由能极小的状态。当导体从正常态向超导态转变时，导体作为一个热力学体系经
历了从正常态的自由能极小向超导态的自由能极小值的"逐渐过渡"(连续的)，
这个"逐渐过渡"意味着二级相变。学过一点热力学的人都知道，一个热力学体
系是由一些参量来描述的(如体积，磁场等)，而自由能的表达式就由参量来表示。
但是我们知道，超导可以在无外加磁场下发生，超导也不涉及体积的变化。朗道
的说法是有一个"序参量"，Ψ，这个"序参量"在正常态时为零，进入超导态
时从零开始逐渐增长。这个"序参量"实际上具有量子力学波函数的特徵，我猜
想朗道当时也与伦敦一样认为超导实际上是量子力学的起源，只是不知道如何论
证而已(就是今天也难以清楚地论证)，因此利用已知的实验现象，塞进了一点私
货。
在很多书中，都把朗道写出这个自由能表达式称为"天才的直觉"，我在很长的
一段时间内也是无条件地接受这个讲法。只是到了后来，自己做了一些工作后对
这个说法有点怀疑起来了。因为我发觉，朗道的这个理论包括三个要点，第一个
是"序参量"的选取有量子力学波函数的特徵，这一点我已经讲了，做这样猜测
的并不是朗道一个人；第二点是这个自由能表达式，ΔF= -α|Ψ|^2+β|Ψ|^4，只
要把Ψ换成x，它的吓人外表就去掉了，每个人都可以试试，一个x^4减去一个
x^2是会产生两个新的极小值的，而α，β的不确定，正好可以用来容纳温度的变
化，使这个自由能可以在温度达到Tc时产生上述新的极小值；最后一点是要给这
个自由能一个合理的说法，朗道号称这是自由能对|Ψ|作泰勒展开后取前两个偶
次项。我最初的怀疑即从此而来，因为朗道的理论是不可重整化的，也就是讲，
如果的确把它看作是取近似，那么丢掉的是"无穷大"。由这些怀疑，我就有了
点不臣之心，嘻嘻，这也是天才，那也是天才，那我们这些不是天才的还要不要
活了？：-)至少我们也可以追踪朗道的思路，虽然朗道当时不一定这样想。
在结束早期超导理论的介绍以前，我还要提一下匹派理论。嘿嘿，提是不提，不
提是提。提这个理论是为了以后有一大堆东西都不必再提了。在超导的书中，有
很多关于物理长度的讨论。这些长度可以归为两类，相干长度和穿透深度。什么
意思啊？这个相干长度就是匹派理论的东西，它说在导体内一点处电子发生的超
导转变与这个电子周围一定长度范围内的电子有关系。(就象小苦在沉心斋的长哭
当歌与哈蚂在虹桥科教的叫声有关系。：-))这个穿透深度呢是指迈斯纳效应发生
时磁场要在导体表面一个薄层内降为零，这个薄层的"特徵"厚度叫做穿透深度。
超导里关于这些长度的讨论很繁琐，要理解也很伤脑筋。我把它们排除掉是因为
以后我要讲的是真正解出导体内的超导波函数和磁场，那种复杂的形状根本就不
是一两个长度能准确描述的，因此，把这些长度与物理联系的结果基本上就是瞎
子摸象。
和和，这一段大家看累了吧？我来揭个宝盅，给学士以上水平的网友提提神：-)
蚁民兄对一个成功的超导理论表示怀疑，我先给出思路。
找到一个量子力学方程，解出波函数，用波函数构造电流密度，通过电流密度用
麦克斯维方程解出导体内部磁场，把这个磁场对导体求空间平均就得到宏观磁场，
由此宏观磁场可求热力学自由能。呵呵，电，磁，热，三者通吃了吧？
第I類和第II類超導體（Type I and Type II Superconductors）
國立虎尾科技大學電子工程系吳添全助理教授/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯
1950年維塔利•金茲堡同朗道和阿列克謝•阿布里科索夫的努力，讓超導現象有更深一層的解釋，也將超導體分類成第一類(Type I)及第二類(Type II)超導體。早期所發現的金屬超導體大都屬於第一類超導體。
在第一類超導體中，由於超導的相干長度遠超過磁場穿深度。外加磁場一旦超過臨界磁場值，超導狀態便消失。這一類超導體中其界面能是正的，當外磁場H小於臨界磁場HC(T)時，以超導態為穩定態。此時，它為邁斯納態且具有完全抗磁性質，即在超導體體內，磁感應強度恒等於零。由於外加場和磁體間會滿足下列式子：
第一類超導體與第二類超導體不同，第二類超導體中其界面能是負的，而且超導的相干長度小於磁場穿深度。這類型的超導體則出現在一些合金和化合物(如高溫超導體)，其臨界磁場有兩個上下值，當外加磁場超過較低的一個，內部則有部分磁力線可以穿過超導體，就進入混合態(Mixed state)，一直到外加磁場超過另一上限值，超導態才消失。下面的圖2可以簡單表示超導體和外加磁場的關係：
當外磁場達到下臨界磁場值 ( HC1 ) 之前與第一類超導體相同具有邁斯納態的磁矩；當磁場大於下臨界磁場後，磁場將進入到超導體中，這時體系仍具有無阻的能力。但當磁場進入到超導體中愈來愈多，同時伴隨著超導態的比例愈來愈少，磁通釘扎降低超導的抗磁性，故磁化曲線隨著外加磁場的增加緩緩減少，直到上臨界磁場 ( HC2 ) 時，磁矩為零，超導體完全恢復到正常態。而正常和超導相互滲透的狀態下 ( HC1 < HC < HC2)為混合態。在HC1和HC2之間，雖然邁斯納效應不完全，但仍然沒有電阻，對導電需求沒有影響。而且在有磁場和外加電流的狀況下，進入超導體內的磁通就會因為受到羅倫茲力的作用而移動。這種磁通運動(flux motion)或蠕動(flux creep)也構成電能的耗散。這種因為磁通運動所造成的電阻，稱為流阻。同時，零電阻的特性也會逐漸消失。
參考資料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Type_I_superconductor
朗道的超导理论到1950年推广成了金茨伯格-朗道理论，这个理论的具体形式大概
每本超导理论的书上都有。此理论的要点是把"序参量"改进成了一个"波函
数"。在上个帖子里，我介绍了朗道理论ΔF= -α|Ψ|^2+β|Ψ|^4，在这个形式里，
这个"序参量"Ψ，是与空间坐标无关的数，而在金茨伯格-朗道理论中这个"序
参量"被写成ψ(x)，这里的x是指(x,y,z)三个空间坐标，就以记号而论，网友们不
妨把它看成"波函数"。这一个改进非同小可，因为ψ(x)如果在空间有变化(嘻嘻，
这是一定的，不然改个bird啊)，那么就要在自由能中加格外的能量来解释这个空
间变化。实际上这正是金茨伯格和朗道要的，这个额外的能量一加，就有了微分
算符的出现，於是，对金茨伯格-朗道自由能做变分就出来了金茨伯格-朗道微分
方程。方程一共有两个，第二个是常见的磁场-电流密度方程，而第一个是著名的
金茨伯格-朗道非线性微分方程，如果把非线性项丢掉，这个方程与量子力学波动
方程有几乎一模一样的形式，差别只在两个常数的意义上，一个是质量m*,什么东
西的质量？一个是电荷e*，什么东西的电荷？我们可以暂时接受一个结论，
m*=2m，e*=2e，是两倍的电子质量和两倍的电子电荷。
金茨伯格和朗道究竟用这两个方程得出什么有意义的成果我不知道，书上也没有
介绍，想来是没有。但是到1957年，朗道的学生，阿布里科索夫却用这个理论得
到了一个堪称超导理论和材料史上的经典结果，这个结果就是一个金茨伯格-朗道
理论的解析解。这个解表明，可以有一种超导状态存在，这种超导状态在外加磁
场下，不是呈现迈斯纳效应，而是让磁力线以集束形式穿过自身同时又保持超导
状态。这种状态称为涡旋态，而这种集束磁力线分布的空间图形称为涡旋点阵
(Vortex Lattice)。
看见过稻田么？稻子成熟的时候？把每一根稻杆看成一根磁力线，把稻田看作一
块超导体，稻杆均匀地植在稻田里，这就是正常态。如果稻田进入超导态，按原
来知道的是迈斯纳态的话，相当与把所有的稻子收割掉，全部去杵在田边四周(呵
呵，别让它们睡下来)。又有些地方是这样做的，收割的人把稻子一捆捆拦腰扎好，
杵在田里等人来挑走，这样的稻田景象是一捆捆直立的稻子立在田里，而人可以
在稻捆之间行走。这就是阿布里科索夫解所预言的涡旋点阵，一束束扎紧的磁力
线在导体里，留出来的空白地是超导区域，也就是看不见的波函数所在区域。知
道一点国画的朋友都知道，国画中有留白的技法，留白不是空白，一张画的整体
感是由色块与留白处共同形成的。
由於这个解析解，阿布里科索夫得出了一个结论，超导材料有一个材料参数，κ，
当这个κ大於根号二分之一时，这种材料是第二类超导体，在外加磁场的条件下
会呈现上述的涡旋态；而当κ小於根号二分之一时，不会有这种涡旋态，要么是
迈斯纳态，要么是磁畴态(龙卷风刮过的稻田：-))。
阿布里科索夫解的发表带出了一桩师生关系的公案。阿布里科索夫是朗道的学生，
用的又是朗道的理论，然而，当阿布里科索夫发表他的文章时，朗道没有署名。
要知道，从1937年朗道提出的超导理论起到1957年，二十年内，朗道提出的超导
理论唯一结出的硕果就是阿布里科索夫解。而在这关键时刻，居然有师生的不和，
令人惋惜之余，深思不已。
长久以来，朗道的恃才傲物是有名的。我还在工厂里做工人时就听一个中学物理
老师说起过。关于朗道和阿布里科索夫之间的这段公案是大家都关心的(如同我们
想知道李杨之间的关系一样)。阿布里科索夫在1987年成为原苏联科学院院士，
(苏联科学院院士之尊崇由此可见一斑)原苏联解体后，有一大批科学家给罗致到
美国来，阿布里科索夫到了阿岗实验室。在九十年代初的一期"今日物理
(Physics Today)"上，阿布里科索夫写了一篇文章，讲到了这件事。据我残破的
记忆，阿布里科索夫说当他发现了这个解时，他去看正在医院里的朗道，阿布里
科索夫兴奋地谈起了这个解，谈了很长一段时间，但是朗道保持着沉默。我想真
实的情况永远也弄不清，这只有朗道和阿布里科索夫知道。但从这桩公案却可知
道，科研者之间关系的处理，也是一大课题。
有了上面的这些信息垫底，我估摸读者已对超导涡旋态有了相当的了解，至少可
以进入民间科学家的共同体。那么我们再进一步了解一下老阿的解析解，看看科
学共同体的人到底是在做些什么？
老阿当年从金茨伯格-朗道方程入手，起手第一式就是把方程里不好处理的非线性
项丢掉。丢掉非线性项这种事，如果干得好了，叫做线性化(^_^，这是科学共同
体成员的福利，民间科学家要这么做，成吨版砖砸你没商量)。线性化以后的金茨
伯格-朗道)方程就象(是？)量子力学的薛定锷方程(只是不知道这个粒子的质量
m*和电荷e*而已)，再把这个方程简化一下，剩下一个一维的谐振子方程要解了。
呵呵，天才的第一声哭和大学二三年级的学生水平差不多吧? 且慢，水平还得降
低，老阿连那些激发态都不要，只要基态波函数，就是这个
ψ＝exp(-iky)exp[-(x-k)^2/2]。
这个波函数不难吧？我用的是无量纲的坐标，就是x与y都是用一个特殊的尺来度
量的，叫做ξ，比如讲x=5，这个意思是一个长度有5ξ。所谓微观宏观的区别，
就在於这把尺子的大小。如果要换算到我们熟悉的尺度，这个ξ通常用埃
(10^(-10)米)来度量，不过可以到几千几万埃。
这个波函数是两个初等函数的乘积，第一个表示相位，第二个表示波函数在空间
的形状。"故苏城外寒山寺，夜半钟声到客船"，这个波函数的形状就象那口钟。
波函数里的那个k大有来历，一时难以讲清，但从第二个函数来看倒也有简明的
解释，那就是挂那口钟的位置，如果取不同的k值，就是把钟在搬来搬去。现在
我们就看到了，这个波函数在x方向的复盖范围很小，不信可以试试，(x-k)取到
10这个函数就差不多是零了，这就是讲，钟的边缘(x)离开钟的中心(k)也就10个ξ
的样子。只能复盖这么小范围的函数要描述宏观的超导现象的确是不够的，亦即
一个钟盖不住寒山寺。不过，要是有很多很多钟，放在不同处(k)，那么整个寒山
寺就可以被钟排满。
老阿就利用这个性质，把许多ψ放在一起排出一个能布满宏观超导样品大函数，
Ψ，这就是原来朗道说的那个"序参量"。做物理的人不乏精巧的构思，但是能
不能构思是一回事，物理上是不是允许把这样的构思作为一项研究成果又是另一
会事。老阿面临的问题是这样构造出来的Ψ是不是在能量上对体系有利？要说明
这一点，我必得再描绘一副图像。
让稻田变成舞池，让一捆捆的稻子变成长身玉立的男子，让波函数所在的空白处
化出一个个长裙摇曳的女子。看过"Dirty Dancing"这个电影么？Johnny教Baby
跳舞时说："这是你的空间，这是我的空间"。跳舞的男女之间原是有着各自的
空间的，舞曲响起，这空间就开始交融。男子右脚前出，跨进女子的空间，女子
裙随身转，裙摆飘入男子的空间。我们不妨让这个场景定格，看一看两人空间交
融的情状。从男子重心垂线到右脚腿弯处的距离算作"穿透深度"λ，从女子重
心垂线到小腿裙围处算"相干长度"ξ，男女之间有了一个共享空间。这个图像
就是磁场与波函数互相穿透的图像，老阿要证明的是这样一个图像在热力学能量
上是有利的。结果呢？当然是证明了的。不过也不是什么情况下都有利，这"穿
透深度"λ要大於"相干长度"ξ的根号二分之一时，共有空间区域提供负的
"表面能"从而降低整个体系的自由能，体系稳定。这就是κ=λ/ξ作为第二类
超导体判据的来源。
事情到这儿还没完，既然共有区域提供负的"表面能"，则共有区域越多越好。
回到稻田的图像，就意味着稻捆扎得越细越好，到哪里才能停呢？呵呵，稻捆有
一个最小的单位，称为"磁通量子"，稻捆分到这里就得停了。
这个"磁通量子"与原来G-L方程中的e*有联系，一个磁通量子的测量结果含有
2e电荷，所以可以定出G-L方程中的e*对应两个电子电荷。如果结合泡利不相容原
理，那么我们难道不可以讲线性化的G-L方程是描述一对自旋相反电子的量子力
学方程么？可惜这个方程的出身不好，是从热力学理论中作了线性化"近似"而
来的，因此掩盖了它自身的物理意义。当年朗道的不肯合作，也许是已经看出这
个线性化的G-L方程对他自己提出的热力学论证的反叛性，故而不置可否。
老阿的涡旋点阵解确定了另一个临界磁场，称为Bc2，而原来的那个对应迈斯纳
效应的临界磁场称为Bc1。本来，在老阿的理论结果出来之前，原苏联科学家舒
布尼可夫在1937年就间接测得有Bc2与Bc1两个临界场，只是不明白怎么一回事，
要到阿氏解的出现，才使超导的这部分奥秘大白于天下。阿氏解的涡旋点阵大概
到1964年(？)才由磁装饰法拍出照片。这种给涡旋点阵的拍照技术就是在高温超
导的今天也是一门显学。
线性化的G-L方程下一朵奇葩要等法国科学家，圣．简姆斯和披埃尔．德．让
(P.G. de Gennes)来培植了。(后面这个名字熟么？)
走过超导之路(4)--朗道理论的奇葩(2)
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