轻重空穴_百度文库
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2011年3月9日 - ... p 哈密顿量如果我们知道了k处的能量,当q很小时,则可以扩充这个去计算k+q处的能量… k . p 有效质量二阶微扰原理… 能量的泰勒级数展开… k .10 - 文档检索 - 维普网
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二维倒格基矢的矩阵表达式 分享者: 关键词:矩阵表达式基矢教科书固体物理学倒格子正格子表面物理伴随矩阵有效质量二阶行列式| 共页 <正>然而,对于如何求二维倒 ...固体的电子输运过程- 豆丁网
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2011年5月4日 - ... 令电子有效质量： （二阶对称张量） October 29, 2009 材料物理: 输运15 得到三维晶格电子在外力作用下满足牛顿第二定律： a m f n r r ∗ = October ...固体的电子输运过程
固体的电子输运过程 材料物理 孔 毅 October 29, 2009 材料物理: 输运 2 §6.1 晶体电子的准经典运动 一、波包、电子平均速度 在量子力学中，对于任意具有经典类比的系统，如果一 个状态的经典描述近似成立，则量子力学中就由一个波包代 表该状态。波包的坐标和动量有近似值，其精度由测不准关 系确定（海森伯关系）： 波包 h ≥ Δ Δ x p x （普郎克常数） x x k p h = 对于电子， October 29, 2009 材料物理: 输运 3 电子的空间分布在 附近的 内，动量分布在 附近 范围内。波包中心 称为电子的位置， 称为电子的 动量。 0 r r Δ 0 k h k Δ h 0 r 0 k h 所以，晶体共有化电子不能同时有确定的位置和速度， 但具有平均位置和平均速度。将布洛赫波组成波包，波包的 群速度就是电子平均速度。晶体电子可以用类似经典粒子的 速度、准动量和能量加以描述。 当 a k x π 2<< Δ （布里渊区的线度） h ≥ Δ Δ x p x a x >> Δ （电子共有化运动） October 29, 2009 材料物理: 输运 4 电子平均速度 根据量子力学理论，电子平均速度： dr p m k k k ϕ ϕ υ ˆ 1 ∫ ∗ = m p ) ) = υ 由单电子薛定谔方程： k k k E H ψ ψ ) ( ˆ = dr H k E k k ϕ ϕ ˆ ) ( ∫ ∗ = 得到： October 29, 2009 材料物理: 输运 5 dr k H dr H k k k E x k k k x k x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ ˆ ˆ ) ( dr k u e H dr H k u e dr H x x H i k k E x k r ik k k x k r ik k k x ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ⋅ ∗ ∗ ⋅ − ∗ ∫ ∫ ∫ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ( ψ ψ ψ ψ 由布洛赫定理： ( ) r u e k r ik k ⋅ = ψ 得到： z k y k x k r k z y x + + = ⋅ ( ) r u e k r ik k ∗ ⋅ − ∗ = ψ October 29, 2009 材料物理: 输运 6 利用算符 的厄米性质，得到上式中的第三项： ( ) ∫ ∫ ∫ ∗ ⋅ ∗ ⋅ − ⋅ ∗ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ dr k u e k E dr H k u e dr k u e H k x k r ik k x k r ik x k r ik k ψ ψ ψ ˆ ˆ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∗ ⋅ − ⋅ ⋅ ∗ ⋅ − ∗ ∫ ∫ ∫ dr u e k u e k E dr r u e k u e k E dr H x x H i k k E k r ik x k r ik k r ik x k r ik k k x ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ψ ψ H ˆ 得到： ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − dr u u k k E dr H x x H i dr u k u k E dr u k u k E dr H x x H i k k x k k k x k x x k k k ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ψ ψ ψ ψ October 29, 2009 材料物理: 输运 7 因为： 0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∗ ∗ dr k dr u u k k k k k ψ ψ x P m i H x x H ˆ ˆ ˆ h − = − 得到： ) ( ˆ ) ( k dr P m k k E x k x k υ ψ ψ h h = = ∂ ∂ ∫ ∗ x x k k E k ∂ ∂ = ) ( 1 ) ( h υ October 29, 2009 材料物理: 输运 8 同理得到： y y y y k k E k k k E ∂ ∂ = = ∂ ∂ ) ( 1 ), ( ) ( h h υ υ z z z z k k E k k k E ∂ ∂ = = ∂ ∂ ) ( 1 ), ( ) ( h h υ υ ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( k E k k k E j k k E i k k E k j i k k z y x z y x ∇ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = D h υ υ υ υ October 29, 2009 材料物理: 输运 9 二、晶体电子在外力作用下的加速度 在外力作用下（外加电场、磁场等），单位时间内，外 力对电子的作功： υ r r ⋅ f 外力对电子的作功使电子能量发生变化， 电子能量是波矢的函数，所以外力作功使电子波矢发生改变： ( ) υ r r ⋅ = f dt k dE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt k d k E dt dk dk k E dt dk dk k E dt dk dk k E dt k dE k z z y y x x r ⋅ ∇ = ∂ + ∂ + ∂ = October 29, 2009 材料物理: 输运 10 得到： ( ) υ r r r ⋅ = ⋅ ∇ f dt k d k E k ( ) dt p d dt k d dt k d f r r h r h r = = = k p r h r = ：晶体电子准动量 October 29, 2009 材料物理: 输运 11 三、电子有效质量 对一维晶格，在外电场作用下，电子波矢不断随时间变 化，则电子速度必然变化，电子加速度： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 dk k E d f dt dk dk k E d dk k dE dt d dt d a h h h = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = υ 令 ( ) 2 2 2 1 1 dk k E d m n h = ∗ a m f n ∗ = 电子有效质量 引进 后，晶体电子在外 力作用下的加速度类似牛顿 第二定律。 ∗ n m 电子有效质量的定义 October 29, 2009 材料物理: 输运 12 对三维晶格，电子速度： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = = k dt dk j dt dk i dt dk dt k d f z y x r r r h r h r ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = k k k E j k k E i k k E k E z y x k r r r h h r 1 1 υ 外力作用下，电子波矢变化： October 29, 2009 材料物理: 输运 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k dt dk k k E dt dk k k k E dt dk k k k E j dt dk k k k E dt dk k k E dt dk k k k E i dt dk k k k E dt dk k k k E dt dk k k E k k k E j k k E i k k E dt d a z z y z y z z x z z y y y x y x z z x y y x x x z y x r h r h r h r r r h r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 电子平均加速度： October 29, 2009 材料物理: 输运 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x z z y z x z y y y x z x y x x z y x f f f k k E k k k E k k k E k k k E k k E k k k E k k k E k k k E k k E a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 z z y z x z y y y x z x y x x n k k E k k k E k k k E k k k E k k E k k k E k k k E k k k E k k E m h 令电子有效质量： （二阶对称张量） October 29, 2009 材料物理: 输运 15 得到三维晶格电子在外力作用下满足牛顿第二定律： a m f n r r ∗ = October 29, 2009 材料物理: 输运 16 计算举例 对一维晶格，原子S态电子能量本征值的一级近似： ) cos( 2 ) ( ka k E i γ β ε − − = a N l k 1 1 2π = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ − = 2 , 2 1 1 1 N N l ) cos( 2 ) ( 2 2 ka a k k E γ = ∂ ∂ 能带底 （能带极小值）电子有效质量： 0 2 / ) ( / 2 2 0 2 2 2> = ∂ ∂ = = ∗ a k k E m k c γ h h 能带顶 （能带极大值）电子有效质量： 0 = k a k π = 0 2 / ) ( / 2 2 2 2 2< − = ∂ ∂ = = ∗ a k k E m a k c γ π h h October 29, 2009 材料物理: 输运 17 电子有效质量的物理意义 电子有效质量概括了晶体内部周期性势场对于晶体电子的 作用，使得在分析晶体电子在外力作用下的运动规律时，可 以不涉及到晶体具体势场，大大简化分析。 回旋共振实验可以确定电子有效质量。 October 29, 2009 材料物理: 输运 18 能带极值 附近，电子 ： ( ) k k E ~ 0 k k = ( ) ( ) ( ) ( ) L + − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = = = 2 0 2 2 0 0 ) ( 2 1 ) ( 0 0 k k k k E k k k k E k E k E k k k k ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 k k m k E k E − + ≈ ∗ h （能带极值附近，电子能谱与自由电子能谱类似（抛物线关系），电子是 具有有效质量的自由电子。） ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 k k m k E k E − = − ∗ h k 0 a π a π − ( ) k E 2 G 2 G − 0 = k a k / π ± = 极小值 极大值 October 29, 2009 材料物理: 输运 19 §4.6 固体导电性能的能带论解释 一、热平衡条件下，能带电子总电流等于零 在每个能带中，电子能谱在 空间具有对称性： ( ) ( ) k E k E − = k 同一能带上， 态、 态电子速度： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = k k k E j k k E i k k E k E k z y x k r r r h h r 1 1 υ k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k E j k k E i k k E k E k z y x k υ υ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂ − ∂ = − ∇ = − r r r h h r 1 1 k − （同一能带上， 态、 态电子速度大小相等、方向相反。） k k − October 29, 2009 材料物理: 输运 20 ( ) k E n k ε ( ) k υ k a π a π − 0 ( ) k E n a π a π − k k ( ) k υ 0 0 a π − a π a π − a π 0 October 29, 2009 材料物理: 输运 21 态、 态电子对电流密度的贡献： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = − − − = − − + − = k q k q k q k q J υ υ υ υ r r r r r k k − 在热平衡条件下，电子占据 态、 态的几率相等，所以 在没有外加电场情况下，无论是满带电子或不满带，能带中 所有电子的总电流等于零。 k k − October 29, 2009 材料物理: 输运 22 二、外加电场作用下，满带电子不导电，不满带电子导电 给晶体外加电场 ， ε ε r r q f − = ε r r q dt k d − = 晶体电子受到电场力： 晶体 V ε 能带中所有电子的波矢以同样速度从一个 状态变化 到另一个 状态 k k October 29, 2009 材料物理: 输运 23 由于状态点在 空间均匀分布，而且： k ( ) ( ) k E G k E n n r r r = + ( ) ( ) r r k n G k n r r r , , ψ ψ = + 1 1 2 2 3 3 a π 3 0 a π a π − a π 2 a π 2 − a π 3 − ( ) k E n ( ) k E 2 ( ) k E 1 ( ) k E 3 October 29, 2009 材料物理: 输运 24 对满带，从布里渊区 一侧边界流出的电子 从布里渊区另一侧边 界流进来，整个能带 中电子分布没有变 化，所以，没有电流 形成。 ( ) k υ k a π a π − 0 A X D C B Z Y ε r k ( ) k E n a π a π − 0 October 29, 2009 材料物理: 输运 25 对不满带，外电场 使电子状态在 空间平 移，形成不对称分布， 沿电场方向运动的电子 数目与反电场方向运动 的电子数目不等，形成 电流。所以，不满带电 子导电，将不满带称为 导带。 k ( ) k E n a π a π − k k ( ) k υ 0 a π − a π 0 ε r October 29, 2009 材料物理: 输运 26 三、空穴 ( ) k E n 1 = n 空状态A X D C B Z Y k a π a π − 2 = n 跃迁、空带、近满带（价带） 热激发，使满带顶电子跃迁到空带中 空带 导带 满带 近满带（价带） October 29, 2009 材料物理: 输运 27 C B A Z Y X D C B A Z X D Y A X D C B Z Y ε r ε r ε r ( ) k E n k a π ( ) k E n ( ) k E n k k a π − 0 电场作用下，价带顶附近空状态 的波矢变化、速度与电子相同： ε r r q dt k d − = 空状态移动可以用电子填充等效， 假设一个电子填充空状态，产生 的电流为： ( ) k qυ − ( ) ( ) k E k k ∇ = h 1 υ 空穴、空穴电荷、空穴运动速度 October 29, 2009 材料物理: 输运 28 电子填充该空状态后，能带被填满，总电流为零： ( ) [ ] 0 = − + k q I k υ ( ) k q I k υ = 上式表明，包含一个空状态的能带在外电场作用下，产生 的电流与一个带正电子电荷、以该空状态的电子运动速度运 动的“赝粒子”产生的电流相等。 通常将这种赝粒子称为空穴。 October 29, 2009 材料物理: 输运 29 空穴具有正有效质量 ∗ − = = n m q dt k d a ε υ ) ( 空状态得到的加速度： 电场作用下，价带顶附近空状态的波矢变化与电子相同： h q dt dk ε − =< 0 ∗ n m 在价带顶，电子有效质量： October 29, 2009 材料物理: 输运 30 ∗ ∗ − = n p m m 得到： ∗ = = p m q dt k d a ε υ ) ( 定义空穴有效质量： October 29, 2009 材料物理: 输运 31 四、导体、绝缘体、半导体的能带解释 导带 导带 禁带 禁带 禁带 价带 价带 满带 半满带 绝缘体 半导体 导体 价带 价带 绝缘体禁带宽度比半导体大得多；金属具有半满带；半导体禁带宽度较 小，一定温度下，价带电子容易激发成导带电子。 导体、绝缘体、半导体能带图 October 29, 2009 材料物理: 输运 32 导体 绝缘体 半导体 导体 n E n E n E n E October 29, 2009 材料物理: 能带结构 33 Thanks！
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