场方程是对坐标变换广义协变的，为了要求解度规首先必须选定坐标系. 时
空坐标共有4个，应当给出4个方程以选定坐标系. 这4个方程称为坐标条件
[PDF]第五章引力场方程
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在书写曲率张量的指标时，需要注意ρ 是第一指标，而且是逆变指标，其它3个 ... (5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性 ...
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2010年9月3日 - 1 2 第五章引力场方程(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性函数. 在1个时空点，如果选取局域测地线 ...
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2013年6月23日 - 曲率张量的定义到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些 .... (5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的 ...
第五章 引力场方程
第五章 引力场方程
爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并且告诉我们只要知道表示时空几何的度规，
就能计算物体如何在弯曲的时空中运动. 引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决
定. 等效原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度规. 解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它
是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体. 等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核
心部分.
5.1 曲率张量和爱因斯坦张量
为什么要引入曲率张量
在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程
∇2U = 4πGρ.
(5.1)
方程的右边是质量密度 ρ. 它在广义相对论中的对应体是能量动量张量 Tµν. 方程的左边是牛顿引力势 U
的2阶偏导数的组合. 在§3.2中说到克氏符号的物理意义相当于引力或惯性力，克氏符号是度规张量的1阶
偏导数的线性组合，可以猜测度规 gµν 相当于牛顿力学中的引力势. 广义相对论的引力场方程应当是从
物质 Tµν 决定度规 gµν 的偏微分方程. 建立引力场方程需要1个由度规的偏导数组成的张量. 等效原理意
味着引力可以局部地去除，所以克氏符号不可能是张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.
从另一个角度讲，迄今为止我们还不知道如何来判断时空的弯曲. 度规张量当然代表时空的几何，
由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直. 度规的1阶偏导数组成的克氏符
号不是张量，也不能用作判断的根据，那么只有用度规的2阶偏导数组成的张量来判断. 这正是本节要建
立的曲率张量.
曲率张量的定义
到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些办法：(1)看向量平行移动的结
果是否与路径有关. 关于这一点在§4.2中已有比较详尽的讨论. (2)由3条测地线组成的三角形的内角和是
否等于 π. 一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于 π. (3)协变导数是否与
次序有关，亦即 Tµ
;αβ
与 Tµ
;βα 是否相等. 如所周知，普通偏导数与次序无关. 当然，判断时空弯曲的方法
绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等.
用上面给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式. 经过比较繁复但并无困难的推导(见习
题5.1)，对1阶张量 Tµ 进行2次协变导数，有
Tµ;αβ − Tµ;βα = Rρ
µαβTρ,
(5.2)
其中
Rρ
µαβ = −Γρ
µα,β + Γρ
µβ,α − Γν
µαΓρ
νβ + Γν
µβΓρ
να.
(5.3)
在书写曲率张量的指标时，需要注意 ρ 是第一指标，而且是逆变指标，其它3个指标 µαβ 是协变指标，
在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序.
(5.2)式的两边，除 Rρ
µαβ
外，都肯定是张量，所以 Rρ
µαβ 也是1个张量，称为黎曼曲率张量，常简
称为曲率张量. 对于全局的或1个区域内平直的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫
斯基度规，在其中所有的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就是1个零张量，而且在任意的坐标系中
所有的坐标分量都是零. 曲率张量可以用来判断时空是否平直.
1
2
第五章 引力场方程
(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性函数. 在1个
时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS，所有的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零，
在这个特殊的局域坐标系里，曲率张量的表达式简化为
Rρ
µαβ = −Γρ
µα,β + Γρ
µβ,α.
(5.4)
曲率张量的性质
曲率张量是1个4阶张量，共有256个坐标分量. 然而，由于以下一些对称和反对
称的性质，这些分量并不完全是独立的. 下面先列出这些性质，然后再一一给出证明. 这些性质用协变的
曲率张量 Rµναβ 来写出. 下面用的关于指标的圆括号和方括号运算的定义请参见附录A.
R(µν)αβ ≡ 0,
(5.5)
Rµν(αβ) ≡ 0,
(5.6)
Rµναβ ≡ Rαβµν,
(5.7)
Rµ[ναβ] ≡ 0,
(5.8)
Rµν[αβ;ρ] ≡ 0.
(5.9)
性质(5.5)表明曲率张量对前2个指标是反对称的，而(5.6)表明它对后2个指标也是反对称的. 如果把
前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)表明曲率张量对这2对指标是对称的. 性质(5.8)称
为Ricci恒等式而性质(5.9)是著名的Bianchi恒等式.
显然，性质(5.5)，(5.6)和(5.7)是相互关联的. 例如，只要证明了后2式，第1式就不证自明了.
先来证明性质(5.6). 注意 Rµν(αβ) 是1个张量，为证明它是1个零张量，只需在1个特殊坐标系里证明
就可以了，今后将经常采用这种方法. 在LGS里，根据(5.4)式，有
Rµναβ = ηµρ
(
−Γρ
να,β + Γρ
νβ,α
)
.
(5.10)
式中 ηµρ 和以前一样表示闵可夫斯基度规. 上式对指标 α 和 β 是反对称的，所以对这2个指标加上圆括号
来取其对称部分的结果恒等于零.
再来证明性质(5.7). 同样选取局域测地线坐标系LGS，用(3.11)式将(5.10)中的克氏符号写成度规的
函数. 注意在LGS中度规可写成闵可夫斯基度规，度规的1阶偏导数全为零，所以只需保留度规的2阶偏
导数. 这样，在LGS中有
Rµναβ =
1
2
(gµβ,να + gνα,µβ − gµα,νβ − gνβ,µα).
将指标对 µν 和 αβ 互换位置，上式保持不变，性质(5.7) 得证.
在LGS中Ricci恒等式的证明十分简单. 对(5.10)式加上方括号，有
Rµ[ναβ] = ηµρ
(
−Γρ
[να,β]
+ Γρ
[νβ,α]
)
.
附录A中指出方括号内任何1对指标都是反对称指标，而克氏符号的2个下指标是对称指标，唯一的可能
是上式恒等于零. 在§4.4中我们用过同样的逻辑.
Bianchi恒等式需要对曲率张量求协变导数，在LGS中变成求普通偏导数，问题在于这时曲率张量
Rµ
ναβ 是否还能用(5.4)式表示. 注意虽然在LGS中克氏符号的导数不一定为零，克氏符号本身全为零.
§5.1 曲率张量和爱因斯坦张量
3
(5.3)中后面2项都是2个克氏符号的乘积，这些项求过偏导数后在LGS 中仍为零，所以仍能用(5.4)式. 于
是在LGS中有
Rµ
ν[αβ;ρ]
= −Γµ
ν[α,βρ]
+ Γµ
ν[β,αρ]
≡ 0.
这里再次应用了当1项中2个指标既是对称指标又是反对称指标时该项恒等于零.
曲率张量独立的坐标分量的个数
在研究了曲率张量的前4条性质后，就可以来计算它的独立的
坐标分量的个数. 为了使讨论更具有一般性，假定每个指标从1走到 n，共有 n 种可能的取值. 首先考
虑 Rµναβ 的4个指标都相同的情况，由于反对称性质(5.5)和(5.6)，这样的坐标分量全是零. 再考虑4个指
标中只有2个不同的数 µ 和 α，前3条性质说明只有1种不为零的坐标分量 Rµαµα. 让 µ 和 α 取遍所有可
能的值，共有 C2
n 个独立的分量. 然后探讨4个指标中有3个不同数 µ,α 和 β，这种情况有3种独立的分量
Rµαµβ，Rαµαβ 和 Rβµβα，总共有 3c3
n 个独立的分量. 最后研究4个指标都不相同的情况，发现只有2种情
况 Rµναβ 和 Rµαβν. Ricci恒等式表明另1种情况 Rµβνα 不是独立的. 这一状态共有 3c4
n 个独立的分量. 于
是独立的坐标分量个数共有
c2
n + 3c3
n + 2c4
n =
1
12
n2(n2 − 1).
对于广义相对论的4维时空，n = 4，在曲率张量256个坐标分量中只有20个是独立的. 对于2维空
间，只有1个独立的分量，情况退化到高斯研究的2维曲面几何.
Ricci张量和曲率标量
我们所寻求的引力方程的右端是表示物质及其分布的能量动量张量 Tµν，
它是1个2阶的对称张量，方程的左端应当是1个表示时空弯曲的2阶对称张量，由度规的2阶偏导数组成.
曲率张量表示时空的弯曲，由度规及其1，2阶偏导数组成，然而它是1个4阶张量. 很自然会想到用曲率
张量来构造1个对称的2阶张量.
将曲率张量 Rµ
ναβ 的上下指标缩并1次就可以得到1个2阶张量. 从曲率张量对前2个指标的反对称
性，容易证明
Rµ
µαβ ≡ 0.
(5.11)
曲率张量对后2个指标的反对称性表明和第3或第4指标的缩并只差1个符号.
定义Ricci张量为曲率张量第1和第3个指标的缩并：
Rαβ = Rρ
αρβ.
(5.12)
有一些广义相对论的书籍和文献中将Ricci张量定义为第1和第4个指标的缩并，结果会和这里差符号.
Ricci张量是1个对称张量，证明如下：
Rαβ = Rρ
αρβ
(5.8)
= −Rρ
ρβα − Rρ
βαρ
(5.11)(5.6)
=
Rρ
βρα = Rβα.
(5.13)
证明过程中除了用定义外，用了Ricci恒等式等曲率张量的性质.
Ricci张量可以进一步缩并，产生曲率标量 R，
R = Rρ
ρ.
(5.14)
出于Ricci张量的对称性，这里不必区分哪个指标在前，哪个在后.
爱因斯坦张量
在得到Ricci张量之后，很自然地会认为引力场方程应当写成 Rµν = κTµν，其中 κ
4
第五章 引力场方程
是常数. 这正是爱因斯坦曾经认为是正确的引力场方程.∗ 然而下面这番讨论可以立即发现这不是正确的
引力场方程.
先来看电动力学的麦克斯韦方程(4.49)和电荷守恒定律(4.37)，重写如下
Fµν
;ν =
4π
c
jµ,
(5.15)
jµ
;µ = 0.
(5.16)
从物理上看电荷守恒定律一定成立，于是麦克斯韦方程表明电磁场张量 Fµν 必须满足
Fµν
;νµ ≡ 0.
(5.17)
注意(5.17)是恒等于零，这样才能导出电荷守恒定律(5.16). 电磁场张量 Fµν是否满足(5.17)，是检验麦克
斯韦方程(5.15)是否正确的试金石之一. 习题5.2告诉我们(5.17) 确实成立.
对于引力场方程，情况完全类似. 如果把引力场方程写成
Gµν = κTµν.
(5.18)
因为能量动量的局域守恒定律
Tµν
;ν = 0.
(5.19)
一定成立，左边的张量 Gµν 的协变散度必须恒等于零，亦即
Gµν
;ν ≡ 0.
(5.20)
现在来检查Ricci张量是否满足这一条件. 可以直接计算Ricci张量的协变散度 Rµν
;ν . 一种简便的方法
是对Bianchi恒等式进行缩并. Bianchi恒等式(5.9)可以写成
Rµν
αβ;ρ + Rµν
βρ;α + Rµν
ρα;β = 0.
(5.21)
上式中将指标 ν 和 ρ 进行缩并，有
Rµν
αβ;ν + Rµ
β;α − Rµ
α;β = 0.
再将指标 µ 和 α 进行缩并，得到
Rν
β;ν + Rν
β;ν − δν
βR;ν = 0.
将指标 β 上升，改记成 µ，并利用Ricci张量的对称性，就得到缩并后的Bianchi恒等式
(
Rµν −
1
2
gµνR
)
;ν
≡ 0.
(5.22)
很自然地定义
Gµν = Rµν −
1
2
gµνR.
(5.23)
Gµν 称为爱因斯坦张量或爱因斯坦曲率张量. 显然它就是所寻求的引力场方程(5.18)的左端张量.
∗关于爱因斯坦发现引力场方程的艰苦过程，可参阅亚伯拉罕. 派斯著《爱因斯坦传》第14章，该书由方在庆，李勇等译，商务
印书馆2004年出版.
§5.2 爱因斯坦引力场方程
5
5.2 爱因斯坦引力场方程
常数 κ 的确定
在引力场方程(5.18)中还有1个常数 κ 有待确定，确定的方法是要求在弱场低速的
情形爱因斯坦引力场方程应该退化到牛顿力学中的泊松方程(5.1).
爱因斯坦引力场方程为
Rµν −
1
2
gµνR = κTµν.
(5.24)
将上式每一项的1个指标提升后与另1个指标进行缩并，得到
R = −κT.
(5.25)
这里 T = Tν
ν 是能量动量张量的迹. 于是场方程可写成
Rµν = κ
(
Tµν −
1
2
gµνT
)
.
(5.26)
对于弱场的情况时空近于平直，从尘埃的能量动量张量(2.22)式看，在低速的情形，T0i 和 Tij 分量
都远小于 T00 = ρc2 而不必考虑. 从另一角度看，在牛顿力学里，压力和速度都不会对引力有贡献. 所以
只需讨论方程
R00 = κ
(
T00 −
1
2
g00T
)
的退化.
当度规退化为闵可夫斯基度规，T00 = −T = ρc2，场方程退化成
R00 =
1
2
κρc2.
到此为止，场方程的右端已经退化到泊松方程的形式，下面要讨论场方程左边 R00 的牛顿近似. 按
定义 R00 = Rρ
0ρ0 是克氏符号及其偏导数的函数. 在弱场近似并选择直角坐标系的情况下，所有的克氏符
号均可略去，只需保留它们的偏导数. 还要指出坐标 x0 = ct，对 x0 的偏导数会出现速度与光速 c 之比，
在低速近似下也可略去. 于是在牛顿近似下有
R00 = Γi
00,i.
在§4.3的最后已经指出 Γi
00 的牛顿近似是 U,i/c2，这里 U 是牛顿引力势. 这样，场方程的牛顿近似为
1
c2
∇2U =
1
2
κρc2.
与泊松方程(5.1)相比较，立即得到
κ =
8πG
c4
.
(5.27)
引力场方程
广义相对论的引力场方程的完整形式为
Rµν −
1
2
gµνR =
8πG
c4
Tµν.
(5.28)
或是
Rµν =
8πG
c4
(
Tµν −
1
2
gµνT
)
.
(5.29)
6
第五章 引力场方程
引力场方程右边的能量动量张量应当包括所有物质的能量动量，不仅包括物质的质量，动量和内部
应力，也包括电磁场等力场的能量和动量，但是不包括引力场. 引力场的张量势 gµν 是引力场方程要求
解的未知量. 按照等效原理，引力场的强度亦即引力本身是可以局部地消除的，不可能是张量.
如果产生引力的引力源物质比较集中，在引力源之外的所谓真空里物质的能量动量张量为零，从引
力场方程(5.29)可见，真空中的引力场方程为
Rµν = 0.
(5.30)
注意由于有引力源存在，所谓的“无物质的真空” 有引力场存在，那里的时空是弯曲的，黎曼曲率张量不
可能是零张量，但是那里的Ricci张量，曲率标量和爱因斯坦张量是零张量.
引力场方程是求解度规张量 gµν 的2阶偏微分方程. 它是度规张量2阶偏导数的线性函数，但是对度
规张量本身是高度非线性的，要比线性的泊松方程复杂得多. 即使对于理想流体这类简单的物质模型，
场方程右边的 Tµν 也含有度规张量，这也增加了方程的复杂性.
引力场方程隐含着物质的运动方程 Tµν
;ν = 0. 一般情况下，引力场方程和运动方程必须同时求解. 在
选定了坐标系后，某一时刻的能量动量分布和度规的边界条件决定了该时刻的度规. 然而要想知道在度
规的作用下未来时刻的能量动量分布则需要求解运动方程. 这大致说明了如何用数值方法求解给定的相
对论模型的演化，称为数值相对论. 这一过程和星系数值模拟中同时求解泊松方程和运动方程的做法大
致相当，只是由于爱因斯坦引力场方程的高度复杂性和当代计算技术的局限，目前还只在双星系统的演
化上取得了一些结果. 数值相对论是一个正在发展中的十分有前途的领域.
对于一些理想化的天文和物理模型，例如球对称或轴对称的恒星系统，均匀和各向同性的宇宙等，
可以得到引力场方程一些简单的准确解. 对于像太阳系中的太阳和行星系统，因弱场低速而存在一些小
参数，可以用称为后牛顿近似的逐次近似的方法得到引力场方程的近似解. 在本书的后面几章中将作一
些介绍.
坐标条件
引力场方程的两边都是对称张量，所以引力场方程一共是10个，未知的度规张量
gµν 的分量也是10个，看上去方程的个数与未知量的个数相等. 然而缩并后的Bianchi恒等式(5.22)亦即
Gµν
;ν ≡ 0 表明这10个场方程并不是独立的. (5.22)是4个方程，所以场方程的独立个数是10 − 4=6个，未
知量的个数多于方程的个数.
这种情况并不令人惊讶. 场方程是对坐标变换广义协变的，为了要求解度规首先必须选定坐标系. 时
空坐标共有4个，应当给出4个方程以选定坐标系. 这4个方程称为坐标条件. 在广义相对论里没有优越的
坐标系. 这句话是说广义相对论里的方程是广义协变的，对所有的坐标系都成立，因此坐标条件可以任
给. 这并不表明对于1个给定的物理或天文模型不存在物理上比较恰当数学上比较优越的坐标系. 例如讨
论人造卫星的运动一定会选择地心坐标系而不会采用日心坐标系. 选用1个好的坐标条件会大大简化引力
场方程的数学求解.
谐和坐标条件
对于弱场问题，常采用的坐标条件是谐和坐标条件
Dxµ = gαβxµ
;αβ = 0.
(5.31)
在§1.2的最后曾经强调坐标 xµ 不是1个张量. 对于给定的 µ 值，xµ 应当理解成1个标量函数
xµ = φ(x0, x1, x2,x3)，它在4个坐标中选取第 µ 个坐标，这是1个投影函数. 在记住 xµ 是1个标量后，
下面的推导就很自然了.
Dxµ = gαβxµ
,α;β = gαβ
(
xµ
,αβ − Γρ
αβxµ
,ρ
)
= −gαβΓµ
αβ.
§5.3 引力场方程的变分法推导
7
所以谐和坐标条件也常写成更为实用的形式：
Γµ = gαβΓµ
αβ = 0.
(5.32)
§6.1在弱场近似下求解引力场方程时，会看到谐和坐标能简化数学推导. 它是在弱场情况下使用最多
的坐标条件.
宇宙学常数
在探索引力场方程的过程中，我们强调了场方程左边应当是1个2阶对称张量，而且
它的协变散度应当恒等于零. 爱因斯坦张量 Gµν 符合这一条件，而且它还是度规张量2阶偏导数的线性函
数，是当然的候选者. 然而度规张量本身也符合这一条件，有 gµν
;ν ≡ 0 . 所以，引力场方程也可能是
Rµν −
1
2
gµνR + gµνλ =
8πG
c4
Tµν,
(5.33)
其中 λ 是1个常数，称为宇宙学常数. 它在宇宙学问题中扮演着重要的角色，但在物质比较集中的区域如
太阳系，恒星，星团和星系中可以忽略. 本书的第八章将比较详尽地讨论带有宇宙学常数项的引力场方
程.
5.3 引力场方程的变分法推导
希尔伯特的变分原理
与物理学家爱因斯坦发现引力场方程最终形式几乎同时，数学家希尔伯特
运用变分原理也得到了这个方程.∗ 下面来阐述这条变分原理.
首先来看弯曲的4维时空中的不变体元应当如何表达. 按照等效原理，在时空的任一点都能选到坐标
系 {ξµ} 使度规为闵可夫斯基度规，体元的表达式应当是 dV = dξ0dξ1dξ2dξ3 = d4ξ. 以§1.3中关于欧氏
空间不变体元表达式的推导相同的方式，得到广义相对论弯曲时空中的体元在任意坐标系中的表达式为
dV =
√
−gdx0dx1dx2dx3 =
√
−gd4x.
(5.34)
设拉格朗日密度函数 L 是时空度规 gµν 及其偏导数的函数，而度规则是时空坐标 xα 的函数. 在所有
可能的度规函数中，实际的度规使作用量
S =
∫
L
√
−gd4x
(5.35)
达到极值. 希尔伯特原理选择了拉格朗日密度函数，要求实际的度规满足
δS = δ
∫
(
R + κLMT
) √
−gd4x = 0.
(5.36)
这里 R 是曲率标量，κ 是方程(5.27)所给出的常数，LMT是物质的拉格朗日密度函数，这一项将产生引
力场方程中物质的能量动量张量 Tµν. 在叙述变分原理时必须说明哪些量是独立变量并说明这些量的
边界条件. 这里规定度规各逆变分量 gµν 和度规协变分量的偏导数 gµν,ρ 是独立变量，而且变分 δgµν 和
∗爱因斯坦于1915年11月25日向普鲁士科学院提交的论文中有引力场方程的最后形式. 希尔伯特在5天前，亦即11月20日向哥廷
根自然科学协会提交的论文含有同样的方程. 《爱因斯坦传》的作者派斯写道：“我确信，爱因斯坦是广义相对论物理理论的唯一
创立者，而他和希尔伯特都发现了基本方程(14.15)”. (见该书中文版374页，该书的方程(14.15)即本书的引力场方程(5.28).)
8
第五章 引力场方程
δgµν,ρ 在积分区域的边界上都等于零. †
引力场方程的推导
从变分原理(5.36)可以导出爱因斯坦引力场方程. 先看第1项
δ
∫
R
√
−gd4x = δ
∫
gµνRµν
√
−gd4x
=
∫
Rµνδgµν
√
−gd4x +
∫
Rδ
√
−gd4x +
∫
gµνδRµν
√
−gd4x.
(5.37)
现在来分别计算(5.37)中的3项.
第1项已无需进一步推导. 根据第一章习题1.8第2项是
∫
Rδ
√
−gd4x = −
1
2
∫
gµνRδgµν
√
−gd4x.
(5.38)
(5.37)式第3项的计算比较复杂，关键是计算 δRµν. 它是1个张量，可以先在LGS坐标系中计算，然
后把所得的方程改成张量等式就得到在任意坐标系中的表达式. 在LGS中所有的克氏符号为零，所以
δRµν = δRρ
µρν = −δΓρ
µρ,ν + δΓρ
µν,ρ.
虽然克氏符号不是张量，它们的变分却是张量. 克氏符号在坐标变换下的变换规律如(3.23)式所示，其中
的非齐次项表明它们不是张量，然而这个非齐次项与度规无关，只与坐标变换有关，所以当(3.23)式两
边对度规求变分时，非齐次项不复存在，说明克氏符号的变分是张量. 这样，只需将上式中的逗号改成
分号，就得到所需的结果.
δRµν = −δΓρ
µρ;ν + δΓρ
µν;ρ.
(5.39)
上式在任何坐标系中都成立. 于是(5.37)的第3项变成
∫ [
−
(
gµνδΓρ
µρ
)
;ν
+
(
gµνδΓρ
µν
)
;ρ
]
√
−gd4x.
这里用了度规的协变散度恒等于零.
上式方括号中的每1项都可以看作是1个逆变张量的协变散度. 利用第四章习题4.6给出的公式，上式
变为
∫ [
−
(√
−ggµνδΓρ
µρ
)
,ν
+
(√
−ggµνδΓρ
µν
)
,ρ
]
d4x.
这个式子的每1项都能完全积出，圆括号内的函数要取积分区域边界处的值. 克氏符号的变分涉及度规及
其1阶偏导数的变分，按变分原理的规定它们在边界处全是零，亦即上式等于零. 这样(5.37)式的第3项为
零.
综合上面的结果以及(5.37)和(5.38)式，有
δ
∫
R
√
−gd4x =
∫ (
Rµν −
1
2
gµνR
)
δgµν
√
−gd4x.
(5.40)
对变分原理(5.36)中的物质项，当 LMT 只和度规有关而不含度规的导数，有
δ
∫
LMT
√
−gd4x =
∫ (
δLMT
δgµν
−
1
2
LMTgµν
)
δgµν
√
−gd4x.
(5.41)
†希尔伯特只以10个 gµν 分量为独立变量，后来Palatini 发现增加度规的偏导数为独立变量使推导更为简单. 这里采用
的是Palatini的做法，也称为Hilbert-Palatini变分原理. 这两种做法类似于经典力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学. 详情可
见C.W.Misner, K.S.Torne, J.A.Wheeler著《Gravitation》, W.H.Freeman and Company, New York, §21.2.
§5.3 引力场方程的变分法推导
9
很自然就定义
Tµν =
1
2
LMTgµν −
δLMT
δgµν
.
(5.42)
当物质模型更为复杂时可适当改变上式.
综合变分原理 (5.36) 和 (5.40)，(5.41)，(5.42)式得到
∫ (
Rµν −
1
2
gµνR − κTµν
)
δgµν
√
−gd4x = 0.
(5.43)
独立变分 δgµν 前的系数应当为零，得到爱因斯坦引力场方程
Gµν =
8πG
c4
Tµν.
(5.44)
用变分原理推导引力场方程是一种直接和简捷的方法. 它也再次揭示了自然界的物理定律满足一定
的极值原理. 在广义相对论建立以后出现的各种引力理论大都采用这条途径. 引力场方程和等效原理一样
不是完全能用逻辑证明的，必须通过实验来证实. 爱因斯坦等效原理目前在相对比较高的精度上得到验
证. 从一种物理思想出发去选择作用量(5.35)中的拉格朗日密度函数可以得到各种各样的引力理论，它们
的引力场方程各不相同. 迄今为止，广义相对论通过了几乎所有的实验验证. 第九章将回到这一问题的讨
论.
Bianchi恒等式
用变分原理可以更好地揭示Bianchi恒等式和坐标系可以任意选择之间的关系. 看
作用量
S =
∫
R
√
−gd4x.
(5.45)
从这个作用量的变分出发可以得到真空中的场方程 Gµν = 0.
作用量 S 是1个标量，它的数值只和积分区域内的时空几何有关，也就是只和该区域内的物理有
关，和具体的坐标系选择无关. 如果进行坐标变换 xµ → ¯xµ，S 的值并无变化，亦即坐标变化使 δS = 0.
注意这一结论与度规是否使作用量达到极值无关，也就是与度规是否是爱因斯坦引力场方程的解无关.
现在来看1个具体的无穷小坐标变换
¯xµ = xµ − ξµ.
(5.46)
这里无穷小量 ξµ 是坐标 xα 的函数，而且在作用量(5.45) 的积分区域边界处为零. 显然在这个变换作用
下有 δS = 0. 下面用2个等价的视角来看这个变换.
(5.46)式可以看成是从坐标系 {xµ} 到坐标系 {¯xµ} 的变换. 在一给定时空点处坐标从 xµ 变成 ¯xµ，度
规的坐标分量从 gµν(xα) 变成 ¯gµν(¯xα). 注意在坐标变换下该点的度规张量并没有改变，改变的是它的
坐标分量. 此外，gµν(xα) 和 ¯gµν(¯xα) 是同一度规张量在不同坐标系中的坐标分量，两者相减的结果不
是1个张量.
(5.46)式也可以看成是(5.45)中作用量的积分区域里的1个时空映射. 这时坐标系并没有改变，
坐标为 xµ 的时空点被映射成坐标为 ¯xµ 的点. 因为无穷小量 ξµ 在积分区域边界处为零，这个映射
把积分区域映射为自身. 在时空点 xµ，度规从 gµν(xα) 变换成 ¯gµν(xα)，这是同一坐标系里的2个度
规，δgµν = ¯gµν(xα) − gµν(xα)是1个张量. 从第四章习题4.4有
δgµν = ξµ;ν + ξν;µ,
(5.47)
δgµν = −ξµ;ν − ξν;µ.
(5.48)
对作用量(5.45)施行变换(5.46)的这2种解释是完全等价的.
10
第五章 引力场方程
于是，经无穷小坐标变换(5.46)后，作用量(5.45)的变分为
0 = δS =
∫
Gµνδgµν
√
−gd4x = −
∫
Gµν(ξµ;ν+ξν;µ)
√
−gd4x = −2
∫
(Gµνξµ)
;ν
√
−gd4x+2
∫
Gµν
;ν ξµ
√
−gd4x.
上式中的第1个积分可用第四章习题4.6中的公式完全积出. 因为 ξµ 在边界处为零，上式第1个积分为零.
在上式第2个积分中，ξµ 是任意函数，立即得到缩并后的Bianchi恒等式
Gµν
;ν ≡ 0.
(5.49)
这一推导深刻地阐明了Bianchi恒等式的内在含义.
5.4 第五章习题
5.1 证明曲率张量的定义(5.2)和(5.3)式.
5.2 证明对任意的反对称张量 Fµν，有
Fµν
;µν ≡ 0.
(很多学生曾用下面的错误逻辑来证明上式. 他们认为在LGS中，分号变成逗号，上式左边变成 Fµν
,µν，利
用对上指标的反对称性和下指标的对称性，立即得到恒等于零. 请找出这一证明的错误所在，并给出尽
可能简单的正确证明.)
5.3 2维球面的度规为 ds2 = dθ2 + sin2 dφ2，计算该2维空间的曲率标量.
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