在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①
德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式
ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2
其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。
爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。
高级微观经济学 - 第 32 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=7302041717 - 轉為繁體網頁
武康平 - 2001 - Microeconomics
二、价格的表示(一)价格向量我们首先考虑有限维经济中商品价格的表示问题。设商品空间为 R ' ,用九表示一个单位商品 i 所能交换的货币量,则角就是商品 i 的价格( i"在此之前，我们不妨先看一下时空、引力和物质之间的关系，我这里说保守的说法：时空有其固有的几何结构，就是我们常说的Lorentz群结构，如果不考虑物质的影响，我们可以称之为纯度规场；引力有来源，是物质的能量动量张量，引力的来源的张量要求其实已经表达了这样一个意思，就是物质场和纯度规场的耦合，或者换句话说，我们写出的表述物质的Lagrangian被要求是广义协变的。在爱因斯坦引力理论里面，时空、引力和物质就是这样的一种联系，物质就是物质，时空就是时空，相比粒子物理的规范相互作用，引力理论中所谓的规范相互作用（物质场和纯度规场的所谓耦合），很不相同，从这个角度看，我本人认为，引力理论不存在被要求实现量子化的条件。所以，跳出这个话题，如果你问暗物质是否会影响时空几何结构？那么答案应该是明显的，时空的几何结构不会被物质所影响，只不过能够表现出来物质的引力效应"
2014年12月12日 - sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有没有动力学反馈; 整个度规求导是Killing motion, 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度 ...
荊陽青龍公 (公丘子) 2012-05-03 11:23:37
可能是因爲度槼是決定時空性質的唯一物理量，所以，應該對度槼求變分。再者，愛因斯坦方程就是關於度槼的二階方程。
我遇到過這種情況。給出電磁場張量和對應的拉氏量，用變分法求出麥克斯韋方程組。如果對協變的四矢求變分，非常好算且能得到麥克斯韋方程。但是，若是對逆變四矢求變分，非常複雜；我沒認真算，但是，我估計得不到麥克斯韋方程。
正確的是：麥克斯韋方程組是一樣的，能動量張量可能不一樣。繼續驗証中
那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度 那么假设度规不是基本场，不能表达所有的引力的性质，我们就可以得到对广相的修正，选择合适的度规函数，可以跟观测对比，取得合理的形式。
在引力理论里面，把作用量看做度规的协变还是逆变形式的泛函，对于正统的 GR 来说没有区别
求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
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度规的意义_百度文库
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"度規求导数"
愛因斯坦-希爾伯特作用量- 維基百科，自由的百科全書
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sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有 ...
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科学网—大理石和木头- 王雄的博文 - 科学网—博客
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[DOC]度规的意义 - 教育数学会
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【揭秘】从爱因斯坦场方程说起/ databit / 第6页-[天涯] - 贴库网
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对谁做变分[误] - 豆瓣
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豆瓣小组
广义相对论引起的科学思想革命
自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
对谁做变分[误]
来自: 编程的章鱼喵(=L=~=M=) 2012-05-01 13:08:30
这种问法是不对的。正确的问法应该是，作用量看作不同函数的泛函的时候，如何如何。只要知道了正确的问法，答案就立刻出来了。
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一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
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一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
广义相对论引起的科学思想革命
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自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
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