在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式
ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2
其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。
爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。
sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数 no非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规，对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时，四维间隔保持一定”是等价的说法。
时空是密不可分的，以前我们常做的那种MRI，只是因为那台机器有问题，能拍出片子的似乎都是一个角度，于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台，才发觉你完全可以用其它角度取截面
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规，对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时，四维间隔保持一定”是等价的说法。
wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩我不确定的，就是你是否只考虑正交子空间上的度量还是整个的。前者对应的是Killing运动，后者才是波恩的刚性运动。前面那个微分方程是线性的，因为求导对象就是闵氏度量，后面那个是非线性的，因为诱导度量本身又是动体轨迹的函数。
（继续相对论中的刚性）
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
对第三段的解释补充一句：换句话说，如果你跟你的朋友坐在两个不同的点上，那么在运动过程中你们发觉彼此的距离一直不变
我想起了开车等绿灯通行的时候,红灯一灭,最前面的车起步要时间.它后面的车看到前面的车起步了,它才能起步走.这样又有一个反应时间.一直下去....可以看到红绿灯前面车流的速度是很慢的.比车速度要慢多了
（继续相对论中的刚性）
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体，不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人，但他只考虑了非常特殊的情况，并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。
（下面的定义相对抽象，大家包涵点，这样的地方不会很多）波恩的做法是，考虑动体上的每一点的运动轨迹，用固有时（proper time，这个词是从@坂上中微子 那里刚学的）把轨迹曲线参量化，这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流（current），或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点，他再考虑跟切向正交的子空间，然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规（induced metric）。波恩的刚性要求就是，这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。
好了说了一大堆，大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是，一个运动物体要满足波恩刚性，那么对物体上每一个点每一个瞬间，从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。
这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子，以后再来介绍一些相对复杂些的情况（比如埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）佯谬）。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理（Herglotz-Noether theorem）。
对第三段的解释补充一句：换句话说，如果你跟你的朋友坐在两个不同的点上，那么在运动过程中你们发觉彼此的距离一直不变
（继续相对论中的刚性）
例子一：匀加速直线运动下的波恩刚性。
考虑一根与x轴平行摆放的细杆（我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合，或者说就是x轴的一段）。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右（x轴的正向）做加速运动，并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变，并且这个形变会以音速传递到另一端，而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性（因为有一端仍然适用静止参照系的度规，而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变）。
利用同样的推理过程，我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法，是对杆子上每一个点同时加速！波恩选了个最简单的做法，就是让每点做匀加速运动（准确地说，是具有恒定“固有加速度”（proper acceleration）的运动，所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变，但这个细节对大家理解问题没有影响）。
波恩从最简单的情形出发，首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似，这条世界线也是一条圆锥曲线，但牛顿力学中得到的是一条抛物线，而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”（hyperbolic motion）。波恩还发现，假设加速度为a，当他把坐标原点取在质点左边（1/a）个单位的位置上时，这个方程有很简单的表达式（以下我们都调整单位使得光速c = 1），就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 （这里 x^2 表示x平方）。这是个以1/a为半长轴，以光锥 t = x
为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度，那么我们会得到如下图所示的曲线族（看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标）：
![]()
（图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm）
巧妙的是，任取一条双曲线，并且在这双曲线上任取一点，代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点（图中的直线族）！而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方，所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变，都是加速度的倒数1/a！这说明从任何一个质点的随动系看，杆子的长度都没有变过，所以这符合波恩刚性的要求！上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。
好了，用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话，下面是总结：如果把一根细杆放在原点右方的x轴上，然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动，我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是，越靠近杆子右端，加速度越小；越靠近左端，加速度越大。就是说，左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时，需要的加速度会趋于无穷大！
所以一旦杆子右端的加速度确定，原点的位置就确定了（往左移1/a，这也说明坐标系的选取没有特殊性，只是简化计算而已），而这也给杆子长度加了限制，因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。
例子一：匀加速直线运动下的波恩刚性。
考虑一根与x轴平行摆放的细杆（我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合，或者说就是x轴的一段）。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右（x轴的正向）做加速运动，并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变，并且这个形变会以音速传递到另一端，而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性（因为有一端仍然适用静止参照系的度规，而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变）。
利用同样的推理过程，我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法，是对杆子上每一个点同时加速！波恩选了个最简单的做法，就是让每点做匀加速运动（准确地说，是具有恒定“固有加速度”（proper acceleration）的运动，所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变，但这个细节对大家理解问题没有影响）。
波恩从最简单的情形出发，首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似，这条世界线也是一条圆锥曲线，但牛顿力学中得到的是一条抛物线，而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”（hyperbolic motion）。波恩还发现，假设加速度为a，当他把坐标原点取在质点左边（1/a）个单位的位置上时，这个方程有很简单的表达式（以下我们都调整单位使得光速c = 1），就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 （这里 x^2 表示x平方）。这是个以1/a为半长轴，以光锥 t = x
为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度，那么我们会得到如下图所示的曲线族（看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标）：
（图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm）
巧妙的是，任取一条双曲线，并且在这双曲线上任取一点，代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点（图中的直线族）！而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方，所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变，都是加速度的倒数1/a！这说明从任何一个质点的随动系看，杆子的长度都没有变过，所以这符合波恩刚性的要求！上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。
好了，用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话，下面是总结：如果把一根细杆放在原点右方的x轴上，然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动，我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是，越靠近杆子右端，加速度越小；越靠近左端，加速度越大。就是说，左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时，需要的加速度会趋于无穷大！
所以一旦杆子右端的加速度确定，原点的位置就确定了（往左移1/a，这也说明坐标系的选取没有特殊性，只是简化计算而已），而这也给杆子长度加了限制，因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。
对上面例子的几点补充：
1.上面叙述的过程被我戏剧化了一点：）波恩在他1909年的文章里是先用一个参数方程给出了上面的匀加速运动轨迹，然后平淡地说了句“让我们消去参数p”就给出了上面的双曲线方程。
2.原点的选取是个很自然的过程，因为它是双曲线的两条渐近线的交点。
3.如果有个观者A坐在例子中匀加速的杆子上，另有个观者B则静止在原点，那么从A看B会出现一个奇怪的景象：尽管在拼命加速离开原点，但在A看来他/她跟B之间的距离却是恒定的！也就是说，A所选取的加速度的大小要正好把自己加速到一个合适的速度，使得自己跟B的距离（话说这个也依赖于加速度的选取！）由于尺缩效应而始终不变！从这里我们也可以体会到为什么这个波恩刚性是个看来自然，却限制很大的条件。
4.另外从这里我们可以窥见一点刚性条件为什么是个非线性微分方程的原因：在这里方程简单地表现为A到B（原点）的距离为常数（对固有时求导当然就为零）。但这个距离不是闵空间本身的度规（那样的话就直接是x坐标了！），而是闵空间的度规在随动系上的诱导度规（就是固有长度），这个诱导度规非线性地依赖于质点的速度（要乘上洛仑兹因子，所以会出现导数的平方项）！
5.（这个有趣的想法来自上面引用的那个世界线图片的mathpages网页）上面的例子引发我们思考一个可以称为“深刻”的问题，就是惯性的本源。这个问题恐怕无数物理学家都考虑过，其中牛顿，马赫，爱因斯坦大概是大家最熟悉的。而如果分析上面例子中的加速作用，就会发现尽管杆子的各点之间保持了距离不变，但由于各点加速度不同，在经过同样的固有时间后，各点的速度并不相同，也就是说，在它们的随动系中时间流逝的速度各不相同！这可以理解为物体从闵氏时空继承的几何性质（诱导度规的又一种说法）对加速运动的一种抗拒（或者说惯性！）：要么各点之间距离改变，要么各点之间时间不同步，总之无法两全。要想距离不变，时间同步，只有在一个各点引力梯度完全相同的引力场中做自由落体运动。而这时各点固有加速度为零，所以局部地每点都处于惯性运动中。
下一个例子打算介绍贝尔飞船佯谬。这是大家熟悉的素材，但我们会从刚性的角度作一点分析。
No comments:
Post a Comment