measure epicwu John Baez 曼德布洛特集合（Mandelbrot set）， 标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课，就应该知道下面这两个事实：任何一个多项式在复数域 中必有根，并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样，给定一系列多项式，我们就可以把它们的根都画在复平面上，从而形成一些特定的图案

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壮丽的数学——多项式的根

12月 14, 2009

转载自：科学松鼠会 songshuhui.net
木遥 发表于 2009-12-10 11:20
木遥按：这是美国数学家 John Baez 今年 11 月 14 日在他的网页上贴出来的一篇文章（原文）， 很快引起了许多人的兴趣。标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课，就应该知道下面这两个事实：任何一个多项式在复数域 中必有根，并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样，给定一系列多项式，我们就可以把它们的根都画在复平面上，从而形成一些特定的图案。请放心， 即使你对多项式毫不了解，也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合（Mandelbrot set），那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是，人们对这些新的图案还所知甚少。
下面所有括号中的文字都是我所添加，以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。

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我的朋友 Dan Christensen 发现了一幅令人赞叹的图画（见题图）。它是由所有系数为 -4 到 4 之间的整数的 5 次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。
点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青蓝色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴，纵轴是虚 轴，中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1，在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞（即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞）。
你可以在这里看到许多迷人的图案，给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的，──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大，可以看到更多细节：

在这里你可以看到，在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛，在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形（即左上角那个梅花形状的洞），还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来，还有很多其他的点周围的星形的洞，诸如此类。
人们应该开始研究这些东西才对！让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 C_d,n，很显然当 d 和 n 越大， C_d,n 这个集合就越大，并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大，那么我们就能得到全体有理复数；如果令 d 和 n 同时趋于无穷大，那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是，如果我们固定 n，令 d 趋于无穷大，会得到什么呢？
在上面这些图片的鼓舞下，Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后，他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片，这些多项式一共有 2²⁴ 个，其根大约共有 24 × 2²⁴ 个，也就是大约四亿个。他用 mathematica （一个数学软件）花了大概四天时间才计算出所有这些根，得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案：

颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本，这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节：

请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大：

这里是 1 这个点处的那个洞。（即上面最右边那个标记出来的区域。）

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。
然后这里是 i 这个点处的洞。（即最上面那个标记区域。）

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。（差不多位于 1 和 i 正中央。）

请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。
但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于 4/5 点处。（右边数第二个标记区域。）

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。（从上数第二个标记区域。）

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。（剩下的那个标记区域。）这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。

这里有太多东西需要解释了，每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果，可以参见：
Loki Jörgenson， 限定系数多项式的根 以及 相关图片。
Dan Christensen，整系数多项式的根的图案。

是完全满足群论三个的条件。本身就是个群的。[ PDF]一、 引言 - 物理 www.wuli.ac.cn/fileup/PDF/19840501.pdf 頁庫存檔 轉為繁體網頁 由 KG Wilson 著作 - ‎1984 1984年5月1日 - 渐转到1971一1972年论述重整化群的文章.最 .... 重整化群近似就是依次积分掉涨落， 从原子标. 度的涨 ..... 一M彻) 应按波包函数的@) 的集合来进行.     PDF]談規範對稱的推廣(pdf檔案) www.most.gov.tw/nat/public/Attachment/29216201571.pdf 頁庫存檔 形成的集合G 通常會具有以下性質：. 1. g1, g2 ∈ G ... 轉換，例如量子場論中的重整化群(renormalize- .... 個重疊的M5 膜[1]在M 理論中的狀態，所以對. 研究弦論的人    重整化群 分形之父芒德勃罗（2） 发布时间： 2013/5/24 10:09:29 被阅览数： 153 次 来源： 哲学网 作者: mgtsai () 看板: gallantry 標題: Re: [閒聊] 為什麼歐洲數學在近代能領先全球? 時間: Mon Jan 18 18:16:55 2010 ※ 引述《WINDHEAD (Grothendieck吹頭)》之銘言： : 所謂的形式邏輯是二十世紀的產物。 哈哈，這句話說得很好，一語戳破很多人對邏輯系統的謬思 不過精確來說，形式邏輯的發展年代，是十九世紀後葉由 Frege 所開啟的 把數學證明中所常用到的 "量詞" (for any, exist) 形式化 在 Frege 之前，只有三段論被形式化 但以數學證明而言，只有三段論是遠遠不夠用的 至於像反證法，歸納法等，在現代形式邏輯發展之前 仍有其它學派不承認其合法性 (比如，直覺主義學派就不承認反證法的合法性 數學證明過程中，若用到反證法，則視為無效證明) : 所有的數學史書，提到公理化的時候，如果不談二十世紀，那麼說來說去就只那一個 : 歐幾里得，仿似這中間的數學家都鬼隱了一樣。 : 為什麼？ 相較於數學各支派的發展 形式邏輯的發展年代，算是非常晚的，從十九世紀中後葉才開始 不過論起數學各支派的公理化風潮 可以朔至十九世紀中葉，Weierstrass 發展出微積分的 ε-δ 證明法開始 即使微積分於十七世紀由牛頓-萊布尼茲所發展出的一套強而有力的工具 但到十九世紀的 ε-δ 證明法出現前的這兩百年之間 微積分的邏輯基礎其實相當薄弱 因為這期間沒有人有辦法去處理諸如無窮小無窮多這種觸及邏輯層面的問題 (請參考 Zeno paradox) 即使微積分在當時的邏輯基礎很薄弱 但作為一個強力又有效的工具 這兩百年來也開了大花，創造出無數的定理與理論 由於長久以來，微積分是建構在薄弱的邏輯基礎上 所以不承認積分合理性的數學家時有所聞 直到十九世紀中葉 Weierstrass 的 ε-δ 證明法 微積分的邏輯基礎才算真正穩固 同時也讓大家認識到公理化的威力，開啟了數學各支派的公理化運動 比如，Dedekind 將實數公理化，Peano 將數論公理化 還有 Hilbert 將古老的歐氏幾何公理化 (歐幾里得時代的歐氏幾何公理其實是邏輯非常不嚴謹的公理 真正嚴謹的歐氏幾何公理系統是 1900 年由 Hilbert 所建立的) 一步一步往更基礎走下去 進行到了集合論公理化時，卻遇上大麻煩 (比如很有名的羅素誖論) 由於同一時間，Frege 開始的現代形式邏輯也正在發展 集合論公理化所遇上的麻煩，得藉由形式邏輯才可有系統的處理 到後來就發展出各種的集合論公理系統 如 ZFC 集合論公理系統，NBG 集合論公理系統，.... 等 現今數學界所使用的集合論公理系統，如不特別提及，一般是指 ZFC 公理系統 當數學各支派大成致完成公理化之後 邏輯系統本身也冒出許多屬於自身的問題 比如，如何判定邏輯系統的有效性，完備性等等問題 這些問題，一直要到 1930 年代 出現哥德爾完備性定理，以及很有名的哥德爾不完備定理之後 大家才真正意識到，邏輯系統本身也是有漏洞的 (存在不可証明之真命題) 從這個時間點開始 數理邏輯又衍生出証明論，模型論，遞歸論，...等等各支派 而且也促成近代計算機的發展 : 歐幾里得雖然創造了公理系統的論證方法，但那只是確立了數學論證的基本的遊戲規則， : 離所謂的邏輯還很遠。　如果肯仔細去審視數學證明中的每個步驟，會發現，就算給了 : 公理公設，你仍須想辦法說一套故事來連結到欲證明的性質。公理系統只是最低要求， : 絕非工具。　所以一直到十九世紀，這中間的數學家們比的是說故事的能力，比的是 : 巧思與創見，比的是計算的苦功，比的是誰有辦法說服大家。 : 這才是十九世紀以前數學發展的基調。 : 我們現在教科書上關於分析學,代數,幾何,數論的數學敘述，幾乎都是經過二十世紀 : 集合論風潮修飾後的樣貌。 附和這一段話 其實數學某支派的發展 (諸如計算技巧的發展以及理論的發展) 與該支派的邏輯化公理化 這兩者本身並不相同 並不是一定要先邏輯化公理化之後，才會發展相關的計算技巧與各種定理 剛剛所舉的微積分就是一個最好的例子，兩者的時間差大概兩百年左右 甚至與工程及物理學相關的數學 很多是先發展計算技巧，後邏輯化公理化的例子比比皆是 十九世紀之前就不提了，例子比比皆是 二十世紀之後，也有大家所熟知的例子 比如工程上使用的 Heaviside delta function / 物理的 Dirac delta function 都是工程師與物理學家用到很爽之後，數學上才出現泛函理論將之嚴謹化 而理論物理的量子場論，使用微擾法出現無窮級數發散的問題 物理學家自己用一種微積分教授會打零分的計算方法 用了約三十年之後，才由物理學家自己發展出重整化群嚴謹化 : 如果專以數學發展本身而不考慮以政治史分類的話，我傾向將1900以前稱作古典數學， : 1900至1950為近代數學，1950以後為現代數學。

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2．现代“博物学家”     进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大的例外，他是现代科学界最大的博物学家（naturalist）。他十分推崇《论生长与形式》（On Growth and Form）的作者达西·汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。     他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意一些不起眼的非核心刊物。     芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”、“反直觉的”东西。因此诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、外尔斯特拉斯不可微曲线、可充满正方形区域的皮亚诺曲线、谢尔宾斯基（W.Sierpinski，1882—1969）地毯与海绵、柯赫（H.von Koch,1870—1924）雪花曲线等等，都被他视为珍宝。 而这些一直被正统科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”（芒氏视其为“宝贝”）的具体性质，从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。     长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。     巴塞罗斯（Anthony Barcellos）采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪一个？”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。[4]随即他又补充说还有“血管分形结构”以及“自平方龙”（复迭代中的一个例子）等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子都为这个分形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”     不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是提起它，在两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。 　　　　3．通过“莱维稳定分布”走向分形     除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括什么？如果去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般，但也许以后会变得重要。无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项。     1）发现莱维（Paul Levy,1886—1971）稳定分布的重要性；2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；3）［重新］发现M集合；4 ）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；5 ）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal）思想；6 ）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。     在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究他曲折的学术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”（做广义的理解）。他在工程技术中（或者用中国话来说，在生产实践中）发现问题，总结出带有规律性的东西，进而将它们上升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。     直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到芒氏那里还有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。      芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直接从随机变量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。     芒德勃罗从事的第一个科研实践（实际上仍然理论气十足）是研究通讯中的噪声和词频的分布，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动（FBM）的兴趣， 对莱维飞行（Levy flights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。     那么这个线索是什么呢？就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”（Levy’s stable distributions）。 莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学院，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。     在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了人们对这种完美分布的向往。     数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里（甚至到现在仍然如此），数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流行观念是错误的。 [转载]重整化群一瞥 (2013-09-29 17:31:18) 转载▼ 标签： 转载 分类： 金融工程 原文地址：重整化群一瞥作者：南渡北归 zt重整化群一瞥 作者：digudigu 提交日期：2006-9-9 16:42:00 重整化理论告诉我们，在构造理论时作用量中出现的参数或参量并不就是实际测量到 的物理值，这是一个非常重要的观念。重整化理论是为消除量子场论的微扰计算中存在发 散而发展起来的，但是现在看来，重整化是将理论计算用于同实验测量相联系的必要环节 ，而并非仅仅是因为理论计算中存在发散才引入的。举个固体物理的例子可以说明这一点 。考虑在固体晶格中运动的一个电子。由于受到带正电的晶格的背景作用，电子的有效质 量m与它在固体之外的质量m有所不同。换句话说，由于固体背景的作用，电子的质量从m重 整化为m*。通过将电子拿出或放入固体中，我们原则上可以测量到这两个质量。显然，因 为m和m*都是可测的并且是有限的，所以它们之差也是有限的。在相对论量子场论中，情况 与此非常类似但存在两个基本的差别。首先，裸量(对应m)与物理量(对应m*)之间的差是无 穷大，这表现在圈图发散上；其次，量子场论的相互作用从一开始就存在，我们没有办法 象把电子拿到固体之外那样把它除去，这就是说，相对于m的裸量是无法测量的。量子场论 中背景作用来自真实，真空不空而且象是一个介质(相当于例子中的固体)无处不在，我们 不能设想将电子“拿”到真空之外去！于是我们完全有理由假设裸的质量和电荷为任何可 能的值(包括无穷大)，真空的背景作用(相应于微扰论中的圈图修正)刚好抵消了值为无穷 大的裸量从而得到有限的测量值。 由于重整化并不因为存在发散才变得必要，所以重整化的修正并不一定都是无穷大。事实 上，存在有限大小的重整化修正。仍以电子在固体中的运动为例。晶格的背景作用给电子 对外力的响应带来的影响是同电子的运动状态有关的，所以重整化的质量或其它量依赖于 粒子的运动状态，即依赖于粒子运动的能量标度。不同标度下重整化所得到的量(有效的量 )是有限大小的量，它们之间的差别显然也是大小有限的。从一个标度下的有效量到另一个 标度下的有效量通过重整化联系起来。所以，重整化给理论参量带来的改变可以看成是对 它们的一种变换，所有这种变换的全体构成群，称为重整化群。它反映了体系在标度变换 下的行为。 标度变换简单说就是尺度变换。在粒子物理中，很早就有这样的想法，即如果理论中粒子 的质量为零并且不存在其它的有量纲参数的话，那末标度变换下，量子场论的作用量保持 不变。标度变换下不变对于理论是一个重要的性质，其中著名的是关于凝聚态物质相变的 临界行为理论。在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大，由有限晶格常数引起的所有 效应都被抹平，这里不再有特征的尺度，于是热力学函数将具有标度不变性。 但是，通常的情况下粒子的质量可能并不为零而且也不能被忽略掉，这时标度对称性实际 上是被破坏的。换句话说，简单的标度对称性所对应的沃德恒等式不再成立，这也是一种 反常。取而代之的是重整化群的对称性，这时反常对场量在标度变换下的行为的影响(表现 为反常量纲)已经被考虑在内，相应的等式就是重整化群方程。重整化群所反映的对称性其 根源在于前面关于重整化理论的讨论中存在的任意性。裸量是不可测量的，关于它的假定 带有任意性。如果微扰计算中的发散被某种重整化方案R抵消掉，那末存在另外的方案R＇ 同样可以消除发散，两种方案之间相差有限大小的重整化。重整化方案的不同导致重整化 后理论中的物理参数不同，它刚好补偿因重整化方案不同给物理结果(如散射截面等)的计 算带来的改变从而保证了对物理结果的预言不受重整化方案改变的影响。 重整化方案的任意性具体表现在两个方面。除上述重整化参数与物理参数联系起来的关系 上存在的不定性(所谓归一化条件的不定性)之外，另一个是减除点的任意性，这个减除点 就是将发散积分做规制化处理时的截断点。物理的结果不应依赖于截断点的位置是重整化 群方程的实质所在。重整化群方程给出了当截断点变动时重整化的参数(如重整化耦合常数 ，重整化质量)的相应变化规律以保证用它们表达的物理结果(如散射截面等)保持不变。对 于两个粒子散射的典型例子，截断点是交换虚粒子的最大动量值，相应于两个散射粒子在 散射过程中靠得最近时的距离。重整化群方程的解给出了耦合常数随这个距离的变化的函 数关系，这种关系反映了真空作为“介质”对耦合常数(即荷)的屏蔽效应。非阿贝尔规范 场的反屏蔽效应使得耦合常数随着夸克间的相互靠近而变小，这种性质叫做渐近自由。理 论是否渐近自由是由重整化群方程的紫外不动点来决定的。 一个定域的量子场论能否自洽，从重整化群角度看完全由其紫外稳定不动点所决定。但有 时即使存在这样的不动点从而足以保证自洽性，却并不意味着理论在通常的数幂律或渐近 自由的意义上是微扰可重整的。例如，在2＋ε维的Gross—Neveu模型中，当ε＞0时理论 是不可以微扰重整化的，但是只要ε足够小，理论是自洽的。另一方面，微扰可重整有时 并不足以保证理论是截断无关的。有一个截断无关的理论在数学上自然是美妙的，有时甚 至是值得庆幸的。但是，这不等于说那些依赖于能标的有效理论就应该摒弃。实际上，有 效理论也是极为有用的，至少可以预言新的物理将会出现的阈能。β衰变的四费米子理论 就是一个很好的例子。另一个重要的例子是量子色动力学在低能情况下的有效理论。如何 构造一个有效理论在很多时候并非是轻而易举的事，一旦得到合适的有效理论将会给人们 很多很好的启发。 重整化群，有效拉氏量以及渐近自由等概念的发现和引入使得人们对重整化的物理认识进 一步深化，重整化不再仅仅是消除计算发散的一种技巧，而是物理相互作用随所研究现象 的标度变化的体现。重整化群方法已经成为量子场论中的重要方法，它不仅能给出耦合常 数的渐近行为，而且结合算符乘积展开对于一些深度非弹性散射过程的计算十分方便和重 要。当然，重整化群方法还在统计物理中关于相变临界现象的研究方面发挥重要作用。重 整化群理论的研究对于构造大统一场论也是非常重要的   引用http://blog.tianya.cn/blogger/post_show.asp?BlogID=455944&PostID=6720780