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光度距離- 维基百科，自由的百科全书
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對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...
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對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...宇宙学原理_百度百科
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它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各 ...
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它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各 ...把宇宙学原理用在负曲率或零曲率宇宙的边缘,能得出什么结论 ...
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①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各种物理量却 ...
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①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点,在不同时刻,其各种物理量却 ...宇宙学原理(转载)_学术中国_天涯论坛
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2014年4月28日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...
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2014年4月28日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...转载：宇宙学原理(转载)_学术中国_天涯论坛
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2014年5月23日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...
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2014年5月23日 - 它的含意是：①在宇宙学尺度上，空间任一点和任一点的任一方向,在物理上是不可分辨的,即无论其密度、压强、曲率、红移都是完全相同的。但同一点 ...About: Distance de luminosité - DBpedia
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對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...
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對遙遠的物體，例如超出銀河之外的類星體，這種關係就不是很明確了，因為視星等受到時空曲率、紅移、和時間膨脹等的嚴重影響。計算光度距離和之間的關係，例如 ...[PDF]天体和宇宙
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1976年3月8日 - 无论其密度、压强、曲率、红移. 都是完全相同的。但同一点，. 不同时刻可以不同；
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1976年3月8日 - 无论其密度、压强、曲率、红移. 都是完全相同的。但同一点，. 不同时刻可以不同；万维论坛- 安逸123：也谈宇宙中心 - 万维读者网
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2010年3月22日 - ... 无论你现在把这个奇点拉大到多大，这个有限的宇宙总会有一个中心，无论按空间曲率红移，还是引力红移，从中心来的天体光线就总会有一个蓝 ...
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2010年3月22日 - ... 无论你现在把这个奇点拉大到多大，这个有限的宇宙总会有一个中心，无论按空间曲率红移，还是引力红移，从中心来的天体光线就总会有一个蓝 ...Bravenet Web Services
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宇宙的各向同性〞在宇宙中任何一點的不同方向，在物理學上是不可分辨，其密度、
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宇宙的各向同性〞在宇宙中任何一點的不同方向，在物理學上是不可分辨，其密度、"[PDF]弦論和宇宙隱維的幾何
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I. 黎曼幾何學. 1969 年，我到了Berkeley 唸研究. 院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高. 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。 黎曼的創見，顛覆了前人 ...
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I. 黎曼幾何學. 1969 年，我到了Berkeley 唸研究. 院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高. 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。 黎曼的創見，顛覆了前人 ...一個緊而不含物質的空問－即封閉的真空宇宙－其上的重力卻不平凡？
真空宇宙－其上的重力卻不平凡
間的基本群受到曲率強烈的約束
Calabi-Yau空間的直徑非常小，則非零譜變得異常大。這類粒子應該不會觀測到，因為它們只會在極度高能量的狀態下才會出現
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[PDF]弦論和宇宙隱維的幾何
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I. 黎曼幾何學. 1969 年，我到了Berkeley 唸研究. 院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高. 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。 黎曼的創見，顛覆了前人 ...黎曼几何初步.pdf_微盘下载
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11条结果 - 求伍洪熙的《黎曼几何初步》的电子版，感激不尽！ 答：《黎曼几何初步》 作者:伍鸿熙等著页数:311 出版日期:1989.10 是这个不？有pdf版的~~百度hi你~ ...轉為繁體網頁
[PDF]幾何學發展史簡介 - 中研院數學研究所
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9. 高斯的優美定理、Gauss-Bonnet 定理。 10. 非歐幾何的發展與黎曼的內在幾何. 觀。 11. Lagarange 的變分法及Laplace 的天體力學。 12. 尤拉數與波動方程。 13.[PDF]規範場論及微分幾何-邵錦昌 - 數學系
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我們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解. 它們的內涵及密切關係。 二. 高斯、黎曼
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主題：幾何圖形
單元：三角形
幾何觀念的來源
根據希臘歷史學家希羅多德（Herodotus, 約西元前485～425年）的說法，幾何學開始於「測地」。古埃及的尼羅河每年氾濫，湮沒田地，因此需要重新測量土地。幾何學「Geometry」一詞就是由「Geometrein」演變而來的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指測量。測量土地的技術員叫做操繩師 (rope-stretchers)，因為繩子是用來幫忙測量的工具。幾何觀念的第二個來源是航海與天文學。哲學家康德說：
有兩樣事物充滿著我的心，並且產生永不止息的敬畏。那就是：在頭上燦爛的星空，以及心中的道德法則。
幾何學的第三個來源是日常生活的測積。由此引出了長度、面積、容積、體積、表面積、重心等概念，也歸結出一些計算公式。
歐幾里得的幾何原本
在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。從這本書我們可以看出：在當時的社會，幾何並不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。大致說起來，他是屬於西元前365～275年間的人物，這是大致算的時間，並不表示他活了90歲。
這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個
一.畢氏定理：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方 會等於其他兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積
二.三角形三內角之和等於 180°，如果以弳(radian) 為單位，也可以說三角形三內角之和等於 π
內角A
內角C
內角B
這本書在當時受到重視，不單只是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得用幾個很明顯的事實──公理，把幾何的結論從公理用邏輯的方法推出。而在他所列出的公理當中，較受爭議的是平行公理。平行公理原來是說：有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小於180°，那麼這兩條直線在充分延長後，必相交於一點。
一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行。平行者，就是這兩條直線不相交
這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年，後來證明這是不可能的，於是有了非歐幾何學的發現，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。
《九章算經》是中國古代最有名的數學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股，勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊，一個叫做勾，另一個就叫做股，而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理，所以它的發現，中國人也應該有份。但是在中國的幾何中，我無法找到類似三角形三內角和等於 180° 推論，這是中國數學中沒有的結果。
據普羅克拉斯（Proclus, 410～485）的說法，畢氏學派已經知道，用同樣大小且同一種的正多邊形舖地板時，只能用正三角形、正方形與正六邊形，得到三種圖案。然而，數學史家阿爾曼 (Allman) 卻認為，古埃及人習價用這三種正多邊形來舖地板，並且從長期的生活經驗中，觀察而發現「畢氏定理」與三角形三內角和定理。
三角形內角和定理
古埃及人又從舖地板中，發現三角形三內角和為一平角（即180度）。在圖中，繞一頂點的六個角，合起來一共是一周角（即360度），因此正三角形三內角和為一平角。這雖只是特例，但卻是進一步發現真理的契機。
繞一頂點的四個直角，合起來一共是一周角，因此正方形四角和為一周角」。作正方形的對角線，得到兩個相同的等腰直角三角形，從而得知等腰直角三角形三內角和為一平角。將正方形改為長方形，前述論證也成立，因此任何三角形都可以分割成兩個直角三角形（作一邊的高），所以任意三角形三內角和為一平角。
- 將三角形的三個角剪開來（左圖），再將三個角排在一起，就得到一個平角（右圖），著名的偉大科學家巴斯卡（Pascal, 1623～1662）小時候就是如此這般重新發現這個定理。
- 我們也可以利用摺紙的實驗，發現這個定理。即沿著 DE、DG、EF 把三角形摺成長方形 DEFG，那麼 疊合於 A' 點，成為一平角。
利用旋轉鉛筆的實驗，也可看出這個定理
畢氏定理
這是關於直角三角形三邊規律的定理：對於「任意」的直角三角形都有 c2 = a2 + b2- 古埃及人仍然是從舖地板中看出其端倪。在圖中，直角三角形 ABC 斜邊 AB 上的正方形面積，等於兩股上正方形面積之和。這是畢氏定理的一個特例。
- 我們可以利用幾何板 (geoboard)，玩出更多畢氏定理的特例。以下兩圖就是個例子。
- 另一方面，巴比倫人與中國人都觀察到一個木匠法則。即木匠在決定垂直、直角及邊長時，發現邊長為 3, 4, 5 的三角形，三邊具有 32 + 42 = 52 的關係並且為直角三角形（畢氏逆定理之特例）。
- 這些線索好像是礦苗，人們很快就發現了畢氏定理之「金礦」。這只需用剪刀勞作（夠直觀經驗吧！）就可以看出來。圖中，以邊長 a+b 作兩個正方形；左圖剪掉四個直角三角形，剩下兩個小正方形，面積之和為 a2 + b2；右圖從四個角剪掉四個直角三角形，剩下一個小正方形之面積為 c2；等量減去等量，其差相等。因此 a2 + b2 = c2。
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G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。弦論和宇宙隱維的幾何
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弦論和宇宙隱維的幾何 丘成桐 哈佛大學與台灣大學 二零⼀一⼀一年八月五日
今天要講的，是數學 和物理如何互動互利，這種關 係在 Calabi-Yau 空間和弦論的 研究中尤為突出。 這個題目非出偶然，它正是 我和 Steve Nadis 的新書《內 空間的形狀》的主旨。書中描 述了這些空間背後的故事，個 人的經歷和幾何的歷史。
我寫這本書，是希望讀者透過它，了 解數學家是如何看這世界的。數學並非⼀一門 不食人間煙火的抽象學問，相反地，它是我 們認識物理世界不可或缺的工具。 現在，就讓我們沿着時間－或更確切 地、沿着時空－從頭說起。
I. 黎曼幾何學 1969 年，我到了 Berkeley 唸研究 院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。 黎曼的創見，顛覆了前人對空間的看法，給 數學開闢了新途徑。 高斯 黎曼
幾何的對像，從此不再局限於 平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。黎 曼引進了更抽象的、具有任何維數的空間。 在這些空間裏，距離和曲率都具意義。此 外，在它們上面還可以建立⼀一套適用的微 積分。
大約五十年後，愛因斯坦發覺包含彎 曲空間的這種幾何學，剛好用來统⼀一牛頓的 重力理論和狹義相對論，沿着新路邁進，他 終於完成了著名的廣義相對論。 爱因斯坦
在研究院的第⼀一年，我唸了黎曼幾何 學。它與我在香港時學的古典幾何不⼀一樣， 過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲 面。在 Berkeley，我修了 Spanier 的代數拓 撲、 Lawson 的黎曼幾何、Morrey 的偏微分 方程。此外，我還旁聽了包括廣義相對論在 內的幾門課，我如飢似渴地盡力去吸收知識。
課餘的時間都呆在圖 書館，它簡直成了我的辨公室。 我孜孜不倦地找尋有興趣的材 料來看。聖誔到了，別人都回 去和家人團聚。我卻在讀《微 分幾何學報》上 John Milnor 的⼀一篇論文, 它闡述了空間裏 曲率與基本群的關係。我既驚 且喜，因為它用到了我剛剛學 過的東西。 John Milnor
Milnor 的文筆是如此流暢，我通讀此文 毫不費力。他文中提及 Preissman 的另⼀一論 文，我也極感興趣。 從這些文章中可以見到，負曲率空 間的基本群受到曲率強烈的約束，必須具備 某些性質。基本群是拓撲上的概念。
雖然，拓撲也是⼀一種研究空間的學 問，但它不涉及距離。從這角度來看，拓撲 所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。 幾何要量度兩點間的距離，對空間的屬性 要知道更多。這些屬性可以由每⼀一點的曲率 表達出來，這便是幾何了。
舉例而言，甜甜圈和咖 啡杯具有截然不同的幾何，但它 們的拓撲卻無二樣。同樣，球面 和橢球面幾何迥異但拓撲相同。 作為拓撲空間，球面的基本群 是平凡的，在它上面的任何閉曲 線，都可以透過連續的變動而縮 成⼀一點。但輪胎面則否，在它上 面可以找到某些閉曲線，無論如 何連續地變動都不會縮成⼀一點。 由此可見，球面和輪胎面具有不 同的拓撲。
Preissman 定理討論了幾何 (曲率) 如何影 響拓撲 (基本群)，我作了點推廣。在影印這 些札記時，⼀一位數學物理的博士後 Arthur Fisher 嚷着要知道我幹了甚麽。他看了那些 札記後，說任何把曲率與拓撲扯上關係的結 果，都會在物理學中用上。這句話在我心中 留下烙印，至今不忘。
II. 廣義相對論 狹義相對論告訢我們，時間和空間渾 為⼀一體，形成時空，不可分割。愛因斯坦進 ⼀一步探究重力的本質，他的友人 Marcel Grossman 是數學家，愛氏透過他認識到黎曼 和 Ricci 的工作。 黎曼引進了抽象空間的概念，並且討 論了其上的距離和曲率。愛因斯坦利用這種 空間，作為他研究重力的舞臺。
愛因斯坦也引用了 Ricci 的工作， 以他創造的曲率來描述物質在時空的分布。 Ricci 曲率乃是曲率張量的迹，是曲率的某 種平均值。它滿足的比安奇恆等式，奇妙地 可以看成⼀一條守恆律。愛因斯坦利用了這條 守恆律來把重力幾何化，從此我們不再視重 力為物體之間的吸引力。 新的觀點是，物體的存在使空間產生了曲 率，重力應當看作是這種曲率的表現。
對歷史有興趣的讀者，愛因斯坦的 自家說辭更具說服力。他說：「這套理論 指出重力塲由物質的分佈决定，並隨之而 演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間並不 是絕對的，它的結構與物理不能分割。我 們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自 足。」
講到自己的成就時，愛因斯坦寫道： 「就學問本身而言，這些理論的推導是如此 行雲流水，⼀一氣呵成，聰明的人花點力氣就 能掌握它。然而，多年來的探索，苦心孤詣， 時而得意，時而氣餒，到事竟成，其中甘苦， 實在不足為外人道。」
愛因斯坦研究重力的經歷，固然令 人神往，他的創獲更是驚天動地。但是黎曼 幾何學在其中發揮的根本作用，也是昭昭然 不可抹殺的。
半個多世紀後，我研習愛因斯坦方程 組，發現物質只能决定時空的部分曲率，為 此心生困惑，自問能否找到⼀一個真空，即沒 有物質的時空，但其曲率不平凡，即其重力 為零。 當然，著名愛因斯坦方程 Schwarzschild 解 具有這些性質。它描述的乃是非旋轉的黑洞， 這是個真空，但奇怪地，異常的重力產生了 質量。然而這個解具有⼀一個奇點，在那裏所 有物理的定律都不適用。
我要找的時空不似 Schwarzschild 解 所描繪的那樣是開放無垠的，反之，它是光 滑不帶奇點，並且是緊而封閉的。即是說， 有沒有⼀一個緊而不含物質的空問－即封閉的 真空宇宙－其上的重力卻不平凡？ 這問題在我心中揮之不去，我認為這種空 間並不存在。如果能從數學上加以論証，這 會是幾何學上的⼀一條美妙的定理。
III. Calabi 猜想 從上世紀七十年代開始，我便在考 慮這個問題。當時，我並不知道幾何學家 Eugenio Calabi 早已提出差不多同樣的問題。 他的提問透過頗為複雜的數學語言來表述， 其中牽涉及 Kaehler 流形、Ricci 曲率、陳類 等等，看起來跟物理沾不上邊。事實上， Calabi 抽象的猜想也可以翻過來，變為廣義 相對論裏的⼀一個問題。
新的內容乃是要求要找的時空具有某 種內在的對稱性，這種對稱物理學家稱之為 超對稱。於是上述的問題便變成這樣：能否 找到⼀一個緊而不帶物質的超對稱空間，其中 的曲率非零 (即具有重力)？ 與 Calabi 教授（2004）
我與其他人⼀一起試圖証明 Calabi 猜 想所描述的空間並不存在，花了差不多三 年。這猜想不僅指出封閉而具重力的真空 的存在性，而且還給出系统地大量構造這 類空間的途徑，大家都認為世間那有這樣 便宜的東西可撿。可是，縱然不乏懷疑 Calabi 猜想的理由，但沒人能夠反証它。
⼀一九七三年我出席了在 Stanford 舉 行的國際幾何會議。這會議是由 Osserman 和陳省身老師組織的。或是由於我與兩人的 關係，我有幸作出兩次演講。在會議期間， 我告訴了⼀一些相識的朋友，說已經找到了 Calabi 猜想的反例。消息⼀一下子傳開了，徇 眾要求，當天晚上另作報告。那晚三十多位 幾何工作者聚集在數學大樓的三樓，其中包 括 Calabi，陳師和其他知名學者。我把如何 構造反例說了⼀一遍，大家似乎都非常滿意。
Calabi 還為我的構 造給出⼀一個解釋。大 會閉幕時，陳師說我 這個反例或可視為整 個大會最好的成果， 我聽後既感意外，又 與奮不已。 與陳師
可是，真理總是現實的。兩個月後我 收到 Calabi 的信，希望我釐清反例中⼀一些他 搞不清楚的細節。看見他的信，我馬上就知 道我犯了錯。 接着的兩個禮拜，我不眠不休，希望 重新構造反例，身心差不多要垮掉。每次以 為找到⼀一個反例，瞬即有微妙的理由把它打 掉。經過多次失敗後，我轉而相信這猜想是 對的。於是我便改變了方向，把全副精力放 在猜想的証明上。花了幾年工夫，終於在⼀一 九七六把猜想証明了。
在 Stanford 那個會 上，物理學家 Robert Geroch 在報告中談到廣義相對論中 的⼀一個重要課題－正質量猜 想。這猜想指出，在任何封 閉的物理系統中，總質量/能 量必須是正數。我和 Schoen 埋頭苦幹，利用了極小曲面， 終於把這猜想証明了。 Richard Schoen
這段日子的工作把我引到廣義相對 論，我們証明了幾條有關黑洞的定理。與相 對論學者交流的愉快經驗，使我更能開放懐 抱與物理學家合作。至於參與弦論的發展， 則是幾年之後的事了。
在証明 Calabi 猜想時，我引進 了⼀一個方案，用以尋找滿足 Calabi 方程的空 間，這些空間現在通稱為 Calabi-Yau 空間。 我深深地感到，我無心插柳，已經進入了⼀一 界數學高地。它必定與物理有關，並能揭開 自然界深深埋藏的隱秘。 然而，我並不知道這些想法在那裏會大派 用塲，事實上，當時我懂得的物理也不多。
IV. 弦論 1984 年，我接到物理學家 Gary Horowitz 和 Andy Strominger 的電話。他們興 冲冲地談到有關宇宙真空狀態的⼀一個模型， 這模型是建基於⼀一套叫弦論的嶄新理論上的。 Gary Horowitz Andy Strominger
弦論的基本假設是，所有最基本的粒 子都是由不斷振動的弦線所組成的，這些弦 線非常非常細小。某些弦論要跟量子力學相 容不排斥，時空必須容許某種超對稱性。同 時時空必須是十維的。
我在解决 Calabi 猜想時証明存在的 空間得到 Horowitz 和 Strominger 的喜愛。他 們相信這些空間會在弦論中擔當重要的角色， 原因是它們具有弦論所需的那種超對稱性。 他們希望知道這種看法對不對，我告訴他們， 那是對的。他們聽到後十分高興。
不久，Edward Witten 打 電話給我，我們是上⼀一年在 Princeton 相識的。他認為就 像當年量子力學剛剛面世那 樣，理論物理學最激動人心 的時刻來臨了。他說每⼀一位 對早期量子力學有貢獻的人， 都在物理學史上留名。 Edward Witten
早期弦學家如 Michael Green 和 John Schwarz 等人的重要發現，有可能終究把所有 自然力統⼀一起來。愛因斯理在他的後半生花了 三十年致力於此，但至死也未竟全功。 Michael Green John Schwarz
當時 Witten 正與 Candelas, Horowitz 和 Strominger ⼀一起，希望搞清楚弦論中那多 出來的六維空間的幾何形狀。他們認為這六 維捲縮成極小的空間，他們叫這空間為 Calabi-Yau 空間，因為它源於 Calabi 的猜想， 並由我証明其存在。 與 Candelas 教授（2001）
弦論認為時空的總數為 10。我們熟 悉的三維是空間，加上時間，那便是愛因斯 坦理論中的四維時空。此外的六維屬於 Calabi-Yau 空間，它獨立地暗藏於四維時空 的每⼀一點裏。我們看不見它，但弦論說它是 存在的。
這個添了維數的空間夠神奇了，但 弦理論並不止於此，它進⼀一步指出 Calabi- Yau 空間的幾何，决定了這個宇宙的性質和 物理定律。那種粒子能夠存在，質量是多少， 它們如何相亙作用，甚至自然界的⼀一些常數， 都取决於 Calabi-Yau 空間或本書所謂「內空 間」的形狀。
理論物理學家利用 Dirac 算子來研究 粒子的屬性。透過分析這個算子的譜，可以 估計能看到粒子的種類。時空具有十個維數， 是四維時空和六維 Calabi-Yau 空間的乘積。 因此，當我們運用分離變數法求解算子譜時， 它肯定會受 Calabi-Yau 空間所左右。 Calabi-Yau空間的直徑非常小，則非零譜變 得異常大。這類粒子應該不會觀測到，因為 它們只會在極度高能量的狀態下才會出現。
另⼀一方面，具有零譜的粒子是可能觀 測到的，它們取决於 Calabi-Yau 空間的拓撲。 由此可見，這細小的六維空間，其拓撲在物 理中是如何舉足輕重。 愛因斯坦過去指出，重力不過是時空 幾何的反映。弦學家更進⼀一步，大胆地說這 個宇宙的規律，都可以由 Calabi-Yau 空間的 幾何推演出來。這個六維空間究竟具有怎樣 的形狀，顯然就很重要了。弦學家正就此問 題廢寢忘餐，竭盡心力地研究。
Witten 很想知多⼀一點 Calabi-Yau 空間。他 從 Princeton 飛來 San Diego，與我討論如何 構造這些空間。他還希望知道究竟有多少個 Calabi-Yau 空間可供物理學家揀選。 原先，他們認為只有幾個－即少數拓撲類 －可作考慮，是以决定宇宙「內空間」的任 務不難完成。可是，我們不久便發現， Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。⼀一九 八零年初，我想它只有數萬個，然而，其後 這數目不斷增加，迄今未止。
於是，决定內空間的任務⼀一下子變得 無比困難，假如稍後發現有無數 Calabi-Yau 空間的話，就更遙不可及了。當然，後者是 真是假還有待驗証，我⼀一直相信，任何維的 Calabi-Yau 空間都是有限的。
Calabi-Yau 空間的熱潮，始於 1984 年， 當時的物理學家，開始了解到這些複空間或 會用於新興的理論上。熱情持續了幾年，便 開始減退了。可是到了上世紀 80 年代末期， Brian Greene、Ronen Plesser、Philip Candelas 等人開始研究「鏡象對稱」(mirror symmetry) 時，Calabi-Yau 空間又重新成為 人們的焦點了。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓撲的 Calabi-Yau 空間，看起來沒有甚麼共通點， 但卻擁有相同的物理定律。具有這樣關係的 兩個 Calabi-Yau 空間稱為「鏡象對」(mirror pair)。
數學家把物理學家發現的鏡象關係搬 過來，成為數學上強而有力的工具。在某個 Calabi-Yau 空間上要解决的難題，可以放到 它的鏡象上去考慮，這種做法往往奏效。 ⼀一個求解曲線數目的問題，懸空了差不多 ⼀一個世紀，就是這樣破解的。它使數數幾何 學 (enumerative geometry) 這⼀一數學分枝，重 新煥發了青春。這些進展令數學家對物理學 家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的⼀一個重要例子。 它就像⼀一面窗，讓我們窺見 Calabi-Yau 空間 的隱秘。利用它，我們確定了給定階數的有 理曲線在五次面 (⼀一個 Calabi-Yau 空間) 的 總數，這是⼀一個非常困難的問題。
這問題稱為 Schubert 問題。它源於 十九世紀，德國數學家 Hermann Schubert 首先証明，在五次面上共有 2,875 條⼀一階 有理曲線。到了 1986 年，Sheldon Katz 証 明了有 609,250 條二階曲線。1989 年前後， 兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud 和 Stein Stromme 利用代數幾何的技巧，⼀一下子找到 了 2,638,549,425 條三階曲線。
可是另⼀一方面，以 Candelas 為首的 ⼀一組物理學家，卻利用弦論找到 317,206,375 條曲線。他們在尋找的過程中， 用了⼀一條並非由數學推導出來的適用於任意 階數曲線的公式。這公式的真確與否，還有 待數學家驗証。
1990 年 1 月，在 Isadore Singer 的 敦促下，我組織了弦學家和數學家首次的主 要會議。大會在 Berkeley 的數理科學研究 所舉行。會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁 Candelas 團隊的人分成兩派，壁壘分明，各 不相讓。這局面維持了幾個月，直到數學家 在他們的編碼程式中發現錯誤，經修正後， 結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。經 此⼀一役，數學家對弦學家深刻的洞察力，不 由得肅然起敬。
這⼀一幕還說明了鏡象對稱自有其深 厚的數學基礎。人們花了好幾年，到了1990 中後期，鏡象對稱的嚴格數學証明，包括 Candelas 等人的公式，才由 Givental 和 Lian- Liu-Yau 各自獨立地完成。
V. 結語 話說回來，我們必須緊記，弦「論」 畢竟是⼀一套理論而已，它還未給實驗所實証。 事實上，有關的實驗還沒有設計出來。弦論 是否真的與原來設想的那樣描述自然，還是 言之過早。
如果要給弦論打分的話，從好的方面 來說，弦論啓發了某些極之精妙而有力的數 學理論，從中獲得的數學式子已經有了嚴格 的証明，弦論的對錯與否，都不能改變其真 確性。弦論縱使還沒有為實驗所証實，它始 終是現存的唯⼀一能夠统⼀一各種自然力的完整 理論，而且它非常漂亮。試圖统⼀一各種自然 力的嘗試，竟然導至不同數學領域的融合， 這是從來沒有想過的。
現在要作總結還不是時候，過去二千 年間，幾何學屢經更替，最終形成今天的模 樣。而每次重要的轉變，都基於人類對大自 然的嶄新了解，這應當歸功於物理學的最新 進展。我們將親眼看到廿⼀一世紀的重要發展， 即量子幾何的面世，這門幾何把細小的量子 物理和大範圍的廣義相對論結合起來。
抽象的數學為何能夠揭露大自然如許 訊息，實在不可思議，令人驚歎不已，《內 空間的形狀》⼀一書的主旨乃在於此。不僅如 此，我們還希望透過本書，使讀者知道數學 家是如何進行研究的。他們不必是奇奇怪怪 的人，就像在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting) 中的清潔工般，⼀一面在打掃地板， 另⼀一面卻破解了懸空百年的數學難題。傑出 的數學家也不必如另⼀一部電影和小說描述的 那樣，是個精神異常、行為古怪的人。
數學家和做實驗的學者同樣研究自 然，但他們採用的觀點不同，前者更為抽象。 然而，無論數學家或物理學家，他們的工作 都以大自然的真和美為依歸。數學和物理互 動時迸發的火花，重要的想法如何相互滲透， 偉大的新學說如何誕生，如此種種，作者都 會在書中娓娓道來。
就弦論而言，我們看到幾何和物理 如何走在⼀一起，催生了美妙的數學、精深的 物理。這些數學是如此的美妙，影響了不同 的領域，使人們相信它在物理中必有用武之 地。 可以肯定的是，故事還會繼續下去。 本人能在其中擔當⼀一角色，與有榮焉。今後 並將傾盡心血，繼續努力。
謝謝！
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