约定可以推广到高维的链,大家不妨自己试试。
如果用 d记求边界运算,在跟定向相容的约定下,它在球面剖分的各单形上作用如下
d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;
d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……
d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……
在 “链” 上的作用,
d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.
边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到,“物体的边界没有边界”。比如,三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说 “闭合” 的意思就是没有边界。代数上体现为,连续两次求边界一定是零,
d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0
现在把剖分后的几何体的所有这样的 “链” 放在一起,它们之间有加减法(合并同类项),可以用系数乘,还可以 “求边界”。这就得到了一个代数对象,叫做这个剖分后的几何体的“链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。
在链群中,可以由求边界运算得到的链叫做 “边缘链”,比如,
2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )
说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做 “闭链”。边缘链一定是闭链,而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现,“有多少闭链不是边缘链” 这个性质与剖分无关,从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质? 考虑所有闭链,它们之间的加减,数乘,结果还是闭链,在其中把边缘链等同于0,这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法,庞卡莱叫它 “同调群”。
现在来算球面的同调群。顶点都没有边界,但是两个顶点的差一定是一条边的边界,
A-B = d (BA)
按照庞卡莱的语言,A-B 是边缘链,将被等同于 0, 也就是说,在同调群中 A-B = 0, 或者说 A = B. 这样,本质上只有一个 0 维对象,
A = B = C = D,
它可以被整数乘,这样我们得到球面的 0 维同调群
{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}
这个代数对象的加法,数乘,跟全体整数的加法,数乘是一样的,用数学的语言来说,球面的 0 维同调群 “同构于” 整数集。
1 维的链是六条边的组合,用代数运算(解线性方程组)或者几何直观都可以看到,没有边界的 1 维链总是由三边形的边界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成,按照庞卡莱的语言,球面上所有的 1 维闭链都是边缘链,都应该在同调群中等同于 0,所以1 维同调群是 0.
2 维的链是四个面的组合,x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程,比如第一项
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然后合并每条边的系数,令它等于零,就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是说,总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … },
同构于整数集。
综上所述,球面的 0 维同调群和 2 维同调群都同构于整数集,1 维同调群为 0. 再引入一个概念,同调群内含有多少个整数集,就说同调群的 “秩” 是多少。把不同维同调群的 “秩” 交错加减,即,0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩……, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算,就会发现这个整数实际上是 0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上 2 维单形个数再减去 3 维单形个数……,即,各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉,在高中立体几何最后应该提到过,叫做 “欧拉示性数”,对凸多面体的表面,它就是 V – E + F, 而且总是等于 2. 实际上,所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面,这个 “2” 就是球面的各维数同调群的 “秩” 的交错和,1 – 0 + 1 = 2.
显然,欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量,只需要找一个剖分,然后数数几个顶点几条边几个面......,再加加减减就行了。
同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链,通俗一点说,告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是“中空” 的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群:圆圈,轮胎面。(提示:先把它们剖分成单形。)
庞卡莱发现了同调群以后,拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现,同调群不够精细。比如,跟三维球面(二维球面的高一维推广)具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的,就是道路。两条道路如果首尾相接,就组成一条新的道路,这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理,首先,不是任何两条道路都能相乘 (必须首尾相接才可以),然后,即使能相乘,乘法也不满足结合律,运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点,只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路,这些道路当然互相首尾相连;然后他规定,如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路 (见下图),这两条道路就被看作在同一个 “道路类” 中,这样规定后,“道路类” 之间的乘法就满足结合律了。这些 “道路类” 也组成一个代数对象,有乘法运算,这个对象叫做几何体的 “基本群”,或者 “1 维同伦群”。
来点感性认识。线段的基本群只有一个元素,就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。再看圆周,它的基本群是所有整数组成的。绕圆周 n 圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周 m 圈的道路,而把它们首尾相接的结果就是绕圆周 n+m 圈的道路,这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子,球面,它的基本群是平凡的,因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形(滑缩)为静止在基点的道路 (见左图)。具有平凡基本群的几何体称为 “单连通的”。
基本群的计算涉及到更深入的细节,比如拓扑的具体定义,拓扑空间之间的映射,等等,无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅 《基础拓扑学》,阿姆斯特朗(M.A.Armstrong)著;孙以丰译。
发明了基本群以后,庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来,但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想:单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展,最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在 2006 年获得数学界最高荣誉 —— 菲尔兹奖。
(四)
1854年,28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师,他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位, 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文,其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题,并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题,委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题,外加一个还未及考虑的课题 ——关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而,委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题,从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力,再加上长期的贫穷,一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来,用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲,黎曼只用了一个公式,并且忽略了所有计算细节。尽管如此,估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。
黎曼在演讲中提出了 “弯曲空间” 的概念,并给出怎样研究这些空间的建议。 “弯曲空间” 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上,除了可以运用代数拓扑的工具,还可以运用微积分工具,这就形成了 “微分拓扑学”。
回到黎曼的演讲。黎曼认为,几何学的对象缺乏先验的定义,欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系,而我们却不知道这些关系怎么来的, 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为,几何对象应该是一些多度延展的量,体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量,因此欧几里德的公理只能从经验导出,而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是,我们可以考察这些定理成立的可能性,然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何,比如大到不可测的几何,以及小到不可测的几何。接着,黎曼开始了关于延展性,维数,以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量(几何对象)一个名称,德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold,英文字面意思可以理解为 “多层”,中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 “流形”,取自文天祥《正气歌》,“天地有正气,杂然赋流形”,而其原始出处为《易经》,“大哉乾元,万物资始,乃统天。云行雨施,品物流形。” 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意,即多样化的形体。
黎曼定义的 “n 维流形” 大概是这个样子的:以其中一个点为基准,则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为:流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来,成为 “整体微积分”,则称此流形为 “微分流形”。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道,二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标,但是在南北两极,经度无从定义。尽管如此,球面的每个局部都可以画在平面上,这就是地图。把各个区域的地图收集在一起,重叠的部分用比例尺协调一下,就得到整个球面。这样,坐标(或地图) 只存在于每个局部,而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形,因为球面的局部同平面(二维欧氏空间)的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走,比如,从赤道某点出发往东走,最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构,以及整体结构与局部结构之间的关系,就是 “拓扑学” 的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具,再辅之以前面介绍过的代数工具(同调群,同伦群),就形成了威力强大的 “微分拓扑学”。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形(回忆先前介绍的 “单连通” 概念,即每条曲线可于流形内滑缩为一点)有了比较彻底的认识。
到了80年代,数学家对 4 维单连通 “拓扑流形” 也有了彻底的认识,然而 4 维 “微分流形” 却是无比复杂的对象。比如,直观上最简单的四维流形,四维欧氏空间,也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间,有无穷多个“微分结构”,通俗一点说,这个流形上有无穷多种 “整体微积分” 可做,而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性,因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 “4” 就是传说中的上帝之数,我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的(3个参数表示空间,1 个参数表示时间),我们的时空是一个四维流形。
如果我们忘掉时间,只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样?这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面?如果是三维球面,那我们沿着一个方向往前飞行,最终总会回到起点。
(五)---- 爬虫的世界
黎曼所描述的几何经常被形容为 “爬虫的几何”,因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说,二维流形是非常直观的对象,它们通常被称为“曲面”。而三维流形却难以想象,正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。爬虫几乎是二维的生物,它们靠爬行来感知周围世界。1884年英国小说家 E. A. Abbott 的科幻小说《平面国》描述了真正的二维爬虫,以及它们对额外维(仅仅是第三维)的恐惧不安。
现在让我们体会一下二维爬虫的世界。假设这个世界是一个二维球面,任何事件都发生在这个球面上。最重要的是,光线沿着球面传播。而我们人类可以从外部观察这个二维球面世界。古希腊数学家就已经知道,球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者,即以球心为圆心的弧(称为“大圆弧”)。爬虫通过测量也能发现这个最短线段,但在爬虫的世界里,“球心”并不存在。我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线传播,所以二维球面上的光线,即短程线,在人类看来是一些大圆弧。一个处于球面上 P点处的光源发出的所有光线沿着大圆传播,它们将汇聚于 P 的“对极点” P’ (人类倾向于定义对极点 P’ 为三维空间中连接 P 和球心的直线与球面的另一交点;而爬虫将定义对极点为离 P 最远的那个点)。爬虫们实际上看到两个发光点 P 和 P’,一个是真实的,另一个是像(按高中物理的说法,P’ 处的发光点是 P 处光源的“实像”)。这是因为光线在 P’ 汇聚之后再次散开,眼睛将告诉大脑这些光线是从 P’ 发出来的。有延展的物体,比如一个四边形爬虫,不妨设它的眼睛长在“前边”。那么它往前看将看见自己的“后边”,往左看将看见自己的“右边”。它看到了自己在“远方”成的像。有多远?圆周率乘以这个二维世界的半径。有趣的是,对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言,爬虫“无处不在”,往任何一个方向看都能看到爬虫,非常恐怖的景象。这个世界的另一个显著特点是,它“有限无边”。如果爬虫认定一个方向往前爬,它可以永远爬下去,不会碰到“世界的边缘”,此即“无边”;而如果爬虫会丈量面积,那么它发现这个世界的总面积是有限的,如果它一直往前爬,它会一次又一次地回到起点,此即“有限”。
有限无边的二维流形当然不必是球面。比如,爬虫的世界完全可以是我们人类所谓“轮胎面”,数学家叫它“环面”。在这样一个世界里,房地产开发商将是一个危险的职业,因为有时候画了一个圈来圈地,结果什么都没有圈进去。比如轮胎上的经线圈和纬线圈。脑满肠肥的开发商们应该庆幸我们人类脚下正好是一个球面,随便画个圈都会有收获。言归正传,数学家们发现我们人类观察到的轮胎面并非其最自然的形式。 这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。这是一个奇怪的世界,光线在正方形内沿直线传播,当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时,你忘记了这个世界是“有限无边”的,上边缘和下边缘是同一条线,所以光线又从下边缘射上来。这个世界里,点光源不会成像,因为它发出的光走的是平面上(正方形内)的直线,正常发散,永不重聚。但是爬虫仍然会看到远方的自己。与球面世界不同的是,爬虫会看到无穷多个自己:朝任何一个斜率为有理数的方向看,就会从某个角度看到自己。怎么理解这个现象?可以用这个正方形的无穷多个复制品地板砖式地铺满整个平面,每一个这样的正方形都被解释为同一个环面世界。光线在环面世界里的传播就可以从光线在平面上的传播读出来:在平面上画一条无限延伸的直线,这条直线在某个正方形 S 中划出一条线段 C,然后进入到另一个正方形 S1,划出另一条线段 C1,我们按照 C1 在 S1 中的位置将它复制到 S 中,同线段 C 一起构成环面世界里光线的一段轨迹。这种“地板砖”式构造在拓扑学中称为“泛复叠”,其目的是用一个具有高度对称性的简单拓扑空间来研究一个比较复杂的拓扑空间。对环面而言,平面就是这个简单拓扑空间,而其对称性就是左右平移和上下平移。我们看到,在这个“泛复叠”里,一个爬虫被复制成了无穷多个,处于每个正方形的相同位置。连接任意两个复制品,得到一条斜率为有理数的线段,根据我们刚才关于光线的分析,平面上的这条线段代表环面上一条起于爬虫而止于爬虫的光线。所以,沿着这个方向爬虫将看到自己的某个侧面。数学家设计了一些环面上的小游戏,比如迷宫、台球、象棋等等,有兴趣的朋友可以到 http://www.geometrygames.org/ 去下载体验一下。
其它的二维流形称为“多环面”。(这里我们只谈论有限无边的,而且“可定向”的二维流形,像莫比乌斯带那种“单侧”的流形不在我们考虑之列。)这些流形也有最自然的模型,由“双曲平面”上的多边形粘合而成。这样的世界里,光线传播得更奇怪一些,它们发散得特别厉害。光线的发散性质不是拓扑性质,它依赖于我们所选的模型,即数学家所谓“黎曼度量”。发散性质反映了黎曼度量的“曲率”,弯曲程度。如果光线从某一点向周围“线性发散”,即光强随距离线性减弱,则流形在这一点是“平直的”。球面上光强减弱得比较慢,因为相对于平直空间(欧氏空间)来说球面上的光线倾向于“汇聚”,这是“正曲率”的标志;而多环面上的光强减弱非常快,这是“负曲率”的标志。黎曼度量和曲率是另外一个话题,跟爱因斯坦的广义相对论有关,就不赘述了。之前考虑二维世界的时候引进拓扑之外的结构——黎曼度量,是因为度量可以更好地帮助我们想象比较奇怪的拓扑结构,比如环面及其“泛复叠”。
充分地理解了可怜的爬虫以后,我们可以“顾影自怜”了。我们的宇宙是什么样子的?是不是一个“三维球面”?宇宙中某个光源发出的光线是否汇聚到对极点,那最遥远的地方?或者是一个“三维环面”?四面八方都应该是我们自己,而我们看不到无穷多个自己只不过是因为宇宙太宽广而光线在传播过程中消耗殆尽?或者,宇宙根本就不是“有限”的,这似乎更符合大多数人的信仰。即使是有限宇宙,由于维数更高,其可能形态比二维流形更多,至今数学家还未能将它们穷尽。
(六)
前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑,如果大伙儿还不知道这些是啥,请复习拙著:)。其实,拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学,而不仅限于拓扑学研究本身。
很多文献会提到,拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题,以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉,给出了第一个拓扑不变量,多面体表面的欧拉数(点数-边数+面数)。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人(虽然莱布尼兹曾经臆想过)。
传说中高斯当年是德国国土局的领导,负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到(所谓曲面的内蕴几何),他还定义了度量曲率大小的量(高斯曲率),并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来(高斯-博内定理),所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然,高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊,欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。
第二尊菩萨,黎曼同学,除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外,他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的?比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数?人们的思维定势是,既然函数是多值的,就像一条横着的抛物线,一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊,砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得,如果把函数图像本身作为定义域,每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了,而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数,其图像就是一个二维曲面,这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象,这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念,以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说,黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。
牛顿莱布尼兹发明了微积分之后,大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心,柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻,基本上就是说两个东西越来越近。“离得近”这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础——“点集拓扑”的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关,即,通过分析“收敛性”体现在应用数学中。所以,最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人(有好事者不以为然,一定要扯到古希腊的阿基米德,这就见仁见智了。)
总而言之,拓扑学有着高贵的血统。当然,好汉不提当年勇,拓扑学的现在和将来如何?20世纪中叶,代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展,两位名不见经传的数学工作者(艾伦伯格-麦克雷恩)突发奇想,从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上,他们重载了先贤亚里士多德的概念——范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝——格罗登迪克,用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中,改变了整个数学的风貌。与此呼应,世纪之交的物理学也在经历变革,量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣(上帝被爱因斯坦附身了)爱德华.威顿,身负绝世的拓扑神功,一经施展,整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体,必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以,在这个系列的结尾,让我骄傲地替拓扑学宣称:21世纪是拓扑的世纪!!
(一)
拓扑学是现代数学的一个重要分支,同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文 topologie,最初由高斯的学生李斯亭引入 (1848年),用来表示一个新的研究方向,“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵,他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯,学成后为中国带来了这个新学科(1931年)。
拓扑学经常被描述成 “橡皮泥的几何”,就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如,所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的,因为多边形可以通过连续变形变成圆周,右边这个图上,一个茶杯可以连续地变为一个实心环,在拓扑学家眼里,它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样,因为把圆周变成线段总会断裂(不连续)。为什么要研究这种性质呢?这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多,用不着 “言必称希腊”,只要从莱布尼兹开始就行。
莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一,对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统,比如微商符号 dy/dx,不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候,莱布尼兹突发奇想,尝试用抽象符号代表物体的几何性质,用以将几何性质代数化,通过符号的代数运算,由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法,认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的,从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了,在他自己的脑子里也还只是混沌一片,而当年听到他这个想法的很多人,比如惠更斯,干脆就不予理睬。
莱布尼兹在三百多年前想要建立的,是现在称为“代数拓扑”的学问,中间经过欧拉,柯西,高斯,李斯亭,莫比乌斯,克莱因,特别是黎曼和贝迪的思考和尝试,终于在19,20世纪之交,由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中,高斯名气最大,被称为数学王子;大家可能不太熟悉黎曼,其实他同高斯在数学史上的地位是相当的,他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响;莫比乌斯,他在数学上有很多贡献,不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面:莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带,它的重要特性是,虽然在每个局部都可以说正面反面,但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做 “单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭,哈哈。
(二)
这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题, 扭结分类问题。所谓扭结,顾名思义就是一根绳子首尾相接,它可能打了结。更一般的,可以是几根绳子,除了自身打结以外,还互相打结。对具体的一个扭结,也许可以通过做实验的办法判断它是否打结,但是数学家希望找一个普适的,定量的办法。比如说,任意画一个扭结(它实际上是一个空间扭结的平面投影),比如这个有点复杂的,怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结?
这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后,才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年,才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。
扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如,以下两个扭结都打了结,它们是否本质上是同一种结?
所谓 “分类”, 就是要找一个(可计算的)判据,使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结;当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止,也还只能找到一些非常复杂的判据,同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。
扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年,著名物理学家开尔文勋爵,就是那个号称物理学已经接近终结,只剩 “两朵乌云”的开尔文,突然产生了关于化学元素表的新看法(那时候还没有发现原子,所以化学元素表还是一个谜)。开尔文认为,不同的化学元素其实是 “以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念,它被想象成充满整个空间,是电磁波传播的载体(或媒质)。开尔文是很严肃的物理学家,当然不能凭空想象,实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据:
(1)元素很稳定,这可以用扭结的拓扑性质来解释,微小的形变不改变扭结的 “扭法”。
(2)元素很多样,这可以用扭结的多样性来解释,不同的 “打结方式” 实在太多了。
(3)不同的元素发出不同的光谱,这可以用 “以太扭结” 的各种 “振动方式” 来解释。
有时候我们不得不佩服一些大师,他们虽然偶尔有点信口开河,不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是 “弦论” 的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构,但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。
请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法,都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书 《An introduction to knot theory》, 作者 Lickorish, 属于系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再贴几个扭结:
然后是一个问题:下面三个扭结中,哪两个本质上是同一种结?
(三)
庞卡莱是 19 世纪末 20 世纪初法国最伟大的数学家,他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界,分别继承了黎曼和高斯的衣钵:庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力,一如当年的黎曼;希尔伯特严谨,博学,细致入微地思考,为 20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何,就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论,完全革新了整个学科的基本观念。
这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念:“同调群” 与 “基本群”。它们都是几何体内在性质的 “代数体现”。
庞卡莱意识到,描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界,以及它是不是其它几何体的边界。比如,一个圆盘和一个球面为什么不同,就是因为圆盘有边界而球面没有边界;球面为什么跟轮胎面不同,就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界,比如赤道就是北半球面的边界,而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。
在第一篇里说过,莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦,他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分(点,边,三边形,四面体,...),比如,一个球面上可以画四个点,然后把它们两两相连 (不允许连线相交),有六条边,这些边把球面分成四个三边形,这就是球面的一个 “剖分”(见左图)。剖分的基本组成成份叫做 “单形”,“点” 是 0 维单形,“边” 是 1 维单形,“三边形”(包括内部)是 2 维单形,等等 ( 试想一下 3 维单形是什么 )。
拿之前已经剖分的球面做例子,顶点 A, B, C, D 是 0 维单形,边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形,三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 维单形 (如果 ABC, ACD 是东半球的区域,那 ABD, BCD 就包括了西半球) 。因为考察的是球面,而不是球体,所以没有三维以上的单形。
庞卡莱在单形前面放上系数(整数),假设它们能够相加,以及做同类项合并。这种表达式称为一个 “链”, 比如
(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.
单形前面的加号减号具有几何意义,“定向”。在 1维的时候就是边的方向,比如,AB 是从 A 到 B 的边,-AB 就是从 B 到 A 的边,也就是 BA,所以 BA = - AB. 三边形的定向复杂一些,不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关,对换两个顶点就会改变定向,
ACB = - ABC.
由于每一个 n 维单形的边界由若干 n-1 维单形组成,所以 “求边界” 可以作为一种运算,作用在 “链” 上,得到另一个 “链”,其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中,定向也是一个重要因素,虽然 AB 的边界是两个点 A 和 B, 但为了体现定向性质,规定 AB 的边界是 ( B – A ). 这种约定可以推广到高维的链,大家不妨自己试试。
如果用 d记求边界运算,在跟定向相容的约定下,它在球面剖分的各单形上作用如下
d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;
d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……
d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……
在 “链” 上的作用,
d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.
边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到,“物体的边界没有边界”。比如,三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说 “闭合” 的意思就是没有边界。代数上体现为,连续两次求边界一定是零,
d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0
现在把剖分后的几何体的所有这样的 “链” 放在一起,它们之间有加减法(合并同类项),可以用系数乘,还可以 “求边界”。这就得到了一个代数对象,叫做这个剖分后的几何体的“链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。
在链群中,可以由求边界运算得到的链叫做 “边缘链”,比如,
2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )
说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做 “闭链”。边缘链一定是闭链,而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现,“有多少闭链不是边缘链” 这个性质与剖分无关,从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质? 考虑所有闭链,它们之间的加减,数乘,结果还是闭链,在其中把边缘链等同于0,这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法,庞卡莱叫它 “同调群”。
现在来算球面的同调群。顶点都没有边界,但是两个顶点的差一定是一条边的边界,
A-B = d (BA)
按照庞卡莱的语言,A-B 是边缘链,将被等同于 0, 也就是说,在同调群中 A-B = 0, 或者说 A = B. 这样,本质上只有一个 0 维对象,
A = B = C = D,
它可以被整数乘,这样我们得到球面的 0 维同调群
{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}
这个代数对象的加法,数乘,跟全体整数的加法,数乘是一样的,用数学的语言来说,球面的 0 维同调群 “同构于” 整数集。
1 维的链是六条边的组合,用代数运算(解线性方程组)或者几何直观都可以看到,没有边界的 1 维链总是由三边形的边界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成,按照庞卡莱的语言,球面上所有的 1 维闭链都是边缘链,都应该在同调群中等同于 0,所以1 维同调群是 0.
2 维的链是四个面的组合,x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程,比如第一项
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然后合并每条边的系数,令它等于零,就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是说,总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … },
同构于整数集。
综上所述,球面的 0 维同调群和 2 维同调群都同构于整数集,1 维同调群为 0. 再引入一个概念,同调群内含有多少个整数集,就说同调群的 “秩” 是多少。把不同维同调群的 “秩” 交错加减,即,0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩……, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算,就会发现这个整数实际上是 0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上 2 维单形个数再减去 3 维单形个数……,即,各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉,在高中立体几何最后应该提到过,叫做 “欧拉示性数”,对凸多面体的表面,它就是 V – E + F, 而且总是等于 2. 实际上,所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面,这个 “2” 就是球面的各维数同调群的 “秩” 的交错和,1 – 0 + 1 = 2.
显然,欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量,只需要找一个剖分,然后数数几个顶点几条边几个面......,再加加减减就行了。
同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链,通俗一点说,告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是“中空” 的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群:圆圈,轮胎面。(提示:先把它们剖分成单形。)
庞卡莱发现了同调群以后,拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现,同调群不够精细。比如,跟三维球面(二维球面的高一维推广)具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的,就是道路。两条道路如果首尾相接,就组成一条新的道路,这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理,首先,不是任何两条道路都能相乘 (必须首尾相接才可以),然后,即使能相乘,乘法也不满足结合律,运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点,只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路,这些道路当然互相首尾相连;然后他规定,如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路 (见下图),这两条道路就被看作在同一个 “道路类” 中,这样规定后,“道路类” 之间的乘法就满足结合律了。这些 “道路类” 也组成一个代数对象,有乘法运算,这个对象叫做几何体的 “基本群”,或者 “1 维同伦群”。
来点感性认识。线段的基本群只有一个元素,就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。再看圆周,它的基本群是所有整数组成的。绕圆周 n 圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周 m 圈的道路,而把它们首尾相接的结果就是绕圆周 n+m 圈的道路,这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子,球面,它的基本群是平凡的,因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形(滑缩)为静止在基点的道路 (见左图)。具有平凡基本群的几何体称为 “单连通的”。
基本群的计算涉及到更深入的细节,比如拓扑的具体定义,拓扑空间之间的映射,等等,无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅 《基础拓扑学》,阿姆斯特朗(M.A.Armstrong)著;孙以丰译。
发明了基本群以后,庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来,但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想:单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展,最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在 2006 年获得数学界最高荣誉 —— 菲尔兹奖。
(四)
1854年,28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师,他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位, 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文,其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题,并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题,委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题,外加一个还未及考虑的课题 ——关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而,委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题,从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力,再加上长期的贫穷,一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来,用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲,黎曼只用了一个公式,并且忽略了所有计算细节。尽管如此,估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。
黎曼在演讲中提出了 “弯曲空间” 的概念,并给出怎样研究这些空间的建议。 “弯曲空间” 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上,除了可以运用代数拓扑的工具,还可以运用微积分工具,这就形成了 “微分拓扑学”。
回到黎曼的演讲。黎曼认为,几何学的对象缺乏先验的定义,欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系,而我们却不知道这些关系怎么来的, 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为,几何对象应该是一些多度延展的量,体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量,因此欧几里德的公理只能从经验导出,而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是,我们可以考察这些定理成立的可能性,然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何,比如大到不可测的几何,以及小到不可测的几何。接着,黎曼开始了关于延展性,维数,以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量(几何对象)一个名称,德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold,英文字面意思可以理解为 “多层”,中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 “流形”,取自文天祥《正气歌》,“天地有正气,杂然赋流形”,而其原始出处为《易经》,“大哉乾元,万物资始,乃统天。云行雨施,品物流形。” 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意,即多样化的形体。
黎曼定义的 “n 维流形” 大概是这个样子的:以其中一个点为基准,则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为:流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来,成为 “整体微积分”,则称此流形为 “微分流形”。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道,二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标,但是在南北两极,经度无从定义。尽管如此,球面的每个局部都可以画在平面上,这就是地图。把各个区域的地图收集在一起,重叠的部分用比例尺协调一下,就得到整个球面。这样,坐标(或地图) 只存在于每个局部,而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形,因为球面的局部同平面(二维欧氏空间)的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走,比如,从赤道某点出发往东走,最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构,以及整体结构与局部结构之间的关系,就是 “拓扑学” 的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具,再辅之以前面介绍过的代数工具(同调群,同伦群),就形成了威力强大的 “微分拓扑学”。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形(回忆先前介绍的 “单连通” 概念,即每条曲线可于流形内滑缩为一点)有了比较彻底的认识。
到了80年代,数学家对 4 维单连通 “拓扑流形” 也有了彻底的认识,然而 4 维 “微分流形” 却是无比复杂的对象。比如,直观上最简单的四维流形,四维欧氏空间,也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间,有无穷多个“微分结构”,通俗一点说,这个流形上有无穷多种 “整体微积分” 可做,而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性,因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 “4” 就是传说中的上帝之数,我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的(3个参数表示空间,1 个参数表示时间),我们的时空是一个四维流形。
如果我们忘掉时间,只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样?这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面?如果是三维球面,那我们沿着一个方向往前飞行,最终总会回到起点。
(五)---- 爬虫的世界
黎曼所描述的几何经常被形容为 “爬虫的几何”,因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说,二维流形是非常直观的对象,它们通常被称为“曲面”。而三维流形却难以想象,正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。爬虫几乎是二维的生物,它们靠爬行来感知周围世界。1884年英国小说家 E. A. Abbott 的科幻小说《平面国》描述了真正的二维爬虫,以及它们对额外维(仅仅是第三维)的恐惧不安。
现在让我们体会一下二维爬虫的世界。假设这个世界是一个二维球面,任何事件都发生在这个球面上。最重要的是,光线沿着球面传播。而我们人类可以从外部观察这个二维球面世界。古希腊数学家就已经知道,球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者,即以球心为圆心的弧(称为“大圆弧”)。爬虫通过测量也能发现这个最短线段,但在爬虫的世界里,“球心”并不存在。我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线传播,所以二维球面上的光线,即短程线,在人类看来是一些大圆弧。一个处于球面上 P点处的光源发出的所有光线沿着大圆传播,它们将汇聚于 P 的“对极点” P’ (人类倾向于定义对极点 P’ 为三维空间中连接 P 和球心的直线与球面的另一交点;而爬虫将定义对极点为离 P 最远的那个点)。爬虫们实际上看到两个发光点 P 和 P’,一个是真实的,另一个是像(按高中物理的说法,P’ 处的发光点是 P 处光源的“实像”)。这是因为光线在 P’ 汇聚之后再次散开,眼睛将告诉大脑这些光线是从 P’ 发出来的。有延展的物体,比如一个四边形爬虫,不妨设它的眼睛长在“前边”。那么它往前看将看见自己的“后边”,往左看将看见自己的“右边”。它看到了自己在“远方”成的像。有多远?圆周率乘以这个二维世界的半径。有趣的是,对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言,爬虫“无处不在”,往任何一个方向看都能看到爬虫,非常恐怖的景象。这个世界的另一个显著特点是,它“有限无边”。如果爬虫认定一个方向往前爬,它可以永远爬下去,不会碰到“世界的边缘”,此即“无边”;而如果爬虫会丈量面积,那么它发现这个世界的总面积是有限的,如果它一直往前爬,它会一次又一次地回到起点,此即“有限”。
有限无边的二维流形当然不必是球面。比如,爬虫的世界完全可以是我们人类所谓“轮胎面”,数学家叫它“环面”。在这样一个世界里,房地产开发商将是一个危险的职业,因为有时候画了一个圈来圈地,结果什么都没有圈进去。比如轮胎上的经线圈和纬线圈。脑满肠肥的开发商们应该庆幸我们人类脚下正好是一个球面,随便画个圈都会有收获。言归正传,数学家们发现我们人类观察到的轮胎面并非其最自然的形式。 这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。这是一个奇怪的世界,光线在正方形内沿直线传播,当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时,你忘记了这个世界是“有限无边”的,上边缘和下边缘是同一条线,所以光线又从下边缘射上来。这个世界里,点光源不会成像,因为它发出的光走的是平面上(正方形内)的直线,正常发散,永不重聚。但是爬虫仍然会看到远方的自己。与球面世界不同的是,爬虫会看到无穷多个自己:朝任何一个斜率为有理数的方向看,就会从某个角度看到自己。怎么理解这个现象?可以用这个正方形的无穷多个复制品地板砖式地铺满整个平面,每一个这样的正方形都被解释为同一个环面世界。光线在环面世界里的传播就可以从光线在平面上的传播读出来:在平面上画一条无限延伸的直线,这条直线在某个正方形 S 中划出一条线段 C,然后进入到另一个正方形 S1,划出另一条线段 C1,我们按照 C1 在 S1 中的位置将它复制到 S 中,同线段 C 一起构成环面世界里光线的一段轨迹。这种“地板砖”式构造在拓扑学中称为“泛复叠”,其目的是用一个具有高度对称性的简单拓扑空间来研究一个比较复杂的拓扑空间。对环面而言,平面就是这个简单拓扑空间,而其对称性就是左右平移和上下平移。我们看到,在这个“泛复叠”里,一个爬虫被复制成了无穷多个,处于每个正方形的相同位置。连接任意两个复制品,得到一条斜率为有理数的线段,根据我们刚才关于光线的分析,平面上的这条线段代表环面上一条起于爬虫而止于爬虫的光线。所以,沿着这个方向爬虫将看到自己的某个侧面。数学家设计了一些环面上的小游戏,比如迷宫、台球、象棋等等,有兴趣的朋友可以到 http://www.geometrygames.org/ 去下载体验一下。
其它的二维流形称为“多环面”。(这里我们只谈论有限无边的,而且“可定向”的二维流形,像莫比乌斯带那种“单侧”的流形不在我们考虑之列。)这些流形也有最自然的模型,由“双曲平面”上的多边形粘合而成。这样的世界里,光线传播得更奇怪一些,它们发散得特别厉害。光线的发散性质不是拓扑性质,它依赖于我们所选的模型,即数学家所谓“黎曼度量”。发散性质反映了黎曼度量的“曲率”,弯曲程度。如果光线从某一点向周围“线性发散”,即光强随距离线性减弱,则流形在这一点是“平直的”。球面上光强减弱得比较慢,因为相对于平直空间(欧氏空间)来说球面上的光线倾向于“汇聚”,这是“正曲率”的标志;而多环面上的光强减弱非常快,这是“负曲率”的标志。黎曼度量和曲率是另外一个话题,跟爱因斯坦的广义相对论有关,就不赘述了。之前考虑二维世界的时候引进拓扑之外的结构——黎曼度量,是因为度量可以更好地帮助我们想象比较奇怪的拓扑结构,比如环面及其“泛复叠”。
充分地理解了可怜的爬虫以后,我们可以“顾影自怜”了。我们的宇宙是什么样子的?是不是一个“三维球面”?宇宙中某个光源发出的光线是否汇聚到对极点,那最遥远的地方?或者是一个“三维环面”?四面八方都应该是我们自己,而我们看不到无穷多个自己只不过是因为宇宙太宽广而光线在传播过程中消耗殆尽?或者,宇宙根本就不是“有限”的,这似乎更符合大多数人的信仰。即使是有限宇宙,由于维数更高,其可能形态比二维流形更多,至今数学家还未能将它们穷尽。
(六)
前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑,如果大伙儿还不知道这些是啥,请复习拙著:)。其实,拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学,而不仅限于拓扑学研究本身。
很多文献会提到,拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题,以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉,给出了第一个拓扑不变量,多面体表面的欧拉数(点数-边数+面数)。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人(虽然莱布尼兹曾经臆想过)。
传说中高斯当年是德国国土局的领导,负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到(所谓曲面的内蕴几何),他还定义了度量曲率大小的量(高斯曲率),并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来(高斯-博内定理),所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然,高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊,欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。
第二尊菩萨,黎曼同学,除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外,他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的?比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数?人们的思维定势是,既然函数是多值的,就像一条横着的抛物线,一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊,砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得,如果把函数图像本身作为定义域,每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了,而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数,其图像就是一个二维曲面,这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象,这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念,以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说,黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。
牛顿莱布尼兹发明了微积分之后,大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心,柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻,基本上就是说两个东西越来越近。“离得近”这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础——“点集拓扑”的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关,即,通过分析“收敛性”体现在应用数学中。所以,最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人(有好事者不以为然,一定要扯到古希腊的阿基米德,这就见仁见智了。)
总而言之,拓扑学有着高贵的血统。当然,好汉不提当年勇,拓扑学的现在和将来如何?20世纪中叶,代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展,两位名不见经传的数学工作者(艾伦伯格-麦克雷恩)突发奇想,从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上,他们重载了先贤亚里士多德的概念——范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝——格罗登迪克,用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中,改变了整个数学的风貌。与此呼应,世纪之交的物理学也在经历变革,量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣(上帝被爱因斯坦附身了)爱德华.威顿,身负绝世的拓扑神功,一经施展,整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体,必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以,在这个系列的结尾,让我骄傲地替拓扑学宣称:21世纪是拓扑的世纪!!
微分:设函数y=f(x)的自变量有一改变量△x,则函数的对应改变量△y的近似值f~(x)*△x叫做函数y的微分。 (“~”表示导数)
记为 dy=f~(x)△x
可见,微分的概念是在导数概念的基础上得到的。
自变量的微分的等于自变量的改变量,则
将△x用dx代之,则微分写为dy=f~(x)dx
变形为: dy/dx=f~(x)
故导数又叫微商。
积分:它是微分学的逆问题。函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的或f(x)dx的不定积分。记作 ∫f(x)dx.
若F(x)是f(x)的原函数,则有
∫f(x)dx=F(x)+C C为任意常数,称为不定积分常数。
对于定积分,它的概念来源不同于不定积分。定积分檎是从极限方面来。是从以“不变”代“变”,以“直”代“曲”求某个变化过程中无限多个微小量的和,最后取极限得到的。所以不定积分与定积分不是仅差一个常数的问题,即使是在计算上仅差一常数,而且运算法则也基本相同。它们之间建立关系是通过“牛顿-莱布尼兹公式”。公式是
非曲直 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 积分下限a,上限b
下面只针对一元函数来说。
一元函数微积分实际上只是讨论、研究了两个极限,一个就是导数定义里的那个极限,另一个就是定积分定义里的那个极限。由于在解决实际问题时,经常会用到这两个极限,数学专门研究了这两个极限,真是对它们的研究导致产生了微积分学。
现在国内外绝大多数微积分教材都是以导数为微分学的最基本概念,导数就是上面说的那个极限,导数概念搞不清楚的人是没有资格说学过微积分的。
微分是从另外一个角度出发定义的,它是函数增量的线性主部。也可以把微分作为微分学的最基本概念,即导数与微分是两个并列的基本概念,没有办法说哪一个更基本。
然而函数微分与自变量微分的商就是导数,导数也叫微商,这样导数与微分之间就有了联系,已知导数求微分和已知微分求导数就变得非常容易,这两个概念一个学透了,另一个就不必仔仔细细做详细研究了。
积分就是上面说的另一个极限。牛顿-莱布尼兹公式把求这个极限与求原函数联系到了一起。为了计算定积分,就需要会求原函数,于是有了“不定积分”这样一章。必须指出,定积分是积分学的基本概念,与不定积分不是并列的,从某种意义上说,学习不定积分是为计算定积分服务的。
从拓扑学到几何学的长征
来自: 唐狼(见贤思齐) 2012-08-02 12:41:27
从拓扑学到几何学的长征zz
我想大众没有能够真正理解Poincare猜想的意义。可以毫不夸张的说Poincare猜想在流形拓扑学中的地位犹如Fermat大定理在代数数论中的地位。自Poincare创立代数拓扑以来,拓扑的“使命”就很清晰地摆在人们面前:将诸维拓扑流形作完全的同胚分类。最直观的看Poincare猜想就是,它要人们去辨识最简单的紧流形--球面。如果我们连球面都辨别不了,何谈拓扑学的终极“使命”!
拓扑流形分类, 1维情形是trival, 紧的话就是圆周S^1, 非紧的话就是实直线R^1. 维数大于等于2时,非紧流形M总是可以紧化的。这时会有两种情况发生,一是紧化的流形同胚于带边的紧流形,此时称M具有有限拓扑型,对M结构的研究就转化成带“洞”的紧流形的研究了;二是流形紧化后会成为Wild空间。 Wild空间往往是非常奇怪的,比如Alexader的horned sphere和Whitehead构造的Poincare猜想在开流形情形下的反例。Wild空间似乎从来没有人系统地研究过。由于任一不可定向的紧致流形总有一个可定向的二重覆盖空间(比如射影空间的二重覆盖是球面),因而讨论紧流形的分类问题可从可定向的情形出发了。当然对于二维紧致流形定向与不可定向都已搞明白了,就是紧致曲面的同胚分类定理。
Poincare从1892年起陆续发表了Analysis situs(位置分析)及其五篇补充论文。他在论文中定义了高维流形,同胚,基本群,Betti数,同调关系等概念,并计算了一些代数曲面的拓扑不变量。结合前人,如Riemann, Jordan, Mobius, 我们可以看到到Poincare时,二维紧致流形的同胚分类问题已经完成。紧致曲面的同胚分类定理的证明要建立在triangulation(三角剖分)观念的基础上的,只是直到1925年Rado才严格证明每个紧致曲面可以单纯剖分(即三角剖分)。现在任何一本基础拓扑学的书中都会讲如何利用Rado的定理,经由手术将曲面展开,化为标准形,并通过计算其基本群或同调群来实现二维紧致流形的同胚分类。在Analysis situs的第五篇补充论文中,Poincare提出了著名的猜想:是否可能存在流形V,其基本群可约化为恒等代换,但V不是球面?他还指出与球面同调群相同(即Betti数和挠系数均等于1)但不与球面同胚的反例。这就是著名的Poincare猜想最最原始的表述。
有鉴于triangulation的重要性,Steinitz与Tietze于1908年提出了Hauptvermutung,即主猜想(main conjecture)。由单纯逼近定理知两个多面体(polyhedra)之间的连续映射必同伦于一个PL映射。main conjecture是说polyhedra之间的同胚必同伦于一个PL同胚。main conjecture意义重大,它的成立与否涉及到类比曲面分类的“triangulation--标准型”方法对高维拓扑流形分类的可行性。然而这个猜想一般而言不成立,反例是Milnor于1961年找到的。“祸不单行”,不仅如此,连组合三角剖分猜想(combinatorial triangulation conjecture,即CTC)也是错的。所谓CTC是说每个紧致的拓扑流形PL同胚于一个PL流形。CTC比三角剖分猜想要强,三角剖分猜想是说每个紧致的拓扑流形同胚于一个组合流形。
这两个猜想的否定使人们一方面清醒地看到研究拓扑学确实需要小心谨慎,一些看似直观和合理的假设却也很有可能是错的;另一方面,很明显,高维拓扑流形的结构极端复杂。正如Godel证明了不完全定理以后,数理逻辑分裂为公理集论、模型论、证明论和递归论一样,我想这个时候,拓扑学才真正地延多种道路发展起来,它与微分几何、PDE的交融,以及它在代数几何、非线性泛函分析等最核心数学分支的应用,表明拓扑学已然是20C最为波澜壮阔的数学分支。
1 经典思路
既然两大猜想一般情况下都是错的,人们不仅要问
问题a 什么样的流形可以三角剖分?
问题b 对于什么样的流形,main conjecture成立?甚至要问
问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件。
1951年Moise证明了任一3维流形都可以三角剖分,且在组合等价的意义下剖分是唯一的,即主猜想也成立。由此人们可以惊呼:3-D流形的同胚分类本质上就是一个组合学问题。可是至少我目前为止没有看到有人认真地类比2维分类情形的分类方法来做3-D流形的同胚分类问题。我想这很大程度上是因为拓扑学家还不能够驾御类似于2维情形中组合学方法的复杂性。不管怎么说,组合学方法还是产生了一些有意思的结果的。特别地例如组合群论的产生以及伴随组合学而来的算法视角的研究方法。说到这里不能不提及Markov于1958年证明的一个著名否定性结论:维数大于等于4时,拓扑流形的分类是算法不可解的。因此3-D流形的完全分类是人类的last chance! 除非我们研制出量子计算机代替当前的Turing机,给算法带来全新的概念或革命。
问题a,b的回答的程度取决于问题c研究的深度。要回答问题c,需要精深的代数拓扑学的理论。
当然了从初等方法的角度,拓扑学家细入研究了3-D流形的拓扑性质。得到很多基本而又重要的命题。比如Kneser和Milnor证明了任一3-D流形都有唯一的prime decomposition。大神Papakyriakopoulos(简称Papa,大神是我给封的,因为他至死都在惦记着Poincare猜想的证明)在1957年一口气给出Dehn引理、loop定理和sphere定理的证明。sphere定理在不可定向的类比是Epstein的射影平面定理。此外还知道每个3-D流形都可以作Heegaard分解,故可将3-D流形用Heegaard diagram表示出来,进而可以定义3-D流形的Heegaard亏格。Reidemeister于1935年成功地将Heegaard亏格为1的3-D流形作了完全分类,它们是著名的透镜空间类和S1上的不可定向的S2丛。用初等方法(纯几何拓扑方法)研究Heegaard亏格较高的3-D流形的分类是极为艰巨的一件事。
2 代数拓扑
代数拓扑实在是博大精深的数学,我觉得凭我一人之力今天让大家即使管窥一斑都很困难。自Poincare而后,20世纪20年代,de Rham 证明了Elie Cartan(20世纪最伟大的几何学家,长征到几何学部分时,我还要大讲特讲。)关于微分形式的Rham定理。Morse建立起拓扑学中的变分方法,即Morse理论。30年代Hurewicz定义了一般维数的同伦群。Pontryagin引入了配边问题,即什么代数拓扑条件能使得一个闭流形成为某个带边流形的边界?Thom发展了横截性概念与Pontryagin方法,将配边问题转化为Thom空间的同伦群的计算问题。之后Kolmogorov与Alexander定义了上同调群,最后Whitney, Stiefel,Pontryagin与陈省身先生先后发现了各种版本的示性类理论。接着四、五十年代便开始了对拓扑不变量的艰难计算。其中有趣的是Hirezebruch, 他将Rokhlin发现的一个定向的配边不变量,即所谓“符号差”,用Pontryagin数表示出来,因而证明了代数几何中一般的Riemann-Roch定理。之后, Milnor与Kervaire发展了h-配边理论。Smale证明了维数大于等于6时,每个单连通的h-配边都是平凡的,而且组成边界的两部分是微分同胚的。进而他借助h-配边理论和Morse理论与Stalling, Wallace独立地证明了广义Poincare猜想:一个维数大于等于5的流形若与球面的伦型相同,则必PL同胚于球面。因此Smale拿了Fields奖。
我们说一门理论是否真的的强大,拿一个重要猜想来做试金石试一试就行了。明显地,Poincare猜想起到作为配边理论和Morse理论的试金石的作用,奠定了两者在拓扑学中的地位。基于拓扑学最初的使命是分类流形的事实。拓扑学的理论大多亦不会离使命太远。Poincare猜想的重要性在于它要人们去识别最简单的流形--球面。因而一个真正强大的拓扑学理论不去找Poincare猜想作为试金石又去找谁呢?
话说Poincare猜想经过几代拓扑学家与几何学家的努力已经升级为一个系列猜想。至少有拓扑版本、PL版本和DIFF版本三个变种。拓扑版本是说一个同伦球必为一个拓扑球。Newmann在1966年证明了维数大于4的情形,Freedman于1982年证明了维数为4的情形(Fields奖,Freedman是又一个建立了以Poincare猜想为试金石的数学家)。Peleman在Thurston的几何化假设的框架下,建立在Hamilton的Ricci流理论的基础上,于2003年到2004年证明了维数为3的情形(Fields奖)。PL版本有强弱个子版本的分别。弱PL版本是说一个PL同伦球必为一个拓扑球。当然拓扑版本蕴涵弱PL版本。强PL版本是说PL同伦球必为一个PL球。刚刚说过了,1962年Smale证明了维数大于等于5的情形(Fields奖)。维数为4时至今(2011年2月3日,呵呵,今天是大年初一啊,祝大家新年身体健康,万事如意。)仍是open problem! 维数为3的情形当然还是Peleman的工作。DIFF版本仍有强弱两个子版本,同样弱DIFF版只是拓扑版本的推论。强DIFF版本,一般情形(维数大于等于7时)于1958年被Milnor的怪球反例否定了(Fields奖),并由此诞生了微分拓扑学。实际上,Hamilton-Peleman对Thurston的几何化假设的证明蕴涵了3维强DIFF版的的Poincare猜想。现在(2011年2月3日凌晨3点)仅有的两个公开情形是强PL版本和强DIFF版本在4维的情形,而且已知这最后的两个情形是等价的。
代数拓扑到了20世纪60,70年代,一方面回答了问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件;另一方面,在人们的惊讶声中诞生了微分拓扑学和绚丽无比的纤维丛理论。
六、七十年代之后拓扑学倾向于代数的部分或有其他背景的部分如同调代数、K理论远在我的认知和理解范围之外了,因此我只能避而不谈,希望有高人将来给补充。
1956年,Milnor发现同胚于标准球面的光滑球面未必能微分同胚之,因而否定了强DIFF版本的Poincare猜想。(Fields奖)一般而言,光滑流形上若有微分结构也未必是唯一的。至此人们已经认识到,拓扑学的分类问题应该是将拓扑流形作同胚分类,将PL流形作PL同胚分类(即将同胚的PL流形上所能允许的所有PL结构都构造出来),将微分流形作微分同胚分类(即将同胚的或PL同胚的光滑流形上所能允许的所有微分结构都构造出来)。当然,除了这三个范畴外,还有一些次要的范畴,并且对于这三个范畴的拓扑学问题,人们已经掌握了如下的事实:
d 组合三角剖分猜想是说拓扑流形上总有一个PL结构,Main conjecture是说PL流形上的PL结构是唯一的,当然上面说过了,对于一般的流形这两个猜想都是错误的。对于3维流形,它们都是正确的。
e Milnor发现维数大于等于7时,PL流形上未必有唯一的光滑结构,Kervaire发现存在PL流形(例如那个著名的E8)没有任何的微分结构。
f Whitehead证明光滑流形总是可以被三角剖分的,且具有唯一的PL结构。
g 维数小于等于3时,拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时,Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时,拓扑流形是否可以三角剖分至今(2011年1月)仍是公开问题。
1958到1965年间,Thom, Munkres, Hirsch等人定义了障碍群,Cairns, Whitehead, Hirsch, Milnor, Munkres, Lashof, Mazur等人的工作弄清楚了PL流形上光滑结构所成的分类空间PL/O的结构。他们证明了π_n(PL/O)=θ_n, n>=7;π_n(PL/O)=0, n<=6, 其中θ_n是怪球的有限Kervaire-Milnor群。这是事实e的定量刻画。根据这些数学家的工作,我们可以知道,维数大于等于5时,一紧致拓扑流形上若有微分结构,则微分结构在微分同胚的意义下只有有限多个。
接着1969年Kirby-Siebenmann得到分类空间TOP/PL的重要性质:TOP/PL同胚于Eilenberg-Maclane空间K(Z/2, 3),因而π_n(TOP/PL)=Z_2, n=3; π_n(TOP/PL)=0, n不为3。这样就定量描述了事实d。并且Kirby-Siebenmann还具体构造了PL结构的障碍群K(M)。n>=5时, 拓扑流形M上有一个PL结构,当且仅当K(M)=0。Kirby和Siebenmann还证明了维数大于等于5时,一紧致拓扑流形若有PL结构,则其PL结构在PL同胚的意义下只有有限多个。
1976年,Calewski-Stern, Matumoto分别构造了拓扑流形可以三角剖分的障碍群δ_k(M)。维数n>=5时,拓扑流形M可以三角剖分当且仅当δ_k(M)=0。这样理论上描述了事实g。但维数n>=5时,是否总有δ_k(M)=0,还是公开问题。
1983年左右,Donaldson利用理论物理上的工具( Yang-Mills方程的瞬子解),得到一大类4维拓扑流形,它们不允许任何的微分结构,例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知,存在4维拓扑流形M,其上有无穷多种微分结构,例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上,维数为4时,会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题,如现在(2011年1月)还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多(甚至是唯一的)的微分结构
弦理论是否具备可证伪性?
我想大众没有能够真正理解Poincare猜想的意义。可以毫不夸张的说Poincare猜想在流形拓扑学中的地位犹如Fermat大定理在代数数论中的地位。自Poincare创立代数拓扑以来,拓扑的“使命”就很清晰地摆在人们面前:将诸维拓扑流形作完全的同胚分类。最直观的看Poincare猜想就是,它要人们去辨识最简单的紧流形--球面。如果我们连球面都辨别不了,何谈拓扑学的终极“使命”!
拓扑流形分类, 1维情形是trival, 紧的话就是圆周S^1, 非紧的话就是实直线R^1. 维数大于等于2时,非紧流形M总是可以紧化的。这时会有两种情况发生,一是紧化的流形同胚于带边的紧流形,此时称M具有有限拓扑型,对M结构的研究就转化成带“洞”的紧流形的研究了;二是流形紧化后会成为Wild空间。 Wild空间往往是非常奇怪的,比如Alexader的horned sphere和Whitehead构造的Poincare猜想在开流形情形下的反例。Wild空间似乎从来没有人系统地研究过。由于任一不可定向的紧致流形总有一个可定向的二重覆盖空间(比如射影空间的二重覆盖是球面),因而讨论紧流形的分类问题可从可定向的情形出发了。当然对于二维紧致流形定向与不可定向都已搞明白了,就是紧致曲面的同胚分类定理。
Poincare从1892年起陆续发表了Analysis situs(位置分析)及其五篇补充论文。他在论文中定义了高维流形,同胚,基本群,Betti数,同调关系等概念,并计算了一些代数曲面的拓扑不变量。结合前人,如Riemann, Jordan, Mobius, 我们可以看到到Poincare时,二维紧致流形的同胚分类问题已经完成。紧致曲面的同胚分类定理的证明要建立在triangulation(三角剖分)观念的基础上的,只是直到1925年Rado才严格证明每个紧致曲面可以单纯剖分(即三角剖分)。现在任何一本基础拓扑学的书中都会讲如何利用Rado的定理,经由手术将曲面展开,化为标准形,并通过计算其基本群或同调群来实现二维紧致流形的同胚分类。在Analysis situs的第五篇补充论文中,Poincare提出了著名的猜想:是否可能存在流形V,其基本群可约化为恒等代换,但V不是球面?他还指出与球面同调群相同(即Betti数和挠系数均等于1)但不与球面同胚的反例。这就是著名的Poincare猜想最最原始的表述。
有鉴于triangulation的重要性,Steinitz与Tietze于1908年提出了Hauptvermutung,即主猜想(main conjecture)。由单纯逼近定理知两个多面体(polyhedra)之间的连续映射必同伦于一个PL映射。main conjecture是说polyhedra之间的同胚必同伦于一个PL同胚。main conjecture意义重大,它的成立与否涉及到类比曲面分类的“triangulation--标准型”方法对高维拓扑流形分类的可行性。然而这个猜想一般而言不成立,反例是Milnor于1961年找到的。“祸不单行”,不仅如此,连组合三角剖分猜想(combinatorial triangulation conjecture,即CTC)也是错的。所谓CTC是说每个紧致的拓扑流形PL同胚于一个PL流形。CTC比三角剖分猜想要强,三角剖分猜想是说每个紧致的拓扑流形同胚于一个组合流形。
这两个猜想的否定使人们一方面清醒地看到研究拓扑学确实需要小心谨慎,一些看似直观和合理的假设却也很有可能是错的;另一方面,很明显,高维拓扑流形的结构极端复杂。正如Godel证明了不完全定理以后,数理逻辑分裂为公理集论、模型论、证明论和递归论一样,我想这个时候,拓扑学才真正地延多种道路发展起来,它与微分几何、PDE的交融,以及它在代数几何、非线性泛函分析等最核心数学分支的应用,表明拓扑学已然是20C最为波澜壮阔的数学分支。
1 经典思路
既然两大猜想一般情况下都是错的,人们不仅要问
问题a 什么样的流形可以三角剖分?
问题b 对于什么样的流形,main conjecture成立?甚至要问
问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件。
1951年Moise证明了任一3维流形都可以三角剖分,且在组合等价的意义下剖分是唯一的,即主猜想也成立。由此人们可以惊呼:3-D流形的同胚分类本质上就是一个组合学问题。可是至少我目前为止没有看到有人认真地类比2维分类情形的分类方法来做3-D流形的同胚分类问题。我想这很大程度上是因为拓扑学家还不能够驾御类似于2维情形中组合学方法的复杂性。不管怎么说,组合学方法还是产生了一些有意思的结果的。特别地例如组合群论的产生以及伴随组合学而来的算法视角的研究方法。说到这里不能不提及Markov于1958年证明的一个著名否定性结论:维数大于等于4时,拓扑流形的分类是算法不可解的。因此3-D流形的完全分类是人类的last chance! 除非我们研制出量子计算机代替当前的Turing机,给算法带来全新的概念或革命。
问题a,b的回答的程度取决于问题c研究的深度。要回答问题c,需要精深的代数拓扑学的理论。
当然了从初等方法的角度,拓扑学家细入研究了3-D流形的拓扑性质。得到很多基本而又重要的命题。比如Kneser和Milnor证明了任一3-D流形都有唯一的prime decomposition。大神Papakyriakopoulos(简称Papa,大神是我给封的,因为他至死都在惦记着Poincare猜想的证明)在1957年一口气给出Dehn引理、loop定理和sphere定理的证明。sphere定理在不可定向的类比是Epstein的射影平面定理。此外还知道每个3-D流形都可以作Heegaard分解,故可将3-D流形用Heegaard diagram表示出来,进而可以定义3-D流形的Heegaard亏格。Reidemeister于1935年成功地将Heegaard亏格为1的3-D流形作了完全分类,它们是著名的透镜空间类和S1上的不可定向的S2丛。用初等方法(纯几何拓扑方法)研究Heegaard亏格较高的3-D流形的分类是极为艰巨的一件事。
2 代数拓扑
代数拓扑实在是博大精深的数学,我觉得凭我一人之力今天让大家即使管窥一斑都很困难。自Poincare而后,20世纪20年代,de Rham 证明了Elie Cartan(20世纪最伟大的几何学家,长征到几何学部分时,我还要大讲特讲。)关于微分形式的Rham定理。Morse建立起拓扑学中的变分方法,即Morse理论。30年代Hurewicz定义了一般维数的同伦群。Pontryagin引入了配边问题,即什么代数拓扑条件能使得一个闭流形成为某个带边流形的边界?Thom发展了横截性概念与Pontryagin方法,将配边问题转化为Thom空间的同伦群的计算问题。之后Kolmogorov与Alexander定义了上同调群,最后Whitney, Stiefel,Pontryagin与陈省身先生先后发现了各种版本的示性类理论。接着四、五十年代便开始了对拓扑不变量的艰难计算。其中有趣的是Hirezebruch, 他将Rokhlin发现的一个定向的配边不变量,即所谓“符号差”,用Pontryagin数表示出来,因而证明了代数几何中一般的Riemann-Roch定理。之后, Milnor与Kervaire发展了h-配边理论。Smale证明了维数大于等于6时,每个单连通的h-配边都是平凡的,而且组成边界的两部分是微分同胚的。进而他借助h-配边理论和Morse理论与Stalling, Wallace独立地证明了广义Poincare猜想:一个维数大于等于5的流形若与球面的伦型相同,则必PL同胚于球面。因此Smale拿了Fields奖。
我们说一门理论是否真的的强大,拿一个重要猜想来做试金石试一试就行了。明显地,Poincare猜想起到作为配边理论和Morse理论的试金石的作用,奠定了两者在拓扑学中的地位。基于拓扑学最初的使命是分类流形的事实。拓扑学的理论大多亦不会离使命太远。Poincare猜想的重要性在于它要人们去识别最简单的流形--球面。因而一个真正强大的拓扑学理论不去找Poincare猜想作为试金石又去找谁呢?
话说Poincare猜想经过几代拓扑学家与几何学家的努力已经升级为一个系列猜想。至少有拓扑版本、PL版本和DIFF版本三个变种。拓扑版本是说一个同伦球必为一个拓扑球。Newmann在1966年证明了维数大于4的情形,Freedman于1982年证明了维数为4的情形(Fields奖,Freedman是又一个建立了以Poincare猜想为试金石的数学家)。Peleman在Thurston的几何化假设的框架下,建立在Hamilton的Ricci流理论的基础上,于2003年到2004年证明了维数为3的情形(Fields奖)。PL版本有强弱个子版本的分别。弱PL版本是说一个PL同伦球必为一个拓扑球。当然拓扑版本蕴涵弱PL版本。强PL版本是说PL同伦球必为一个PL球。刚刚说过了,1962年Smale证明了维数大于等于5的情形(Fields奖)。维数为4时至今(2011年2月3日,呵呵,今天是大年初一啊,祝大家新年身体健康,万事如意。)仍是open problem! 维数为3的情形当然还是Peleman的工作。DIFF版本仍有强弱两个子版本,同样弱DIFF版只是拓扑版本的推论。强DIFF版本,一般情形(维数大于等于7时)于1958年被Milnor的怪球反例否定了(Fields奖),并由此诞生了微分拓扑学。实际上,Hamilton-Peleman对Thurston的几何化假设的证明蕴涵了3维强DIFF版的的Poincare猜想。现在(2011年2月3日凌晨3点)仅有的两个公开情形是强PL版本和强DIFF版本在4维的情形,而且已知这最后的两个情形是等价的。
代数拓扑到了20世纪60,70年代,一方面回答了问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件;另一方面,在人们的惊讶声中诞生了微分拓扑学和绚丽无比的纤维丛理论。
六、七十年代之后拓扑学倾向于代数的部分或有其他背景的部分如同调代数、K理论远在我的认知和理解范围之外了,因此我只能避而不谈,希望有高人将来给补充。
1956年,Milnor发现同胚于标准球面的光滑球面未必能微分同胚之,因而否定了强DIFF版本的Poincare猜想。(Fields奖)一般而言,光滑流形上若有微分结构也未必是唯一的。至此人们已经认识到,拓扑学的分类问题应该是将拓扑流形作同胚分类,将PL流形作PL同胚分类(即将同胚的PL流形上所能允许的所有PL结构都构造出来),将微分流形作微分同胚分类(即将同胚的或PL同胚的光滑流形上所能允许的所有微分结构都构造出来)。当然,除了这三个范畴外,还有一些次要的范畴,并且对于这三个范畴的拓扑学问题,人们已经掌握了如下的事实:
d 组合三角剖分猜想是说拓扑流形上总有一个PL结构,Main conjecture是说PL流形上的PL结构是唯一的,当然上面说过了,对于一般的流形这两个猜想都是错误的。对于3维流形,它们都是正确的。
e Milnor发现维数大于等于7时,PL流形上未必有唯一的光滑结构,Kervaire发现存在PL流形(例如那个著名的E8)没有任何的微分结构。
f Whitehead证明光滑流形总是可以被三角剖分的,且具有唯一的PL结构。
g 维数小于等于3时,拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时,Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时,拓扑流形是否可以三角剖分至今(2011年1月)仍是公开问题。
1958到1965年间,Thom, Munkres, Hirsch等人定义了障碍群,Cairns, Whitehead, Hirsch, Milnor, Munkres, Lashof, Mazur等人的工作弄清楚了PL流形上光滑结构所成的分类空间PL/O的结构。他们证明了π_n(PL/O)=θ_n, n>=7;π_n(PL/O)=0, n<=6, 其中θ_n是怪球的有限Kervaire-Milnor群。这是事实e的定量刻画。根据这些数学家的工作,我们可以知道,维数大于等于5时,一紧致拓扑流形上若有微分结构,则微分结构在微分同胚的意义下只有有限多个。
接着1969年Kirby-Siebenmann得到分类空间TOP/PL的重要性质:TOP/PL同胚于Eilenberg-Maclane空间K(Z/2, 3),因而π_n(TOP/PL)=Z_2, n=3; π_n(TOP/PL)=0, n不为3。这样就定量描述了事实d。并且Kirby-Siebenmann还具体构造了PL结构的障碍群K(M)。n>=5时, 拓扑流形M上有一个PL结构,当且仅当K(M)=0。Kirby和Siebenmann还证明了维数大于等于5时,一紧致拓扑流形若有PL结构,则其PL结构在PL同胚的意义下只有有限多个。
1976年,Calewski-Stern, Matumoto分别构造了拓扑流形可以三角剖分的障碍群δ_k(M)。维数n>=5时,拓扑流形M可以三角剖分当且仅当δ_k(M)=0。这样理论上描述了事实g。但维数n>=5时,是否总有δ_k(M)=0,还是公开问题。
1983年左右,Donaldson利用理论物理上的工具( Yang-Mills方程的瞬子解),得到一大类4维拓扑流形,它们不允许任何的微分结构,例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知,存在4维拓扑流形M,其上有无穷多种微分结构,例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上,维数为4时,会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题,如现在(2011年1月)还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多(甚至是唯一的)的微分结构
弦理论是否具备可证伪性?
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2 个回答
什么是答案总结? 答案总结
怎么这么多人有弦论不可证伪的印象?
都是那些喷弦论是数学的人害的。
物理学家是不会研究不可证伪的东西的!
但弦论有它的特殊性:
1.它是一大类理论,landscape有到之多(最近看到好像应该是)。
2.它的能量尺度非常高。
这就造成了一个现状:我们的实验在可预见的将来都达不到可以直接检验弦论的程度,并且低能尺度下的大部分现象都有可能从string theory landscape中找到UV limit——也就是说低能实验对它的证伪效用非常低。
但是!不可能没有弦论解释不了的低能现象。如果没有的话,那么一切低能理论都可以用弦论解释,那么我们就已经找到了一个通往终极理论的路了——只要确定我们在landscape中的哪个点就行了。哪有那么好的事!
目前的状况是,弦论的landscape如此之大,以至于人们根本都还没找到如何判定一个低能理论能否在其中找到高能极限的方法。所以对弦论landscape的研究是必需的(很大程度上也就是对Calabi-Yau manifold的研究),也许通过这样的研究可以找到低能实验证伪弦论的办法。
都是那些喷弦论是数学的人害的。
物理学家是不会研究不可证伪的东西的!
但弦论有它的特殊性:
1.它是一大类理论,landscape有到之多(最近看到好像应该是)。
2.它的能量尺度非常高。
这就造成了一个现状:我们的实验在可预见的将来都达不到可以直接检验弦论的程度,并且低能尺度下的大部分现象都有可能从string theory landscape中找到UV limit——也就是说低能实验对它的证伪效用非常低。
但是!不可能没有弦论解释不了的低能现象。如果没有的话,那么一切低能理论都可以用弦论解释,那么我们就已经找到了一个通往终极理论的路了——只要确定我们在landscape中的哪个点就行了。哪有那么好的事!
目前的状况是,弦论的landscape如此之大,以至于人们根本都还没找到如何判定一个低能理论能否在其中找到高能极限的方法。所以对弦论landscape的研究是必需的(很大程度上也就是对Calabi-Yau manifold的研究),也许通过这样的研究可以找到低能实验证伪弦论的办法。
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具备。虽然目前人类还无法达到弦理论的普朗克能标,但是弦理论一些低能推论如超对称还是可以验证的,目前LHC正在寻找超对称粒子,如果LHC找不到超对称,虽然不能完全排除,但弦理论的超对称破缺方式就得加上限制了,一些模型就得排除。
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